PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMAS

EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD

PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMAS

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

Yana NRP G551070411

ABSTRACT

YANA. The Exploration of Discrete Logarithm Problem over Finite Field . Under direction of SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS.

Discrete logarithm problem represents a problem which is defined as modular arithmetic. It is often used to generate a key pair on public key cryptography as security object. Given cyclic group Gof order n, generator of G, and ∈ , then,

in general, discrete logarithm problem is determined as the integer , −, such that mod . In Menezes et al.(1997) the algorithm to

solve the discrete logarithm problem in common cyclic group G are Exhaustive Search algorithm, Baby-Step Giant-Step, Pollard's rho, Pohlig Hellman and Index Calculus. Furthermore, these algorithms are explored to determine the solution of discrete logarithm problem on . The reconstructed algorithms are implemented using Maple 11 software. These implementation can be used to measure security level of cryptography algorithm, which is based on security aspects of discrete logarithm problem.

RINGKASAN

YANA. Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret Pada Finite Field . Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS.

= ℤ [ ]/ adalah field berorder dengan adalah polinomial irredusibel atas ℤ berderajad . Setiap ∈ dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk = + + + + , dimana ∈ ℤ , −. ∗= \{ } adalah grup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian modulo 2.

Jika diberikan grup siklik ∗ berorder , generator ∗, ∈ ∗_{, dan} _{adalah polinomial irredusibel atas}_ℤ _{. Logaritma diskret}

dengan basis adalah integer unik , −, sedemikian sehingga mod , dan bagaimana menentukan disebut masalah logaritma diskret.

Dalam Menezes et al. (1997) lima algoritme untuk menyelesaikan masalah logaritma diskret pada grup siklik umum adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard’s rho, Pohlig Hellmandan Index Calculus. Kelima algoritme ini dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada

∗_.

Ide dasar Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan logaritma diskret adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret, yaitu dengan mencoba setiap kemungkinan nilai , − , sampai ditemukan yang benar.

Baby-Step Giant-Step adalah merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program. Representasi polinomial akan disimpan di memori komputer sebanyak √ , adalah order ∗. Semakin besar maka representasi polinomial yang disimpan di memori komputer semakin banyak juga. Ide dasar algoritme ini adalah membagi dengan suatu representasi polinomial , =√ , hingga ditemukan salah satu representasi polinomial yang disimpan di memori komputer.

Ide dasar Algoritme Pollard’s rhoadalah menemukan cycle dalam barisan { , , , … , }. Untuk menemukan cycle dalam barisan { , , , … , } digunakan Algoritme Floyd’s Cycle-Finding dengan membandingkan elemen-elemen sampai sehingga pasangan = ditemukan. Selanjutnya Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke-√ √ ln dengan peluang lebih dari setengah.

Misalkan ∗ adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder = − , =∏ , adalah bilangan prima berbeda dan . Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret

log mod adalah menemukan mod , dengan terlebih dahulu menentukan mod , untuk setiap , , menggunakan Teorema Sisa Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif ( .

Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial. Faktorisasi polinomial dapat dilakukan dalam 4 tahap. Tahap pertama adalah faktorisasi bebas kuadrat, kedua faktorisasi bebas kuadrat berderajad , ketiga faktorisasi berderajad , dan terakhir faktorisasi lengkap

= … . Ide dasar Algoritme Index Calculus adalah dengan memilih subset dari ∗ sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen ∗ secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen .

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya Tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET

PADA FINITE FIELD

Y A N A

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2009

Judul Tesis : Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field

Nama : Yana

NRP : G551070411

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Sugi Guritman Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Progam Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karuniaNya tugas akhir yang berjudul “Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ” ini bisa terselesaikan sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Terimakasih yang mendalam penulis sampaikan kepada Abah dan Mama atas segala doa dan kasih sayangnya. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Sugi Guritman dan Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku pembimbing yang telah membantu dan mengarahkan penulis selama penyusunan tugas akhir ini, serta Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen penguji. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Ai Tusi Fatimah, Salamia, Lathifaturrahmah dan semua pihak yang tidak dapat dituliskan namanya satu persatu atas segala bantuannya selama penelitian. Tentu saja dari awal hingga selesainya tulisan ini tidak terlepas dari dukungan, motivasi dan doa dari suami tercinta dan semua keluarga.

Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih begitu banyak kekurangan. Dengan segala keterbatasan yang ada, semoga tugas akhir ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2009 Yana

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tambarangan, Banjarmasin pada tanggal 13 Juni 1977 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara.

Pada tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikan strata satu di Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP UNLAM Banjarmasin, dan langsung bekerja sebagai tenaga pengajar pada Madrasah Tsanawiyah Negeri Binuang sampai sekarang.

Pada tahun 2007 penulis diberi kesempatan melanjutkan studi di Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor dengan beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ………..………... x

DAFTAR TABEL ... xii DAFTAR ALGORITME ... xiv DAFTAR LAMPIRAN ... xv BAB 1 PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan Penelitian ... 3 1.3 Manfaat Penelitian ... 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ... 5 2.1 Teori Bilangan ... 5 2.2 Integer Modulo ... 6 2.3 Struktur Aljabar ... 8 2.4 Masalah Logaritma Diskret ………...……… 15 2.5 Sistem Persamaan Linear …... 16 2.6 Algoritme Berlekamp’s Q-Matrix ………...……….. 17 2.7 Kompleksitas Waktu Asimptotik ………... 17 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN ... 19 3.1 Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field ...…. 19 3.1.1 Finite Field ………..…………. 19 3.1.2 Masalah Logaritma Diskret pada ∗ ……..….. 22 3.2 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada ∗ ……..…. 23 3.2.1 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan Algoritme Exhaustive Search ……..………... 23 3.2.2 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan AlgoritmeBaby-Step Giant-Step ………...…. 27 3.2.3 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step2 ……...….. 31 3.2.4 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step3 ……...….. 35 3.2.5 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan Algoritme Naif Square …………...…………. 38 3.2.6 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan Algoritme Pollard’s rho ………..…... 42 3.2.7 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

dengan Algoritme Pohlig Hellman ………...…... 54 3.2.8 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF ∗

3.2.8.2 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada

∗dengan Algoritme Index Calculus .. 84 3.3 Komputasi Masalah Logaritma Diskret pada ∗ ….... 89 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN ... 96 4.1 Kesimpulan ………...……... 96 4.2 Saran ………...………... 97 DAFTAR PUSTAKA ... ₉₈ LAMPIRAN ... 100

DAFTAR TABEL

Halaman 2.7.1 Oh-Besar ... 18 3.1.1 Elemen-elemen ... 21 3.2.1 Representasi Polinomial ( mod untuk ∗dengan

= + + + ... 25 3.2.2 Representasi Polinomial ( mod untuk ∗dengan

= + + + + ……….. 30

3.2.3 Hasil Perhitungan _{, :} _mod , untuk ∗

dengan = + + + + ………..… 31

3.2.4 Hasil Perhitungan _{, :} _mod , untuk ∗

dengan = + + + + ………..… 34

3.2.5 Hasil Perhitungan _{, :} _mod , untuk ∗

dengan = + + + + ……….. 38

3.2.6 Hasil Perhitungan , mod , untuk ∗

dengan = + + + + ……….. 41

3.2.7 Hasil Perhitungan Birthday Paradox ………... 44 3.2.8 Beberapa Kemungkinan Pendefinisian Keanggotaan Himpunan

⊆ ∗_, _{= , ,} _{untuk Algoritme Pollard’s rho ...} ₄₆

3.2.9 Hasil Perhitungan , , , , , , pada ∗dengan

= + + dan = ………... 49

3.2.10 Hasil Perhitungan , , , , , , pada ∗dengan

= + + dan = = + ……… 50

3.2.11 Hasil Perhitungan , , , , , , pada ∗dengan

= + + dan = = + + + + ……. 51

3.2.12 Hasil Perhitungan , , , , , , pada ∗dengan

= + dan = = + ………. 52

3.2.13 Hasil Perhitungan , , , , , , pada ∗dengan

= + dan = = + + ……… 53

= + dan = ……… 53 3.2.15 Hasil Perhitungan , ℎ , dan , dengan

= + + + ………... 69

3.2.16 Hasil perhitungan : ………... 78 3.2.17 Nilai Harapan Kompleksitas Waktu Algoritme ………. 89 3.3.1 Waktu Komputasi dengan Algoritme Exhaustive Search …..……... 89 3.3.2 Waktu Komputasi dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step ….….. 90 3.3.3 Waktu Komputasi dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step2 ……. 91 3.3.4 Waktu Komputasi dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step3 ……. 91 3.3.5 Waktu Komputasi dengan Algoritme Naif Square ……… 92 3.3.6 Waktu Komputasi dengan Algoritme Pollard’s rho ………. 93 3.3.7 Waktu Komputasi dengan Algoritme Pohlig-Hellman ...………….. 94 3.3.8 Waktu Komputasi dengan Algoritme Index Calculus ………... 94 3.3.9 Waktu Komputasi Logaritma Diskret dengan Beberapa Algoritme 95

DAFTAR ALGORITME

Halaman 2.6.1 AlgoritmeBerlekamp’s Q-Matrix... 17 3.2.1 Algoritme Exhaustive Search... 24 3.2.2 Algoritme Baby-Step Giant-Step ... 28 3.2.3 Algoritme Baby-Step Giant-Step2……….... 33 3.2.4 Algoritme Baby-Step Giant-Step3……… 36 3.2.5 Algoritme Naif Square ...………... 40 3.2.6 Algoritme Pollard’s rho ...………... 47 3.2.7 Algoritme Pohlig Hellman ...……….. 57 3.2.8 Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat 1 ..………... 68 3.2.9 Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat 2 ... 70 3.2.10 Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat 3 ………...…... 71 3.2.11 Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad ……… 72 3.2.12 Algoritme Sisa Bagi 1 ...………. 74 3.2.13 Algoritme Sisa Bagi 2……… 75 3.2.14 AlgoritmeSatu Faktor Derajad ………...……….………… 77 3.2.15 Algoritme Faktorisasi Lengkap…..………... 82 3.2.16 Algoritme Index Calculus……….. 86

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Program Aritmetika Finite Field ... 101 2 Program Faktorisasi Polinomial ... 105 2.1 Faktorisasi Bebas Kuadrat 1... 105 2.2 Faktorisasi Bebas Kuadrat 2………... 105 2.3 Faktorisasi Bebas Kuadrat 3………... 106 2.4 Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad ……… 106 2.5 Sisa Bagi 1...………... 106 2.6 Sisa Bagi 2...……….. 106 2.7 Satu Faktor Derajad ..……….…... 107 2.8 Faktorisasi Lengkap ... 107 3 Program Solusi Masalah Logaritma Diskret pada ∗…..…... 108 3.1 Exhaustive Search...………. 108 3.2 Penyimpanan Baby-Step...………... 108 3.3 Baby-Step Giant-Step ………...………. 109 3.4 Baby-Step Giant-Step 2 ………. 109 3.5 Baby-Step Giant-Step 3……….. 109 3.6 Naif Square……….………. 110 3.7 Pollard’s rho………... 110 3.8 Pohlig Hellman……… 111 3.9 Index Calculus………. 112

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Logaritma adalah suatu operasi matematika kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Dalam persamaan = , dapat dicari dengan pengakaran, dengan logaritma, dan dengan pemangkatan. Contoh, berapakah pada persamaan = . dapat dihitung atau dicari dengan menggunakan tabel atau kalkulator yang sudah dilengkapi fitur , hasilnya adalah = . Bentuk persamaan = ini adalah suatu sistem aritmetik bilangan nyata (ℝ), sistem aritmetik umum lainnya adalah grup siklik.

Struktur aljabar dengan operasi biner ∗ yang memenuhi sifat assosiatif, terdapat unsur identitas dan setiap unsurnya memiliki invers disebut grup. Suatu grup yang mempunyai generator disebut grup siklik. Generator ini berperan dalam membangkitkan unsur-unsur grup siklik . Misalkan adalah generator grup siklik , berorder , maka = = { , , , … , = , … , }. Pada kasus = , disebut logaritma diskret. Jika diketahui dan , maka masalah bagaimana menentukan dikenal dengan istilah masalah logaritma diskret.

Masalah logaritma diskret merupakan masalah yang didefinisikan pada aritmetika modular, sering dijadikan dasar pembangkitan sepasang kunci pada kriptografi kunci publik sebagai tumpuan keamanan. Contohnya pada pertukaran kunci Diffie-Hellman dan enkripsi Elgamal. Logaritma umum pasti akan tuntas secara komputasi, tetapi untuk logaritma diskret khusus berorder besar menentukannya tidak akan layak hitung (sulit dihitung) walaupun menggunakan kalkulator yang canggih. Tidak layak hitung itulah yang menyebabkan masalah logaritma diskret layak digunakan sebagai tumpuan keamanan dalam kriptogafi. Masalah logaritma diskret sering diterapkan pada grup siklik ℤ ∗, prima.

Diberikan bilangan prima , generator dari ℤ ∗, dan ∈ ℤ∗. Dalam Menezes et al. (1997), definisi masalah logaritma diskret adalah menentukan ,

generator dari ∗, maka untuk sembarang ∈ ∗terdapat suatu yang khas pada rentang − sedemikian sehingga :

mod = ℤ [ ]/ adalah field dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dalam modulo berorder , dengan polinomial irredusibel atas ℤ .

∗ _{adalah field} _{tanpa elemen {0} membentuk grup dibawah}

operasi perkalian berorder − (Menezes et al. 1997). Elemen-elemen grup multiplikatif ∗ dengan generator dalam bentuk representasi grup siklik adalah , , , … , = , … , .

Menentukan masalah logaritma diskret menjadi sulit apabila digunakan grup ∗ dengan order besar. Karena itu diperlukan suatu teknik tertentu untuk menyelesaikannya. Beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menentukan masalah logaritma diskret ini adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard’s rho,Pohlig Hellman, dan Index Calculus. Dalam Menezes et al. (1997) kelima algoritme tersebut dikenakan pada grup siklik umum. sedangkan pada tulisan ini dikenakan pada sistem aritmatik grup multiplikatif ∗.

Ide dasar Algoritme Pollard’s rhoadalah menemukan cycle dalam barisan { , , , … , }. Untuk menemukan cycle dalam barisan { , , , … , }

digunakan Algoritme Floyd’s Cycle-Finding dengan membandingkan elemen- elemen sampai sehingga pasangan = ditemukan. Selanjutnya Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke- √ √ ln dengan peluang lebih dari setengah.

Misalkan ∗ adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder = − , =∏ , adalah bilangan prima berbeda dan . Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret

log mod adalah menemukan mod , dengan terlebih dahulu menentukan mod ,untuk setiap , , menggunakan Teorema Sisa Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif ( .

Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial, idenya adalah dengan memilih subset dari ∗ sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen ∗ secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen .

Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard’s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif ∗ dan diimplementasikan dengan bantuan sofware Maple 11.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Mengkaji secara teoritik masalah logaritma diskret pada finite field . 2. Merekonstruksi algoritme-algoritme yang berhubungan dengan masalah

logaritma diskret pada finite field .

3. Mengimplementasikan algoritme hasil rekonstruksi dengan bantuan software Maple 11.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah algoritme hasil rekonstruksi bisa digunakan untuk mengukur tingkat keamanan dari algoritme kriptografi yang aspek keamanannya bertumpu pada masalah logaritma diskret.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan, integer modulo , aljabar abstrak, masalah logaritma diskret, sistem persamaan linear, dan kompleksitas waktu asimptotik sebagai landasan teori untuk penulisan tugas akhir ini.

2.1 Teori Bilangan

Definisi 2.1.1 Misalkan , integer. membagi (notasi | jika terdapat integer sedemikian sehingga = .

Definisi 2.1.2Jika dan adalah integer dengan , maka pembagian oleh menghasilkan integer (hasil pembagian) dan (sisa pembagian) sehingga = +, dimana . Sisa pembagian dinotasikan mod dan hasil pembagian dinotasikan div (Menezes et al. 1997).

Definisi 2.1.3 Suatu integer dikatakan sebagai pembagi bersama dari dan , jika | dan | (Menezes et al. 1997).

Definisi 2.1.4 Suatu integer non-negatif disebut pembagi bersama terbesar (gcd) dari integer dan , dinotasikan = gcd , , jika :

1. adalah pembagi bersama dari dan

2. jika | dan |, maka | (Menezes et al. 1997).

Teorema 2.1.5 (Algoritme Euclidean) Diberikan integer , >. Berdasarkan algoritme pembagian, dapat dibentuk barisan persamaan berikut :

= + , < < = + , < <

= + , < <

dengan = gcd , , yang merupakan sisa terakhir tak nol dari proses pembagian. Nilai dari dan dari , = + dapat diperoleh dengan menuliskan setiap sebagai kombinasi linear dari dan (Lestari 2007).

Definisi 2.1.6 Integer dan dikatakan prima relatif atau koprima jika gcd , = (Lestari 2007).

Definisi 2.1.7 (Fungsi-∅ Euler) Untuk , didefinisikan ∅ adalah banyaknya integer pada selang [ , ]yang prima relatif dengan . Fungsi ∅ disebut fungsi-∅Euler (Menezes et al. 1997).

Teorema 2.1.8 (Sifat-sifat fungsi-∅Euler) 1. Jika prima, maka ∅ = − .

2. Fungsi-∅ Euler bersifat multiplikatif. Artinya, jika gcd , = maka

∅ = ∅ ∅

3. Jika = … adalah faktorisasi prima dari , maka

∅ = − − − (Menezes et al. 1997).

Fakta 2.1.9 (Teorema Dasar Aritmetika)Setiap integer dapat difaktorkan sebagai produk dari kuasa prima yang khas: = … , dimana

adalah bilangan prima yang berbeda dan adalah integer positif (Menezes et al. 1997).

2.2 Integer Modulo

Definisi 2.2.1 (Kongruensi) dan adalah integer. dikatakan kongruendengan modulo , ditulis mod , jika membagi habis − . Selanjutnya disebut modulus kongruensi(Menezes et al. 1997).

Teorema 2.2.2 (Syarat-syarat Kekongruenan)Untuk semua , , , , ∈ ℤ, hal-hal di bawah ini adalah benar.

1) mod jika dan hanya jika dan mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan .

3) (simetri) Jika mod maka mod .

4) (transitif) Jika mod dan mod , maka mod .

5) Jika mod dan mod , maka + + mod

dan mod (Guritman et al. 2004).

Definisi 2.2.3 Integer modulo , dinotasikan ℤ , adalah himpunan (kelas ekuivalensi) integer { , , , … , − }yang dikenai operasi penjumlahan dan perkalian diperlakukan dalam modulo . Untuk , , ∈ ℤ,

+ = ⇔ + mod

= ⇔ mod (Guritman et al. 2004). Definisi 2.2.4 (Sistem Residu Lengkap Modulo )Jika mod , maka disebut residu dari modulo . Selanjutnya himpunan = { , , … , } dinamakan sistem residu lengkap modulo jika untuk setiap integer terdapat satu dan hanya satu sedemikian sehingga mod (Lestari 2007).

Definisi 2.2.5 (Sistem Residu Tereduksi Modulo ) Sistem residu tereduksi modulo adalah himpunan integer , dimanagcd , = , , jika ≠. Selanjutnya setiap yang prima relatif dengan , kongruen dengan suatu pada himpunan tersebut (Lestari 2007).

Fakta 2.2.6 (Invers) Misalkan ∈ ℤ. memiliki invers jika dan hanya jika gcd , = (Menezes et al. 1997).

Definisi 2.2.7 (Invers Multiplikatif)Misalkan ∈ ℤ, Invers multiplikatifdari modulo adalah suatu integer ∈ ℤ sehingga mod . Faktanya tidak semua anggota ℤ mempunyai invers ( belum tentu ada). Dalam hal yang bersangkutan ada, maka disebut invertibel dan disebut invers dari , dinotasikan = (Guritman et al. 1997).

Definisi 2.2.8 (Pembagian)Misalkan , ∈ ℤ. Pembagian oleh modulo adalah perkalian dengan modulo , yang terdefinisi jika mempunyai invers modulo (Menezes et al. 1997).

Definisi 2.2.9Grup multiplikatif ℤ adalah ℤ ∗= { ∈ ℤ | gcd , = }. Jika bilangan prima, maka ℤ ∗= { | − }(Menezes et al. 1997).

Teorema 2.2.10 (Solusi Persamaan kongruen) Misal = gcd , . Persamaan kongruen mod mempunyai solusi jika dan hanya jika membagi , dalam hal ini terdapat tepat solusi antara 0 dan − ; solusi ini semua kongruen modulo / (Menezes et al. 1997).

Teorema 2.2.11 (Teorema Sisa Cina)Jika , , … , merupakan integer yang prima relatif satu sama lain, , , … , adalah sembarang integer, maka sistem kongruensi

mod mod mod

… … ∗

mempunyai solusi unik modulo , = … (Menezes et al. 1997).

Algoritme 2.2.12 (Algoritme Gauss’s)Solusi dari sistem kongruensi Teorema 2.2.11 dapat dihitung sebagai =∑ mod , dimana = ⁄ dan

= mod (Menezes et al. 1997). Teorema 2.2.13Misalkan adalah integer.

(i) (Teorema Euler)Jika ∈ ℤ∗, maka ∅ mod .

(ii) Jika adalah produk bilangan prima berbeda, dan jika mod ∅ , maka mod , untuk semua integer (Menezes et al. 1997).

Teorema 2.2.14Misalkan prima,

1. (Teorema Fermat)Jika gcd , = , maka mod . 2. Jika mod −, maka mod , untuk semua integer . 3. Untuk setiap integer , mod (Menezeset al.1997).

2.3 Struktur Aljabar

Definisi 2.3.1 Operasi biner ∗ pada suatu himpunan adalah suatu fungsi dari × ke , yang membawa setiap , ∈ × ke ∗ ∈ yang unik. Jadi

, → ∗. Karena ∗ juga berada dalam maka dikatakan tertutup di bawah operasi ∗(Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.2 (Grup)Struktur aljabar dengan operasi biner ∗disebut grupjika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini,

1. operasi ∗bersifat assosiatif ∗ ∗ = ∗ ∗ , ∀ , , ∈.

2. ada unsur identitas ∈ , untuk ∗ pada sehingga berlaku

∗ = ∗ =, ∀ ∈ .

3. untuk setiap ∈ ada unsur ∈ sehingga ∗ = ∗ = (Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.3 Grup disebut grup komutatif jika operasi ∗ bersifat komutatif yaitu ∀ , ∈, ∗ = ∗(Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.4 (Grup Hingga dan Order)Suatu grup dikatakan berhingga jika banyaknya unsur berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga dinamakan order dari , dinotasikan ℴ (Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.5 (Order dari Unsur Grup)Misalkan grup, dan ∈ . Order (notasi ℴ adalah integer positif minimal sehingga = . Jika tidak ada bilangan yang demikian, maka dikatakan order dari tak hingga atau nol (Aliatiningtyas 2002).

Toerema 2.3.6Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. 1. Misalkan grup, ∈ dan ℴ = , maka ada tepat kuasa dari yaitu

= , , , … , yang semuanya berbeda.

2. Misalkan grup, ∈ . Jika ℴ tak hingga, maka semua kuasa dari berbeda. Artinya, jika dan adalah dua integer yang berbeda, maka

≠ .

3. Misalkan adalah unsur dari grup dan ℴ = . Maka = jika dan hanya jika adalah kelipatan dari ( kelipatan artinya ada integer sehingga = ) (Aliatiningtyas 2002; Guritman 2004).

Definisi 2.3.7 (Subgrup)Misalkan grup dan ⊆ . Maka disebut subgrup dari jika grup dibawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada . (Notasi : ⊴ ) (Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.8 (Grup Siklik) Suatu grup dikatakan siklik jika dan hanya jika ada unsur ∈ ( disebut generator) sedemikian sehingga

= = ∈ ℤ}(Guritman 2004).

Teorema 2.3.9Jika grup berorder , maka adalah siklik jika dan hanya jika ada ∈ sehingga ℴ = (Guritman 2004).

Teorema 2.3.10 (Teorema Lagrange’s) Jika grup hingga dan adalah subgrup , maka order dari membagi order dari (Menezes et al. 1997; Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.11 (Ring)Struktur aljabar , +,∙ dengan operasi + disebut operasi penjumlahan dan operasi ∙disebut operasi perkalian, disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.

1. , +grup komutatif.

2. Operasi perkalian bersifat assosiatif.

3. Hukum distributif kiri berlaku : ∀ , , ∈ , + = + . Hukum distributif kanan berlaku : ∀ , , ∈ , + = +.

Unsur identitas terhadap + dinotasikan dengan 0 dan disebut unsur nol. Selanjutnya,

1. Jika operasi perkalian bersifat komutatif, ∀ , ∈, = maka disebut ring komutatif.

2. Jika ada unsur identitas dibawah operasi perkalian (unsur ini disebut unsur

kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan disingkat unkes) ∀ ∈ , ∃ ∈ , ∙ = ∙ = maka disebut ring dengan unsur kesatuan

(Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.12 Misalkan ring. Himpunan bagian dari ring disebut subring dari jika merupakan ring dibawah operasi dalam (Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.3.13 (Ideal)Misal ring, ⊆ , tidak kosong. Himpunan bagian disebut idealjika memenuhi :

a. , ∈ − .∈

b. ∈ dan ∈ ∈dan ∈(Aliatiningtyas 2002).

Teorema 2.3.14 (Ideal Utama) Misalkan ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan ∈ . Suatu himpunan dilambangkan , yang didefinisikan sebagai

Dalam dokumen Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field G P(2m) (Halaman 144-200)