PROBABILISTIC & STATISTICS
Module 3 Probabilitas 1
TIM DOSEN UMN
Last updated 7 Sept 2014
LATAR BELAKANG
• Tidak semua keputusan bisnis adalah benar.
• Namun kita tidak mau mengambil keputusan tanpa memperhitungkan berapa peluang keputusan kita tersebut berakhir dengan kebenaran/kesuksesan.
• Untuk itu kita mempergunakan teori probabilitas.
• Disini kita mencoba memprediksi kejadian A akan terjadi.
• P(A) adalah nilai probabilitas kejadian A akan terjadi
• P(A) berada diantara 0 dan 1.
• P(A)=0 artinya kejadian A pasti tidak terjadi.
• P(A)=1 artinya kejadian A pasti terjadi.
• Nilai P(A) antara 0 dan 1 berarti kejadian A bisa terjadi bisa pula tidak terjadi.
• Bila nilai P(A)<0,5 maka lebih besar kemungkinan bahwa kejadian A tidak terjadi.
• Bila nilai P(A)>0,5 maka lebih besar kemungkinan bahwa kejadian A akan terjadi.
JENIS-JENIS PROBABILITAS
Hasil-hasil yg peluangnya samaBerdasarkan Frekuensi relatif
PROBABILITAS SUBJEKTIF
• Kemungkinan (probabilitas) munculnya suatu
kejadian tertentu ditentukan oleh seseorang berdasarkan informasi apapun yang tersedia
• Contoh:
–Berapa kemungkinan Anda menikah sebelum usia
30 tahun?
–Berapa peluang Anda mendapatkan pekerjaan
PROBABILITAS SUBJEKTIF
• Contoh Lain:
–Seorang manajer percaya bahwa probabilitas suksesnya seorang salesman menjual 1 unit bila sudah melakukan presentasi sebanyak 10 kali atau 10%.
–Jika target per salesman adalah 100 unit, maka berapa kali seorang salesman melakukan presentasi?
PROBABILITAS EMPIRIS
• Probabilitas suatu kejadian akan muncul kembali adalah sebagian dari sejumlah kejadian serupa yang telah terjadi dimasa lalu.
CONTOH PROBABILITAS EMPIRIS
• Contoh Pelemparan munculnya Kepala pada pelemparan sebuah uang logam
• Untuk jumlah percobaan yang sangat besar maka frekuensi relatif mendekati 0,5.
CONTOH LAIN PROBABILITAS EMPIRIS
• Sampai pada bulan juli sebuah perusahaan sudah menerima 90 barang yang dikirim oleh suplier.
• Jumlah barang yang rusak adalah 10.
• Probabilitas diterimanya barang dalam keadaan rusak =10/90.
• Pada bulan agustus, mereka menerima 10 barang lagi • Di bulan ini hanya ada 2 barang yang rusak.
PROBABILITAS KLASIK
• Probabilitas Klasik (Classical probability) didasarkan pada bahwa hasil-hasil dari sebuah eksperimen memiliki peluang yang sama untuk keluar.
• Rumus:
𝑃 𝐾𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛
=𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛
9
CONTOH
• Contoh: Pada eksperimen pelemparan sebuah uang
logam. Berapa peluang munculnya Kepala?
–Seluruh kejadian yang mungkin terjadi S={H,T}
n(S)=2
–Kejadian yang diharapkan adalah munculnya
Kepala A={H} n(A)=1. –Probabilitas munculnya
KepalaP(A)=n(A)/n(S)=0,5.
CONTOH
• Contoh: Pada eksperimen pengambilan sebuah bola
dari sebuah kantung berisi 9 bola. Hitung peluang terambilnya bola nomor 5!
11
1 2 3 4
5 6 7 8 9
• S={1,2,3,…9} n(S)=9
• A:Kejadian terambilnya bola 5 • A={5} n(A)=1 P(A)=n(A)/n(S)=1/9
ISTILAH DALAM PROBABILITAS
• Eksperimen adalah suatu proses yang mengeluarkan
satu atau lebih hasil yang diharapkan. • Hasil adalah keluaran tertentu dari sebuah
eksperimen.
RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE)
Toss a Coin S = {Head, Tail}
Toss 2 Coins S = {HH, HT, TH, TT}
Select 1 Card S = {2♥, 2♠, ..., A♦} (52 cards) Select 1 Card, Note Color S = {Red, Black}
Machine Breakdown Causes S = {electrical, mechanical, misuse}
Number of Software Errors S = {0 error, 1 error, 2 errors, ….}
Observe Gender S = {Male, Female}
Sample Space adalah himpunan yang terdiri dari seluruh hasil yang mungkin terjadi
Ekperimen Ruang Sampel
KEJADIAN
• Kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil dari sebuah eksperimen.
• Kejadian yang berisi satu hasil eksperimen disebut dengan kejadian elementer
• Contoh:
– Eksperimen: sebuah dadu dilemparkan.
– Hasil yang mungkin dari eksperimen pelemparan dadu: Angka 1 keluar Angka 2 keluar Angka 3 keluar Angka 4 keluar Angka 5 keluar Angka 6 keluar
– Kejadian yang mungkin:
• A= kejadian mendapatkan angka yang ganjil
• B= kejadian mendapatkan angka yang lebih besar dari 4
• C= kejadian mendapatkan angka 3 atau kurang.
• Suatu kejadian (A) bisa terjadi bersamaan dengan kejadian yang lain (B).
CONTOH
• Tentukan peluang seseorang akan medapatkan
"MATA 5" muncul sebanyak 2 kalipada pelemparan 2 kali sebuah dadu.
• Ekperimen pelemparan sebuah dadu 2x
• S={11,12,...16,21,22,..26,61,62,...66} n(S)=36 • A:Kejadian muncul mata 5 dua kali
• A={55} n(A)=1
• P(A)=n(A)/n(S)=1/36.
15
KEJADIAN SALING ASING
• Ekperimen perlemparan sebuah dadu • S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6.
• A:Kejadian munculnya angka ganjil A={1,3,5} n(A)=3 P(A)=n(A)/n(S)=0,5 • B:Kejadian munculnya angka genap B={2,4,6} n(B)=3 P(B)=n(B)/n(S)=0,5 • A∩B=∅ n(A∩B)=0 P(A∩B)=n(A∩B)/n(S)=0.
PELUANG TERJADINYA DUA KEJADIAN SALING ASING SECARA BERSAMAAN
QUIZ: MANA YANG SALING ASING?
• Ekperimen pelemparan dadu dan koin bersamaan.
Kejadian munculnya angka 5 pada dadu dan kejadian munculnya head pada pelemparan koin.
• Ekperimen pelemparan 1 dadu. Kejadian munculnya
angka prima pada dadu dan kejadian munculnya angka genap
• Ekperimen pelemparan dua dadu bersamaan.
Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu=3 dan kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu=11.
17
KOMPLEMEN
• Ada lagi contoh kejadian yang saling asing yaitu kejadian yang merupakan komplemen dari suatu kejadian.
– Ekperimen pelemparan sebuah dadu. – S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6
– A:kejadian munculnya angka ganjil. A={1,3,5} n(A)=3. – A:kejadian munculnya angka tidak ganjil. A={2,4,6} – P(A)+P(A)=n(A)/n(S)+n(A)/n(S)=0,5+0,5=1
ATURAN PENJUMLAHAN PROBABILITAS
• Aturan penjumlahan probabilitas terdiri dari:
–Aturan penjumlahan umum untuk kejadian
tidak saling asing A∩B≠ ∅P(A∩B)>0
–Aturan penjumlahan khusus untuk kejadian saling asing A∩B≠ ∅ P(A∩B)=0
19
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)
CONTOH
• Ekperimen pelemparan dadu dan koin bersamaan. Kejadian munculnya angka 5 pada dadu dan kejadian munculnya head pada pelemparan koin. Hitung peluang terjadinya munculnya angka 5 pada dadu atau kejadian munculnya head pada pelemparan koin!
CONTOH
• Ekperimen pelemparan sebuah dadu dan koin bersamaan.
• S={1H, 1T, 2H, 2T, … 6H, 6T} n(S)=12
• A:Kejadian munculnya angka 5 pada dadu • A={5H,5K} n(A)=2 P(A)=2/12
• B:Kejadian munculnya Head pada pelemparan koin. • B={1H,2H,…6H} n(B)=6 P(B)=6/12
• A∩B={5H} n(A∩B)=1>0 bukan saling asing P(A∩B)=1/12 • P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=2/12+6/12-1/12=7/12
21
CONTOH
• Ekperimen pelemparan dua dadu.
• S={11, 12, … 16, 21, 22 … 26, 61,62,…66} n(S)=36
• A:Kejadian jumlah angka kedua dadu=3
• A={12,21} n(A)=2 P(A)=2/36
• B:Kejadian jumlah angka kedua dadu=11
• B={56,65} n(B)=2 P(B)=2/36
• A∩B={} n(A∩B)=0 saling asing P(A∩B)=0
HOMEWORK
• Seorang Mahasiswa mengambil 2 buah mata kuliah
katakan saja A dan B. Peluang untuk lulus matkul A 2/3 dan peluang untuk lulus matkul B adalah 4/9. Bila peluang untuk lulus keuda mata kuliah adalah ¼, berapakan peluang Mahasiswa tsb untuk lulus pada salah satu mata kuliah?
23
KEJADIAN TIDAK SALING ASING
• Dua buah kejadian A dan B tidak saling asing apabila kejadian A dapat terjadi bersamaan dengan kejadian B.
• Terdapat dua kemungkinan:
–Kejadian A terjadi dipengaruhi oleh kejadian B –Kejadian A terjadi tidak dipengaruhi oleh kejadian
KEJADIAN A DIPENGARUHI OLEH KEJADIAN B
• Kejadian A terjadi dipengaruhi oleh terjadinya kejadian B atau dengan kata lain Kejadian A terjadi dengan syarat terjadinya kejadian B
• Probabilitas bersyarat:
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) • atau
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝑃(𝐴|𝐵)
25
CONTOH
• Hadi pergi ke Jakarta kalau besok pagi tidak hujan. Hitung probabilitas Hadi pergi ke Jakarta!
Cuaca Besok Pagi Hadi pergi ke Jakarta
HUJAN Tidak Pergi
TIDAK HUJAN Pergi
DIAGRAM POHON
• Mahasiswa di dalam fakultas iCT terdiri dari 50% TI, 40% SI, 10% SK. Mahasiswa berkacamata di TI 25% di SI 15% dan di SK 5%.
• Bila satu orang mahasiswa diambil dari fakultas ICT: (a) berapa peluang anak tsb berkacamata dari SI? (b) Berapa peluang anak tersebut tidak berkaca
JAWAB
P(K∩TI)=0,5x0,25=0,125
P(K∩ SI)=0,4x0,15=0,06
P(K∩ SK)=0,1x0,05=0,05
HOMEWORK
• Sebuah perusahaan menjual notebook yang berasal dari 3 buah pabrik yang terletak di Tangerang (T), Bekasi (B), dan Depok D) dimana kapasitas produksi masing-masing pabrik adalah T=20%, B=30%, D=50%.
• Dari Pabrik ditemukan beberapa produk cacat yaitu dari T 2%, B 3%, dan D 4% dan seluruh notebook tersebut dimasukkan ke dalam sebuah gudang.
• Seorang karyawan disuruh untuk mengambil sebuah notebook secara acak.
– Berapa peluang notebook yang diambil Cacat?
• Disebut juga kejadian saling bebas.
• Kejadian A terjadi tidak dipengaruhi oleh terjadinya kejadian B atau dengan kata lain Kejadian A terjadi tidak perduli kejadian B terjadi atau tidak.
Untuk kejadian saling bebas: P(A|B)=P(A)
OLEH KEJADIAN B
31
CONTOH
• Ekperimen pelemparan dua buah dadu. • S={(1,1),(1,2),(1,3)…(6,6)} n(S)=36.
• A:kejadian munculnya angka ganjil di dadu I.
A={(1,1)…(1,6),(3,1)…(3,6),(5,1)…(5,6)} n(A)=18.
• P(A)=n(A)/n(S)=18/36=
0,5
• B:kejadian munculnya angka ganjil di dadu II. B={(1,1)…(6,1),(1,3)…(6,3),(1,5)…(6,5)} n(B)=18. • P(B)=n(B)/n(S)=18/36
• Kejadian A bisa terjadi bersamaan dengan B
A∩B={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5), (5,1),(5,3),(5,5)} n(A∩B)=9 n(A∩B)>0
• P(A∩B)=n(A∩B)/n(S)=9/36.