Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2008
Nurhafni
ABSTRACT
NURHAFNI. Truncated Regression Analysis with Some Zero Observations. Supervised by SISWADI and N. K. KUTHA ARDANA.
In social research survey, the use of household data is often hindered by the occurrence of zero consumption or zero expenditure in the sample. Such zero observations arise as households participating in the survey typically do not consume certain commodity. The aim of this thesis is to evaluate truncated regression with some zero observations on dependent variable. This implies on the method of estimating the regression parameters. The estimation methods used in this research are Ordinary Least Square (OLS), Weighted Least Square (WLS), and Heckman’s two step method. The data applied in this paper are generated using software SAS 9.1 with 8% proportion of zero observations. The following results are obtained. Based on the bias, variance, and Mean Square Error (MSE) of the estimates as well as the MSE for model validation, OLS and WLS methods have relatively similar results. They tend to be better compared to the Heckman’s two step method. Therefore, for the similar pattern of the data, it is recommended to use OLS since it is a well known and simple method.
Keywords : truncated regression, Ordinary Least Square (OLS), Weighted Least Square (WLS), Heckman’s two step estimator
RINGKASAN
NURHAFNI. Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol. Dibimbing oleh SISWADI dan N. K. KUTHA ARDANA.
Dalam penelitian survei ekonomi sosial, penggunaan data rumah tangga sering diusik dengan kehadiran zero consumption atau zero expenditure dalam sampel. Nilai amatan noltersebut terjadi karena rumah tangga yang berpartisipasi pada survei tidak mengonsumsi komoditas tertentu, yang disebabkan oleh beberapa faktor yaitu adanya variasi pada preferensi konsumsi/rumah tangga, harga komoditas yang relatif tinggi, kesalahan pada pelaporan dan survei hanya dicatat pada periode tertentu, tidak bertepatan dengan pembelian aktual.
Model regresi merupakan suatu alat untuk menganalisis data survei dan parameter yang diduga dari suatu model regresi tersebut sering memberikan gambaran secara umum. Dari sudut pandang pemodelan statistika, masalah tersebut berimplikasi pada metode pendugaan yang sesuai untuk menduga parameter dari model yang dipakai.
Penelitian sebelumnya membandingkan model regresi biasa, model Tobit dan regresi terpotong (Truncated Regression) pada data konsumsi rumah tangga, dengan mengikutkan zero consumption dan tanpa zero consumption. Dalam penelitian tersebut digunakan metode pendugaan OLS dan MLE dan hasilnya menyatakan bahwa metode OLS lebih baik dari MLE.
Penelitian ini dilakukan untuk mengevaluasi regresi terpotong dengan beberapa nilai amatan nol pada peubah respons pada model, yaitu
. Pendugaan parameter yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square, OLS), metode kuadrat terkecil terboboti (Weighted Least Square, WLS) dan penduga dua tahap Heckman (Heckman’s two step estimator). Selanjutnya adalah untuk mengetahui metode manakah di antara ketiga metode tersebut yang akan menghasilkan penduga yang baik pada proporsi nol yang dicobakan.
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data bangkitan dari distribusi normal dengan proporsi nilai amatan nol sekitar 8% (16 amatan nol dari 192 amatan contoh), pembangkitan dilakukan dengan software SAS 9.1
Hasil penelitian menunjukan nilai bias dugaan parameter dari ketiga metode dapat dikatakan sama antara satu dengan yang lain walaupun ada kecenderungan metode WLS lebih kecil dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai bias dugaan pada bernilai positif atau nilai dugaan berbias ke atas. Sedangkan nilai bias dugaan pada yang bernilai negatif atau berbias ke bawah. Nilai ragam dugaan dari setiap parameter pada metode dua tahap Heckman relatif lebih besar dibandingkan dengan dua metode yang lain. Nilai ragam dugaan metode OLS dan WLS dapat dikatakan sama walaupun ada kecenderungan nilai ragam metode OLS lebih kecil dibandingkan dengan metode WLS. Nilai MSE metode dua tahap Heckman relatif paling besar dibandingkan dua metode yang lain. Nilai MSE metode OLS dan WLS dapat dikatakan sama pada semua parameter, tetapi secara keseluruhan nilai MSE metode WLS cenderung lebih kecil dibandingkan dengan OLS. Begitu juga dari nilai MSE validasi model, metode OLS dan WLS relatif lebih baik dari metode dua tahap Heckman.
Secara umum penduga OLS dan WLS lebih baik dan lebih efisien dari metode dua tahap Heckman. Dari hasil tersebut maka disarankan untuk data yang mempunyai pola yang sama, metode OLS dapat digunakan. Selain memberi sifat- sifat yang baik, metode ini sudah umum dikenal, mudah dipahami, prosedur
©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008
Hak Cipta dilindungi undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN
BEBERAPA NILAI AMATAN NOL
NURHAFNI
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Judul Tesis : Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol Nama : Nurhafni NIM : G551060251 Disetujui, Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Dekan Sekolah Pasca Sarjana Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2007 ini adalah membandingkan metode pendugaan parameter, dengan judul Analisis Regresi Terpotong dengan Beberapa Nilai Amatan Nol.
Penulis sangat berterima kasih kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing atas saran, bimbingan dan nasehatnya selama penelitian dan penulisan tesis ini. Terima kasih juga disampaikan kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, MS sebagai penguji luar komisi yang telah banyak memberikan masukan untuk perbaikan tesis ini selama dalam persidangan tesis. Terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan izin dan bantuan beasiswa kepada penulis untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Kepada suamiku Sumarhalin, anakku tersayang Fascha Ahmad, orang tua serta seluruh keluarga, terima kasih atas segala kasih sayang, pengertian dan doanya. Terakhir, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada rekan-rekan atas segala bantuannya dan doanya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2008
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Pura pada tanggal 28 Agustus 1976 dari ayah Ahmad Mansyuruddin dan ibu Helmi Yus. Penulis merupakan anak pertama dari lima bersaudara.
Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri Tanjung Pura Kabupaten Langkat dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk USU Medan. Penulis memilih Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1999.
Tahun 1999 penulis bekerja sebagai tenaga honorer di Madrasah Aliyah Negeri 2 Tanjung Pura sampai tahun 2006.
Tahun 2005 penulis masuk PNS di Departemen Agama, bekerja sebagai staf pengajar diperbantukan di Madrasah Tsanawiyah Swasta (MTsS) Jam’iyah Mahmudiyah Tanjung Pura sampai sekarang.
Pada tahun 2006 penulis masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2008.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... xi DAFTAR GAMBAR ... xii DAFTAR LAMPIRAN ... xiii PENDAHULUAN
Latar Belakang ... 1 Tujuan dan Manfaat ... 3 TINJAUAN PUSTAKA
Metode Kuadrat Terkecil Biasa ... 4 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti ... 5 Regresi Terpotong ... 8 Regresi Tobit ... 8 Model Probit ... 10 Penduga Dua Tahap Heckman ... 12 Sifat-sifat Penduga yang Baik ... 13 METODE PENELITIAN
Sumber Data ... 16 Tahap Analisis ... 16 HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Pendugaan Parameter ... 23 Evaluasi Metode Pendugaan ... 27 Validasi Model ... 34 KESIMPULAN DAN SARAN ... 37 DAFTAR PUSTAKA ... 39 LAMPIRAN ... 40
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Nilai peubah penjelas pada data asal ... 17 2 Nilai bias dugaan dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 28 3 Nilai ragam dugaan dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 30
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Flowchart dari tahap analisis penelitian ... 20 2 Diagram kotak nilai dugaan untuk keseluruhan parameter pada tahap
pendugaan parameter ... 24 3 Diagram kotak nilai dugaan untuk tiap-tiap parameter pada tahap
pendugaan parameter ... 24 4 Grafik nilai bias dugaan dari keseluruhan parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 28 5 Grafik nilai bias dugaan dari tiap-tiap parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 29 6 Grafik nilai ragam dugaan dari keseluruhan parameter ( ) dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 30 7 Grafik nilai ragam dugaan dari tiap-tiap parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 31 8 Grafik nilai MSE dugaan dari keseluruhan parameter ( ) dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 32 9 Grafik nilai MSE dugaan dari tiap-tiap parameter ( )
dengan metode OLS, WLS dan dua tahap Heckman ... 33 10 Diagram kotak nilai MSE untuk validasi model dengan metode OLS, WLS
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Program simulasi data ... 40 2 Program pendugaan parameter ... 42 OLS ... 42 WLS ... 43 Dua tahap Heckman ... 45 3 Hasil pendugaan parameter yang diperoleh dari masing-masing metode
pendugaan parameter ... 48 4 Nilai MSE validasi model dengan metode OLS, WLS dan dua
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu metode penelitian sosial ekonomi yang sangat luas penggunaannya adalah metode penelitian survei. Penelitian survei bertujuan untuk mendeskripsikan fenomena sosial ekonomi tertentu, mengadakan evaluasi dan melakukan prediksi mengenai fenomena tersebut.
Salah satu penelitian survei yang rutin dilakukan di Indonesia adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) yang diselenggarakan oleh Biro Pusat Statistik (BPS). Salah satu peubah sasaran adalah konsumsi/pengeluaran rumah tangga yang dikumpulkan setiap tiga tahun sekali. Survei ini biasanya dilakukan untuk mendapatkan informasi mengenai barang dan jasa yang dibeli konsumen serta berapa besar pengeluarannya. Data yang terkumpul digunakan untuk mempelajari perilaku konsumen, memonitor tingkat kesejahteraan pada kelompok masyarakat, dan untuk pengambilan kebijakan pajak maupun politik pemerintah (BPS, 2003).
Perkembangan ilmu sosial ekonomi menuntut analisis kuantitatif untuk melihat dan menganalisis hubungan peubah-peubah yang saling terkait. Dimulai dari hubungan dalam teori ekonomi lalu diformulasikan ke persamaan matematika dengan membuat model, sehingga dapat diukur. Model regresi merupakan suatu alat untuk menganalisis data survei dan parameter yang diduga dari suatu model regresi tersebut sering memberikan gambaran secara umum. Dari sudut pandang pemodelan statistika, masalah tersebut berimplikasi pada metode pendugaan yang sesuai untuk menduga parameter dari model yang dipakai.
Permasalahan yang sering dihadapi pada survei konsumsi/pengeluaran rumah tangga adalah diperolehnya nilai amatan nol. Hal tersebut sering dijumpai karena adanya rumah tangga yang tidak mengonsumsi komoditas tertentu, dikenal dengan istilah zero consumption/zero expenditure. Akibatnya akan menyulitkan penggunaan data rumah tangga karena peubah respons pada fungsi permintaannya mengandung zero consumption/zero expenditure. Ada beberapa faktor yang menyebabkan fenomena zero consumption/zero expenditure, di antaranya adalah 1) adanya variasi pada preferensi konsumen atau rumah tangga, 2) harga
2
komoditas yang cukup mahal, 3) kesalahan pada pelaporan 4) survei hanya dicatat pada periode tertentu, tidak bertepatan dengan pembelian aktual. Bagaimanapun di antara rumah tangga terdapat variasi yang luas dalam kuantitas atau jumlah yang dikonsumsi, sehingga kemungkinan ada sejumlah nilai amatan nol.
Kemalawaty (1999) yang menggunakan data Susenas dalam penelitian mengenai sistem permintaan makanan di daerah Aceh menggabungkan beberapa rumah tangga sesuai dengan interval besar anggaran pengeluaran untuk mencegah nilai amatan nol, padahal model yang digunakan menghendaki semua rumah tangga contoh mengkonsumsi semua komoditas yang dianalisis.
Ada juga sebagian peneliti tidak menganalisis data zero consumption, hal ini tentu saja mengurangi informasi, ukuran sampel dan tidak mencerminkan keadaan yang sebenarnya karena berkurangnya rumah tangga contoh.
Virgantari (2005), membandingkan model regresi biasa, model Tobit dan regresi terpotong (Truncated Regression) pada data konsumsi rumah tangga, dengan mengikutkan zero consumption dan tanpa zero consumption. Dalam kajian penerapan metode kuadrat terkecil biasa (Ordinary Least Square, OLS) dan metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood, ML), disimpulkan bahwa berdasarkan nilai Mean Square Error (MSE) serta penyimpangan asumsi, secara umum dapat dikatakan metode OLS memberikan hasil yang lebih baik daripada menggunakan metode ML.
Banyak metode pendugaan yang biasa digunakan dalam analisis regresi atau untuk menduga parameter model yang digunakan. Metode kuadrat terkecil biasa sangat populer digunakan, karena secara teori metode tersebut mudah dan cukup baik apabila asumsi klasik dipenuhi. Semakin banyak nilai amatan nol pada data yang diperoleh akan menyebabkan terjadinya penyimpangan asumsi klasik, sehingga diperlukan metode pendugaan yang lain, seperti metode kuadrat tekecil terboboti (Weighted Least Square, WLS) dan metode penduga dua tahap Heckman (Probit dan OLS) yang akan dibahas dalam penelitian ini.
3
Tujuan dan Manfaat
Tujuan penelitian ini mengevaluasi model regresi terpotong dengan beberapa nilai amatan nol, dengan metode kuadrat terkecil biasa (OLS), metode kuadrat terkecil terboboti (WLS) dan penduga dua tahap Heckman (Probit dan OLS) untuk memperoleh metode pendugaan yang terbaik.
Dari hasil penelitian ini diharapkan dapat diperoleh suatu metode pendugaan parameter yang terbaik dalam penelitian yang banyak melibatkan nilai amatan nol seperti pada pola konsumsi/pengeluaran rumah tangga, sehingga diharapkan pendugaan pola konsumsi dan model fungsi permintaan dapat memberikan gambaran yang lebih rinci dan tepat tentang perilaku konsumsi rumah tangga. Informasi yang dihasilkan dapat bermanfaat lebih jauh bagi perencanaan kebijakan dan peningkatan konsumsi pangan.
4
TINJAUAN PUSTAKA
Pendugaan parameter pada model regresi dapat diselesaikan dengan metode pendugaan yang berbeda, seperti OLS, WLS, penduga dua tahap Heckman yang akan digunakan dalam tulisan ini.
Metode Kuadrat Terkecil Biasa (OLS)
Persamaan regresi linear adalah persamaan antara satu peubah respons (Y) dengan satu atau lebih peubah penjelas (X1, X2, X3, …, Xp). Hubungan antara
peubah-peubah tersebut dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan,
(1) Atau dalam bentuk matriks,
dengan X adalah matriks peubah penjelas berukuran n × k, Y adalah vektor peubah respons berukuran n × 1, adalah vektor parameter berukuran k × 1, adalah vektor galat atau sisaan berukuran n × 1 (n adalah banyaknya amatan dan
k = p + 1 adalah banyaknya parameter ). Asumsikan
, .
Pendugaan parameter dalam model regresi linear dilakukan dengan meminimumkan kuadrat sisaan atau
(2) Sebagai nilai dugaan, maka dipilih ß sedemikian rupa sehingga nilai minimum. Caranya adalah dengan mendiferensialkan persamaan (2) terhadap ß
dan kemudian disamakan dengan nol, yaitu:
(3) Sehingga diperoleh:
(4) dengan matriks koragam dari penduga adalah :
(5) dengan adalah matriks non singular (Draper and Smith, 1981).
5
Jika matriks
singular, maka penduga ß dicari dengan matriks kebalikan umum. Penduga tersebut tidak bersifat unik, dan solusi umumnya (Kshirsagar, 1983) adalah:
(6) di mana adalah matriks idempoten berukuran p × p yang mempunyai sifat pangkat H = pangkat S = pangkat X = tr H; dan z adalah vektor sembarang, sedangkan
(7) di mana adalah kebalikan umum dari S= .
Metode OLS merupakan metode pendugaan yang sering dipakai pada analisis regresi klasik. Hal ini berdasarkan pada kenyataan bahwa penduga OLS relatif lebih mudah dan selalu tersedia pada software statistika, penduga OLS merupakan penduga tak bias linear terbaik (BLUE).
Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (WLS)
Asumsi yang biasa dibuat mengenai model regresi linear
adalah . Kadang-kadang asumsi tersebut tidak
terpenuhi, dan modifikasi metode kuadrat terkecil diperlukan ketika
, di mana merupakan matriks n × n. Jika matriks diagonal dengan elemen diagonal yang tidak sama, maka amatan Y tidak berkorelasi tetapi mempunyai ragam yang berbeda. Jika selain elemen diagonal pada adalah tak nol, maka amatan Y ada yang saling berkorelasi.
Secara formal, andaikan model
(8) diketahui, tidak perlu diketahui penduga kuadrat terkecil biasa tidak lagi sesuai. Pendekatan masalah ini dilakukan dengan transformasi model pada himpunan amatan baru yang memenuhi asumsi kuadrat terkecil dan selanjutnya menggunakan OLS pada data yang telah ditransformasi. Karena merupakan matriks koragam dari galat, adalah sebarang matriks tak singular dan definit positif, maka terdapat matriks simetrik tak singular K berukuran n × n, di mana Matriks K
6
Definisikan peubah-peubah baru
maka model regresi menjadi atau
(10)
Dengan demikian elemen mempunyai nilai tengah nol, ragam konstan dan tak berkorelasi. Karena galat pada persaman (10) memenuhi asumsi biasa, sehingga OLS dapat digunakan. Fungsi kuadrat terkecil adalah
(11)
Dengan pendiferensialan secara parsial terhadap dan menyamakan hasil yang diperoleh dengan nol, sehingga diperoleh persamaan normal kuadrat terkecil,
(12)
dan solusi persamaan tersebut adalah :
(13) disebut penduga kuadrat terkecil umum (Generalized Least Square, GLS)
dari , dengan matriks koragam dari penduga adalah :
(14) (Montgomery and Peck, 1992).
Jika struktur dari matriks koragam tidak diketahui, atau matriks tidak diketahui maka untuk metode pendugaaan parameter GLS pada persamaan (13) perlu diduga dari data selain pendugaan parameter dengan menggunakan metode OLS. Metode GLS secara khusus memerlukan proses iterasi. Dalam prakteknya, secara khusus tidak diketahui, maka pendugaan parameter dengan metode GLS tidak dapat diperoleh. Dengan menggantikan penduga untuk pada persamaan (13) menghasilkan penduga yaitu
(15) dengan yang berunsur n(n+1)/2 parameter, sehingga terlalu banyak untuk diduga dari n amatan. Pendugaan yang tepat dari tidak akan mungkin kecuali pembatasan pada elemen ditentukan atau strukturnya harus ditentukan pada model jika diproses.
7
Jika galat mempunyai ragam tak sama, maka = diag dan bentuk khusus dari GLS ini disebut sebagai metode kuadrat terkecil terboboti (Weighted
Least Square, WLS). Dalam kasus ini K = diag = dan
. Diasumsikan struktur sederhana dari sehingga merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonal yang mungkin berbeda,
(16)
yang artinya elemen Y tidak berkorelasi tetapi mempunyai ragam yang berbeda. Untuk menentukan penduga WLS, tansformasi matriks yang diinginkan adalah,
(17)
Algoritma WLS jika struktur tidak diketahui dapat ditulis dalam langkah- langkah sebagai berikut :
1 Regresikan Y dengan konstanta dan semua peubah bebas atau menduga parameter dengan OLS, menghasilkan sebagai dugaan awal.
2 Tentukan galat dari regresi pada langkah pertama.
3 Analisis galat dan tentukan pembobot atau dugaan dari yaitu yang merupakan matriks diagonal.
4 Duga kembali parameter dengan menyelesaikan persamaan (15) untuk memperoleh yang baru, atau dilakukan dengan memerhatikan bahwa dapat didekomposisikan sebagai dan dugaan parameter dapat diperoleh dengan membentuk pembobot dan melakukan regresi kuadrat terkecil terboboti dengan mentransformasi semua peubah pada langkah pertama dengan mengalikan setiap peubah termasuk konstanta dengan bobot yang dibentuk pada langkah sebelumnya.
5 Ulangi langkah 2, 3, 4 sampai
8
Regresi Terpotong
Menganalisis data survei rumahtangga misalnya pengeluaran rumahtangga pada suatu barang dengan menggunakan model regresi dengan memerhatikan kenyataan bahwa pengeluaran (peubahrespons pada model regresi) tidak mungkin negatif.
Peubah respons dalam model regresi diamati pada seluruh daerah hasil
(range). Peubah respons dikatakan terpotong jika sebagian dari amatan
merupakan nilai minimum atau maksimum, karena peubah terpotong tidak diamati pada seluruh daerah hasil. Sebuah sampel dikatakan terpotong jika data hanya diperoleh pada himpunan bagian dari keseluruhan populasi.
Dalam studi ini peubah respons dikatakan terpotong pada titik c bila nilainya
c dianggap bernilai c atau Y didefinisikan sebagai berikut :
(18) (Maddala, 1983).
Model Tobit
Model ini pertama kali dibicarakan oleh Tobin (1958), yang menganalisis pengeluaran rumahtangga pada suatu barang menggunakan model regresi dengan memerhatikan kenyataan bahwa pengeluaran (peubah respons pada model regresi) tidak mungkin negatif. Untuk data dengan beberapa nilai amatan nol, metode kuadrat terkecil tidak sesuai karena asumsi klasik tidak terpenuhi. Karena Tobin menghubungkan studinya pada analisis Probit, maka model ini juga disebut model Tobit oleh Goldberger (Amemiya, 1984).
Maddala (1983) mendefinisikan model Tobit sebagai berikut:
(19)
Pada model ini , adalah vektor parameter berukuran k × 1, adalah vektor peubah penjelas berukuran k × 1, termasuk unsur 1 bila dengan intersep, dan adalah galat yang saling bebas dan berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan ragam .
9
Pendugaan parameter menurut Maddala (1983) dilakukan dengan memisahkan amatan peubah respons yang bernilai nol dan positif. Misalkan N0 adalah banyaknya amatan di mana yi = 0 dan Ni adalah banyaknya amatan
yi > 0, dan didefinisikan:
(20)
(21)
(22)
(23) dan masing-masing merupakan fungsi kepekatan peluang dan fungsi
distribusi kumulatif normal baku yang dievaluasi pada . Misalkan,
(24) merupakan vektor N1 amatan tak nol berukuran 1 N1
merupakan matriks nilai-nilai untuk amatan
tak nol berukuran k N1