PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

(1)

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

(PMP, Minggu 8-14)

Sri Haryatmi Kartiko

Universitas Gadjah Mada

Juni 2014

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Minggu 13,14:RANTAI MARKOV

Outline

1 _{Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM}

Mean dan Variansi

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

2 _{Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL}

Distribusi Spesial Diskrit Distribusi Spesial Kontinu

3 Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi Sifat Variabel Random

4 Minggu 13,14:RANTAI MARKOV

Persaman Chapman Kolmogorov Klasifikasi State

(2)

Outline

1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM

Mean dan Variansi

2 Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL

4 _{Minggu 13,14:RANTAI MARKOV}

Outline

1 _{Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM}

Mean dan Variansi

2 _{Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL}

4 Minggu 13,14:RANTAI MARKOV

(3)

Outline

1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM

Mean dan Variansi

2 Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL

4 _{Minggu 13,14:RANTAI MARKOV}

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM

Dalam bab ini, diperkenalkan konsep tentang momen dari variabel, mean dan variansi dari variabel random.

Definisi 1.1

Momen ke n di sekitar titik asal dari suatu variabel random X , ditulis E (Xn), adalah E (Xn) = ( P x ∈RX x n_{f (x )} _{jika X diskrit,} R∞ −∞x n_{f (x )} _{jika X kontinu.} untuk n = 0, 1, 2, 3, . . .,

Jika n = 1, maka E (X ) merupakan momen pertama di sekitar titik nol. Untuk n = 2, maka E (X2) merupakan momen kedua dari variabel random X di sekitar titik nol. Secara umum, momen suatu variabel random tidak selalu ada. Bila suatu variabel random tidak punya mean, dikatakan variabel random tersebut tidak punya

momen pertama. Ada dua hal yang penting untuk suatu variabel random, yakni, mean dan variansi yang akan dibahas dalam subbab berikut ini.

(4)

Mean dan Variansi

Definisi 1.2

Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai fungsi densitas probabilitas (pdf) f (x ). Mean dari variabel random X didefinisikan sebagai

µ_X = sum_{x ∈R}_Xxf (x )jika X diskrit (1)

=

Z ∞

−∞

xf (x )dx jika X kontinu (2)

bila harganya berhingga.

Mean adalah ukuran tendensi sentral dari suatu distribusi variabel random X . Mean juga biasa disebut sebagai harga harapan dari variabel random X dan ditulis E (X ) dari kata Expectation of X.

Mean dan Variansi

Contoh 1.3

Variabel random X berdistribusi uniform pada interval (2, 7), berapa mean dari X ?

Jawab:

Pdf dari variabel random X adalah f (x ) =

(₁

5 jika 2 < x < 7,

0 untuk harga x yang lain

Sehingga, mean atau harga harapan dari X adalah

µ_X = E (X ) = Z ∞ −∞ xf (x )dx = Z 7 2 x1 5dx = 1 10x 2 7 2 = 1 10(49 − 4) = 45 10 = 9 2 = 2 + 7 2

(5)

Mean dan Variansi

Teorema 1.4

Misal X adalah suatu variabel random dengan pdf f (x ). Jika a dan b adalah dua bilangan riil, maka

E (ax + b) = aE (X ) + b (3)

Definisi 1.5

Misal X adalah suatu variabel random dengan mean µ_X. Variansi dari X , ditulis Var (X ) atau σ_X2, didefinisikan sebagai

Var (X ) = σ2_X = E (X − µX)2 (4)

Mean dan Variansi

Teorema 1.6

Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µX dan variansi

σ_X2, maka

σ_X2 = E (X2) − µ2_X (5)

Teorema 1.7

Jika X adalah suatu variabel random dengan mean µX dan variansi

σ_X2, maka

Var (aX + b) = a2Var (X ) (6)

(6)

Mean dan Variansi

Contoh 1.8

Misal X mempunyai fungsi peluang:

f (x ) = (_2x

k2 untuk 0 ≤ x ≤ k,

0 yang lainnya.

Berapa nilai k, bila Var (X ) = 2?

Contoh 1.9

Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh:

f (x ) = (

1 − |x | untuk |x | < 1

0 yang lainnya,

Maka, berapa variansi dari X ?

Fungsi pembangkit momen (MGF) adalah fungsi riil yang dapat dibangkitkan untuk semua momen dari variabel radom.

Definisi 1.10

Misal X adalah suatu variabel random dengan fungsi pdf f (x ). Fungsi riil M : R → R yang didefinisikan sebagai

M(t) = E (etX) (7)

disebut fungsi pembangkit momen dari X , jika mean-nya ada untuk semua t dalam selang interval −h < t < h untuk suatu h > 0. Pada umumnya,tidak semua variabel random mempunyai fungsi pembangkit momen. Tetapi, jika fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random ada, maka fungsi pembangkit momennya unique.

Dengan menggunakan definisi mean dari variabel random, diperoleh representasi dari M(t) secara eksplisit, yakni:

M(t) = (_P x ∈R_X etxf (x ) jika X diskrit R∞ −∞e tx_{f (x )} _{jika X kontinu}

(7)

Contoh 1.11

Misal X adalah variabel random yang mempunyai fungsi pembangkit momen M(t) dan n adalah suatu bilangan asli. Berapa turunan ke-n dari M(t) pada t = 0?

Contoh 1.12

Tentukan MGF dari variabel random X yang mempunyai pdf:

f (x ) = (

e−x untuk x > 0,

0 yang lainnya.

Kemudian, tentukan mean dan variansi-nya!

Contoh 1.13

Misal variabel random X mempunyai MGF, M(t) = (1 − t)−2

untuk t < 1. Berapa moment ketiga dari X ? Penyelesaian:

Hitung turunan ketiga dari M(t) pada t = 0 untuk menghitung momen ketiga dari X ,

M(t) = (1 − t)−2

M0(t) = 2(1 − t)−3 M00(t) = 6(1 − t)−4 M000(t) = 24(1 − t)−5 Dengan demikian, momen ketiga dari X adalah

E (X3) = 24

(1 − 0)5 = 24

Teorema 1.14

Misal X adalah suatu variabel random dengan fungsi pembangkit momen M_X(t). Jika a dan b adalah dua bilangan riil konstanta, maka M_{X +a}(t) = eatM_X(t) (8) MbX(t) = MX(bt) (9) MX +a b (t) = eabtM_X t b (10)

(8)

Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL

Dalam bab ini dibahas beberapa distribusi penting. Dalam aplikasi, memungkinkan untuk menentukan bahwa distribusi mempunyai bentuk spesial yang diketahui. Biasanya distribusi spesial

tergantung pada satu atau lebih dari satu parameter dan apabila harga numeris dari parameter diketahui, distribusi tertentu dengan lengkap.

Distribusi Spesial Diskrit

Distribusi Bernoulli

Sebuah eksperimen terdiri hanya satu trial, misal terdapat hanya 2 kejadian yaitu E dan Ec yang dapat direpresentasikan sebagai ”head” dan ”tail” pada lemparan uang satu kali, mendapatkan barang ”rusak” atau ”bagus” pada pengambilan satu item dari suatu lot barang produksi pabrik, atau secara umum ”sukses” atau ”gagal” pada trial suatu eksperimen. Misal pada suatu eksperimen, probabilitas E terjadi dengan probabilitas p = P(E ) dan Ec terjadi dengan probabilitas q = P(Ec) = 1 − p.

Variabel random X yang berharga 0 atau 1 ini disebut variabel Bernoulli, dan hasil eksperimen yang hanya mempunyai 2 outcome disebut Bernoulli trial. Khususnya bila suatu eksperimen

mempunyai 2 hasil yaitu ”sukses”(E ) atau ”gagal”(Ec) maka variabel Bernoulli yang berkorespondensi dengannya adalah

X (e) = (

1 bila e ∈ E , 0 bila e ∈ Ec.

Pdf X dapat disajikan sebagai f (0) = q dan bila f (1) = p. Disebut distribusi Bernoulli, yang secara matematis disajikan sebagai

f (x ) = px(1 − p)1−p, x = 0, 1 (11)

atau ditulis dengan notasi X ∼ B(1, p) dibaca X berdistribusi Bernouli

(9)

Contoh 2.1

Eksperimen melempar sebuah dadu bersisi 4. Taruhan diletakkan pada hasil mata dadu 1 . Jadi E = {1}, Ec = {2, 3, 4}, dan p = 1/4.

Contoh 2.2

Eksperimen mengambil kelereng secara random dari koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih. Dalam hal ini dapat

dipandang ”hitam” sabagai sukses dan ”putih” sebagai gagal atau sebaliknya.Mendapatkan kartu hitam yang dikatakan sukses,

p = 10/30 = 1/3 dan q = 20/30 = 2/3

Distribusi Binomial

Kadang diperlukan eksperimen yang lebih kompleks, misalnya sejumlah trial Bernoulli yang diulang n kali secara independen, masing-masing dengan probabilitas sukses p. X menunjukkan banyaknya sukses, dikenal dengan pdf Binomial, dengan pdf dari X disajikan sebagai f (x ) = n x pxqn−x x = 0, 1, 2, ...n (12)

atau ditulis dengan notasi X ∼ B(n, p) dibaca X berdistribusi Binomial dengan banyak trial n dan probabilitas sukses untuk satu trial p, 0 ≤ p ≤ 1

(10)

Akan diturunkan beberapa sifat umum distribusi binomial. Bila X ∼ B(n, p), maka M_X(t) = E (etX) = n X x =0 etxf (x ) = n X x =0 n x ! etxpxqn−x = n X x =0 n x ! (pet)xqn−x = n X x =0 n x ! (pet)xqn−x = (pet + q)n

M_X0 (t) = n(pet + q)n−1pet, dengan demikian E (X ) = M_X0 (0) = np. Selanjutnya

MX”(t) = n(n − 1)(pet + q)n−2p2e2t + n(pet + q)n−1pet, yang

berarti E (X ) = M_X”(0) = n(n − 1)p2+ np, sehingga Var (X ) = E (X2) − [E (X )]2 = npq

Distribusi Hipergeometri

Misal populasi terdiri dari N item, M diantaranya tipe 1, sisanya N − M item dari tipe 2. Misal n item diambil secara random tanpa pengembalian, dan X banyaknya item tipe 1 yang terambil. Dalam hal ini X dikatakan berdistribusi hipergeometri, sering ditulis

dengan notasi X ∼ H(n, M, N). Pdf diskrit dari X diberikan oleh

f (x ) = M x ! N − M n − x ! N n ! , x = 0, 1, 2, ... min(n, m) (13)

Dapat ditunjukkan bahwa

E (x ) = nM/N

(11)

Teorema 2.3

Apabila X berdistribusi Hipergeometri

X ∼ H(n, M, N), x = 0, 1, ...n maka untuk N → ∞ dan M → ∞ dengan M_N → p, konstanta positif berlaku

lim N,M→∞ M x ! N − M n − x ! N n ! = n x ! px(1 − p)n−x, (14)

yang berarti bahwa distribusi binomial merupakan pendekatan dari distribusi hipergeometri.

Distribusi Geometri

Pandang kembali trial bernoulli dengan probabilitas sukses

p = E (X ). Pada distribusi binomial banyaknya trial tertentu yaitu n, dan variabel yang menjadi perhatian adalah banyaknya sukses. Sekarang pandang banyaknya trial yang diperlukan untuk

menghasilkan sejumlah sukses yang ditentukan.

Misal banyaknya trial yang diperlukan untuk mendapatkan sukses yang pertama adalah X , maka X dikatakan berdistribusi Geometri dengan parameter p, diberi notasi X ∼ Geo(p) dengan bentuk pdf sebagai berikut:

g (x ) = pqx −1, x = 1, 2, 3, ... dan p = 1 − q (15) Sifat probabilitas dipenuhi karena 0 < p < 1 dan

∞ X x =1 g (x ; p) = p ∞ X x =1 qx −1 = p(1 + q + q2 + ...) = p p = 1

(12)

Teorema 2.4

Apabila X berdistribusi Geometri, X ∼ Geo(p) maka X mempunyai sifat memoryless yaitu

P(X > j + k/X > j ) = P(X > k) (16)

Contoh 2.5

Sampel dengan pengembalian. Lima buah kelereng diambil dari koleksi 10 kelereng hitam dan 20 kelereng putih, pengambilan dengan pengembalian. X merupakan banyaknya kelereng hitam yang terambil. Hitung P(X = 2) dan tulis pdf dari X .

Penyelesaian :

Untuk mengambil 2 kelereng hitam, dengan konsekuensi 3 kelereng putih karena diambil 5 kelereng maka didapat

P(X = 2) = 5 2 ! 10 30 2₂₀ 30 3

Dengan cara yang sama pdf dari X adalah

P(X = x ) = 5 x ! 10 30 x ₂₀ 30 5−x

Distribusi Spesial Kontinu

Distribusi Uniform

Variabel random kontinu terbatas pada interval (a, b) dan berharga konstan dalam interval tersebut. Dengan sifat probabilitas

berakibat c = 1/(b − a) karena 1 = R_abcdx = c(b − a). Distribusi spesial ini disebut distribusi uniform pada interval (a, b) dengan pdf

f (x ; a, b) = 1

b − a a < x < b (17)

dan nol untuk X yanf lain, diberi notasi X ∼ Unif (a, b) CDF dari X ∼ unif (a, b) mempunyai bentuk

F (x ; a, b) =    0 x ≤ a x −a b−a a < x < b 1 b (18) E (X ) = a + b 2 Var (X ) = (b − a) 2 12

(13)

Distribusi Gamma

Distribusi kontinu yang sering terjadi pada aplikasi disebut

distribusi Gamma. Nama ini diambil dari adanya hubungan dengan suatu fungsi yang disebut fungsi Gamma.

Definisi 2.6

Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan Γ(κ) untuk setiap κ > 0, diberikan oleh

Γ(κ) =

Z ∞

0

tκ−1e−tdt (19)

Sebagai contoh, jika κ = 1, maka Γ(1)R₀∞e−tdt = 1. Fungsi

Gamma mempunyai beberapa sifat yang bermanfaat yang disajikan dalam teorema berikut:

Teorema 2.7

Fungsi Gamma memenuhi beberapa sifat:

Γ(κ) = (κ − 1)Γ(κ − 1) ; κ > 1 (20) Γ(n) = (n − 1)! ; n = 1, 2, . . . (21) Γ 1 2 = √π (22)

(14)

Contoh 2.8

Banyaknya penguapan dalam inci di suatu sungai merupakan variabel random X yang berdistribusi Gamma, X ∼ Gam(0, 2; 6). Hitung probabilitas banyaknya penguapan melebihi suatu level, misalnya 2 inci. Penyelesaian: P[X > 2] = Z ∞ 2 1 (0, 2)6_Γ(6)x 6−1_e−x/0.2_dx = 1 − F (2; 0, 2 , 6) = 5 X i =0 10i i ! e −10 _{= 0.067}

Contoh 2.9

Hitung mean dan variansi dari distribusi Γ(κ) Penyelesaian: M_X(t) = Z ∞ 0 etxx κ−1_e−x/θ θκ_Γ(κ) dx = 1 θκ_Γ(κ) Z ∞ 0 xκ−1e(t−1/θ)xdx Dengan substitusi u = −(t − 1/θ)x , didapat

MX(t) = ( 1 θ − t) −κ 1 θκΓ(κ) Z ∞ 0 uκ−1e−udu M_X(t) = (1 − θt)−κ t < 1/θ

Dengan memasukkan t = 0 pada derivatif pertama dan kedua dari M_Xt didapat

M_X0 (0) = κθ(1 − θt)−κ−1 = κθ

M_X”(0) = κ(κ + 1)θ2(1 − θt)−κ−2 = κ(κ + 1)θ2

Distribusi Eksponensial

Variabel random kontinu X mempunyai distribusi Eksponensial dengan parameter θ > 0 diberi notasi X ∼ Exp(θ) bila mempunyai pdf berbentuk

f (x ; θ) = 1 θe

−x/θ_, _{x > 0} ₍₂₃₎

dan nol untuk x yang lain. CDF dari X adalah

F (x ; θ) = 1 − e−x/θ, x > 0 (24)

(15)

Distribusi eksponensial adalah keadaan kusus distribusi Gamma yaitu X ∼ Exp(θ) identik dengan X ∼ Gam(θ, 1) sehingga pdf Eksponensial mempunyai mean dan variansi

E (X ) = 1θ = θ

Var (X ) = 1θ2 = θ2

Theorem 1

Untuk variabel random kontinu X , X ∼ Exp(θ) berlaku

P[X > a + t/X > a] = P[X > t] (25)

untuk semua a > 0 dan t > 0. Bukti : P[X > a + t/X > a] = P[X > a + t dan X > a] P[X > a] = P[X > a + t] P[X > a] = e −(a+t)/θ e−a/θ = P[X > t]

Contoh 2.10

Misal komponen tertentu, sebut K mempunyai waktu tahan hidup X dalam jam yang berdistribusi X ∼ Exp(100). Hitung

probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam. Penyelesaian:

Probabilitas komponen berusia paling sedikit 50 jam adalah

P[X ≥ 50] = 1 − F (50; 100)

= e−0,0,5

(16)

Distribusi Normal

f (x ; µ, σ) = 1 σ√2πexp ( 1 2 x − µ σ 2) (26) untuk −∞ < x < ∞, dimana −∞ < µ < ∞ dan 0 < σ < ∞. Biasa diberi notasi X ∼ N(µ, σ2).

Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL

RANDOM

Definisi 3.1

Fungsi densitas probabilitas bersama (pdf bersama) dari variabel random diskrit berdimensi k, X = (X1, X2, . . . Xk) adalah

f (x₁, x₂, . . . x_k) = P[X₁ = x₁, X₂ = x₂, . . . X_k = x_k (27) untuk semua harga x = (x₁, x₂, . . . x_k) dari X .

(17)

Contoh 3.2

Dari 1 dek kartu bridge diambil 5 buah kartu. x1 banyaknya kartu merah.

x₂ banyaknya kartu daun.

pdf bersama dari (x₁, x₂) adalah

f (x1, x2) = 25 x₁ 13 x₂ 13 5 − x₁− x2 52 5 x₁ = 0, 1, ...5 x2 = 0, 1, ...5.

Perluasan distribusi hipergeometri:

N item terdiri dari M1 tipe 1, M2 tipe 2 dst Mk tipe k.

x_i = banyaknya item tipe i . x = (x₁, . . . , x_k). f (x1, . . . , xk) = M1 x₁ M2 x₂ . . . N −P Mi n −P xi N n (28)

(18)

Contoh 3.3

Distribusi Multinominal

(k + 1) kejadian saling asing E1, . . . , Ek+1

p_i = P(E_i) i = 1, 2, . . . , k + 1 x_i = n(E_i) x = (x1, . . . , xk) berdistribusi multinominal X ∼ Mult(n, p1, . . . , pk) f (x₁, . . . x_k) = n! x1! . . . xk+1! px1 1 p x2 2 . . . p x_k+1 k+1 (29)

Teorema 3.4

Fungsi f (x₁, . . . , x_k) adalah pdf bersama untuk vektor random diskrit X = (X1, . . . , Xk) bhb dipenuhi a. f (x1, . . . , xk) ≥ 0 untuk setiap (x1, . . . , xk) b. P x1 . . .P xk f (x₁, . . . , x_k) = 1

Definisi 3.5

Pasangan (X1, X2) dari variabel random diskrit mempunyai pdf

bersama f (x₁, x₂), pdf marginal dari X₁ & X₂ adalah f1(x1) = P x₂ f (x1, x2) & f2(x2) = P x1 f (x1, x2) (30)

(19)

Definisi 3.6

Pasangan (X1, X2) dari variabel random kontinu mempunyai pdf

bersama f (x1, x2), pdf marginal dari X1 & X2 adalah

f₁(x₁) =R_x 2 f (x1, x2) & f2(x2) = R x₁ f (x1, x2) (31)

Definisi 3.7

Sebarang fungsi f (x1, x2, . . . , xn) dikatakan pdf bersama vektor

random berdimensi k bila dan hanya bila

a. f (x₁, . . . , x_k) ≥ 0 untuk setiap (x₁, . . . , x_k)

b. R_−∞∞ . . .R_−∞∞ f (x1, . . . , xk)dx1. . . dxk = 1

Definisi 3.8

Cumulative Distribution Function (CDF), atau fungsi distribusi kumulatif, bersama dari k variabel random X₁, X₂, . . . , X_k didefinisikan sebagai

F (x1, x2, . . . , xn) = P[X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn] (32)

Definisi 3.9

Vektor random berdimensi k, X = (X₁, X₂, . . . , X_k) disebut kontinu bila terdapat fungsi f (x₁, x₂, . . . , x_k) yang merupakan fungsi densitas probabilitas (pdf) bersama sedemikian hingga CDF bersamanya dapat ditulis

F (x1, x2, . . . , xk) = Z x_k −∞ . . . Z x1 −∞ f (t1, . . . , tk)dt1, . . . , dtk (33) untuk setiap x = (x1, x2, . . . , xn).

Teorema 3.10

Fungsi F (x₁, x₂) adalah CDF bivariat bila dan hanya bila memenuhi lim x1→−∞ F (x1, x2) = F (−∞, x2) = 0, ∀ x2 lim x2→−∞ F (x1, x2) = F (x1, −∞) = 0, ∀ x1 lim x1→∞ x2→∞ F (x₁, x₂) = F (∞, ∞) = 1

F (b, d ) − F (b, c) − F (a, d ) + F (a, c) ≥ 0, ∀ a < b & c < d lim

(20)

Contoh 3.11

X₁ adalah konsentrasi zat pada trial pertama suatu eksperimen, sedangkan X₂ adalah konsentrasi zat pada trial kedua. Dianggap pdf bersama kedua variabel random adalah

f (x1, x2) = 4x1x2; 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1. Hitung CDF F (x1, x2) Penyelesaian: CDF bersama adalah F (x1, x2) = Z x2 −∞ Z x1 −∞ f (t1, t2)dt1dt2 = Z x2 −∞ Z x1 −∞ 4t₁t₂dt₁dt₂ = x₁2x₂2 ; 0 < x₁ < 1, 0 < x₂ < 1

Fungsi Distribusi Bersyarat dan Independensi

Definisi 3.12

Probabilitas bersyarat

Bila X1 dan X2 variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf

bersama f (x₁, x₂), maka fungsi densitas probabilitas bersyarat untuk X2 disyaratkan X1 = x1 didefinisikan sebagai:

f (x2/x1) =

f (x₁, x₂) f (x1)

(34) untuk setiap x1 sedemikian hingga f (x1) > 0, dan nol untuk yang

(21)

Contoh 3.13

Pdf bersama pasangan X₁ dan X₂ adalah

f (1, 1) = 0, 5 f (1, 2) = 0, 1 f (2, 1) = 0, 1 f (2, 2) = 0, 3 Hitung probabilitas X1 = 1 degan syarat X2 = 1

Penyelesaian : f_X₂(1) = X x1 f (x₁, 1) = f (1, 1) + f (2, 1) = 0, 6 f (X₁ = 1/X₂ = 1) = P(X1 = 1, X2 = 1) P(X₂ = 1) = f (1, 1) f_X₂(1) = 0, 5 0, 6 = 5 6

Definisi 3.14

Variabel Random Independen.

Variabel random X1, X2, . . . , Xk dikatakan independen bila untuk

setiap ai < bi P(a1 ≤ X1 ≤ b1, . . . , ak ≤ Xk ≤ bk) = k Y i =1 P(ai ≤ Xi ≤ bi(35))

Teorema 3.15

Variabel random X1, X2, . . . , Xk independen bila dan hanya bila

F (x1, x2, . . . , xk) = F (x1)F (x2) . . . F (xk) (36)

(22)

Akan disajikan bagaimana menghitung harga harapan fungsi

variabel random U(X ) yang merupakan fungsi dari variabel random X₁, X₂, . . . , X_n.

Teorema 3.16

X = (X1, . . . , Xk) mempunyai pdf bersama f (x1, . . . , xk).

Bila Y = u(x1, . . . , xk) merupakan fungsi dari X , maka

E (Y ) = E_X(u(x₁, . . . , x_k)) dengan EX(u(x1, . . . , xk)) = X x1 · · ·X x_k

u(x1, . . . , xk)f (x1, . . . , xk) untuk X diskrit

EX(u(x1, . . . , xk)) = Z xk . . . Z x1

(23)

Teorema 3.17

E (Y ) = E_X(u(x₁, . . . , x_k)) dengan

EX(u(x1, . . . , xk)) = P_x₁ · · ·P_x_k u(x1, . . . , xk)f (x1, . . . , xk) ; untuk X diskrit

E_X(u(x1, . . . , xk)) =

R

xk . . .

R

x1 u(x1, . . . , xk)f (x1, . . . , xk)dx1. . . dxk ; untuk X kontinu

Teorema 3.18

Bila X1 dan X2 mempunyai pdf bersama f (x1, x2), maka

E (X1+ X2) = E (X1) + E (X2) (38)

Teorema 3.19

Bila X dan Y variabel random independen, maka untuk sebarang fungsi g (x ) dan h(y ) berlaku:

E (g (X )h(Y )) = E (g (X ))E (h(Y )) (39)

Definisi 3.20

Kovariansi antara dua variabel random X1 dan X2, diberi notasi

Cov (X , Y ) = σ_XY = E [(X − µ_X)(Y − µ_Y)] (40)

Teorema 3.21

E (Y ) = E_X(u(x₁, . . . , x_k)) dengan

EX(u(x1, . . . , xk)) = P_x₁ · · ·P_x_k u(x1, . . . , xk)f (x1, . . . , xk) ; untuk X diskrit

E_X(u(x₁, . . . , x_k)) = R_x

k . . .

R

x1 u(x1, . . . , xk)f (x1, . . . , xk)dx1. . . dxk ; untuk X kontinu

Teorema 3.22

Bila X dan Y dua variabel random, a dan b konstanta, maka

Cov (aX , bY ) = ab · Cov (X , Y ) (41)

Cov (X + a, Y + b) = ab · Cov (X , Y ) (42)

(24)

Teorema 3.23

Bila X dan Y dua variabel random independen, maka Cov (X , Y ) = 0

Teorema 3.24

Bila X1 dan X2 dua variabel random dengan pdf bersama f (x1, x2)

maka

Var (X₁+ X₂) = Var (X₁) + Var (X₂) + 2Cov (X₁, X₂) (44) dan

Var (X1+ X2) = Var (X1) + Var (X2) (45)

bila X₁ dan X₂ independen.

Definisi 3.25

Bila X dan Y variabel random dengan variasi σ_X2 dan σ_Y2 dan kovariansi σXY = Cov (X , Y ), maka koefisien korelasi antara X dan

Y adalah

ρ = σXY

(25)

Contoh 3.26

Pdf bersama pasangan X dan Y adalah f (x , y ) = 1

20 ; 0 < x < 10, x − 1 < y < x + 1 Hitung korelasi antara variabel random X dan Y .

Penyelesaian :

Variansi dari X adalah σ₁2 = (10)₁₂2 = 25₃ , variansi dari Y adalah σ₂2 = (10)₁₂2 + 2₁₂2 = 26₃ , dan kovariansi antara X dan Y adalah σ12 = E (XY ) − E (X )E (Y ) = 25₃ .

Sehingga, koefisien korelasi antara X dan Y adalah

ρ = 25 3 q 25 3 q 26 3 = r 25 26 = 0, 981

Definisi 3.27

Bila X dan Y variabel random dengan pdf bersama f (x , y ), maka harga harapan bersyarat dari Y untuk X = x diberikan oleh

E (Y /x ) =

(_P

y yf (y /x ) ; bila X dan Y diskrit

R

(26)

Minggu 13,14:RANTAI MARKOV

Proses Stokasik adalah koleksi variabel random [X (t), t ∈ T ], yaitu X (t), t ∈ T merupakan variabel random. Indeks t merupakan waktu, X (t) dikatakan state dari proses pada waktu t. Misal X (t) bisa merupakan banyaknya pelanggan yang memasuki supermarket pada waktu t, atau banyaknya pelanggan pada waktu t, atau total penjualan pada waktu t.

Himpunan T disebut indeks set dari proses. Bila T merupakan himpunan kontabel, proses disebut proses waktu diskrit. Bila T merupakan interval bilangan real, proses stokastik disebut proses waktu kontinu. Misal {X_n, n = 1, 2, . . . , n} disebut proses stokastik waktu diskrit dengan indeks bilangan bulat non-negatif, sementara {X (t), t ≥ 0} disebut proses stokastik waktu kontinu dengan indeks bilangan real non-negatif.

Pandang proses stokastik {X_n, n = 0, 1, 2, . . . } yang harganya sebanyak berhingga atau kontabel. Bila X_n = i , maka proses dikatakan pada state i pada waktu n. Misal proses pada state i , probabilitas pada waktu berikutnya pada state j dinotasikan

dengan P_ij tanpa memandang state pada waktu sebelumnya.

P{X_n+1 = j /X_n = i , X_n−1 = i_n−1, . . . , X₁ = i₁, X₀ = i₀} = Pij

(47) untuk semua state i0, i1, . . . , in−1 dan semua n > 0. Proses

stokastik semacam ini disebut Rantai Markov. Persamaan 47 dapat diberi interpretasi sebagai berikut, untuk suatu rantai Markov, distribusi bersyarat state yad X_n+1 diberikan state yang lalu X0, X1, . . . , Xn−1 dan state sekarang Xn, adalah independen

terhadap state yang lalu, dan hanya tergantung pada state sekarang. Karena probabilitas non-negatif dan karena Harga P_ij menunjukkan bahwa proses dari state i akan berpindah ke state j . Karena probabilitas non-negatif dan karena proses harus membuat transisi ke suatu state maka

P_ij ≥ 0, i , j ≥ 0,

∞

X

j =0

(27)

P adalah matriks probabilitas transien satu step P_ij         P00 P01 P02 · · · P₁₀ P₁₁ P₁₂ · · · .. . ... ... Pi 0 Pi 1 Pi 2 · · · .. . ... ...        

Contoh 4.1

Ramalan Cuaca

Misal kemungkinan hari hujan besok tergantung pada kondisi cuaca sebelumnya yaitu dari hari ini hujan atau tidak, dan tidak tergantung pada hari kemarin. Misal bila bari ini hujan,

probabilitas besok hujan adalah α, sedang bila hari ini tidak hujan, probabilitas besok hujan adalah β. Hitung matriks probabilitas transisi situasi di atas

Penyelesaian :

P00 = Probabilitas hari ini hujan, besok hujan

P01 = Probabilitas hari ini hujan, besok tidak hujan

P00 = Probabilitas hari ini tidak hujan, besok hujan

P₀₁ = Probabilitas hari ini tidak hujan, besok tidak hujan Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah

P = α 1 − α

β 1 − β

(28)

Contoh 4.2

Sistim Komunikasi

Pandang sistem komunikasi yang mentransmit digit 0 dan 1. Setiap digit yang ditransmit melalui beberapa fase, pada setiap fase mempunyai probabilitas p untuk tidak berubah. Misal {Xn, n = 0, 1, . . . } adalah rantai Markov dengan matriks

probabilitas transisi: P = p 1 − p 1 − p p

Contoh 4.3

Seekor kucing bernama Gery bertempramen ceria(C), sedang(S) atau murung(M). Bila dia ceria hari ini, maka ia akan C ,S , atau G dengan probabilitas 0, 5; 0, 4; 0, 1. Bila dia sedang-sedang hari ini, probabilitas akan C ,S , atau G adalah 0, 3; 0, 4; 0, 3. Bila dia murung hari ini, probabilitas akan C ,S , atau G adalah

0, 2; 0, 3; 0, 5. Tulis matriks probabilitas transisinya. Penyelesaian :

P00 = 0, 5

P01 = 0, 4

P02 = 0, 1

dan seterusnya, sehingga matriks probabilitas transisinya adalah

P =   0, 5 0, 4 0, 1 0, 3 0, 4 0, 3 0, 2 0, 3 0, 5  

(29)

Persaman Chapman Kolmogorov

Telah didefinisikan probabilitas transisi satu step Pi ,j, yang akan

dikembangkan menjadi probabilitas transisi n step P_ijn yaitu

probabilitas proses dari state i akan berada pada state j setelah n transisi.

P_ijn = P[Xn+m = j /Xm = i ], n ≥ 0; i , j ≥ 0 (49)

Tentu saja P_ij1 = Pij.

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Persaman Chapman Kolmogorov

Teorema 4.4

Persamaan Chapman Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung probabilitas transisi n step. Persamaan ini adalah

P_ijn+m =

∞

X

k=0

P_iknP_kjm , untuk setiap n, m dan setiap i , j (50)

Bukti :

Pernyataan ini dapat dibuktikan sebagai berikut: P_ijn+m = P[Xn+m = j /Xm = i ] = ∞ X k=0 P[X_n+m = j , X_n = k/X₀ = i ] = ∞ X k=0 P[Xn+m = j /Xn = k, X0 = i ]P[Xn = k/X0 = i ] = ∞ X k=0 P_iknP_kjm

(30)

Persaman Chapman Kolmogorov

Bila P(n) adalah matriks probabilitas transisi n step P_ijn maka dari persamaan 50 didapat

Pn+m = Pn · Pm

dengan ” · ” menyatakan perkalian matriks. Khususnya P(2) = P(1 + 1) = P · P = P2

Maka dengan induksi,

P(n) = P(n − 1 + 1) = Pn−1· P = Pn

Contoh 4.5

Dari contoh 4.1, α = 0, 7 dan β = 0, 4. Hitung probabilitas akan hujan setelah 4 hari bila diketahui hari yang ditentukan hujan. Penyelesaian :

Matriks probabilitas transisi 1 step adalah

P = 0, 7 0, 3 0, 4 0, 6 Dengan demikian, P(2) = P2 = 0, 7 0, 3 0, 4 0, 6 .0, 7 0, 3 0, 4 0, 6 = 0, 61 0, 39 0, 52 0, 48 = 0, 5749 0, 4251 0, 5668 0, 4332

Probabilitas yang diinginkan adalah P₀₀4 = 0, 5749

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Klasifikasi State

State j dikatakan asesibel untuk state i bila P_ijn > 0 untuk suatu n > 0. Hal ini mengakibatkan state j asesibel dari state i bila dan hanya bila mulai dari i ada kemungkinan proses akan berada di state j . Hal ini benar karena jika j tidak asesibel dari i , maka

P(memasuki state j /berawal dari state i ) = P

∞ [ n=0 (X_n = j ) , X₀ = 1 ! = ∞ X n=0 P(X_n = j /X₀ = i ) = ∞ X n=0 P_ijn = 0

Dua state i dan j yang asesibel satu dengan yang lain disebut berkomunikasi dan ditulis i ↔ j .

Sebagai catatan, setiap state berkomunikasi dengan dirinya sendiri karena dengan definisi:

(31)

Klasifikasi State

Relasi komunikasi memenuhi tiga sifat berikut

1 State i komunikasi dengan state i , untuk setiap i ≥ 0. 2 State i komunikasi dengan state j , maka state j komunikasi

dengan state i .

3 State i komunikasi dengan state j , state j komunikasi dengan state k, maka state i komunikasi dengan state k.

Sifat 1 dan 2 dapat diturunkan langsung dari sifat komunikasi, sedang untuk sifat 3 misal i komunikasi dengan state j , state j komunikasi dengan state k, maka terdapat n dan m sedemikian hingga P_ijn > 0,P_jkm > 0. Dengan Chapman Kolmogorov didapat:

P_ikn+m =

∞

X

n=0

P_irnP_rkm ≥ P_ijnP_jkm (51)

Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Minggu 9,10:DISTRIBUSI SPESIAL Minggu 11,12:DISTRIBUSI BERSAMA VARIABEL RANDOM Minggu 13,14:RANTAI MARKOV Klasifikasi State

Dengan demikian, state k asesibel dari state i . Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa state i asesibel dari state k. Sehingga state i dan k berkomunikasi.

Dua state saling berkomunikasi dikatakan berada dalam satu kelas. Suatu akibat yang mudah diturunkan dari 1, 2, dan 3, bahwa dari setiap kelas dari state adalah sama atau saling asing. Dengan kata lain, konsep komunikasi membagi ruang state menjadi sejumlah kelas yang separabel. Rantai markov disebut iredusibel bila hanya terdapat satu kelas yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lain.

(32)

Klasifikasi State

Contoh 4.6

Pandang rantai Markov terdiri dari 3 state 0, 1, 2 dengan matriks probabilitas transisi P =   1 2 1 2 0 1 2 1 4 1 4 0 1₃ 2₃  

Tunjukkan bahwa rantai Markov ini iredusibel. Penyelesaian:

Sebagai contoh adalah memungkinkan untuk pergi dari state 0 ke state 2 yaitu dari state 0 ke 1 dengan probabilitas 1₂ kemudian dari state 1 ke state 2 dengan probabilitas 1₄. Dengan demikian rantai Markov ini iredusibel.