Pengantar Probabilitas Dan Teori Peluang

Revisi-1 Pengantar Probabilitas dan Teori Peluang | 1 Program Studi : PendidikanMatematika

Nama Mata Kuliah : Pengantar Probabilitas dan Teori Peluang Kode Mata Kuliah : MAT3223

Jumlah SKS : 3

Tahun Akademik : 2013/2014

Semester : 5

Mata KuliahPra Syarat : Statistika Dasar.

Hari/Waktu : Senin/08.00 WIB

Ruangan : 203

Dosen Pengampu : Wiwik Wiyanti, M.Sc.

Email : wiwik.wiyanti@stkipsurya.ac.id KOMPETENSI DASAR

1. Mahasiswa memahami dan menguasai materi tentang ruang sampel dan kejadian, prinsip perkalian (aturan dasar menghitung titik sampel), memahami dan menerapkan permutasi dan kombinasi suatu kejadian, peluang kejadian dan teorema Bayes, variable random dan distribusi peluang serta Ekspektasi dan Variansi.

DESKRIPSI MATA KULIAH

Perkuliahan ini akan membahas tentang materi ruang sampel dan kejadian, kemudian menghitung titik sampel, peluang dan teorema Bayes, mempelajari juga variable random dan distribusi peluang diskrit (seragam, binomial, poisson), distribusi kontinu (normal) serta Ekspektasi dan Variansi dan mengkaitkan teori yang dipelajari dengan contoh nyata (kehidupan sehari-hari).

KURIKULUM PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP – SURYA

Kode:

Revisi-1 Pengantar Probabilitas dan Teori Peluang | 2 TABEL

Pertemuan Kompetensi

Dasar Indikator

Metode

Perkuliahan Materi Perkuliahan Asesmen

1 1 1. Memahami ruang sampel dan kejadian 1. Diskusi

Kelompok 2. Tanya Jawab 3. Pemberian

Tugas.

Ruang Sampel, Kejadian, Operasi Kejadian. Memberi Motivasi, pembelajaran dengan studi kasus dan dikerjakan secara berkelompok maupun individu. 2 1 1. Memahami prinsip perkalian (aturan dasar

menghitung titik sampel)

sda Prinsip Perkalian (Aturan Dasar), Faktorial.

Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu.

3 1 1. Memahami dan menerapkan permutasi sda Permutasi. Studi kasus, diskusi

Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu.

4 1 1. Memahami dan menerapkan Kombinasi sda Kombinasi. Studi kasus, diskusi

Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu. 5-6 1 1. Memahami peluang suatu kejadian dan mempelajari

beberapa hukum peluang.

sda Konsep Probabilitas, Perumusan Probabilitas, Hukum Peluang..

Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu.

Revisi-1 Pengantar Probabilitas dan Teori Peluang | 3 Pertemuan Kompetensi

Dasar Indikator

Metode

Perkuliahan Materi Perkuliahan Asesmen 7 1 1. Memahami Peluang Bersyarat dan mampu

menerapkannya ke dalam contoh kasus yang diberikan.

sda Peluang Bersyarat Studi kasus, mengerjakan latihan, dan diskusi kelompok 8 1 Menerapkan Aturan Bayes ke dalam kasus soal yang

diberikan.

sda Aturan Bayes Studi kasus dan

mengerjakan latihan UJIAN TENGAH SEMESTER

9 1 1. Memahami distribusi probabilitas diskrit seragam dan binomial dan mampu menerapkannya ke dalam soal yang diberikan.

sda Distribusi probabilitas seragam, binomial Mengulang materi sebelumnya dan mengkaitkan dengan materi yang diajarkan, Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu. 10 1 1. Memahami distribusi probabilitas diskrit geometrik

dan hipergeometrik dan mampu menerapkannya ke dalam soal yang diberikan.

sda Distribusi Probabilitas Diskrit geometri dan hipergeometri

Studi kasus, diskusi kelompok serta penugasan baik secara individu maupun kelompok. 11 1 1. Memahami Distribusi Probabilitas Diskrit Poison sda Distribusi Probabilitas

Diskrit Poison

Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu. 12 1. Memahami Distribusi Geometrik dan Hipergeometrik sda Distribusi Probabilitas Studi kasus, diskusi

Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu.

Revisi-1 Pengantar Probabilitas dan Teori Peluang | 4 Pertemuan Kompetensi

Dasar Indikator

Metode

Perkuliahan Materi Perkuliahan Asesmen 13 1 1. Memahami Distribusi Peluang Kumulatif dan mampu

menerapkan ke dalam kasus yang diberikan.

sda Distribusi Peluang Kumulatif

Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu 14 1 1. Memahami definisi Ekspektasi dan variansi serta

mampu menerapkan ke dalam kasus yang diberikan.

sda Ekspektasi dan Variansi Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu. 15 1 1. Memahami distribusi peluang kontinu (Normal, luas

dibawah kurva normal.

sda Distribusi Normal Studi kasus, diskusi Kelompok serta penugasan baik secara kelompok maupun individu. 16 1 Memahami distribusi peluang kontinu (hampiran normal

terhadap binomial)

Sda Distribusi Normal Studi kasus dan mengerjakan latihan UJIAN AKHIR SEMESTER

REFERENSI

R1 = Walpole, R.E., (1992). Pengantar Statistika edisi ke-3. Jakarta: Gramedia.

R2 = Walpole, R. E., et al., (2002, 2007, 2012). Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Pearson:USA R3 = DeGroot, M., H., (1989), Probability and Statistics. Addision-Wesley Publishing Company, Inc. USA.

R4 = Sudaryono, (2012). Statistika Probabilitas [Teori dan Aplikasi]. ANDI R5 = Djarwanto dan Subagyo, P., (1998). Statistika Induktif. Yogyakarta-BPFE.

R6 = Agoestanto, A., (2008). Hand Out Pengantar Probabilitas. Semarang: Jurusan Matematika UNNeS. PEDOMAN PENILAIAN

Penilaian meliputi:

Revisi-1 Pengantar Probabilitas dan Teori Peluang | 5 2. Nilai Ujian Tengah Semester (UTS) = 30%

3. Nilai Ujian Akhir Semester (UAS) = 40% Nilai akhir dihitung dengan menggunakan rumus:

Nilai Akhir = (0,3 x Tugas) + (0,3 x UTS) + (0, 4 x UAS) Konversi Nilai

Mengetahui Menyetujui

Ketua Prodi Pendidikan Matematika

Johannes Hamonangan Siregar, Ph.D

Penanggung Jawab Mata Kuliah

Wiwik Wiyanti, M.Sc

Mahasiswa

(...)

Nilai Akhir (x) Nilai Keterangan

Angka Huruf 90 ≤ x ≤100 4,00 A Lulus 85≤ x < 90 3,67 A- Lulus 80 ≤ x < 85 3,33 B+ Lulus 75 ≤ x < 80 3,00 B Lulus 70 ≤ x < 75 2,67 B- Lulus 65 ≤ x < 70 2,33 C+ Lulus 60 ≤ x < 65 2,00 C Lulus 55 ≤ x < 60 1,67 C- Lulus Bersyarat 50 ≤ x < 55 1,00 D Tidak Lulus 0 ≤ x < 50 0,00 E Tidak Lulus

0

HANDOUT

PENGANTAR PROBABILITAS DAN TEORI PELUANG

MAT3223

Oleh

Wiwik Wiyanti, M.Sc NUP.

Prodi Pendidikan Matematika

Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP)

SURYA

1 Pertemuan 1

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

A. Ruang Sampel

Dalam setiap pertandingan Badminton, sebelum pertandingan dimulai, wasit biasanya mengundi dahulu dengan menggunakan misalkan saja mata uang (koin) untuk menentukan tim mana yang akan memainkan bola (Shutlecock) terlebih dahulu. Nah, dari pelemparan koin tersebut Anda apakah bisa menentukan secara pasti yang keluar pertama kali adalah Gambar? Atau pasti Angka? Tentu saja jawabannya adalah tidak. Kita tidak bisa memastikannya (secara pasti) menjawab Angka yang muncul dahulu atau Gambar yang muncul terlebih dahulu.

Demikian halnya apabila kita mengambil sebuah kartu remi dari kumpulan satu kartu remi. Maka kita tidak dapat memastikan secara pasti yang akan kita ambil adalah AS Merah.

Melempar koin, mengambil kartu dari seperangkat kartu remi, melempar dadu, mengambil kelereng dalam kotak adalah contoh dari kegiatan yang dinamakan PERCOBAAN atau EKSPERIMEN.

Sekarang kembali ke pelemparan koin, ketika anda melempar sebuah koin, kira-kira apa saja yang mungkin terjadi? Kemungkinan muncul Gambar atau Angka saja bukan?

Apabila sekarang kita kumpulkan hasil yang mungkin terjadi tersebut misalkan pada contoh pelemparan satu koin adalah {𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎, 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟} dan ini disebut dengan ruang sampel.

2 Nah, sekarang kalau anda melempar satu buah dadu, apa saja yang mungkin terjadi? Kemungkinan adalah muncul angka 1 ATAU 2 ATAU 3 ATAU 4 ATAU 5 ATAU 6 saja kan? Berarti ruang sampelnya adalah 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Definisi 1.1

Himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan disebut dengan Ruang Sampel, sedangkan anggota pada ruang sampel disebut dengan titik sampel.

Dalam modul ini,notasi dari ruang sampel ditulis dengan 𝑆.

Contoh 1.1.

Pada pelemparan 1 buah koin, didapati Ruang sampel 𝑆 = {𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎, 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟} Titik sampel = 𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎 dan 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟. Jadi banyaknya titik sampel ada 2.

Contoh 1.2

Pada pelemparan dua buah koin yang setimbang sebanyak sekali, Ruang sampel (𝑆) = {𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺}

Titik sampel = 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺 Banyaknya titik sampel ada 4 Keterangan:

𝐴𝐴 = koin petama muncul Angka, koin kedua muncul Angka 𝐴𝐺 = koin pertama muncul Angka, koin kedua muncul Gambar 𝐺𝐴 = koin pertama muncul Gambar, koin kedua muncul Angka

3 𝐺𝐺 = koin pertama muncul Gambar, koin kedua muncul Gambar

Latihan 1.1

Carilah Ruang Sampel, Titik Sampel dan banyaknya titik Sampel apabila, a. Dua buah dadu yang seimbang dilempar sebanyak sekali.

b. Tiga buah koin yang setimbang dilempar sebanyak sekali. c. Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar sekali.

B. Kejadian

Definisi 1.2

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Pertanyaannya adalah, Jika 𝑆 ruang sampel, apakah 𝑆 dan ∅ merupakan suatu kejadian? Kenapa?

Apakah ada hubungan antara himpunan dengan kejadian dapat disajikan dalam tabel 1.1 berikut:

Kejadian

Sederhana, yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Contoh :

{1}, {4}, {5} merupakan kejadian sederhana dari eksperimen melempar sebuah dadu.

Majemuk, yaitu kejadian yang mempunyai

lebih dari satu titik sampel. Contoh :

{1,2}, {2, 4, 6}, {1, 3,5} merupakan kejadian majemuk dari eksperimen melempar sebuah dadu yang mempunyai sisi 6.

4 Tabel 1.1

Himpunan Kejadian

Semesta 𝑆 Ruang Sampel 𝑆

Anggota himpunan Titik Sampel

Himpunan bagian A Kejadian A

Himpunan bagian yang hanya

memiliki satu Anggota Kejadian Sederhana Himpunan bagian yang hanya

memiliki lebih dari satu anggota Kejadian Majemuk

Latihan 1.2.

1. Jelaskan antara kejadian sederhana dengan kejadian majemuk, masing-masing beri contohnya!

2. Pada percobaan melemparkan dua buah dadu yang setimbang yang mempunyai sisi 6, tuliskan kejadian berikut dengan simbol notasi himpunan.

a. Kejadian munculnya mata dadu berjumlah lebih dari 5. b. Kejadian munculnya mata dadu terkecil dan terbesar. c. Kejadian mata dadu ganjil.

d. Kejadian munculnya mata dadu dengan jumlah genap. e. Kejadian munculnya mata dadu dengan jumlah ganjil. 3. Sekeping mata uang dan dadu dilempar sekali, tuliskan,

a. Ruang sampel.

b. Tuliskan tiap kejadian berikut dengan menggunakan notasi himpunan.

b.1. kejadian munculnya sisi gambar dan mata dadu sembarang. b.2. kejadian munculnya sembarang sisi mata uang dan mata dadu

5 C. Hubungan Antara Kejadian Satu dengan yang Lain.

Hubungan antara kejadian satu dengan yang lain, di dalam statistika biasanya bersifat:

1) Mutually Exclusive (Saling Asing).

Hubungan yang saling asing atau saling meniadakan, artinya apabila ada suatu peristiwa yang sedang terjadi, tidak mungkin kejadian lain juga terjadi.

Contoh 1.3.

Melempar sebuah uang logam yang simetris selama sekali, apakah mungkin muncul Angka dan Gambar secara bersama-sama? Tentu saja tidak.

2) Independent (Saling Bebas)

Kejadian-kejadian dikatakan berhubungan secara independent apabila terjadinya suatu peristiwa tidak dipengaruhi oleh peristiwa lainnya. Dengan kata lain, tidak saling mempengaruhi.

Contoh 1.4.

Melemparkan dua buah uang logam yang simetris kedua permukaannya, munculnya permukaan Angka pada uang logam yang pertama tidak dipengaruhi oleh uang logam kedua.

6 3) Conditional (Bersyarat)

Hubungan kejadian dikatakan bersyarat atau conditional apabila suatuperistiwa akan terjadi apabila didahului oleh peristiwa sebelumnya, atau dengan kata lain, apabila peristiwa pertama terjadi maka peristiwa kedua bisa terjadi. Apabila peristiwa pertama tidak terjadi maka peristiwa kedua tidak mungkin terjadi.

Contoh 1.5.

Senadainya lampu rumah kita rusak, maka apakah lampu akan menyala? Meski diberi aliran listrik sekalipun tidak akan menyala jika lampunya rusak.

4) Exhaustive (Terbatas)

Hubungan kejadian dikatakan terbatas (exhaustive) apabila banyaknya peristiwa yang bisa terjadi terbatas jumlahnya.

Contoh 1.6.

Melemparkan sebuah uang logam yang simetris permukaannya, maka peristiwa yang bisa terjadi hanya muncul permukaan Angka atau Gambar.

Misalkan melempar sebuah dadu, maka yang bisa kelihatan hanya permukaan yang mempunyai tanda 1 sampai dengan 6 saja.

7 D. Dua Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian dikatakan saling lepas atau asing apabila dua kejadian itu tidak mungkin untuk dipertemukan atau tidak mungkin terjadi secara bersama-sama.

Contoh 1.7.

Contohnya adalah ketika melempar sebuah koin, kejadian muncul Angka dan kejadian munculnya Gambar adalah dua kejadian yang saling lepas, alasannya adalah ketika muncul Angka, maka Gambar tidak mungkin muncul secara bersamaan.

Contoh 1.8.

Contoh lain adalah melempar sebuah dadu, kejadian muncul mata dadu 1 dan kejadian muncul mata dadu 5 adalah contoh kejadian saling asing atau lepas, alasannya adalah jika muncul mata dadu 1 maka mata dadu 5 tidak mungkin muncul secara bersamaan.

Dengan mengingat kembali paxda diagram venn, bahwa apabila dua himpunan 𝐴 dan 𝐵 dalam semesta 𝑆, kejadian saling lepas atau asing dapat diilustrasikan pada gambar 1.1 berikut,

Gambar 1.1. Diagram Venn dua kejadian saling lepas atau asing. 𝑆

8 Dalam notasi himpunan, dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 disebut saling lepas jika 𝐴 ⋂ 𝐵 = ∅.

Pada contoh 1.4. apabila 𝐴 adalah kejadian muncul mata dadu 1 dan 𝐵 adalah kejadian muncul mata dadu 5 maka 𝐴 = {1} dan 𝐵 = {5} sehingga 𝐴 ⋂ 𝐵 = { }, disimpulkan 𝐴 dan 𝐵 saling lepas.

E. Operasi Kejadian.

Telah diketahui bahwa kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan memanfaatkan operasi antar himpunan, suatu kejadian majemuk dapat pula dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain.

Operasi antara himpunan yang dimaksud adalah operasi gabungan (union), irisan (intersection) dan komplemen (complement).

Contoh 1.9.

Misalkan percobaan melemparkan dadu sekali. Ruang sampelnya adalah 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Misalkan 𝐴 adalah kejadian munculnya mata dadu genap, maka 𝐴 = {2, 4, 6} dan 𝐵 munculnya mata dadu prima, maka 𝐵 = {2, 3, 5}. Dua kejadian tersebut, dapat dibentuk ke dalam dua kejadian majemuk sebagai berikut,

a) Operasi Gabungan dari Dua Kejadian

Gabungan dua kejadian 𝐴 dan 𝐵, misalkan kita beri nama 𝑃, maka 𝑃 = 𝐴 ⋃ 𝐵 = {2, 3, 4, 5, 6}.

9 Jadi gabungan kejadian 𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴 ⋃ 𝐵 yaitu himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian 𝐴 atau kejadian 𝐵 atau kedua-duanya.

b) Operasi Irisan dari Dua Kejadian

Irisan dua kejadian 𝐴 dan 𝐵, misalkan kita beri nama 𝑄, maka 𝑄 = 𝐴 ⋂ 𝐵 = {2}.

Jadi kejadian 𝑄 adalah kejadian munculnya mata dadu genap dan prima.

Jadi irisan kejadian 𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴 ⋂ 𝐵 yaitu himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian 𝐴 dan 𝐵 secara bersama-sama pada kejadian 𝐴 maupun kejadian 𝐵.

c) Operasi Komplemen.

Komplemen kejadian 𝐴 dalam ruang sampel 𝑆 adalah kejadian semua unsur di 𝑆 yang bukan 𝐴.

Misalkan 𝐴 komplemen, maka 𝐴𝑐_{= {1, 3, 5}.}

d) Operasi Selisih

Selisih kejadian 𝐴 dan 𝐵 ditulis 𝐴 − 𝐵 adalah kejadian semua unsur kejadian di 𝐴 yang bukan unsur di 𝐵, dapat ditulis

10 e) Perkalian dari dua buah kejadian.

Misalkan kejadian 𝐴 dan 𝐵. Perkalian silang dari 𝐴 ke 𝐵 ditulis 𝐴 × 𝐵 adalah himpunan semua pasangan terurut (𝑎, 𝑏) dengan 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵 dapat ditulis

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵} Sifat-Sifat Operasi pada Kejadian.

1) Idempoten 𝐴 ⋂ 𝐴 = 𝐴 𝐴 ⋃ 𝐴 = 𝐴 2) Asosiatif (𝐴 ⋂ 𝐵) ⋂ 𝐶 = 𝐴 ⋂ (𝐵 ⋂ 𝐶) (𝐴 ⋃ 𝐵) ⋃ 𝐶 = 𝐴 ⋃ (𝐵 ⋃ 𝐶) 3) Komutatif 𝐴 ⋂ 𝐵 = 𝐵 ⋂ 𝐴 𝐴 ⋃ 𝐵 = 𝐵 ⋃ 𝐴 4) Distributif 𝐴 ⋃ (𝐵 ⋂ 𝐶) = (𝐴 ⋃ 𝐵) ⋂ (𝐴 ⋃ 𝐶) 𝐴 ⋂ (𝐵 ⋃ 𝐶) = (𝐴 ⋂ 𝐵) ⋃ (𝐴 ⋂ 𝐶) 5) Identitas 𝐴 ⋃ ∅ = 𝐴 𝐴 ⋃ 𝑆 = 𝑆

11 𝐴 ⋂ ∅ = ∅ 𝐴 ⋂ 𝑆 = 𝐴 6) Komplemen 𝐴 ⋃ 𝐴𝑐 = 𝑆 𝐴 ⋂ 𝐴𝑐 _{= ∅} (𝐴𝑐₎𝑐 _{= 𝐴} 𝑆𝑐_{= ∅} 7) De Morgan (𝐴 ⋃ 𝐵) 𝑐 = 𝐴𝑐⋂ 𝐵𝑐 (𝐴 ⋂ 𝐵) 𝑐 = 𝐴𝑐⋃ 𝐵𝑐 8) Absorpsi 𝐴 ⋂ (𝐴 ⋃ 𝐵) = 𝐴 𝐴 ⋃ (𝐴 ⋂ 𝐵) = 𝐵

Buktikan jika 𝐴 ⊂ 𝐵 dan 𝐵 ⊂ 𝐶 maka 𝐴 ⊂ 𝐶

Bukti: Diketahui 𝐴 ⊂ 𝐵 dan 𝐵 ⊂ 𝐶 Akan dibuktikan 𝐴 ⊂ 𝐶 Karena 𝐴 ⊂ 𝐵, jelas 𝐴 ⋂ 𝐵 = 𝐴 ……… (1) Karena 𝐵 ⊂ 𝐶, jelas 𝐵 ⋂ 𝐶 = 𝐵 ………… (2) Substitusil (2) ke (1) diperoleh

12 𝐴 ⋂ (𝐵 ⋂ 𝐶) = 𝐴

⇔ (𝐴 ⋂ 𝐵) ⋂ 𝐶 = 𝐴 … … … (𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑜𝑠𝑖𝑎𝑡𝑖𝑓)

⇔ 𝐴 ⋂ 𝐶 = 𝐴

Jadi 𝐴 ⊂ 𝐶 (terbukti)

Buktikan bahwa (𝐷 − 𝐸) dan (𝐷 ⋂ 𝐸) saling asing.

Bukti:

(𝐷 − 𝐸) ⋂ (𝐷 ⋂ 𝐸) = (𝐷 ⋂ 𝐸𝑐_{) ⋂ (𝐷 ⋂ 𝐸)}

= (𝐷 ⋂ 𝐷) ⋂ (𝐸𝑐_{⋂ 𝐸)}

= 𝐷 ⋂ ∅ = ∅

Jadi (𝐷 − 𝐸) dan (𝐷 ⋂ 𝐸) saling asing.

Latihan Soal 1.3

1) Terdapat dua buah dadu berwarna kuning dan merah yang setimbang yang dilempar secara bersamaan, dari pelemparan tersebut hasilnya kemudian dicatat:

a) Tuliskan ruang sampel dari percobaan tersebut.

b) Tuliskan kejadian A yang muncul jumlah mata dadu genap.

c) Tuliskan kejadian B yang muncul mata dadu 6 pada kedua sisi dadu yang dilempar.

13 e) Buatlah diagram venn yang berhubungan dengan kejadian A, B, C dan

S.

f) Tuliskan himpunan hasil dari 𝐴 ⋂ 𝐵 , 𝐴 ⋂ 𝐶 , 𝐵 ⋂ 𝐶 , 𝐴 ⋂ 𝐵 ⋂ 𝐶.

2) Terdapat sebuah dadu dan sebuah mata uang logam yang setimbang dilemparkan bersama-sama. Tentukan!

a) Ruang sampel dari percobaan di atas.

b) Tuliskan kejadian A muncul mata dadu genap.

c) Tuliskan kejadian B muncul Gambar pada sisi mata uang d) Tuliskan kejadian C muncul mata dadu kurang dari 5.

e) Tuliskan kejadian D muncul mata dadu dengan ketentuan faktor dari 6.

f) Tuliskan himpunan hasil dari 𝐴 ⋂ 𝐵 , 𝐴 ⋂ 𝐶 , 𝐴 ⋂ 𝐷 , 𝐵 ⋂ 𝐶 , 𝐵 ⋂ 𝐷, 𝐴 ⋂ 𝐵 ⋂ 𝐶 ⋂ 𝐷.

3) Terdapat dua orang pria dan dua orang wanita yang dipilih secara acak yang akan dipilih untuk menempati jabatan sebagai 1 ketua, 1 sekertaris dan 1 bendahara. Tentukan:

a) Ruang sampel dari pemilihan tersebut.

b) Tuliskan kejadian A bahwa yang menduduki jabatan sebagai ketua adalah pria.

c) Tuliskan kejadian B bahwa yang menduduki jabatan sebagai ketua adalah pria dan sekertaris adalah wanita.

d) Tuliskan kejadian C bahwa yang terpilih sebagai bendahara adalah wanita.

e) Tulislah kejadian D bahwa yang terpilih sebagai ketua adalah wanita, sekertaris adalah pria dan bendahara adalah wanita.

14 f) Tulislah himpunan 𝐴 ⋂ 𝐵 , 𝐴 ⋂ 𝐶 , 𝐴 ⋂ 𝐷 , 𝐵 ⋂ 𝐶 , 𝐵 ⋂ 𝐷 , 𝐶 ⋂ 𝐷, 𝐴 ⋂ 𝐵 ⋂ 𝐶,

𝐴 ⋂ 𝐵 ⋂ 𝐷 , 𝐵 ⋂ 𝐶 ⋂ 𝐷 , 𝐴 ⋂ 𝐵 ⋂ 𝐶 ⋂ 𝐷

4) Tiga uang logam dilempar sekali, tentuka ruang sampel dari percobaan tersebut.

5) Diketahui ruang sampel 𝑆 = {−6, −5, −4, −3, −2, −1,0, 1,2,3,4,5,6} , 𝐴 = {−6, −4, −2} , 𝐵 = {0}, 𝐶 = {2, 4, 6}. Tentukan: a) 𝐴𝑐 b) 𝐵𝑐 c) 𝐶𝑐 d) 𝐴 ⋂ 𝐴𝑐 e) 𝐴 ⋂ 𝐵𝑐 f) 𝐵 ⋂ 𝐴𝑐 g) 𝐴 ⋂ 𝐶𝑐 h) 𝐵 ⋂ 𝐶𝑐 i) (𝐴 ⋃ 𝐵) ⋂(𝐴 ⋃ 𝐵𝑐₎ j) (𝐵 ⋂ 𝐴𝑐_{) ⋃(𝐵 ⋂ 𝐶}𝑐₎

15

Pertemuan 2

MENGHITUNG TITIK SAMPEL

A.

Prinsip Perkalian

Contoh 2.1

Apabila dalam suatu pesta disediakan 3 jenis makanan misalkan saja (Bakso,

Soto dan Gulai Kambing) dan kemudian 2 jenis minuman misalkan (Jus Jeruk dan

Jus Jambu). Apabila setiap pengunjung pesta hanya diperbolehkan memilih 1 jenis

makanan dan 1 jenis minuman, maka semua pasangan makanan dan minuman yang

mungkin bisa dipasangkan adalah

Dari gambar 1.1. diagram pohon pemilihan makanan dan minuman

Dari gambar 1.1 kelihatan bahwa pasangan makanan-minuman yang dapat

dipilih ada 6 cara, yaitu:

1) Bakso - Jus Jeruk

Bakso Soto Gulai Kambing Jus Jeruk Jus Jambu Jus Jeruk Jus Jambu Jus Jeruk Jus Jambu

16

2) Bakso – Jus Jambu

3) Soto – Jus Jeruk

4) Soto – Jus Jambu

5) Gulai Kambing – Jus Jeruk

6) Gulai Kambing – Jus Jambu

Dari gambar jelas ada 3 makanan yang dapat dipilih pengunjung dan 2

minuman yang dapat dipilih pengunjung, jadi banyaknya makanan dan minuman

yang dapat dipilih pengunjung ada 3 × 2 = 6 cara.

Contoh 2.2

Misalkan dalam perebutan jabatan sebagai ketua kelas terdapat 2 calon yaitu

Bambang dan Namunek, sekertaris terdapat dua calon Atera dan Tommy, dan

bendahara terdapat dua calon yaitu Waingges dan Kilera. Berapa banyak

kemungkinan formasi yang bisa dibentuk?

Jawab:

No

Ketua

Sekertaris

Bendahara

1

Bambang

Atera

Waingges

2

Bambang

Atera

Kilera

3

Bambang

Tommy

Waingges

4

Bambang

Tommy

Kilera

5

Namunek

Atera

Waingges

6

Namunek

Atera

Kilera

7

Namunek

Tommy

Waingges

8

Namunek

Tommy

Kilera

Jadi dari tabel diperoleh banyaknya cara untuk mengisi posisi ada 2 × 2 × 2 = 8

cara.

Dari contoh 1.1 dan contoh 1.2 dapat disimpulkan adanya suatu aturan yang disebut

17

Definisi 2.1

Apabila suatu kejadian pertama terjadi dengan

𝑛

₁

cara yang berbeda dan

kejadian kedua terjadi dengan 𝑛

2

cara yang berbeda, kemudian kejadian ketiga

terjadi dengan 𝑛

₃

cara yang berbeda dan seterusnya, maka banyaknya kejadian

yang mungkin terjadi secara berturutan adalah sebanyak 𝑛

₁

× 𝑛

₂

× 𝑛

₃

× …

cara.

Latihan 2.1

1) Suatu plat kendaraan bermotor Jakarta B diikuti 5 angka dengan angka

pertama tidak boleh nol dan diakhiri dengan 2 huruf dengan huruf

terakhirnya adalah M. Mobil keberapa yang plat nomornya tidak bisa

dengan formasi tersebut?

2) Berapa banyak cara yang bisa dibuat dari 3 angka dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7 di mana,

a. Tidak boleh ada angka berulang.

b. Boleh ada angka berulang.

3) Berapa banyak cara yang bisa dibuat untuk mengisi dari

angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dengan ketentuan,

a. Tidak boleh ada angka berulang.

b. Boleh ada angka yang berulang.

4) Suatu plat kendaraan bermotor wilayah Jakarta disusun sesuai dengan

ketentuan,

*) Huruf abjad A-Z

**) Angka 0-9 ***) Huruf Abjad A-Z

18

Berapa banyaknya cara untuk menyusun dengan ketentuan di atas apabila,

a) **) pada kotak pertama tidak boleh nol dan boleh berulang.

***) huruf abjad boleh berulang

b) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, kotak ke-empat adalah angka 1

dan angka dalam kotak tidak boleh berulang.

***) huruf abjad boleh berulang.

c) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, dan angka dalam kotak tidak

boleh berulang.

***) huruf abjad boleh berulang.

d) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, angka kedua harus 3 dan boleh

berulang.

***) huruf abjad tidak boleh berulang.

e) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, angka kedua harus 3 dan boleh

berulang.

***) huruf abjad boleh berulang.

5) Suatu plat kendaraan bermotor wilayah solo akan disusun sesuai ketentuan

sebagai berikut:

Berapa banyaknya cara untuk menyusun dengan ketentuan di atas apabila,

a) **) pada kotak pertama tidak boleh nol

***) huruf abjad boleh berulang

*) Huruf abjad A-Z

**) Angka 0-9 ***) Huruf Abjad A-Z

19

b) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, kotak ke-empat adalah angka 1

dan angka dalam kotak tidak boleh berulang.

***) huruf abjad boleh berulang.

c) **) pada kotak pertama tidak boleh nol, dan angka dalam kotak tidak

boleh berulang.

***) huruf abjad boleh berulang.

B.

Notasi Faktorial

Definisi 2.2.

𝑛! (dibaca 𝑛 faktorial) adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1

sampai dengan 𝑛.

Jadi 𝑛! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × (𝑛 − 2) × (𝑛 − 1) × 𝑛; dan 0! = 1

Contoh 2.3.

Nilai 4! adalah 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Nilai dari 6! adalah 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Contoh 2.4

Hitunglah

5! 2!

Penyelesaian:

5 × 4 × 3 × 2 × 1

2 × 1

=

120

2

= 60

Contoh 2.4

Tulislah dalam bentuk factorial.

20

Penyelesaian:

3 × 2 × 1

2 × 1

=

3!

2!

b) 23

Penyelesaian:

23 × 22!

22!

=

23!

22!

Contoh 2.5

Sederhanakan

(𝑛+1)! (𝑛−1)!

Penyelesaian:

(𝑛 + 1)!

(𝑛 − 1)!

=

(𝑛 + 1) × (𝑛 + 1 − 1) × (𝑛 + 1 − 1 − 1)!

(𝑛 − 1)!

=

(𝑛 + 1) × 𝑛 × (𝑛 − 1)!

(𝑛 − 1)!

= (𝑛 + 1) × 𝑛

= 𝑛

2

+ 𝑛

Latihan 2.2.

1) Buktikan 0! = 1

2) Hitunglah!

a)

7!

b)

9!

c)

15!

d)

12! 5!

e)

19! 15!

21

f)

101!

99!

3) Tulislah dalam notasi faktorial!

a)

23

b)

60

c)

20 × 21

d)

1

22 Pertemuan ke-3

PERMUTASI

A. PERMUTASI

Misalkan saja Jemmy ingin membagikan uang kepada 3 temannya yaitu Mince (M), Yamowi (Y) dan Delphi (D). Agar tidak berebut maka ketiga temannya harus antri satu per satu, berapa banyak antrian yang dapat terjadi?

Banyaknya antrian adalah

1) MYD (Mince Yamowi Delphi) 2) MDY (Mince Delphi Yamowi) 3) YMD (Yamowi Mince Delphi) 4) YDM (Yamowi Delphi Mince) 5) DMY (Delphi Mince Yamowi) 6) DYM (Delphi Yamowi Mince)

Ternyata ada 6 susunan antrian yang mungkin terjadi. Perhatikan bahwa setiap susunan urutannya diperhatikan semisal urutan pada MYD tidak sama dengan MDY. Nah, susunan seperti ini disebut Permutasi.

Secara umum, Permutasi adalah susunan yang berurutan dari semua elemen suatu himpunan.

23 Bagaimana jika banyaknya elemen pada himpunan adalah 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen?

Penulisan permutasi dari 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen adalah 𝑃(𝑛, 𝑟) atau 𝑛𝑃𝑟 atau 𝑃𝑟𝑛 atau 𝑃𝑛,𝑟 dengan 𝑟 ≤ 𝑛.

Banyaknya permutasi 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen adalah

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … (𝑛 − 𝑟 + 1), 𝑟 ≤ 𝑛

Dengan notasi faktorial banyaknya permutasi dari 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen dapat ditulis

𝑛! (𝑛 − 1)!

Bukti:

Dengan menggunakan aturan perkalian,

𝑃𝑟𝑛= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … (𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 + 1) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … (𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 + 1)(𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 − 1) … 3 ∙ 2 ∙ 1 (𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 − 1) … 3 ∙ 2 ∙ 1 =𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … (𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 + 1)(𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 − 1) … 3 ∙ 2 ∙ 1 (𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 − 1) … 3 ∙ 2 ∙ 1 = 𝑛! (𝑛 − 𝑟)! (𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖)

24 Contoh 3.1.

Tentukan permutasi semua huruf pada SAPI

Penyelesaian: SAPI SAIP SPAI SPIA SIAP SIPA ASPI ASIP APSI APIS AISP AIPS PSAI PSIA PASI PAIS PISA PIAS ISAP ISPA IASP IAPS IPSA IPAS Jadi banyaknya permutasi ada 24 buah.

Atau dengan rumus 𝑃4 4 = 4!

0!= 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 buah.

Contoh 3.2

Tentukan banyaknya cara kata yang dapat disusun dari kata “PINTAR” (tidak harus punya arti.

Penyelesaian: 𝑃6 6 = 6! (6−6)!= 6! 0!= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 cara

Jadi banyaknya cara kata yang dapat disusun dari kata “PINTAR” ada 720 buah.

25 Contoh 3.3.

Dalam suatu ruangan disediakan 5 buah kursi yang masih kosong yang boleh diduduki para peserta pemilihan kepala desa, jika ada 3 calon kepala desa yang akan menduduki kursi tersebut, ada berapa cara calon kepala desa tersebut menduduki kursi-kursi tersebut?

Penyelesaian:

Kursi kosong ada 5

Banyak calon ada 3

Sehingga 𝑃35= 5! (5−3)!=

5∙4∙3∙2!

2! = 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 cara

Jadi ada 60 cara menempati tempat duduk yang kosong.

Contoh 3.4

Tentukan berapa banyak cara yang dapat disusun jika 7 lukisan yang berbeda digantung dalam sebuah baris sehingga lukisan dengan spesifikasi tertentu berada di tengah-tengah barisan?

26 Penyelesaian:

Karena 1 lukisan berada di tengah-tengah, berarti sisa 6 lukisan lagi yang dapat diatur dalam 6 posisi yang masih kosong, sehingga

𝑃(6,6)= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 cara

Jadi banyaknya cara yang dapat disusun dari 7 lukisan dengan 1 lukisan dengan spesifikasi tertentu terletak ditengah adalah 720 cara.

Contoh 3.5.

Dari contoh 3.4. berapa banyak cara yang dapat disusun apabila lukisan dengan spesifikasi tertentu diletakkan pada kedua ujungnya?

Penyelesaian:

Karena lukisan dengan spesifikasi tertentu diletakkan pada setiap pojok tertentu, maka tinggal menyusun 4 lukisan lainnya, yaitu dengan 𝑃4 4= 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 cara.

Latihan 3.1

1) Berapa banyaknya urutan apabila 9 orang duduk berjajar pada bangku panjang?

27 2) Berapa banyaknya urutan apabila 9 orang duduk berjajar pada bangku

panjang, apabila dua orang tidak mau dipisahkan?

3) Berapa banyaknya urutan duduk apabila terdapat 9 orang, namun kursi yang tersedia hanya 5 kursi?

4) Coba hitunglah banyaknya kata yang dapat disusun dari kata di bawah ini (tidak harus memiliki arti/makna)!

a) MATEMATIKA b) STKIP

c) SURYA

5) Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata “PROBABILITAS” ?

6) Dari soal no 5) tentukan ada berapa kata yang diawali dengan huruf vocal? 7) Dari soal no 5) tentukan ada berapa kata yang diawali dan diakhiri dengan

huruf vocal?

8) Dari soal no 5) tentukan ada berapa kata yang diawali dengan huruf konsonan?

9) Dari soal no 5) tentukan ada berapa kata yang diawali dan diakhiri dengan huruf konsonan?

10) Dari soal no 5) ada berapa kata yang diawali dengan huruf S?

11) Dari soal no 5) ada berapa kata yang dapat diawali dengan huruf S dan diakhiri dengan huruf O?

28 12) Dalam suatu kelas hitung berapa banyak cara 5 orang dapat duduk jika

dalam ruangan terdapat, a) 7 kursi kosong. b) 10 kursi kosong.

13) Ada berapa banyak bilangan yang dibentuk dari angka 1000 sampai dengan 2000 dengan menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4 apabila

a) Tidak ada pengulangan angka.

b) Boleh menggunakan angka sama (pengulangan diperbolehkan)

14) Jika pengulangan tidak diperbolehkan, berapa banyak angka genap dari 1000 sampai dengan 1500 yang dapat dibentuk dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5.

15) Tentukan 𝑛 apabila, a) 𝑃(4,2)= 𝑛

b) 𝑃(𝑛,3)= 60 c) 𝑃(6,𝑛)= 30

B. PERMUTASI DENGAN BEBERAPA ELEMEN YANG SAMA Contoh 3.5.

Tentukan semua permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata:

a. SAPI b. SAPA

29 c. ASAA

Penyelesaian:

a. SAPI ASPI PSAI ISAP

SAIP ASIP PSIA ISPA

SPAI APSI PASI IASP

SPIA APIS PAIS IAPS

SIAP AISP PISA IPSA

SIPA AIPS PIAS IPAS

Jadi ada 24 cara.

b. Pada kata SAPA terdiri dari 2 buah A, untuk membedakannya maka diberi 𝐴1 dan 𝐴2 sehingga permutasi yang berbeda tentu saja ada 24 buah. Namun apabila huruf A tidak dibedakan, maka permutasi dari kata SAPA ada 12 buah. Coba tuliskan apa saja?

c. Pada kata ASAA, ada 3 buah huruf A, untuk membedakannya maka diberi 𝐴1, 𝐴2 dan 𝐴3. Sehingga permutasi yang berbeda tentu saja ada 24 buah. Namun apabila huruf A tidak dibedakan, maka permutasi dari kata ASAA ada 4 buah.

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa,

Definisi 3.1

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n elemen bila n1 berjenis pertama, n2 berjenis kedua, dan seterusnya sampai nk jenis ke k adalah 𝑃(𝑛,(𝑛₁,𝑛2,…,𝑛𝑘))=

𝑛!

30 Contoh 3.6

Ada berapa cara untuk menyusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “MATEMATIKA”? Penyelesaian: M = 2 A = 3 T = 2 E = 1 I = 1 K = 1 MATEMATIKA = 7 Jadi 𝑃(9,(2,3,2,1,1,1))= 9! 2!3!2!1!1!1!= 9∙8∙7∙6∙5∙4∙3! 2∙1∙3!∙2∙1∙1∙1∙1= 15120 cara Latihan 3.2.

1. Ada berapa banyak cara menysusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “PENDIDIKAN”

2. Ada berapa banyak cara menyusun kata (tidak harus punya arti) dari kata “STKIPSURYA”?

31 C. PERMUTASI MELINGKAR

Contoh 3.7.

Misalkan dalam suatu rapat yang dihadiri oleh 4 orang yang duduknya melingkar sepanjang meja bundar, ilustrasi gambar 3.1. Maka, banyaknya susunan cara duduk peserta rapat berbeda adalah 6 cara, perhatikan gambar 3.1.

Penyelesaian:

32 A B C D A B D C A C B D A C D B A D B C A D C B B A C D B A D C B C A D B C D A B D A C B D C A C A B D C A D B C B A D C B D A C D A B C D B A D A B C D A C B D B A C D B C A D C A B D C B A Gambar 3.1. ilustrasi 4 orang duduk mengelilingi meja bundar

37 Perhatikan bahwa gambar 3.1. terdiri dari 6 warna, setiap warna mengilustrasikan susunan atau urutan duduk yang sama, karena ada 6 warna berbeda, berarti banyaknya susunan duduk berbeda dari 4 orang yang mengelilingi meja bundar adalah 6 cara.

Banyaknya permutasi melingkar 𝒏 unsur berlainan adalah (𝒏 − 𝟏)!

Pada contoh 3.7. diperoleh banyaknya susunan duduk berbeda dari 4 orang yang mengelilingi meja bundar adalah (4 − 1)! = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 cara.

Contoh 3.7.

Tiga orang mahasiswa duduk mengelilingi meja bundar, berapa susunan cara yang berbeda ketiganya duduk mengelilingi meja tersebut?

Penyelesaian:

𝑛 = 3

Banyaknya susunan berbeda ketiga mahasiswa duduk mengelilingi meja bundar adalah (3 − 1)! = 2! = 2.

38 Latihan 3.3.

1. Apabila terdapat 4 orang berkebangsaan Indonesia, 3 orang berkebangsaan German dan 6 orang berkebangsaan Japan. Maka berapa banyaknya urutan duduk apabila duduknya bebas tidak berdasarkan kewarganegaraan?

2. Dari no 1 berapa banyaknya urutan duduk apabila duduknya berdasarkan urutan kewarganegaraan?

3. Dengan berapa cara menanam 3 pohon jati, 4 pohon kurmis dan 2 pohon mahoni sepanjang pinggir jalan raya secara berjajar apabila:

a. Pohon yang sejenis tidak dibedakan? b. Pohon sejenis dibedakan?

4. Berapa banyak susunan kata yang dapat dibentuk (tidak harus punya arti) dari kata “STATISTIKA” ?

5. Berapa banyak susunan penataan buku secara berjajar apabila terdapat 3 buku NOVEL, 8 buku KOMIK, 2 buku KULINER dan 10 buku BIOGRAFI dengan ketentuan buku yang sejenis harus bersama?

6. Berapa banyak cara untuk menanam 8 bunga yang disusun dalam pekarangan yang bentuknya melingkar?

7. Berapa banyak susunan cara yang berbeda dari 5 orang duduk melingkar mengelilingi meja bundar? Dan tunjukkan susunannya apa saja!

39 Pertemuan 4

KOMBINASI

Sebelum mempelajari kombinasi, kita akan mengingat perkuliahan pada pertemuan 3, yaitu tentang permutasi. Dalam permutasi, perhatikan bahwa susunan atau urutan dari setiap kejadian diperhatikan, semisal dua orang beri nama A dan B duduk berjajar pada kursi, kursi pertama diduduki A dan kursi kedua diduduki B kita tulis AB, tidak sama dengan BA di mana artinya kursi pertama diduduki B dan kursi kedua diduduki A. Sekarang perhatikan contoh 4.1.

Contoh 4.1.

Misalkan dalam susunan kepanitian, Dari 5 orang mahasiswa Pendidikan Matematika (Toni, Waingges, Indah, Yully dan Alle) akan dipilih 3 orang yang akan mewakili program studi Matematika survei lokasi lomba karya ilmiah di Jakarta. Maka berapa banyak cara yang dapat disusun dari ke-5 mahasiswa tersebut?

Penyelesaian:

Susunan semua yang mungkin adalah, 1) Toni-Waingges-Indah (TWI) 2) Toni-Waingges-Yully (TWY) 3) Toni-Waingges-Alle (TWA) 4) Toni-Indah-Yully (TIY) 5) Toni-Indah-Alle (TIA) 6) Toni-Yully-Alle (TYA) 7) Waingges-Indah-Yully (WIY) 8) Waingges-Indah-Alle (WIA) 9) Waingges-Yully-Alle (WAY) 10) Indah-Yully-Alle (IYA) Jadi ada 10 cara.

40 Untuk membedakan hasil antara kombinasi dan permutasi, perhatikan tabel 4.1.

Tabel 4.1. Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Kombinasi Permutasi

TWI TWI TIW WIT WTI ITW IWT

TWY TWY TYW WYT WTY YTW YWT

TWA TWA TAW WAT WTA ATW AWT

TIY TIY TYI ITY IYT YTI YIT

TIA TIA TAI ITA IAT ATI AIT

TYA TYA TAY YTA YAT ATY AYT

WIY WIY WYI IWY IYW YWI YIW

WIA WIA WAI IWA IAW AWI AIW

WYA WAY WAY AWY AYW YWA YAW

IYA IYA IAY YIA YAI AIY AYI

Dari tabel 4.1. terlihat bahwa 6 buah permutasi menghasilkan 1 buah kombinasi, sehingga banyaknya kombinasi sebanyak 60

6 = 10 buah.

Secara umum, kombinasi dapat ditulis sebagai,

Banyaknya kombinasi dari 𝑟 elemen yang diambil dari 𝑛 elemen ditulis 𝐶_(𝑛,𝑟) atau 𝐶𝑟𝑛 atau 𝑛𝐶𝑟 atau (

𝑛

𝑟) adalah 𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)! dengan 𝑟 ≤ 𝑛.

Juga dapat ditulis

(𝑛_𝑟) =𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑟 + 1)

𝑟! =

𝑛𝑃𝑟 𝑟!

Contoh 4.2.

Dari 10 orang mahasiswa akan dibuat kelompok belajar dengan ketentuan setiap kelompok berisi 5 orang, berapa banyak susunan yang dapat dibentuk untuk membentuk kelompok tersebut?

41 Penyelesaian:

Karena susunannya tidak diperhatikan, maka kita akan menggunakan kombinasi.

𝐶510=

10! 5! (10 − 5)!=

10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 252

Jadi banyak susunan yang dapat dibentuk dari 10 orang mahasiswa untuk dibuat kelompok belajar dengan ketentuan setiap kelompok berisi 5 orang adalah 252 cara.

Contoh 4.3.

Dalam pertandingan badminton, akan dipilih 2 orang dari 5 orang calon yang akan mewakili kejuaraan untuk tingkat Universitas. Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari mahasiswa-mahasiswa tersebut untuk mewakili kejuaraan untuk tingkat universitas tersebut?

Penyelesaian:

Karena urutan pemilihan orang tidak diperhatikan, maka dengan menggunakan kombinasi diperoleh, 𝐶25 = 5! 2! (5 − 3)!= 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2! 2 ∙ 1 ∙ 2! = 30

Jadi banyaknya cara yang dapat disusun adalah 30 cara.

Contoh 4.4.

Apabila dari {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} diambil 3 elemen, banyaknya permutasi dan kombinasi yang diperoleh adalah:

42 Tabel 4.2. Banyaknya permutasi dan kombinasi yang diambil dari 3 elemen adalah

Kombinasi Permutasi

Abc abc acb bac bca cab cba Abd abd adb bad bda dab dba Acd acd adc cad cda dac dca Bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 4 𝟒 × 𝟔 = 𝟐𝟒 Banyaknya: Permutasi 𝑃34 = 4! (4−3)!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Kombinasi 𝐶₃4₌ 4! 3!(4−3)!= 4! 3!1!= 4 Contoh 4.5.

Jika terdapat 3 wanita dan 4 pria yang mendaftar, tentukan susunan panitia yang akan dipilih yang terdiri dari 2 wanita dan 2 pria?

Penyelesaian:

Susunan panitia yang terdiri dari 2 wanita adalah

𝐶(3,2)= 3! 2! (3 − 2)!

=4 ∙ 3 ∙ 2! 2! ∙ 1 = 12

Susunan panitia yang terdiri dari 2 pria adalah,

𝐶(4,2)= 4! 2! (4 − 2)!

=4 ∙ 3 ∙ 2! 2! ∙ 2 ∙ 1

43 = 6

Berdasarkan aturan perkalian, maka banyaknya cara untuk menyusun kepanitian yang terdiri dari 2 wanita dan 2 pria adalah 12 ∙ 6 = 72 cara.

Latihan 4.1.

1) Ada 4 orang bernama Adi, Bayu, Cintya, dan Denisa. Apabila dipilih 2 orang secara acak, ada berapa banyak pilihan yang akan diperoleh?

2) Banyaknya susunan kepanitian yang dapat dibentuk dari 3 wanita dan 4 pria dari 8 calon yang merupakan wanita dan 6 calon yang merupakan pria adalah? 3) From 8 consonants and 4 vowels, how many words can be formed consisting of 4 different consonant and 3 different vowels? The words need not have meaning.

4) Apabila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan!

5) Dalam suatu sekolah yang mempunyai 5 orang Guru Matematika, 4 orang Guru Fisika, 2 orang Guru Kimia dan 3 orang Guru TIK akan dipilih 2 orang Guru Matematika, 2 orang Guru Fisika, 1 orang Guru Kimia dan 1 orang Guru TIK untuk membimbing siswanya belajar soal-soal Olimpiade. Maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk apabila pemilihan orang bebas adalah?

6) Banyaknya susunan kombinasi tim bola voli putri apabila jumlah calon pemain sebanyak 10 orang adalah?

7) Banyaknya susunan cara yang dapat dibentuk untuk membentuk tim sepak bola putra apabila banyak calon pemain yang mendaftar sebanyak 21 orang adalah?

44 8) Apabila dalam suatu tes ujian tertulis, peserta diharuskan mengerjakan 3 soal

dari 5 soal yang diberikan, maka berapa banyaknya kombinasi soal yang dapat ia jawab dengan ketentuan,

a) Soal bebas dipilih?

45 Pertemuan ke-5 dan 6

PELUANG (PROBABILITAS) KEJADIAN A. PROBABILITAS

Perhatikan contoh 5.1. berikut.

Contoh 5.1.

Misalkan anda diminta untuk menebak malam ini hujan atau tidak, atau teman anda bertanya kepada anda prediksi hasil pertandingan liga inggris antara Manchester United dengan Manchester City? Apakah Jawaban Anda? Pada pertanyaan pertama, misalkan anda menjawab Hujan, apakah pasti akan Hujan? Pertanyaan kedua misalkan anda jawab Manchester United, apakah pasti yang menang Manchester United? Nah pasti belum tentu bukan?

Dari contoh 5.1. di atas adalah contoh Peluang Kejadian, yang akan kita pelajari pada bab ini.

Contoh 5.2.

Contoh lagi misalkan anda melempar sebuah uang logam di mana kedua sisinya setimbang, apakah anda bisa memastikan pada lemparan pertama muncul pasti Angka (A)? tentu saja tidak kan? Masih banyak contoh kejadian-kejadian lain yang masih bisa dijadikan contoh. Coba anda cari minimal 3 buah kejadian yang berhubungan dengan peluang!

Perlu anda ketahui ada beberapa istilah yang bisa dipakai untuk menyebut peluang, antara lain probabilitas, kemungkinan, kebolehjadian. Simbol probabilitas

46 atau peluang dalam handout ini adalah 𝑃 dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1.

𝑃 = 0; berarti suatu kejadian tidak mungkin terjadi, atau mustahil. Sebagai contoh adalah matahari bersinar di malam hari, maka karena hal tersebut tidak mungkin peluang kejadian matahari bersinar di malam hari adalah 0.

𝑃 = 1; berarti suatu kejadian yang pasti terjadi. Sebagai contoh adalah setiap manusia pasti akan mati, hal ini pasti terjadi karena tidak ada manusia yang tidak akan mati, sehingga peluang kejadian setiap manusia pasti akan mati adalah 1.

Sebagian kejadian yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari mempunyai peluang antara 0 sampai dengan 1. Pertanyaannya adalah berarti tidak tepat 0 atau 1 dong? Ya, jarang sekali kejadian atau peristiwa sehari-hari yang kita jumpai yang mempunyai peluang 0 atau 1. Bagaimana dengan yang peluangnya mendekati 0 ? Hal ini berarti kejadian terswbut mempunyai kemungkinan kecil terjadi atau cenderung untuk tidak terjadi. Sebaliknya apabila suatu kejadian mempunyai peluang mendekati 1 berarti kejadian tersebut mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi.

Dalam (Djarwanto dan Subagyo,1998 hal 8-9) Ada tiga macam pendekatan mengenai pengertian probabilitas, yaitu:

1) Pengertian klasik

Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa di antara keseluruhan peristiwa diantara keseluruhan peristiwa yang bisa terjadi.

47 Probabilitas suatu kejadian ditentukan berdasarkan analisa terhadap obyek-obyek yang bersangkutan. Pendekatan probabilitas klasik biasa juga disebut dengan pendekatan secara teori.

Definisi 5.1.

Jika suatu percobaan menghasilkan 𝑛 hasil yang tidak mungkin terjadi secara bersama-sama dan masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu kejadian katakanlah kejadian 𝐴 ditulis

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴) 𝑛

di mana 𝑛(𝐴) adalah banyaknya hasil pada kejadian 𝐴.

Contoh 5.3.

Sebagai contoh adalah ketika sebuah mata uang logam dilemparkan sekali (dengan kedua permukaan setimbang(simetris)), sewaktu-waktu jatuh maka kedua permukaannya mempunyai kemungkinan yang sama untuk tampak di atas karena simetris. Dalam hal ini baik permukaan Angka (A) maupun Gambar (G) mempunyai kemungkinan yang sama yaitu 1

2 atau 0,5 untuk kelihatan dari atas, sehingga dalam hal ini 𝑃(𝐴) = 0,5 dan 𝑃(𝐺) = 0,5. Keterangan:

𝑃(𝐴) = peluang kejadian kelihatan dari atas adalah Angka. 𝑃(𝐺) = peluang kejadian kelihatan dari atas adalah Gambar

2) Pengertian berdasarkan pendekatan empiris.

Probailitas pada pendekatan ini ditentukan berdasarkan pengamatan yang dilakukan (observasi). Artinya adalah berdasarkan pengalaman atau peristiwa yang telah terjadi. Pendekatan empiris juga bisa disebut sebagai pendekatan dengan frekuensi relatif. Dalam pendekatan empiris, probabilitas suatu kejadian, katakanlah kejadian 𝐴 sama dengan nilai limit

48 dari frekuensi relatif (𝑓) kejadian 𝐴 tersebut. Dengan demikian, apabila 𝐴 terjadi sebanyak 𝑛 kali selama pengamatan berlangsung, di mana 𝑛 mendekati tak hingga (𝑛 → ∞), probabilitas kejadian 𝐴 dirumuskan sebagai

𝑃(𝐴) = lim 𝑛→∞

𝑓 𝑛 Contoh 5.4.

Seandainya saja Anda melemparkan bola dari jarak 3 meter untuk mengenai suatu obyek tertentu sebanyak 100 kali dan ternyata mengenai benda tersebut sebanyak 70 kali, maka berdasarkan pendekatan empiris probabilitasnya dientukan dengan 70

100= 0,70. 3) Pengertian berdasarkan pendekatan subyektif.

Menurut pendekatan ini, probabilitas ditentukan berdasarkan perasaan atau perkiraan dari si Peneliti. Jadi cara ini dipengaruhi oleh pribadi masing-masing individu (orang) sehingga sifatnya adalah subyektif.

B. HUBUNGAN ANTARA PROBABILITAS TEORITIS DAN EMPIRIS.

Pendekatan empiris tentu berbeda dengan pendekatan teoritis, berarti terkadang menghasilkan probabilitas yang tidak sama.

Contoh 5.5.

Misalkan secara klasik atau teori, menurut pendekatan ini apabila kita melemparkan sebuah mata uang logam yang simetris peluang munculnya gambar adalah 0,5 dan peluang munculnya angka adalah 0,5. Jadi apabila kita melempar sebanyak 100 kali, maka diperkirakan akan mendapat 50 permukaan Angka dan 50 permukaan Gambar. Lain halnya dengan pendekatan empiris, bisa saja dalam 100 kali pelemparan, kita mendapatkan 55 permukaan Angka dan 45 permukaan

49 Gambar, sehingga secara empiris peluang muncul permukaan angka adalah 0,55 dan peluang muncul permukaan Gambar adalah 0,45.

C. BEBERAPA HUKUM PROBABILITAS

Pada pertemuan 1 anda telah mengenal beberapa hubungan antara kejadian, antara lain kejadian saling lepas, bebas, bersyarat. Bagaimana peluang suatu kejadian apabila memenuhi kondisi-kondisi yang telah disebutkan tersebut? Pada sub bab ini, anda akan mempelajarinya.

Teorema 5.1.

Jika 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian yang saling bebas, maka 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Bukti:

Dengan menggunakan ilustrasi gambar 5.1. dan Gambar 5.2., anda akan memulai untuk membuktikan teorema 5.1.

Gambar 5.1. Gabungan 𝐴 dan 𝐵 Gambar 5.2. Irisan 𝐴 dan 𝐵

Gambar 5.1. 𝐴 ⋃ 𝐵 Gambar 5.2. 𝐴 ⋂ 𝐵

Dari gambar 5.1. diperoleh daerah yang diarsir merupakan gabungan himpunan 𝐴 dengan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵.

Banyaknya anggota himpunan 𝐴 ∪ 𝐵 adalah

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

50 Perhatikan bahwa, apabila apabila kedua ruas anda bagi dengan 𝑛(𝑆), diperoleh 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)+ 𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆)− 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑛(𝑆) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) (Terbukti).

c.1. Hukum Peluang Kejadian yang Mutually Exclusive (Saling Lepas).

Dari teorema 5.1. bisa diturunkan hukum peluang untuk kejadian saling lepas,

Akibat 5.1.

Jika 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian yang saling lepas, maka 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Bukti:

Perhatikan gambar 5.3. diagram venn berikut,

Gambar 5.3. Kejadian saling lepas

Dari gambar 5.3.diperoleh

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Apabila kedua ruas dikalikan dengan 1

𝑛(𝑆) maka diperoleh S

51 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)+ 𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆)− 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑛(𝑆) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 0, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ∎ Catatan: 𝑛(𝐴∩𝐵)

𝑛(𝑆) = 0 karena 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian saling lepas, di mana 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ yang artinya 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑛(∅) = 0.

Buktikan bahwa 𝑃(𝑆) = 1.

Bukti:

Perhatikan gambar 5.4. diagram venn berikut,

Gambar 5.4. Diagram Venn suatu kejadian

𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆 𝑛(𝐴 ∪ 𝐴𝑐) = 𝑛(𝑆) 𝑛(𝐴 ∪ 𝐴𝑐) 𝑛(𝑆) = 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) S A

52 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴𝑐) = 1

𝑃(𝑆) = 1 ∎

Contoh 5.6.

Apabila 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian saling lepas, dengan 𝑃(𝐴) = 0,3 dan 𝑃(𝐵) = 0,25 𝑃(𝐵) = 0,25, tentukan 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)!

Penyelesaian:

Diketahui 𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,25; 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian saling lepas.

Berarti 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 0,3 + 0,25 = 0,55. Jadi 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,55. Contoh 5.7.

Peluang kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 dan 8 apabila dua buah dadu dilempar sekali adalah?

Penyelesaian: Misalkan,

𝑆 = Semesta kejadian, atau kemungkinan semua yang akan muncul apabila dua buah dadu dilempar sekali

53 𝐵 = Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 8.

Berarti, 𝑆 = { (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)} 𝑛(𝐴) = 36 𝐴 = {(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)} 𝑛(𝐴) = 4 𝑃(𝐴) = 4 36 𝐵 = {(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)} 𝑛(𝐵) = 5 𝑃(𝐵) = 5 36 Sehingga, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 4 36+ 5 36 = 9 36 Jadi 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 9 36. Latihan 5.1.

Sebuah coin dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama. Berapakah probabilitas untuk memperoleh:

54 1. Permukaan A pada koin dan permukaan nomor 2 pada dadu yang tampak

dari atas?

2. Permukaan A pada koin atau permukaan nomor 2 pada dadu?

c.2. Hukum Peluang Kejadian yang Saling Bebas.

Sifat dua atau lebih peristiwa dari suatu percobaan dapat independent ataupun dependen. Dua atau peristiwa dikatakan bersifat independent jika terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Sebaliknya, dua atau lebih peristiwa atau kejadian akan mempengaruhi terjadinya peristiwa lain. Dapat dikatakan bahwa dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 dalam ruang sampel 𝑆 dikatakan saling bebas jika kejadian 𝐴 tidak mempengaruhi kejadian 𝐵 dan begitupun sebaliknya.

Apabila dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas, maka berlaku, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) Contoh 5.8.

Jika diketahui dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas dengan 𝑃(𝐴) = 0,3 dan 𝑃(𝐵) = 0,4 maka berlaku

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = (0,3) ∙ (0,4) = 0,12

Contoh 5.9.

Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka 𝑋 ≤ 3 dadu I dan kejadian munculnya muka 𝑌 ≥ 5 dadu II saling bebas?

55 Misalkan

𝑆 = ruang sampel

𝐴 = Kejadian munculnya muka 𝑋 ≤ 3 dadu I 𝐵 = Kejadian munculnya muka 𝑌 ≥ 5 dadu II Berarti 𝑛(𝑆) = 36 𝐴 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) } 𝑛(𝐴) = 18 𝐵 = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} 𝑛(𝐵) = 12 𝐴 ∩ 𝐵 = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)} 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 6 Sehingga diperoleh, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑛(𝑆) = 6 36 =1 6

Perhatikan, dari contoh 5.9. juga berlaku 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 18 36= 1 2 𝑃(𝐵) =𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆)= 12 36= 1 3 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) =1 2∙ 1 3= 1 6 Kenapa?

56 Karena ternyata contoh 5.9 adalah contoh kejadian saling bebas.

Konsep dua kejadian saling bebas di atas juga dapat dikembangkan untuk tiga kejadian saling bebas antara 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 . Apabila 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah tiga kejadian saling bebas, berlaku rumus probabilitas 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, yaitu

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)

Secara umum apabila 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛 adalah kejadian-kejadian saling bebas, berlaku

𝑃(𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐴3) ∙ … ∙ 𝑃(𝐴𝑛)

Contoh 5.10.

Apabila 3 Mata Uang Logam dilemparkan sekali, tunjukkan bahwa munculnya muka dari ketiga uang logam tersebut adalah kejadian saling bebas?

Penyelesaian: Misalkan,

𝑆 = ruang sampel

𝐴 = kejadian munculnya muka pada uang logam I. 𝐵 =kejadian munculnya muka pada uang logam II. 𝐶 = kejadian munculnya muka pada uang logam III. Berarti, 𝑆 = {(𝑚1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑚1, 𝑚2, 𝑏3), (𝑚1, 𝑏2, 𝑚3), (𝑚1, 𝑏2, 𝑏3), (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), (𝑏1, 𝑏2, 𝑚3), (𝑏1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑏1, 𝑚2, 𝑏3), } 𝑛(𝑆) = 8 𝐴 = {(𝑚1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑚1, 𝑚2, 𝑏3), (𝑚1, 𝑏2, 𝑚3), (𝑚1, 𝑏2, 𝑏3)} 𝑛(𝐴) = 4 𝐵 = {(𝑚1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑚1, 𝑚2, 𝑏3), (𝑏1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑏1, 𝑚2, 𝑏3)} 𝑛(𝐵) = 4

57 𝐶 = {(𝑚1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑏1, 𝑚2, 𝑚3), (𝑚1, 𝑏2, 𝑚3), (𝑏1, 𝑏2, 𝑚3)} 𝑛(𝐶) = 4 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {(𝑚1, 𝑚2, 𝑚3)} 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 1 Sehingga, 𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 4 8= 1 2 𝑃(𝐵) =𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆)= 4 8= 1 2 𝑃(𝐶) =𝑛(𝐶) 𝑛(𝑆)= 4 8= 1 2 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 𝑛(𝑆) = 1 8

Perhatikan juga bahwa, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) =1 2∙ 1 2∙ 1 2= 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) = 1 8 Jadi 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah tiga kejadian saling bebas.

Hukum Total Probabilitas.

Masih ingatkah, bahwa 𝐵 dan 𝐵𝑐 _{merupakan dua kejadian yang saling asing,} begitu juga dengan 𝐴 dan 𝐴𝑐 saling asing, sehingga

1. 𝐵 ∩ 𝐵𝑐= ∅ 2. 𝐵 ∪ 𝐵𝑐_{= 𝑆} 3. 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅ 4. 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆 5. 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 6. 𝐴 ∪ 𝑆 = 𝑆 Perhatikan bahwa,

58 𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 (𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐_{)) = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵}𝑐 𝑛(𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐)) = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵𝑐₎ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵𝑐)) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑐₎

Secara umum, apabila 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, … , 𝐵𝑘 kejadian-kejadian saling asing, maka 𝑆 = 𝐵1∪ 𝐵2∪ 𝐵3∪ … ∪ 𝐵𝑘

Sehingga

𝐴 ∩ 𝑆 = 𝐴 ∩ (𝐵1∪ 𝐵2∪ 𝐵3∪ … ∪ 𝐵𝑘) = 𝐴 ∩ 𝐵1∪ 𝐴 ∩ 𝐵2∪ … ∪ 𝐴 ∩ 𝐵𝑘 Latihan 5.2.

Buatlah contoh kejadian saling bebas dan kemudian analisa, benarkah contoh yang anda buat memang benar contoh kejadian saling bebas!

59 Pertemuan ke-7

PROBABILITAS BERSYARAT

A. Probabilitas Bersyarat

Dalam hubungan peristiwa-peristiwa bersyarat, suatu peristiwa hanya bisa terjadi kalau ada peristiwa yang mendahului-nya terjadi. Misalkan peristiwa B hanya akan terjadi kalau peristiwa A telah terjadi. Untuk mempelajari probabilitas bersyarat, maka terlebih dahulu harus dibedakan dua macam probabilitas,

𝑃(𝐴) = Probabilitas terjadinya peristiwa 𝐴 atau peristiwa yang pertama. 𝑃(𝐵|𝐴) = Probabilitas terjadinya peristiwa 𝐵 setelah peristiwa 𝐴 terjadi. Probabilitas kejadian bersyarat,

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴) , 𝑃(𝐴) > 0

Secara umum, jika dua peristiwa 𝐵1 dan 𝐵2 saling asing (𝐵1∩ 𝐵2= ∅), maka:

𝑃(𝐵1∪ 𝐵2|𝐴) =𝑃((𝐵1∪ 𝐵2) ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐵1∩ 𝐴 ∪ 𝐵2∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐵1∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵2∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵1|𝐴) + 𝑃(𝐵2|𝐴) Contoh 5.8.

Misalkan sebuah dadu bersisi 6 dilempar, dan 𝐴 kejadian muncul mata dadu kurang dari 6, dan 𝐵 adalah kejadian muncul mata dadu Genap. Apabila kejadian 𝐴 dan 𝐵 dilakukan secara berurutan, maka berapakah kemungkinan muncul mata dadu Genap apabila didahului oleh kejadian munculnya mata dadu kurang dari 6?

60 Penyelesaian:

𝑆 merupakan ruang sample; 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}

𝐴 kejadian muncul mata dadu kurang dari 5 ; 𝐴 = {1,2,3,4,5} 𝑃(𝐴) =5

6

𝐵 adalah kejadian muncul mata dadu Genap; 𝐵 = {2,4,6}

𝑃(𝐵) =3 6 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,4} 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =2 6 Ditanya 𝑃(𝐵|𝐴) = ⋯ ? Jawab 𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) = 2 6 5 6 =2 5

Jadi probabilitas muncul mata dadu genap apabila didahului kejadian munculnya mata dadu kurang dari 5 adalah 2

5= 0,4. Contoh 5.9.

Diberikan populasi calon mahasiswa STKIP SURYA yang dibagi menurut jenjang kelamin dan status latar belakang pendidikan mereka, dirangkum dalam tabel 5.1 berikut,

Tabel 5.1. rangkuman jumlah populasi calon mahasiswa STKIP SURYA

IPA (A) IPS (B) Jumlah

Laki-laki (L) 460 40 500

Wanita (W) 150 250 400

61 Misalkan dari pendaftar akan dipilih calon mahasiswa dengan criteria bahwa dari banyaknya calon mahasiswa yang diutamakan adalah dari IPA, maka hitung probabilitas bahwa,

a) Yang terpilih adalah Laki-laki, b) Wanita. Penyelesaian: a) 𝑛(𝐴) = 610 𝑛(𝑆) = 900 𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 610 900 𝑛(𝐿 ∩ 𝐴) = 460 𝑃(𝐿 ∩ 𝐴) =𝑛(𝐿 ∩ 𝐴) 𝑛(𝑆) = 460 900 Sehingga, 𝑃(𝐿|𝐴) =𝑃(𝐿 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) = 460 900 610 900 =460 610 =46 61

Jadi probabilitas terpilihnya laki-laki dengan syarat pendidikan IPA adalah 46 61. b) 𝑛(𝑊) = 610

62 𝑃(𝑊) =𝑛(𝑊) 𝑛(𝑆) = 610 900 𝑛(𝑊 ∩ 𝐴) = 150 𝑃(𝑊 ∩ 𝐴) =𝑛(𝑊 ∩ 𝐴) 𝑛(𝑆) = 150 900 Sehingga, 𝑃(𝑊|𝐴) =𝑃(𝑊 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) = 150 900 610 900 =150 610

Jadi probabilitas terpilihnya wanita dengan syarat pendidikan IPA adalah 150 610.

Contoh 5.10.

Kotak A berisi 10 bola merah, dan 15 bola hijau. Kotak B berisi 12 bola merah dan 17 bola hijau. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa yang diambil 2 bola berwarna hijau!

Penyelesaian:

Misalkan

Akibat 5.1.

63 Contoh 5.10.

Probabilitas seorang calon mahasiswa diterima di program studi pendidikan matematika STKIP SURYA adalah sebesar 0,40 dan apabila dia sudah menjadi mahasiswa di STKIP SURYA, kemungkinan dia lulus sarjana sebesar 0,70. Berapakah kemungkinan calon tersebut akan lulus sarjana?

Penyelesaian:

Misalkan A adalah kejadian seorang calon mahasiswa diterima di program studi pendidikan matematika STKIP SURYA.

B adalah kejadian calon mahasiswa STKIP SURYA tersebut lulus sarjana. Diketahui, 𝑃(𝐴) = 0,40 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,70 Ditanya, 𝑃(𝐵) ? 𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴) = 70 100∙ 40 100 = 28 100 = 0,28

64 Sifat-sifat lain probabilitas bersyarat

1. 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵̅|𝐴)

2. 𝑃(𝐵1∪ 𝐵2|𝐴) = 𝑃(𝐵1|𝐴) + 𝑃(𝐵2|𝐴) − 𝑃(𝐵1∩ 𝐵2|𝐴) 3. 0 ≤ 𝑃(𝐵|𝐴) ≤ 1

4. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Contoh 5.11.

Empat buah kartu remi diambil secara random satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut-turut adalah AS WARU HITAM (ASwh), AS WARU MERAH (ASwm), AS WAJIK (ASwj) dan AS KERITING (ASkr)!

Penyelesaian: 𝑃(𝐴𝑆𝑤ℎ ∩ 𝐴𝑆𝑤𝑚 ∩ 𝐴𝑆𝑤𝑗 ∩ 𝐴𝑆𝑘𝑟) = 𝑃(𝐴𝑆𝑤ℎ)𝑃(𝐴𝑆𝑤𝑚|𝐴𝑆𝑤ℎ) × 𝑃(𝐴𝑆𝑤𝑗|𝐴𝑆𝑤ℎ ∩ 𝐴𝑆𝑤𝑚) × 𝑃(𝐴𝑆𝑘𝑟|𝐴𝑆𝑤ℎ ∩ 𝐴𝑆𝑤𝑚 ∩ 𝐴𝑆𝑤𝑗) =… … Contoh 5.12.

Kotak A berisi 10 bola merah (Ma) dan 15 bola hijau (Ha). Kotak B berisi 12 bola merah (Mb) dan 17 bola hijau (Hb). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau!

Penyelesaian: