MODUL 3: PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
I. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR A Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan:
1. Memiliki pemahaman mengenai pengertian persamaam dan pertidaksamaan linear.
2. Dapat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear.
B. Uraian Materi
1. Sifat Umum Persamaan
Persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
2. Pengertian Persamaan Linear
a. Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Contoh 1 :
Ari mempunyai satu kantong kelereng. Budi menambahkan 5 kelereng ke dalam kantong tersebut. Setelah dihitung semua kelerengnya, ternyata ada17 biji. Berapa kelereng Ari seblum ditambah kelereng Budi?
Hal tersebut dapat ditulis ke dalam kalimat matematikan sebagai berikut : X + 5 = 17
Berapa x ?
c. kalimat tertutup adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya dari contoh 1 di atas x dapat digenti dengan :
o 12 + 5 = 17 bernilai benar
o 15 + 5 = 17 bernilai salah 3. Penyelesaian Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel adalah ax + b = 0, a, b∈R, a ≠ 0
a. Persamaan Linear Satua Variabel
Bentuk nilai x dari persamaan 3x - 21 = 0! Jawab:
3x - 21=0
⇔3x – 21 + 21 = 0 + 21 (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -21 yaitu 21) ⇔3x = 21 ⇔ 21 3 1 3 3 1 =
x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu 3 1
) ⇔ x = 7
Jadi nilai x adalah 7 Contoh :
Tentukan nilai x dari persamaan 3x + 5 = 25-2x! Jawab:
3x + 5 + 2x = 25 – 2x + 2x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -2x yaitu 2x)
⇔5x + 5 = 25 (disederhanakan)
⇔5x + 5 + (-5) – 25 + (-5) (kedua ruas ditambah dengan lawan dari 5 yaitu -5) ⇔5x = 20 (disederhanakan) ⇔ .20 5 1 5 . 5 1 =
x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 5
yaitu ) 5 1
⇔ x = 4
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 4
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x-6=24-3x!
Jawab:
3x – 6 = 24 -3x
⇔3x – 6 + 3x = 24 -3x + 3x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari (- 3x yaitu 3x)
⇔6x – 6 = 24 (disederhanakan)
⇔6x – 6 + 6 = 24 + 6 (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -6 yaitu 6) ⇔ 6x = 30 (disederhanakan) ⇔ .30 6 1 6 6 1 =
x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 6
yaitu ) 6 1
⇔x = 5
Jadi himpunan penyelesaian dari persamaannya adalah {5}
b. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat dari kdua variabel adalah satu.
Bentuk umum : ax + by = c di mana a,b,c∈R, dan a,b ≠ 0 Penyelesaian satu persamaan linear dua variabel :
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 3y = 6 untuk y∈{-2,0,2}! Jawab: y = -2, Maka 2x + 3y = 6 ⇔2x + 3.(-2) = 6 ⇔2x – 6 = 6 ⇔ 2 x = 6 + 6 ⇔ 2 x = 12 ⇔ x = 12 : 2 ⇔ x = 6 diperoleh (6,-2) y = 0, maka 2x + 3y = 6 ⇔2x + 3.(0) = 6 ⇔2x + 0 = 6 ⇔2 x = 6 ⇔ x = 3 diperoleh (3,0)
y = 2, maka 2x + 3y = 6 ⇔2x + 3.(2) = 6 ⇔2x + 6 = 6 ⇔2 x = 6-6 ⇔2 x = 0 ⇔ x = 0 diperoleh (0,2) Jadi HP = {(6,-2).(3.0),(0,2)} 4. Pengertian pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka tidak sama dengan (#) yang dapat menggunakan tanda: <, >, ≥ atau ≤
Contoh:
• 2-x<8 • X + 7 ≤ 0 • 3x-4>0
Sedangkan kalimat tertutup yang menggunakan tanda tanda: <,>,≤ atau ≥
disebut ketidaksamaan. Contoh:
• 4 + 8 <20 • 10-5 ≥ 2
Kostanta pengganti variabel yang menyebabkan suatu pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian.
Sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian dari pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian.
5. Sifat-sifat Pertidaksamaan
• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan positif atau bilangan negatif yang sama,maka arah tanda pertidaksamaan tetap.
• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang sama, maka tanda arahpertidaksamaan tetap
• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang sama, maka tanda arah pertidaksamaan dibalik.
6. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan dengan variabel berpangkat tertinggi satu.
a. Pertidaksamaan linear satu variabel Bentuk umum: ax + b < 0; ax + b >; ax + b ≥ 0 atau ax + ≤ 0, dengan a ≠ 0 Contoh : • x + 4 < 0 • 3x – 1 > 0 • 2x-4 ≤ 0
Mencari himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukkan dengan notasi himpunan atau dengan garis bilangan.
Contoh:
Tentukan HP dan grafik garis bilangan dari pertidaksamaan berikut ini,jika x∈ R (x anggota bilangan real)!
1) 3x – 7 > 2 Jawab : 3x - 7 > 2
⇔3x – 7 + 7 > 2+7 Kedua ruas ditambah lawan dari 7- yaitu 7 3x > 9 disederhanakan
⇔ Kedua ruas dikali kebalikan 3 yaitu 3 1
x > 3 HP = {x / x > 3, x∈ R}
Karena tandanya >, maka digambarkan denga noktah berlubang dan arah panah ke kanan.
2) 5x -2 ≤ 4x + 6
⇔5x – 2 + (-4) ≤ 4x + 6+ (-4x) Kedua ruans ditambah dengan lawan dari 4x yaitu -4x
⇔ x – 2 ≤ 6 disederhanakan
⇔x -2 + 2 ≤ 6 + 2 Kedua ruas ditambah 2 ⇔ x ≤ 8
Jadi HP = {x / x ≤ 8, x ∈R}
Karena tandanya ≤, maka digambarkan dengan noktah padat pada bilangan 8 dan arah panah ke kiri.
3) 2(3-x) ≥ x + 9
⇔6-2x ≥ x + 9 Ruas kiri diselesaikan dahulu dengan cara mengalikan bilanga yang diluar kurung dengan ada yang didalam kurung.
⇔6-2x + (-x) ≥ x + 9 (-x) Kedua ruas ditambah dengan lawan dari x yaitu (-x)
⇔ 6 – 3x ≥ 9
⇔6-3x + (-6) ≥ 9 + (-6) Kedua ruas ditambah dengan 6 ⇔ -3x ≥ 3 ⇔ [ ] − ≤ − − 3 1 3 3 3 1
x Kedua ruas dikali dengan kebalikan
Dari -3 yaitu
3 1
− dan diperhatikan tanda petidaksamaannya berubah arah ⇔ x ≤ -1 ⇔ 9 . 3 1 3 . 3 1 > x ⇔ 0 3 8
Karena tanda pertidaksamaannya ≤ maka digambar dengan noktah padatdan arah panahnya ke kiri.
4) 2x – 5 ≤ x + 3 < 5x-9
Karena pada soal pertidaksamaan ini ada tiga ruas, maka pertidaksamaan ini dikerjakan dengan dua penyelesaian.
Penyelesaian pertamadikerjakan dari ruas kiri dengan ruas tengah. Penyelesaian yang kedua dikerjakan dari ruas tengah dengan ruas kanan.
Penyelesaian I
2x -5 ≤ x + 3
⇔2x -5 + (-x) ≤ x + 3 + (-x) Kedua ruas ditambah (-x) ⇔ x -5 ≤ 3
⇔ x – 5 + 5 ≤ 3 + 5 Kedua ruas diytambah 5 ⇔ x ≤ 8…………)
Penyelesaian 2
x + 3 < 5x – 9
⇔x + 3 + (-5x) < 5x -9 + (-5x) Kedua ruas ditambah (-5x) ⇔ -4x + 3 < -9
⇔ -4x + 3 (-3) < -9 + (-3) Kedua ruas ditambah -3 ⇔ -4x < -12 ⇔
[ ]
[ ]
12 4 1 4 4 1 − − > − − − x Kedua ruas dikali dengan kebalikan dari -4 yaitu
4 1
− dan perhatikan tanda pertidaksamaan berubah arah
⇔x > 3 ……….2)
Karena ada dua nilai x, maka nilai xdapat ditulis sebagai berikut : x ≤ 8 atau 3 < x ≤8
Grafik himpunan penyelesaian pada garis bilangan pada titik 3 berupa noktah berlubang dan pada titik 8 berupa noktah padat.
b. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk umum:
ax + by < c; ax + by > c; ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0 contoh 1:
Tentukan HP dari 4x -3y ≤ 12; x,y ∈ R! -1
Jawab:
1) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -3y = 12! Untuk x = 0, maka 4.(0) – 3y = 12 - 3y = 12 y = -4 Jadi titiknya (0,-4) Untuk y = 0, maka 4x -3.(0) = 12 4x = 12 x = 3 Jadi titiknya (3,0) x 0 3 y -4 0 (x,y) (0,-4) (3,0)
2) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan garis 4x-3y =12! Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x =0
Dan y = 0. Subtitusikan titik tersebut ke 4x -3y, sehingga didapat 4 (0) – 3(0) = 0 – 0 = 0
Ternyata benar bahwa 0 ≤ 12, sehingga titik (0,0) memenuhi (benar)
3) Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri
garis 4x -3y = 12 merupakan daerah penyelesaian (yang diarsir)
Contoh 2:
Tentukan HP dari 4x -3y > 12; x,y∈ R!
Jawab:
1) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -3y = 12! Untuk x = 0, maka 4.(0) -3y = 12
-3y = 12 y = -4 Jadi titiknya (3,0) x 0 3 y -4 0 (x,y) (0,-4) (3,0)
2) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan dikiri atau kanan garis 4x- 3y =12
Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x = 0 dan y = 0. Substitusikan titik tersebut ke 4x-3y sehingga didapat 4(0) – 3(0) = 0 – 0 = 0
Ternyata benar bahwa 0 ≤12, sehingga titik (0,0) tidak memenuhi (salah)
(3,0) X
3)
C. Rangkuman
Persamaan linear adalah suatu persamaan dengan variabelnya berpangkat satu, Persamaan linear yang dibahas adalah:
Persamaan linear satu variabel Persamaan linear dua variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, ≤, atau ≥, Pertidaksamaan linear satu dan dua variabel adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu.
