PERMUTASI DENGAN BEBERAPA ELEMEN YANG SAMA Contoh 3.5

Tulislah dalam bentuk factorial

B. PERMUTASI DENGAN BEBERAPA ELEMEN YANG SAMA Contoh 3.5

Tentukan semua permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata:

a. SAPI b. SAPA

29 c. ASAA

Penyelesaian:

a. SAPI ASPI PSAI ISAP

SAIP ASIP PSIA ISPA

SPAI APSI PASI IASP

SPIA APIS PAIS IAPS

SIAP AISP PISA IPSA

SIPA AIPS PIAS IPAS

Jadi ada 24 cara.

b. Pada kata SAPA terdiri dari 2 buah A, untuk membedakannya maka diberi 𝐴1 dan 𝐴2 sehingga permutasi yang berbeda tentu saja ada 24 buah. Namun apabila huruf A tidak dibedakan, maka permutasi dari kata SAPA ada 12 buah. Coba tuliskan apa saja?

c. Pada kata ASAA, ada 3 buah huruf A, untuk membedakannya maka diberi 𝐴1, 𝐴2 dan 𝐴3. Sehingga permutasi yang berbeda tentu saja ada 24 buah. Namun apabila huruf A tidak dibedakan, maka permutasi dari kata ASAA ada 4 buah.

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa,

Definisi 3.1

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 berjenis pertama, n2 berjenis kedua, dan seterusnya sampai nk jenis ke k adalah 𝑃(𝑛,(𝑛₁,𝑛₂,…,𝑛_𝑘))=

𝑛!

30 Contoh 3.6

Ada berapa cara untuk menyusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “MATEMATIKA”? Penyelesaian: M = 2 A = 3 T = 2 E = 1 I = 1 K = 1 MATEMATIKA = 7 Jadi 𝑃_{(9,(2,3,2,1,1,1))}= ^9! 2!3!2!1!1!1!= ^{9∙8∙7∙6∙5∙4∙3!} 2∙1∙3!∙2∙1∙1∙1∙1= 15120 cara Latihan 3.2.

1. Ada berapa banyak cara menysusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “PENDIDIKAN”

2. Ada berapa banyak cara menyusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “STKIPSURYA”?

31 C. PERMUTASI MELINGKAR

Contoh 3.7.

Misalkan dalam suatu rapat yang dihadiri oleh 4 orang yang duduknya melingkar sepanjang meja bundar, ilustrasi gambar 3.1. Maka, banyaknya susunan cara duduk peserta rapat berbeda adalah 6 cara, perhatikan gambar 3.1.

Penyelesaian:

32 A B C D A B D C A C B D A C D B A D B C A D C B B A C D B A D C B C A D B C D A B D A C B D C A C A B D C A D B C B A D C B D A C D A B C D B A D A B C D A C B D B A C D B C A D C A B D C B A Gambar 3.1. ilustrasi 4 orang duduk mengelilingi meja bundar

37 Perhatikan bahwa gambar 3.1. terdiri dari 6 warna, setiap warna mengilustrasikan susunan atau urutan duduk yang sama, karena ada 6 warna berbeda, berarti banyaknya susunan duduk berbeda dari 4 orang yang mengelilingi meja bundar adalah 6 cara.

Banyaknya permutasi melingkar 𝒏 unsur berlainan adalah (𝒏 − 𝟏)!

Pada contoh 3.7. diperoleh banyaknya susunan duduk berbeda dari 4 orang yang mengelilingi meja bundar adalah (4 − 1)! = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 cara.

Contoh 3.7.

Tiga orang mahasiswa duduk mengelilingi meja bundar, berapa susunan cara yang berbeda ketiganya duduk mengelilingi meja tersebut?

Penyelesaian:

𝑛 = 3

Banyaknya susunan berbeda ketiga mahasiswa duduk mengelilingi meja bundar adalah (3 − 1)! = 2! = 2.

38 Latihan 3.3.

1. Apabila terdapat 4 orang berkebangsaan Indonesia, 3 orang berkebangsaan German dan 6 orang berkebangsaan Japan. Maka berapa banyaknya urutan duduk apabila duduknya bebas tidak berdasarkan kewarganegaraan?

2. Dari no 1 berapa banyaknya urutan duduk apabila duduknya berdasarkan urutan kewarganegaraan?

3. Dengan berapa cara menanam 3 pohon jati, 4 pohon kurmis dan 2 pohon mahoni sepanjang pinggir jalan raya secara berjajar apabila:

a. Pohon yang sejenis tidak dibedakan? b. Pohon sejenis dibedakan?

4. Berapa banyak susunan kata yang dapat dibentuk (tidak harus punya arti) dari kata “STATISTIKA” ?

5. Berapa banyak susunan penataan buku secara berjajar apabila terdapat 3 buku NOVEL, 8 buku KOMIK, 2 buku KULINER dan 10 buku BIOGRAFI dengan ketentuan buku yang sejenis harus bersama?

6. Berapa banyak cara untuk menanam 8 bunga yang disusun dalam pekarangan yang bentuknya melingkar?

7. Berapa banyak susunan cara yang berbeda dari 5 orang duduk melingkar mengelilingi meja bundar? Dan tunjukkan susunannya apa saja!

39 Pertemuan 4

KOMBINASI

Sebelum mempelajari kombinasi, kita akan mengingat perkuliahan pada pertemuan 3, yaitu tentang permutasi. Dalam permutasi, perhatikan bahwa susunan atau urutan dari setiap kejadian diperhatikan, semisal dua orang beri nama A dan B duduk berjajar pada kursi, kursi pertama diduduki A dan kursi kedua diduduki B kita tulis AB, tidak sama dengan BA di mana artinya kursi pertama diduduki B dan kursi kedua diduduki A. Sekarang perhatikan contoh 4.1.

Contoh 4.1.

Misalkan dalam susunan kepanitian, Dari 5 orang mahasiswa Pendidikan Matematika (Toni, Waingges, Indah, Yully dan Alle) akan dipilih 3 orang yang akan mewakili program studi Matematika survei lokasi lomba karya ilmiah di Jakarta. Maka berapa banyak cara yang dapat disusun dari ke-5 mahasiswa tersebut?

Penyelesaian:

Susunan semua yang mungkin adalah, 1) Toni-Waingges-Indah (TWI) 2) Toni-Waingges-Yully (TWY) 3) Toni-Waingges-Alle (TWA) 4) Toni-Indah-Yully (TIY) 5) Toni-Indah-Alle (TIA) 6) Toni-Yully-Alle (TYA) 7) Waingges-Indah-Yully (WIY) 8) Waingges-Indah-Alle (WIA) 9) Waingges-Yully-Alle (WAY) 10) Indah-Yully-Alle (IYA) Jadi ada 10 cara.

40 Untuk membedakan hasil antara kombinasi dan permutasi, perhatikan tabel 4.1.

Tabel 4.1. Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Kombinasi Permutasi

TWI TWI TIW WIT WTI ITW IWT

TWY TWY TYW WYT WTY YTW YWT

TWA TWA TAW WAT WTA ATW AWT

TIY TIY TYI ITY IYT YTI YIT

TIA TIA TAI ITA IAT ATI AIT

TYA TYA TAY YTA YAT ATY AYT

WIY WIY WYI IWY IYW YWI YIW

WIA WIA WAI IWA IAW AWI AIW

WYA WAY WAY AWY AYW YWA YAW

IYA IYA IAY YIA YAI AIY AYI

Dari tabel 4.1. terlihat bahwa 6 buah permutasi menghasilkan 1 buah kombinasi, sehingga banyaknya kombinasi sebanyak ⁶⁰

6 = 10 buah.

Secara umum, kombinasi dapat ditulis sebagai,

Banyaknya kombinasi dari 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen ditulis 𝐶_(𝑛,𝑟) atau 𝐶_𝑟^𝑛 atau _𝑛𝐶_𝑟 atau (^𝑛_𝑟) adalah ^𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)! dengan 𝑟 ≤ 𝑛.

Juga dapat ditulis

(^𝑛_𝑟) =^{𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑟 + 1)}

𝑟! ⁼

𝑛𝑃𝑟 𝑟!

Contoh 4.2.

Dari 10 orang mahasiswa akan dibuat kelompok belajar dengan ketentuan setiap kelompok berisi 5 orang, berapa banyak susunan yang dapat dibentuk untuk membentuk kelompok tersebut?

41 Penyelesaian:

Karena susunannya tidak diperhatikan, maka kita akan menggunakan kombinasi.

𝐶₅¹⁰= ^10! 5! (10 − 5)!⁼

10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ^{= 252}

Jadi banyak susunan yang dapat dibentuk dari 10 orang mahasiswa untuk dibuat kelompok belajar dengan ketentuan setiap kelompok berisi 5 orang adalah 252 cara.

Contoh 4.3.

Dalam pertandingan badminton, akan dipilih 2 orang dari 5 orang calon yang akan mewakili kejuaraan untuk tingkat Universitas. Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari mahasiswa-mahasiswa tersebut untuk mewakili kejuaraan untuk tingkat universitas tersebut?

Penyelesaian:

Karena urutan pemilihan orang tidak diperhatikan, maka dengan menggunakan kombinasi diperoleh,

𝐶₂⁵ = ^5! 2! (5 − 3)!⁼

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2! 2 ∙ 1 ∙ 2! ^{= 30}

Jadi banyaknya cara yang dapat disusun adalah 30 cara.

Contoh 4.4.

Apabila dari {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} diambil 3 elemen, banyaknya permutasi dan kombinasi yang diperoleh adalah:

42 Tabel 4.2. Banyaknya permutasi dan kombinasi yang diambil dari 3 elemen adalah

Kombinasi Permutasi

Abc abc acb bac bca cab cba Abd abd adb bad bda dab dba Acd acd adc cad cda dac dca Bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 4 𝟒 × 𝟔 = 𝟐𝟒 Banyaknya: Permutasi 𝑃₃⁴ = ^4! (4−3)!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Kombinasi 𝐶₃4= ^4! 3!(4−3)!= ^4! 3!1!= 4 Contoh 4.5.

Jika terdapat 3 wanita dan 4 pria yang mendaftar, tentukan susunan panitia yang akan dipilih yang terdiri dari 2 wanita dan 2 pria?

Penyelesaian:

Susunan panitia yang terdiri dari 2 wanita adalah

𝐶_(3,2)= ^3! 2! (3 − 2)!

=^{4 ∙ 3 ∙ 2!} 2! ∙ 1 ^{= 12}

Susunan panitia yang terdiri dari 2 pria adalah,

𝐶_(4,2)= ^4! 2! (4 − 2)!

=^{4 ∙ 3 ∙ 2!} 2! ∙ 2 ∙ 1

43 = 6

Berdasarkan aturan perkalian, maka banyaknya cara untuk menyusun kepanitian yang terdiri dari 2 wanita dan 2 pria adalah 12 ∙ 6 = 72 cara.

Latihan 4.1.

1) Ada 4 orang bernama Adi, Bayu, Cintya, dan Denisa. Apabila dipilih 2 orang secara acak, ada berapa banyak pilihan yang akan diperoleh?

2) Banyaknya susunan kepanitian yang dapat dibentuk dari 3 wanita dan 4 pria dari 8 calon yang merupakan wanita dan 6 calon yang merupakan pria adalah? 3) From 8 consonants and 4 vowels, how many words can be formed consisting of 4 different consonant and 3 different vowels? The words need not have meaning.

4) Apabila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan!

5) Dalam suatu sekolah yang mempunyai 5 orang Guru Matematika, 4 orang Guru Fisika, 2 orang Guru Kimia dan 3 orang Guru TIK akan dipilih 2 orang Guru Matematika, 2 orang Guru Fisika, 1 orang Guru Kimia dan 1 orang Guru TIK untuk membimbing siswanya belajar soal-soal Olimpiade. Maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk apabila pemilihan orang bebas adalah?

6) Banyaknya susunan kombinasi tim bola voli putri apabila jumlah calon pemain sebanyak 10 orang adalah?

7) Banyaknya susunan cara yang dapat dibentuk untuk membentuk tim sepak bola putra apabila banyak calon pemain yang mendaftar sebanyak 21 orang adalah?

44 8) Apabila dalam suatu tes ujian tertulis, peserta diharuskan mengerjakan 3 soal

dari 5 soal yang diberikan, maka berapa banyaknya kombinasi soal yang dapat ia jawab dengan ketentuan,

a) Soal bebas dipilih?

45 Pertemuan ke-5 dan 6

PELUANG (PROBABILITAS) KEJADIAN