SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Kekonsistenan Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non Homogen adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Mei 2011
Taslim
DAFTAR PUSTAKA
Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Second Edition. Wadsworth &
Brooks/Cole, Pasific Grove, California.
Cressie, NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. Wiley, New York.
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort & Brooks.
Durret. 1996. Probability: Theory and Examples. Third Edition. Duxbury Press. New York.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastics Processes. Third Edition. New Jersey: Pearson Prentice Hall.
Grimmett GR, Stizaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Second Edition. Oxford: Clarendon Press.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61(3), 559-628. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84, 19-39.
Helms, LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary
Applications. W.H. Freeman & Company. New York.
Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Sixth Edition. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.
Mangku IW. 2006. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Application. Vol.5, No:1.
37
Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogenous Poisson process. Accepted by Far East Journal of Mathematical Sciences. Vol.51, No:2, halaman 141-150.
Rachmawati RN. 2010. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi
Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen
Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Rahayu M. 2008. Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson
Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi.
Bogor.
Ross SM. 2007. Stochastic Processes. Second Edition. John Wiley & Sons. New York.
Serflling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons.
Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. Ed. Ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta
Taylor HM, Karlin S. 1984. An Introduction to Stochastic Modelling. Acedemic Press Inc. Orlando, Florida.
Wheeden RL. and Zygmund A. 1977. Measure and Integral: An Introduction to
RINGKASAN
TASLIM. Kekonsistenan Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.
Proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank dan lain-lain dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas λ(s) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada penelitian ini dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika trennya berupa fungsi kuadrat. Model fungsi intensitas yang dikaji adalah fungsi periodik dikalikan dengan tren kuadratik. Pada penelitian ini dibahas kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik pada proses Poisson non homogen.
Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dikalikan tren kuadratik adalah metode nonparametrik tipe kernel umum (Helmers et al., 2003). Sebagai alur dari penelitian ini, pertama merumuskan penduga. Kemudian membuktikan penduga adalah penduga konsisten lemah dan Mean Square Error (MSE) konvergen ke nol. untuk membuktikan kekonsistenan lemah diperlukan pembuktian lema ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam. Selanjutnya menentukan laju kekonsistenan penduga, untuk menentukan laju kekonsistenan diperlukan pembuktian aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan dan aproksimasi asimtotik bagi ragam. Terakhir, membuktikan kekonvergenan lengkap penduga yang berimplikasi penduga adalah penduga kekonsistenan kuat.
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval [0, ) dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen, yaitu hasil kali suatu komponen periodik (siklik) dengan periode > 0 dengan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi kuadratik. Dengan kata lain untuk setiap titik s [0, )kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut
* 2
dimana c*( )s adalah suatu fungsi periodik dengan periode dan a adalah koefisien dari tren kuadratik. Karena a( c* ( ))s juga fungsi periodik dengan periode , maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut
2
( )s ( ( ))c s s (1)
dimana *
( ) ( )
c s a c s . Karena c adalah fungsi periodik maka persamaan
( ) ( )
c s k c s (2) berlaku untuk setiap s [0, )dan k dengan adalah himpunan bilangan bulat.
Misalkan bahwa untuk suatu , hanya terdapat realisasi tunggal N( )dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ( ,, P) dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas [0, n]. Berdasarkan persamaan (1), untuk menduga ( )s pada titik s [0, ), cukup diduga c( )s pada titik s [0, ).
Penduga tipe kernel dari c( )s pada s [0, ) dirumuskan sebagai berikut:
, , 2 0 1 ( ) ˆ ( ) ( ). ( ) n c n K k n n x s k s K N dx n h s k h
Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut :
(i) Penduga ˆ, , ( )
c n K s adalah penduga tak bias asimtotik bagi c( )s dan ragam dari ˆ, , ( )
c n K s konvergen menuju nol, sehingga ˆ, , ( )
c n K s merupakan penduga konsisten bagi c( )s dan (ˆ, , ( )) 0
c n K
MSE s jika n . (ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan
ˆc n K, , s = 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 c c n n s s h x K x dx o h .
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam
2 1 2 , , 2 1 2 1 ˆ 6 c c n K n n s Var s K x dx n h n h .
(iv) Untuk setiap min 2 ,1
2 , ˆ, , ( ) ( )
c n K c
n s s konvergen dalam peluang menuju nol jika n , yaitu ˆ, , ( )
c n K s merupakan penduga konsisten bagi c( )s dengan laju 1
n .
(v) Penduga ˆ, , ( )
c n K s konvergen lengkap ke c( )s untuk n , yang juga berimplikasi ˆ, , ( )
c n K s merupakan penduga konsisten kuat bagi c( )s . Kata kunci: proses Poisson periodik, fungsi kernel, tren kuadratik.
