BAB III PEMBAHASAN
B. Penyelesaian Masalah Syarat Batas Persamaan Laplace pada
1. Permasalahan Syarat Batas Dirichlet pada Bidang Perseg
Syarat batas pada bidang persegi panjang berdasarkan Persamaan (3.12) sampai dengan Persamaan (3.15) dapat diilustrasikan dalam bentuk koordinat kartesius seperti gambar berikut
Gambar (3.3) Syarat Batas Dirichlet pada Bidang Persegi Panjang
Masalah persamaan Laplace pada bidang persegi panjang dengan panjang dan lebar , kemudian diasumsikan bahwa sumber potensial . Masalah tersebut dapat disajikan secara matematis sebagai berikut:
dengan syarat batas
Akan ditentukan penyelesaian dari Persamaan (3.16) dengan menggunakan metode separasi variabel. Misalkan sehingga
Apabila Persamaan (3.18) dan (3.19) disubstitusikan ke Persamaan (3.16), maka diperoleh
Persamaan (3.20) dibagi dengan sehingga diperoleh
dengan mengambil variabel pemisah negatif , sehingga Persamaan (3.21) menjadi
dan
Dalam kasus ini digunakan syarat batas , dengan
pada persamaan maka diperoleh
dan
Berdasarkan Persamaan (3.21) disyaratkan , sehingga , dan diperoleh Masalah Nilai Eigen Sturm-Liouville sebagai berikut
Selanjutnya ditentukan penyelesaian non trivial dari Persamaan (3.25) dan (3.26) yang dapat ditinjau menjadi tiga kemungkinan yaitu dan
.
Kemungkinan 1: untuk nilai , sehingga Persamaan (3.25) menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan (3.27) adalah syarat batas syarat batas
karena nilai dan , sehingga nilai dari , hal tersebut akan berakibat nilai . Jadi, untuk nilai diperoleh penyelesaian trivial.
Kemungkinan 2: untuk nilai , sehingga Persamaan (3.25) menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan (3.28) dapat dicari dengan mengintegralkan kedua ruas, sehingga diperoleh
syarat batas
karena nilai tidak sama dengan nol, hal tersebut akan berakibat nilai . Jadi, untuk nilai diperoleh penyelesaian trivial.
Kemungkinan 3: untuk nilai , sehingga Persamaan (3.25) menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan (3.29) adalah syarat batas syarat batas
Agar diperoleh solusi nontrivial, maka nilai . Tetapi nilai dari
karena nilai bergantung dengan , sehingga . Oleh karena itu Persamaan (3.30) dapat dituliskan
Jadi untuk Masalah Nilai Eigen Sturm-Liouville (3.25) dan (3.26) mempunyai penyelesaian non trivial sebagai berikut
dengan Nilai Eigen dan konstanta sebarang.
Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian dari Persamaan yaitu
Mengingat nilai yang memenuhi adalah dan
nilai bergantung pada . Hal tersebut berakibat nilai dari juga bergantung pada , sehingga Persamaan (3.24) dapat dituliskan menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan (3.32) adalah
syarat batas
Jadi, penyelesaian dari Persamaan adalah
dengan konstanta sebarang.
Kombinasikan penyelesaian dan yang telah diperoleh dengan mensubtitusi Persamaan (3.31) dan Persamaan (3.33) ke persamaan
sehingga diperoleh
dengan . Apabila Persamaan (3.34) diubah dengan menggunakan prinsip superposisi, sehingga diperoleh
Menggunakan syarat batas (3.17c) yaitu untuk , sehingga Persamaan (3.35) menjadi
yang merupakan suatu Deret Fourier sinus. Sehingga
atau dapat ditulis
Jadi, penyelesaian dari Persamaan (3.16) dengan syarat batas (3.17a) sampai dengan (3.17d) adalah dengan
Mengkaji area fisika Perambatan Panas, mengingat Persamaan Laplace dapat digunakan untuk menjelaskan konduksi panas yang tidak bergantung pada waktu (Duffy, 2003). Selanjutnya akan dilakukan simulasi distribusi suhu pada suatu lempengan logam berbentuk persegi panjang dengan berbagai ukuran.
a. Simulasi distribusi suhu untuk kasus dan .
Diambil lempengan logam dengan panjang satuan panjang dan lebar satuan panjang, sehingga Persamaan (3.39) menjadi
sedangkan suhu pada posisi sebesar derajat, sehingga hal ini akan berakibat Persamaan (3.40) menjadi
Selanjutnya akan dicari hasil dari sebagai berikut
Berdasarkan Persamaan (3.43) maka Persamaan (3.42) menjadi
Substitusi Persamaan (3.44) ke Persamaan (3.41) diperoleh
Apabila Persamaan (3.45) diplot dengan menggunakan Software Matlab, maka tampak seperti pada gambar berikut
Gambar (3.4) Distribusi Suhu pada Persamaan (3.45)
Berdasarkan output tampilan Matlab pada Gambar (3.4) terlihat bahwa suhu pada posisi suhunya paling tinggi yaitu sebesar 100 derajat. Hal ini terjadi karena sumber panas terletak pada posisi . Pada posisi suhunya mengalami penurunan hingga diperoleh suhunya sama dengan 0 derajat. Penurunan suhu terhadap posisi pada kasus ini tidak bersifat linear. Suhu pada posisi sampai dengan sebesar 0 derajat. Hal ini dikarenakan suhu
pada posisi tersebut dipertahankan sebesar 0 derajat. Proses perambatan panas dari sampai dengan berupa kurva yang dalam hal ini merupakan syarat batas. Suhu maksimum dan suhu minimumnya terletak tepat pada daerah batas, bukan terletak pada daerah interior. Kemudian jika ditinjau distribusi suhu secara keseluruhan pada Gambar (3.4), terlihat bahwa hubungan antara suhu dengan posisi berbentuk permukaan jala dengan pola turun yang tidak linear.
Apabila Gambar (3.4) dipandang sebagai gambar dua dimensi, maka tampak seperti pada gambar berikut
Berdasarkan output tampilan Matlab pada Gambar (3.5) terlihat bahwa suhu pada posisi untuk merupakan suhu paling tinggi dibandingkan dengan posisi yang lain yaitu sebesar 100 derajat. Pada posisi suhunya mengalami penurunan dari 100 derajat hingga diperoleh suhunya sebesar 0 derajat. Penurunan suhu terhadap sumbu tersebut tercermin dalam garis gradasi warna seperti yang terlihat pada Gambar (3.5). Jika pada gambar tersebut ditarik sebuah garis tengah dari sumbu , sehingga tepat membagi gambar menjadi dua bagian. Dalam hal ini sumbu dibagi menjadi dua daerah domain yaitu
dan .
Perhatikan bahwa suhu pada posisi dan
saling simetri terhadap garis tengah. Misalnya jika diambil dan
diperoleh suhunya sebesar derajat untuk . Kemudian jika diambil dan diperoleh suhunya sebesar untuk
. Pergantian posisi dengan memberikan nilai suhu yang setara. Jadi pola garis gradasi warna tersebut memberikan gambaran distribusi suhu pada kasus ini simetri terhadap garis tengah. Pada posisi untuk
diperoleh suhunya sebesar 0 derajat. Hal tersebut karena suhu pada posisi untuk dipertahankan sebesar 0 derajat, sesuai dengan syarat batas yang diberikan pada permasalahan ini.
Kemudian jika ditinjau berdasarkan gradasi suhu pada Gambar (3.5), diketahui bahwa suhu yang lebih tinggi terletak di daerah sebelah atas lempengan logam dengan berbagai variasi gradasi suhu. Hal ini dimungkinkan karena pada daerah ini merupakan sumber panas bagi daerah sekitarnya. Gradasi suhu terlihat
sedikit lebih landai pada bagian tengah domain permasalahan ini, namun cukup curam pada daerah kanan dan kiri. Hal ini disebabkan karena kontribusi suhu rendah pada batas domain kanan dan kiri yaitu sebesar 0 derajat. Sehingga menyebabkan sumber panas menempatkan daerah yang bersuhu lebih tinggi berada pada daerah tengah. Gradasi semakin melandai kearah bawah, dimana suhu lempengan logam dipertahankan sebesar 0 derajat.
b. Simulasi distribusi suhu untuk kasus dan .
Diambil lempengan logam dengan panjang satuan panjang dan lebar satuan panjang, sedangkan suhu pada posisi sebesar derajat. Sehingga Persamaan (3.39) menjadi dengan
Jadi untuk kasus lempengan logam dengan panjang satuan panjang dan lebar satuan panjang, sedangkan suhu pada posisi sebesar derajat diperoleh persamaan sebagai berikut
Apabila Persamaan (3.45a) diplot dengan menggunakan Software Matlab, maka tampak seperti pada gambar berikut
Gambar (3.6) Distribusi Suhu pada Persamaan (3.45a)
Berdasarkan output tampilan Matlab pada Gambar (3.6) terlihat bahwa suhu pada posisi suhunya paling tinggi yaitu sebesar 100 derajat. Hal ini terjadi karena sumber panas terletak pada posisi . Pada posisi suhunya mengalami penurunan hingga diperoleh suhunya sama dengan 0 derajat. Penurunan suhu terhadap posisi pada kasus ini tidak bersifat linear, meskipun sekilas terlihat mendekati linear.
Suhu pada posisi sampai dengan sebesar 0 derajat. Hal ini dikarenakan suhu pada posisi tersebut dipertahankan sebesar 0 derajat. Proses perambatan panas dari sampai dengan berupa kurva
yang dalam hal ini merupakan syarat batas. Suhu maksimum dan suhu minimumnya terletak tepat pada daerah batas, bukan terletak pada daerah interior. Kemudian jika ditinjau distribusi suhu secara keseluruhan pada Gambar (3.6), terlihat bahwa hubungan antara suhu dengan posisi berbentuk permukaan jala dengan pola turun yang tidak linear.
Apabila Gambar (3.6) dipandang sebagai gambar dua dimensi, maka tampak seperti pada gambar berikut
Gambar (3.7) Grafik 2D Distribusi Suhu pada Persamaan (3.45a)
Berdasarkan output tampilan Matlab pada Gambar (3.7) terlihat bahwa suhu pada posisi untuk merupakan suhu paling tinggi dibandingkan
dengan posisi yang lain yaitu sebesar 100 derajat. Pada posisi suhunya mengalami penurunan dari 100 derajat hingga diperoleh suhunya sebesar 0 derajat. Penurunan suhu terhadap sumbu pada kasus ini tercermin dalam garis gradasi warna dengan pola yang berbeda dengan kasus sebelumnya. Hal ini dimungkinkan karena ukuran panjang dan lebar lempengan logam yang digunakan tidak sama. Distribusi suhu pada kasus ini juga simetri terhadap garis tengah. Jika pada Gambar (3.7) ditarik sebuah garis tengah dari sumbu , sehingga tepat membagi gambar tersebut menjadi dua bagian. Dalam hal ini sumbu dibagi menjadi dua daerah domain yaitu dan .
Perhatikan bahwa suhu pada posisi dan saling simetri terhadap garis tengah. Misalnya jika diambil dan diperoleh suhunya sebesar derajat untuk . Kemudian jika diambil dan diperoleh suhunya sebesar untuk
. Pergantian posisi dengan memberikan nilai suhu yang setara. Jadi pola garis gradasi warna tersebut memberikan gambaran distribusi suhu pada kasus ini simetri terhadap garis tengah. Pada posisi untuk diperoleh suhunya sebesar 0 derajat. Hal tersebut karena suhu pada posisi untuk dipertahankan sebesar 0 derajat, sesuai dengan syarat batas yang diberikan pada permasalahan ini.
Kemudian jika ditinjau berdasarkan gradasi suhu pada Gambar (3.7) diketahui bahwa suhu yang lebih tinggi terletak di daerah sebelah atas lempengan logam dengan berbagai variasi gradasi suhu. Hal ini dimungkinkan karena pada daerah tersebut merupakan sumber panas bagi daerah sekitarnya. Gradasi suhu
terlihat sedikit lebih landai pada bagian tengah domain permasalahan ini, namun sangat curam pada daerah kanan dan kiri. Hal ini disebabkan karena kontribusi suhu rendah pada batas domain kanan dan kiri yaitu sebesar 0 derajat. Sehingga menyebabkan sumber panas menempatkan daerah yang bersuhu lebih tinggi berada pada daerah tengah. Gradasi semakin melandai kearah bawah, dimana suhu lempengan logam dipertahankan sebesar 0 derajat.
c. Simulasi distribusi suhu pada pelat logam untuk kasus dan .
Diambil lempengan logam dengan panjang satuan panjang dan lebar satuan panjang, sedangkan suhu pada posisi sebesar derajat. Sehingga Persamaan (3.39) menjadi dengan
Jadi untuk kasus lempengan logam dengan panjang satuan panjang dan lebar satuan panjang, sedangkan suhu pada posisi sebesar derajat diperoleh persamaan sebagai berikut
Apabila Persamaan (3.45b) diplot dengan menggunakan Software Matlab, maka tampak seperti pada gambar berikut
Gambar (3.8) Distribusi Suhu pada Persamaan (3.45b)
Berdasarkan output tampilan Matlab pada Gambar (3.8) terlihat bahwa suhu pada posisi suhunya paling tinggi yaitu sebesar 100 derajat. Hal ini terjadi karena sumber panas terletak pada posisi . Pada posisi suhunya mengalami penurunan hingga diperoleh suhunya sama dengan 0 derajat. Terlihat bahwa penurunan suhu terhadap posisi tersebut tidak bersifat linear. Suhu pada posisi sampai dengan sebesar 0 derajat. Hal ini dikarenakan suhu pada posisi tersebut dipertahankan sebesar 0 derajat. Proses perambatan panas dari sampai dengan berupa kurva yang dalam hal ini merupakan syarat batas. Suhu maksimum dan suhu minimumnya terletak tepat
pada daerah batas, bukan terletak pada daerah interior. Kemudian jika ditinjau distribusi suhu secara keseluruhan pada Gambar (3.8) diketahui bahwa hubungan antara suhu dengan posisi berbentuk permukaan jala dengan pola turun yang tidak linear.
Apabila Gambar (3.8) dipandang sebagai gambar dua dimensi, maka tampak seperti pada gambar berikut
Gambar (3.9) Grafik 2D Distribusi Suhu pada Persamaan (3.45b)
Berdasarkan output tampilan Matlab pada Gambar (3.9) terlihat bahwa suhu pada posisi untuk merupakan suhu paling tinggi dibandingkan dengan posisi yang lain yaitu sebesar 100 derajat. Pada posisi suhunya
mengalami penurunan dari 100 derajat hingga diperoleh suhunya sebesar 0 derajat. Penurunan suhu terhadap sumbu tercermin dalam garis gradasi warna seperti yang terlihat pada Gambar (3.9). Jika pada gambar tersebut ditarik sebuah garis tengah dari sumbu , sehingga tepat membagi gambar menjadi dua bagian. Dalam hal ini sumbu dibagi menjadi dua daerah domain yaitu dan
.
Perhatikan bahwa suhu pada posisi dan
saling simetri terhadap garis tengah. Misalnya jika diambil dan
diperoleh suhunya sebesar derajat untuk . Kemudian jika diambil dan diperoleh suhunya sebesar untuk
. Pergantian posisi dengan memberikan nilai suhu yang setara. Jadi pola garis gradasi warna tersebut memberikan gambaran distribusi suhu pada kasus ini simetri terhadap garis tengah. Pada posisi untuk
diperoleh suhunya sebesar 0 derajat. Hal tersebut karena suhu pada posisi untuk dipertahankan sebesar 0 derajat, sesuai dengan syarat batas yang diberikan pada permasalahan ini.
Kemudian jika ditinjau berdasarkan gradasi suhu pada Gambar (3.9), diketahui bahwa suhu yang lebih tinggi terletak di daerah sebelah kanan lempengan logam dengan berbagai variasi gradasi suhu. Hal ini dimungkinkan karena pada daerah ini merupakan sumber panas bagi daerah sekitarnya. Gradasi suhu terlihat sedikit lebih landai pada bagian tengah domain permasalahan ini, namun cukup curam pada daerah atas dan bawah. Hal ini disebabkan karena kontribusi suhu rendah pada batas domain atas dan bawah yaitu sebesar 0 derajat.
Sehingga menyebabkan sumber panas menempatkan daerah yang bersuhu lebih tinggi berada pada daerah tengah. Gradasi semakin melandai kearah kiri domain permasalahan ini, dimana suhu lempengan logam dipertahankan sebesar 0 derajat.