I. HIMPUNAN BILANGAN REAL DAN MACAM OPERASI PADA BILANGAN REAL
A. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan ini. Anda diharapkan : 1. Dapat membedakan macam-macam bilangan real
2. Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dua atau lebih bilangan bulat.
3. Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dua atau lebih bilangan bulat.
B. Uraian Materi
1. Macam-Macam Bilangan Real
a. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli merupakan bilangan yang pertama-tama digunakan oleh manusia untuk membilang, yaitu : 1, 2, 3, 4, 5, ……..
A = {1, 2, 3, 4, …} b. Bilangan Cacah (C)
Pada bilangan asli kita dapat mengadakan operasi pengurangan, misalnya : 6–4 = 2, 30–9 = 21, tetapi bagaimana dengan 6–6 = ? Oleh karena itu dikenal bilangan nol, sehingga 6 – 6 = 0
Bilangan asli dan nol dinamakan Bilangan Cacah
C = {0, 1, 2, 3, …} c. Bilangan Bulat (B)
Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. Misalnya : 3 – 5 = 2, 20 – 35 = -15
Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan Bilangan Bulat.
B = {…, …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} d. Bilangan Rasional
Bilangan rasional (disebut juga bilangan pecahan) adalah bilangan
yang dapat dinyatakan dalam bentuk q p
dengan p,q ∈ B dan q ≠ 0.
Contoh bilangan rasional (Q) = 3; 0,4; 3 2
; 4 2 1
; 2,51251251….
2 4
2= jadi 2 adalah bilangan rasional
10 4 4 ,
3 2
dan 4 2 1
jelas bilangan rasional
1,321321321….. dapat dibuktikan sbb : Misal x = 2,51251251……
1000 x = 2512,51251…..
1000 x = (2512,51251…) – (2,51251251…) 999 x = 2510
x = 999 2510
e. Bilangan Irrasional (Q)
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
q p
dengan p,q ∈ B dan q ≠ 0.
Contoh : V2, V5,π, log 5,….
f. Bilangan Real
Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irrasional.
R = Q∪Q
Macam-macam himpunan bilangan tersebut dapat dibuat skema seperti berikut ini :
Bil Real
Bil Irrasional
Bil Rasional
Bil Pecah
Bil Bulat
Bil Bulat Negatif
Bil Nol
Bil
Bulat Positif (Bil Asli)
2. Operasi hitung pada Bilangan Bulat
a. Operasi penjumlahan
Untuk a, b, c ∈ B berlaku :
1) a + b = b + a Hukum Komutatif 2) (a + b) + c = a + (b + c) Hukum Asosiatif
3) a + 0 = 0 + a = a Nol adalah elemen identitas sifat penjumlahan
Contoh :
1) 7+ 3 =….. 3 + 7 =….
Jadi 7 + 3 = 3 + 7 2) 5 + (-3)=…..
(-3) + 5 =….
Jadi 5 + (-3) = (-3) + 5 3) (2 + 4) + 6 =
6 + 6 =….. 2 + (4 + 6) = 2 + 10 = …..
Jadi (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6)
b. Operasional Pengurangan
Mengurangi a dengan b sama dengan menambah a dengan lawan b. Yaitu : a - b = a + (-b)
Contoh:
1) 7 - 3 = 7 + (-3) =….. 2) 10 - 4 =10+ (-4) = ….. 3) -2 – (3) = -2 + (-3) =…. 4) 7 – (-3) = 7 + 3 =….
c. Operasi Perkalian
Untuk a,b,c ε B berlaku:
1) a x b = b x a Hukum Komutatif 2) (a x b) x c = a x (b x c) Hukum Asosiatif
Contoh:
1) 5 x 6 =….. 6 x 5 =….. Jadi 5 x 6 = 6 x 5
2) (-3 x 4) x 5 = …. x 5 =….. -3 x (4 x 5) = -3 x ….= ….. Jadi (-3 x 4) x 5 = -3 x (4 x 5) 3) (6 x 5) + (6 x 4) = …..+……=…….
6 x (5 + 4) = …. x ……=…… Jadi (6 x 5) + (6 x 4) = 6 x (5 + 4)
d. Operasi Pembagian
Jika a dan b bilangan-bilangan dan b ≠ 0 maka membagi a dengan b sama dengan mengalikan a dengan kebalikan dari b (invers perkalian)
Yaitu: a : b = a x b 1
= b a
Contoh :
1) 5 20
= …… 3)
7 21
− = ……
2) 5
30 −
= ……. 4)
4 40 − −
= ……
e. Operasi Campuran
Yang dimaksud operasi campuran dalam hal ini adalah bahwa dalam satu kalimat matematika mengandung lebih dari satu operasi hitung.
Untuk mendahulukan operasi yang satu dengan yang lain biasanya menggunakan tanda kurung, dengan lebih mendahulukan yang di dalam kurung.
Contoh :
1) 6 + 7 – 5 + 3 = ……
2) 3 + ( 6 : 2 ) = 3 + ….. =…… 3) ( 4 + 5 ) x 3 = ……x 3 = ….. 4) 3 x -2 + 6 : 3 = ….. + ……=…… 5) 2 -20 : 4 x 5 = 2- ….. x 5 = ……
3. Operasi Hitung pada Bilangan Pecah
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan pecahan terlebih dahulu menyamakan dari tiap sukunya.
Contoh:
1) 3 2
+ 5 3
= 15 ....
+ 15 ....
=
15 ... ...+
= 15 19
2) 5 3
– 4 1
=
20 .... 20 ....−
= .... ....
b. Operasi Perkalian
Untuk menyelesaikan operasi perkalian dua bilangan pecahan atau lebih dilakukan dengan “mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut”.
Contoh :
1) + = =
2) 2 x x = x x
= = 2
3 4 5
… x ... … x ...
…. ….
1 4
2 3
… 4
2 3 -1
5
-i 5
… x … x …. … x … x ….
c. Operasi Pembagian
Penyelesaian operasi pembagian pada bilangan pecahan dilakukan dengan mengubah tanda bagi menjadi perkalian dan membalik pecahan membagi.
: = x
Contoh :
1) : = x
=
=
2) 5 : = 5 x
=
3) : : = x x
= =
C. Rangkuman
1. Bilangan bulat, bilangan pecahan dan bilangan desimal merupakan bilangan rasional.
2. Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irrasional.
3. Pada operasi pembagian hukum komutatif dan hukum asosiatif tidak berlaku. 4. Untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan pecahan harus terlebih
dahulumenyamakan penyebut dari tiap sukunya.
5. Penyelesaian pembagian bilangan pecahan dilakukan denga mengubah tanda bagi menjadi kali dan membalik pembaginya.
: = x a b
m k
a b
k m
5 12
2 3
5 12
… …
… x … … x …
… x … … x … 2
7
… 2 ….. …..
5 4
2 3
1 2
5 4
… …
… …
… x … x …. … x … x ….
… …
a b
a b
a b
D. Tugas
Diskusikan penyelesaian soal berikut dengan kelompok belajar anda, dan presentasikan hasilnya di depan kelas sesuai degan pengarahan guru !
Soal :
1. Gambarlah diaggram Venn yang menunjukkan hubungan antara himpunan Bilangan Rasional, Bilangan Irrasional,Bilangan Bulat, Bilangan Cacah, Bilangan Asli dan Bilangan Prima !
2. Hitung: a) 2 (3 + 4) = 3. (-5) x {4-(-2)} =
4. 2 2 1
+ 3 3 1
=
5. 1 4 3
+ 2 3 1
=
E. Lembar Kerja Siswa
1. Tuliskan 4 buah bilangan asli yang pertama ! 2. Tuliskan 5 buah bilangan cacah yang kedua ! 3. Tuliskan bilangan bulat antara -3 dan 4 !
4. Sebutkan definisi bilangan rasional dan berikan 4 contohnya ! 5. Tuliskan 3 buah contoh bilangan irrasional !
6. Tunjukkan bahwa 3,3333…adalah bilangan rasional ! 7. Buatkan skema bilangan !
8. Jumlahkan.
a. 28 + 59 = c. (-125) + (-30) = b. 125 + (-40) = d. (-125) + 30 = 9. Kurangkan :
a. 67 - 34 = c. (-67) – 34 = b. 67 – (-34) = d. (-67) + 34 = 10. Jumlahkan :
a. 3 + 2 = c. 2 + 3 =
b. 1 + = d. 5 + = 1
5
1 2
1 8
1 2
4 7
3 4
3 4
11. Kurangkan :
12. Kalikanlah :
a.
F. Tes Formatif
Kerjakan soal berikut ini dengan teliti 1. Tuliskan bilangan bulat antara -4 dan 4!
Gambar disamping menunjukkan sebuah tangga yang terbuat dari besi beton.
Jika tiap anak tangga tingginya 22 cm
Dan panjang besi beton 12 meter, Berapakah panjang AB ?
5. a. 2 3 1
x 1 5 3
=
b. 1 4 3
x 1 2 1
=
6. a. 7 3
: 6 5
=
b. 2 : 1 3 =
7. : : =
8. 4 + 2 : 3 x 6 =
9. Diketahui persegi panjang dengan panjang sisinya 7,5m dan lebar 3,5 m. a. Hitunglah keliling persegi panjang tersebut !
b. Apabila persegi panjang itu dibagi menjadi 3 bagian yang sama, hitunglah luas masing-masing bagian !
10. Perhatikan gambar di bawah !
II. PECAHAN, PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN
A. Tujuan
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa :
1. Dapat memahami konversi pecahan ke bentuk persen atau pecahan desimal. 2. Dapat menyelesaikan soal-soal perbandingan (senilai dan berbalik nilai)
3. Dapat menentukan ukuran sesungguhnya jika ukuran dalam gambar dan skala diketahui atau sebalikya.
4. Dapat menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan persen.
5. Dapat menerapkan operasi hitung pada bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan.
1 2
1 4
5 7
3 2
4 6
1 2
B. Uraian Materi
1. Pecahan
Pecahan bisa dinyatakan dalam tiga cara :
a. Pecahan biasa
Bilangan ini tidak terlalu banyak dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Yang paling sering adalah pada ukuran baju, diameter pralon dan beberapa contoh lain.
Contoh :
, , 15 , ,….
b. Pecahan Desimal
Bilangan ini biasa dipakai dalam banyak hal khidupan sehari-hari seperti ukuran panjang, berat, kecepatan dan banyak hal yang lain.
Pecahan ini menggunakan sistem nilai tempat, nilai suatu angka dalam suatu bilangan tergantung pada tempatnya.
Contoh :
0,275
Angka 2 bernilai 10
2
Angka 7 bernilai 100
7
Angka 5 bernilai 1000
5
c. Persen
Bilangan ini biasanya digunakan untuk menyatakan kadar suatu unsur dalam campuran, aturan pembagian dalam bisnis, keuntungan maupun rugi,pajak dsb. Persen menyatakan perbandingan dengan seratus (perseratus) dan ditulis dengan tanda “% “.
Contoh :
3% artinya , 97% artinya
Untuk mengubah pecahan biasa ke persen, pecahan biasa tersebut dikalikan dengan 100%.
Contoh :
a. = x 100% = % = 75%
b. = x 100% = % = 62,5%
c. = x 100% = % = 16 % 1
2 3 4
1 2
3 100
3 100
97 100
3 4
3 4
300 4 5
8 5 8
500 8 1
6 1 6
100 6
2. Pebandingan
Perbandingan dua buah nilai atau besaran sejenis dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Secara umum pembagian antara besaran
a terhadap besaran b ditulis a : b atau b a
Dibaca : “ a dibanding b”
A dan b disebut suku-suku perbandingan. Ada dua jenis perbandingan :
a. Perbandingan senilai
Perbandingan senilai adalah perbandingan yang harganya sama. Bentuk umum perbandingan ini adalah
A1 : B1: = A1 : B2 atau
=
Dalam fisika perbandingan ini dinayakan dengan = Konstan
Sebagai contoh adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh oleh suatu kendaraan dengan bahan bakar yang diperlukan. Jika 100 km memerlukan bahan bakar 10 liter, maka untuk menempuh jarak 250 km dibutuhkan 25 liter.
b. Perbadingan Berbalik
Dikatakan perbandingan berbalik nilai jika kedua perbadingan tersebut mempunyai nilai berbalikan.
Bentuk umum :
A1 : B1: = B2 : A2 atau
A1A2 = B1B2
Dalam fisika dinyakan dengan A1A2 = konstan
Permisalan dari perbandingan ini adalah perbandingan antara banyaknya pekerja dengan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan.
Misal untuk menyelesaikan suatu pekerjaan oleh 4 orang memakan waktu 25 hari. Maka pekerjaan tersebut akan selesai dalam waktu 10hari bila dikerjakan oleh 10 orang.
Contoh :
1) Jika harga 4 buah buku tulis adalah Rp. 8.000,00. berapakah harga 20 buah buku tulis?
Jawab :
Harga 4 buah buku tulis = 8.000,00.
Harga 1 buah buku tulis = = 2.000,00.
Jadi harga 20 buah buku tulis = 20 x Rp.2.000,00 = Rp. 40.000,00 A1
B1
A2
B2
A1
B1
2) Persediaan beras untuk 5 orang akan habis dalam 6 hari. Jika untuk 8 orang beras akan habis dalam berapa hari ?
Jawab :
Banyak orang Banyak hari
5 12
6 X
= maka =
Didapat 6x = 60 sehingga x = 10
Beras akan habis dalam waktu 10 hari untuk 6 orang
3. Skala
Jadi skala =
Skala dibedakan menjadi dua macam : a. Skala Perkecilan
Digunakan untuk menggambarkan benda-benda yag berukuran besar yang tak mungkin muat dalam gambar, seperti : rumah, jarak dua kota dsb.
b. Skala Perbesaran
Digunakan untuk menggambarkan benda-benda yang berukuran kecil, dengan diperbesar akan memperjelas gambar. Misalnya benda-benda elektronik yang sangat kecil.
Contoh :
Jawab :
Panjang rumah sebenarnya 12 m = 1200 cm a1
a2 b2 b1
5 6
x 12
DENAH RUMAH
2,5’ 4’ 3,5’ 35’
Skala = 1 : 100
Skala adalah perbandingan antara ukuran suatu obyek pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Misal dalam denah rumah di samping ini, tertulis skala = 1 : 100, artinya jarak 1 cm pada denah tersebut mewakili 100 cm pada keadaan sebenarnya. Jika dalam gambar tersebut ukuran kamar 4 cm berarti sebenarnya ukuran kamar tersebut adalah 4 x 100 cm = 4 m.
Ukuran pada gambar Ukuran sebenarnya
1) Skala =
=
150 1 1200
8 =
Jadi skala rumah = 1 : 150
2) Tinggi pintu sebenarnya = 1,3 x 150 cm = 195 cm = 1,95
b.
Jawab :
Skala = 7,5 : 1 ⇒ 1 cm sesuai dengan 5 , 7
1
cm ukuran sesungguhnya.
Jadi diameter sesugguhnya : 3
3 x
5 , 2
1 5 , 7
1 =
cm = 0,4 cm = 4 mm
4. Persen
Persen dituliskan dengan %, yang artinya per seratus. Persen ini dipakai hampir pada smua bidang : bisnis, pendidikan, teknik dan bidang lainnya. Misal keuntugan 20%, kelulusan 99%, kadar alkohol 0,5 %, kelembaban 15%.
Contoh :
Pak Lukman membayar pajak 15% dari gajinya. Gaji Pak Lukman Rp. 900.000,00 per bulan.
a. Berapa besar pajak yang harus dibayar ? b. Berapagaji bersih Pak Lukman ?
Jawab :
a. Pajak = 15 % x Rp.900.000,00
= x Rp. 900.000,00
= Rp. 135.000,00 = Rp. 765.000,00
C. Rangkuman
1. Untuk mengubah pecahan ke bentuk persen caranya : Persentase = Pecahan x 100 % Ukuran pada gambar
Ukuran sebenarnya
3 cm
Gambar disamping menunjukkan lubang berbentuk lingkaran dengan skala ,7,5 : 1. Berapakah ukuran diameter lubang sesungguhnya ?
2. Perbandingan
Perbandingan antara besaran a terhadap besaran b ditulis a : b atau Perbandingan senilai, jika dua perbandingan harganya sama.
2 2
1 1
Β Α = Β Α
Atau
1 1
Β Α
= konstan
Perbandingan berbalik nilai, jika ada perbandingan harganya saling berkebalikan. A1 A2 = B1 B2
atau
A1 A2 = konstan
3. Skala =
Sebenarnya Ukuran
Gambar Ukuran
4. Persen adalah perseratus dan ditulis dengan lambang %
D. Tugas
Kerjakan soal berikut ini secara berkelompok masing-masing 3 orang ! 1. Ubahlah ke bentuk pecahan biasa dan persen !
a. b. c.
2. Dalam waktu 45 menit Ali mampu membaca buku sebanyak 20 halaman. Dalam waktu berapa lama ia akan menyelesaikan membaca buku sejarah Nabi Muhammad setebal 900 halaman ?
3. Dalam kelompok yang terdiri atas 12 siswa, seseorang mendapat kewajiban membayar Rp. 300.000,00 untuk merangkai sebuah personal komputer. Jika 2 orang keluar dari kelompok itu, berapa rupiah beban yang ditanggung masing-masing siswa sekarang ?
4. Carilah sebuah peta atau atlas Pulau Jawa !Ukurlah jarak antara dua kota berikut, kemudian hitunglah jarak sebenarnya dengan melihat skala yang tercantum pada peta atau atlas tersebut!
a. Jogja – Bandung b. Surabaya – Jogja
5. Siti membeli sepeda motor dengan membayar Rp.10.000.000,00 sesudah ia mendapat diskon lebaran sebesar 20%. Berapakah harga sepeda motor siti jika tanpa diskon ?
6. Carilah label atau bungkus sesuatu yang di dalamnya memuat %, atau perbandingan, kadar dan lainnya yag sejenis, seperti bungkus susu, kemasan obat dalam kaplet! Terangkan maksudnya di depan kelas!
a b
3 7
3 4 2
E. Tes Formatif
Kerjakan Soal berikut ini !
1. Sebuah benda tenggelam di air 3/8 bagian. Berapa persenkah bagian yang terapung?
2. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang, pada gambar yang berskala 1: 250 tergambar panjangnya 12 cm dan lebar 6 cm. berapakah luas kebun itu sebenarnya?
3. Campuran zat A : B : C = 1 : 4 : 3. Berapa liter zat A dan C dalam campuran itu jika ternyata zat B yang dikandung sebanyak 2 liter?
4. Seekor sapi pada usia 2 bulan beratnya 50 kg. Harus dipacu menjadi berapa kilogram berat sapi itu agar pada bulan ke 3 beratnya naik sebesar 12,5%?
III. BILANGAN BERPANGKAT
A. Tujuan
Setelah mempelajari materi pembelajaran ini, diharapkan siswa : 1. Dapat memahami sifat-sifat bilangan berpangkat
2. Dapat menyederhanakan bilangan berpagkat
3. Dapat menyelesaikan soal-soal bilangan berpangkat
4. Dapat menyelesaikan persamaan dalam bilangan berpangkat
B. Uraian Materi
1. Pengertian Bilangan Berpangkat
Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut :
an =
faktor n
a ....x x a x a x a
an = disebut bilangan berpangkat a = disebut bilangan pokok (dasar) n = disebut pangkat
2. SifatBilangan Berpangkat a. ap x aq = a p+ q p,q ∈ A b. ap x aq = a p- q p,q ∈ A c. (ap)q = apq p ∈ A d. (a .b)p = ap . bp p ∈ A
e.
p
b a
=
p n
b a
p ∈ A
Contoh :
d. (a5)2 = a5x2 = a10
h. Persamaan perpangkatan 32x1 = 27 ⇔ 32x + 1 = 33 2x + 1 = 3
2x = 3 – 1
2x = 2
x = 1
3. Macam-macam Bilangan Berpangkat
1. Bilangan berpangkat Bulat Positif
Contoh :
22 = 2 x 2
54 = 5 x 5 x 5 x 5
108 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 2. Bilangan Berpangkat tak Sebenarnya
a. Bilangan Berpangkat Nol
Contoh :
Jadi setiap bilangan berpangkat nol selalu menghasilkan satu. b. Bilangan Berpangkat Negatif
Contoh :
100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; …. Dapat ditulis :
c. Bilangan Berpangkat Pecahan
Jadi a = adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan dirinya sendiri sebanyak n faktor akan menghasilkan a. hal itu dapat diartikan
Jadi a = dengan n∈A, a∈R.
C. Rangkuman
1. Bilangan berpangkat adalah hasil perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri secara beruntun.
D. Tugas
Kerjakan soal-soal berikut ini secara berkelompok ! 1. Sederhanakanlah !
a. y x y11 b. 62(x3)2 c. (x2)5y5 2. Carilah x dari persamaan berikut!
a. 3x = 81 b. x6 = 64 c. 92x = 27x+2 3. Nyatakan dalam bentuk akar !
a. 3
4. Nyatakan dalam bentuk pangkat
a. b. c.
E. Tes Formatif
Selesaikanlah soal-soal berikut ini !
1. Nyatakan dalam pangkat positif!
a. b. (a-3)2(
a 1
)-4
2. Nyatakan dalam bentuk akar atau sebaliknya!
a.
3. Sederhanakan!
a. x x b.
4. Tentukan nilai x!
a. = 16-3x+1 b. 9x+2 = 272x+4
5. Jika a =27 dan b = 32tentukan harga 3a 4b !
IV.BILANGAN IRRASIONAL
A. Tujuan
Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan : 1. Dapat memahami tentang konsep bilangan irrasional
2. Dapat menentukan penjumlahan dan pengurangan dari dua atau lebih bilangan irrasional bentuk akar
3. dapat menentukan pekalian dan pembagian dari dua atau lebih bilangan irrasional bentuk akar
4. Dapat merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar
B. Uraian Materi
1. Pengertian
Bilangan irrasional (bilangan tak terukur) adalah bilangan yang idak dapat
dinyatakan dalam bentuk q
p, dengan p,q ∈B dan p
≠ 0.
Bilangan irrasional disebut juga bilangan tak rasional.
Bilangan irrasional diklasifikasikan menjadi 2 kelompok yaitu : a. Bilangan Pecahan Desimal tak Terbatas tak Berulang
Contoh :
e = 2,718218…. = 3,142857…
b. Bilangan yang Berbentuk Akar Contoh :
2 = 1,414213562… 3 = 1,732050808…
2. Operasi Bilangan Irrasional
a. Penjumlahan dan Pengurangan
Bilangan irrasional tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan kecuali bilangan itu sejenis, karena besarnya tidak terukur (letak/posisinya tidak dapat ditentukan dengan tepat pada suatu garis bilangan).
Contoh :
1) e + = e + 2) e - ≠ e -
3) 7 + 3 = 7 + 3
4) 7 - 5
5) 3 + 4 3 = (1+ 4) 3 = 5 3
b. Perkalian bentuk akar ingat bahwa :
ax a= a π
π π
bx d = b. d
a bx c d= ac b. d
Contoh :
1) 8 x 3 = 8x3= 24 = 4 x 6 = 2 6
2) 3 2 x 2 5 = (3x2) ( 2 x 5 ) = 6 10
3. Menyederhanakanbentuk akar
Ini dilakukan dengan menerapkan perkalian bentuk akar di atas, yaitu sifat
bx d = b. d
Contoh :
a. 27 = 9.3= 9 . 3 = 3. 3 = 3 3
b. 75 = 25 = 25 . 3 = 5 3 ,3
4. Merasionalkan Penyebut suatu Pecahan
C. Tugas Sisiwa
Kerjakan soal berikut ini secara berkelompk!
1. Buktikan bahwa 3 , 5 adalah bilangan irasional!
2. Sederhanakan!
a. 48 b. 500 3. Sederhanakan!
a. 2 8+ 2 b. 20− 45+ 5
4. Tentukan
a. 2 3×3 5 b. 22 8×2 2
5. Rasionalkan penyebut dari!
a. 5 3
b. 2 3
2 −
D. Tes Formatif
Selesaikan soal-soal berikut ! 1. Sederhanakanlah!
a. 2000 b. 75 c. 80
2. Sederhanakanlah!
a. 8x 3 b. (5 + 2 (5-) 2 ) 3. Sederhanakanlah!
a. 20− 5+ 500 b. 2( 3+4 2) 4. Rasionalkan penyebutnya !
a. 2 5
3
b.
3 2
3 2
+ +
V. LOGARITMA
A. Tujuan
Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa : 1. Dapat memahami pengertian logaritma.
2. Dapat menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan daftar logaritma.
3. Dapat menentukan anti logaritma suatu bilangan 4. Dapat memahami sifat-sifat logaritma
5. Dapat mempergunakan logaritma dalam perhitungan-perhitungan.
B. Uraian Materi
1. Pengertian Logaritma
dengan a bilangan pokok, n pangkat dan b hasil pangkat.
Sekarang jika masalahnya dibalik yaitu hasil pangkat b dan bilangan pokok a diketahui kemudian menentukan n, yaitu :
a…= b
atau dengan kata-kata”a pangkat berapa sama dengan b?” atau “b sama dengan a pangkat berapa ? “ pertanyaan itu jawabnya adalah n.
Maka dalam matematika pertayaan itu dinyatakan dengan alog b = n Jadi logaritma adalah invers dari perpangkatan. Jika b = an (a>0dan a≠1) adalah bilangan berpangkat dengan pokok a dan pangkat (eksponen),maka inversnya adalah :
n = alog b
disebut logaritma dengan bilangan a. Kesimpulan :
alog b = n ⇔ b = an
dengan a > 0, a ≠1, a bilangan pokok logaritma, y = radikal, n haisl penarikan logaritma.
Jika bilangan pokok suatu logaritma tidak ditulis, bilangan pokok logaritma tersebut adalah 10.
Contoh :
1. Nyatakan dalam bentuk logaritma !
a. 8 = 23 c. 9 1
3-2
b. 64 = 82 d. P = 2q Jawab :
a. 8 = 23 ⇔2log 8 = …… b. 64 = 82 ⇔8log ….= 2
c. 9 1
= 3-2 ⇔…log 9 1
= -2
d. P= 2q ⇔2log …= … 2. Tentukan nilainya !
a. 2log 1 b. 3log 27 c. 5log 25
1
Jawab :
a. 2log 1 = x ⇔ 1 = 2x ⇔20 = 2x ⇔ x = 0 b. 3log 27 = x ⇔ 27 = 3x ⇔33 = 3x ⇔ x = 3
c. 5log 25
1
= x ⇔ 25
1
= 5x ⇔5-2 = 5x ⇔ x = -2
3. Sifat-Sifat Logaritma
a. alog (bx c) = alog b + alog c b. alog = alog b – alog c
c. alog bn = n x alog b d. alog b =
b c
e. alog b =
f. alog b x blog c = alog c
g. alog b m = alog b i. a a
log b = b
contoh :
a. alog 3 1
+ 3log 27 = 3log ( 3 1
x ….)
= 3log 9 = 3log….2 = 2
b. 3log 9 - 3log27 = 3log .... ....
= 3log ...
1
= 3log 3-1 = -1
c. 2 1 2
log 16-2 2log 4 + 2 12
log64 = 2log 16…-2log 4…+ log (64)…
= 2log (42) ½ - 2log 42 + log (26) ½ = 2log 4 - 2log 42 + log 23
= 2log
... .... ....x
= 2log
16 32
= 2log 2 = 1
d. Jika 2log3 = a, nyatakan logaritma di bawah ini dalam dalam a : 8log 3! Jawab :
8
log 3 = 8 log
3 log
=
= 2 log 3
3 log
= 3 1
x 2log 3 = 3 1
x a = 3 1
a
e. 2log 5 x 5log 64 = log 5 x5log 64 = 2log 64 = 2log 26 =6 f. 22 log 5 = 5
4. Menggunakan Daftar Logaritma a
b
log 1
23 log
Daftar logaritma yang biasa digunakan disbut daftar logaritma biasa yaitu dengan bilangan pokok 10.
Dalam daftar logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis.
Lajur-lajur dalam logaritma terdiri dari:
a. Lajur N (lajur pertama) dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan secara berurutan dari nol sampai 1000.
b. Lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari kiri ke kanan berturut-turut berisi dengan bilangan 0, 1, 2, 3, …, 8, 9. Lajur yang memuat angka nol disebut lajur nol, yang memuat angka 9 disebut lajur sembilan. Cara Menentukan Logaritma Bilangan Pokok 10
Sebagai contoh:
Dengan menggunakan daftar logaritma tentukan nilai logaritma dari : a. log 4,6 b. log 46 c. log 460
Jawab:
a. log 4,6 =……
Antara log 1 = 0 dan log 10 = 1 Log 4,6 = 0,….
Angka di depan tanda koma, disebut indek (karateristik). Angka di belakang tanda koma disebut mantis dari logaritma bilangan itu. Mantis didapat dalam daftar logaritma pada baris ke-4 dan lajur ke-6 =6628. jadi log 4,6 = 0,6628.
b. log 46 =…..
Antara log 10 = 1 dan log 100 = 2 Log 46 = 1,…
Mantis didapat pada daftar logaritma pada baris ke-4 dan lajur ke-5 = 6628. Jadi log 46 = 1,6628
c. log 460 = …..
antara log 100 = 2 dan log 1000 = 3 log 460 = 2,…
dengan cara yang sama dengan di atas diperoleh log 460 =2,6628
5. Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan
Apabila nilai logaritma suatu bilangan sudah diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan daftar logaritma. Jadi daftar logaritma sekaligus juga merupakan daftar anti logaritma. Sebagai contoh:
Tentukan bilangan yang logaritmanya: a. 0,6626
c. 2,6628 d. 3,6628 Jawab:
a. Misal bilangan yang akan ditentukan itu x, maka log x = 0,6628 Oleh karena log x = 0,6628 (antara 0 dan 1) maka antara 1 dan 10.
0 < log x < 1 maka 1 < x < 10
Kemudian dicari pada daftar logaritma sehingga didapat angka 6628. Selanjutnya dari angka 6628 ditarik garis ke arah kiri sampai lajur N diperoleh angka 4 dan ditarik garis vertikal ke atas diproleh angka 6. Kemudian hasilnya ditulis 46
Maka mantis 6628 berhubungan dengan bilangan 46.
Oleh karena bilangan x nilainya di antara 1 dan 10 maka x = 4,6 b. Log x = 1,6628 maka x antara 10 dan 100
Dengan cara seperti di atas diperoleh x = 46. c. Log x = 2,6628 maka x antara 100 dan 1000
x = 460
d. Log x = 3,6628 maka x antara 1000 dan 10000. x = 4600
C. Rangkuman
1. Logaritma didefinisikan sebagai alog b = n ⇔b =an 2. Sifat-sifat logaritma
a. alog (bxc) = alog b + alog c
b. alog c b
= alog b + alog c
c. alog bn = n x alog b
d. alog b = a b log log
e. alog b = a
b
log 1
f. alog b x blog c = alog c
g. anlogbm = logb n
m×a
h. a n`
b log
n
= alog b i. an log b = b
D. Tugas Siswa
1. Nyatakan dengan posisi pangkat! a. 3log 81 = 4
b. 2log 4 1
= -2
4 ½
7 ½ mm
A B
b. 10log 100
1
3. Sederhanakan!
a. 2log 48 – 2log 6 = b. 2log 5 - 2log 20 = c. 6log 4 - 2log 9 =
d. 7log 4 + 2 7log 3-2 7log 6 = e. 3log 27 + 3log 3 =
4. Hitunglah : log 25 x 2log x 10 x 5log 4 =
5. Jika 2log 3 = a dan 2log 5 = b, maka nyatakan 6log 50 dalam a dan b
E. Tes Formatif
Selesaikan soal-soal berikut ini !
1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi logaritma! a. 25 = 32 b. 60 = 1 c. 34 = 81
2. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi pangkat!
a. 10log 1 = 0 b. 2log 6 = 6 c. 3log 9 1
= -2
3. Gunakan daftar logaritma untuk menentukan nilai tiap logaritma berikut! a. log 2 b. 200 c. log 3,2
4. Tentukan bilangan yang nilai logaritmanya sebagai berikut! a. 0,8388 b. 2,8388 c. 3,8388 5. Sederhanakan!
a. 3log 5 + 3log 2 + 3log 4 = b. 3log 27 + 3log 81 = c. 3log 2 + 2log 9 = 6. Jika 2log 3 = a
a. 4log 81 = b. 8log 27 7. Jika a = 2 dan b = 64, hitunglah alog b =
8. Tentukan nilai x pada persamaan 2log 3x-2 + 2log 9 – 2log x = 3!
VI. EVALUASI
Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar!
1. Pada gambar di samping tentukanlah panjang AB!
b. 4 5 1 3 1
25
x x
3. a. 3log 9 1
+ 3log 18 -3log 6
b. 2log (x-3) + 2log 2 = 2 tentukan nilai x !
4. Seorang menjual mobil dega harga Rp.40.000.000,00. ternyata ia menderita kerugian sebesar 20%. Berapakah ia membeli mobil tersebut ?
5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang tergambar dengan ukuran 12,5 cm x 8 cm pada denah dengan skala 1 : 200. Luas sebenarnya tanah tersbut adalah……
MODUL 2 : APROKSIMASI KESALAHAN
I. MEMBILANG DAN MENGUKUR
A. Tujuan
Setelah mempelajari uraian materi belajar ini, Anda diharapkan : 1. Memiliki pemahaman tentang pengertian aproksimasi 2. Memiliki konsep membilang dan mengukur
3. Dapat menentukan pembulatan ke satuan ukuran terdekat 4. Dapat menentukan pembulatan ke banyaknya angka desimal 5. Dapat menentukan pembulatan ke banyaknya angka signifikan
B. Uraian Materi
Dalam kehidupan sehari-hari membilang dan mengukur sering dianggap sama. Padahal kedua kata tersebut sangatlah berbeda pengertiannya. Hasil membilang merupakan sesuatu yang pasti, tepat atau eksak. Sedangkan mengukur merupakan pendekatan.
Contoh hasil kegiatan membilang antara lain : 1. Banyaknya murid suatu sekolah
2. Banyaknya botol pada tiap krat minuman 3. Banyaknya lembaran kertas dalam sebuah buku
Contoh hasil kegiatan mengukur antara lain : 1. Panjang ruangan kelas
2. Berat badan si Ali
3. Kecepatan lari seorang atlet
Hasil dari membilang adalah pasti, sedang hasil mengukur merupakan pendekatan sehingga hasilnya berbeda-beda menurut ketelitian yang diiginkan. Dalam pelaksanaan pengukuran kita sering mengadakan pembulatan hasil pengukuran. Ada tiga hasil pembulatan, seperti dalam uraian berikut :
1. Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat Aturan pembulatan suatu bilangan adalah :
a. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan lima (≥ 5), maka nilai angka di depannya ditambah satu.
b. Jika angka berikutnya kurang dari lima (< 5), angka ini dihilangkan dan nilai angka di depannya tetap.
Contoh :
a. 5,8 kg = 6 kg dibulatkan ke kg terdekat
b. 23,12 km = 23,1 km dibulatkan ke persepuluh km terdekat c. 128,253 detik = 128,52 detik, dibulatkan ke perseratus detik terdekat.
2. Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal
Contoh :
150,56342 = 150,5634 (dibulatkan sampai empat tempat desimal) = 150,563 (dibulatkan sampai tiga tempat desimal) = 150,56 (dibulatkan sampai dua tempat desimal) = 150,6 (dibulatkan sampai satu tempat desimal)
3. Pembulatan ke Banyaknya Angka Signifikan
Angka signifikan adalah angka yang bermakna/berarti. Semua angka adalah signifikan kecuali angka yang dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal.
Nol adalah angka signifikan kecuali bila dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal.
Contoh:
a. 0,05 m, dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, maka tidak signifikan. Jadi 0,05 mempunyai 1 angka signifikan.
b. 3,50 kg, nol menyatakan bahwa berat diukur sampai ke perseratusan kg terdekat. Jadi 3,50 mempunyai 3 angka signifikan.
c. 0,09050 m, dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan. Nol yang ketiga dan keempat menunjukkan bahwa jarak telah diukur sampai perseratusribuan yang terdekat, maka nol yang ketiga dan keempat signifikan. Jadi 0,09050 mempunyai 4 angka signifikan.
d. 1,8 x 103 kg, disini 103 tidak dianggap sebagai angka signifikan. Dalam hal ini ada dua angka signifikan.
C. Rangkuman
Macam-macam pembulatan:
a. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat b. Pembulatan ke banyaknya angka desimal c. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan
D. Tugas
Diskusikan soal-soal berikut ini dalam kelompok Anda, kemudian presentasikan hasilnya sesuai yang dikehendaki guru pembimbing !
1. Bentuk pembulatan dari:
a. 34,532 km ke persepuluh km terdekat adalah…… b. 673,843 ke perseratusan terdekat adalah…… 2. Bulatkan ke tempat desimal yang dikehendaki!
a. 19,072 (satu tempat desimal) b. 31,98979 (tiga tempat desimal) 3. Bulatkan ke banyaknya angka signifikan
a. 7,145 (dua angka signifikan) b. 0,035445 (tiga angka signifikan)
4. Panjang seutas tali 12
7
5 meter. Tulislah ukuran tersebut dalam bentuk desimal
b. Bulatkan sampai 4 angka signifikan!
5. Sebuah karung pupuk tertulis netto 90 kg. Jika harganya Rp12.275,000 maka harga 1 kg adalah….(bulatkan dalam puluhan rupiah terdekat)
E. Tes Formatif
Isilah titik-titik di bawah ini dengan tepat! 1. Pembulatan 66,1517 ke
a. Seperseratus terdekat adalah……… b. Sepersepuluh terdekat adalah…… c. Satuan terdekat adalah…..
d. Ratusan terdekat ……..
2. Pecahan 7 22
jika dinyatakan dalam bentuk desimal dengan
a. Dibulatkan sampai 5 tempat desimal adalah….. b. Dibulatkan sampai 2 tempat desimal adalah….
3. Bilangan 25
3
jika dinyatakan dalam bentuk desimal, kemudian
a. Dibulatkan sampai 4 angka signifikan adalah……. b. Dibulatkan sampai 3 angka signifikan adalah……
II. KESALAHAN DALAM PENGUKURAN
A. Tujuan
Setelah mempelajari uraian materi ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan salah mutlak dari suatu pengukuran
2. Menentukan salah relatif dari suatu pengukuran 3. Menghitung persentase kesalahan
4. Menentukan toleransi suatu pengukuran
B. Uraian Materi
1. Satuan Pengukuran Terkecil
Seperti telah kita ketahui bagaimanapun telitinya kita melakukan suatu pengukuran, kita tidak dapat menyatakan ukuran yang tepat (sebenar-benarnya). Selisih antara ukuran yang sebenarnya dan ukuran yang diperoleh dari pengukuran itu disebut kesalahan. Agar pengukuran kita dapat dipercaya, kita harus mengetahui kesalahan pengukuran. Maksimum yang masih dapat diterima. Besarnya suatu kesalahan dapat diperkecil dengan menggunakan alat-alat yang lebih teliti. Tingkat ketelitian dari suatu pengukuran ini disbut dengan Satuan Ukuran Terkecil .
Contoh:
a. 12 kg satuan ukuran terkecilnya 1 kg
2. Salah Mutlak
Jika kita mengukur panjang buku kita menggunakan penggaris yang ukurannya dalam sentimeter, kita dapat mengatakan panjangnya 25 cm. tetapi ini tidak berarti bahwa panjangnya tepat 25 cm. kita dapat mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran itu adalah 1 cm. Jadi panjang sebenarnya lebih dekat ke 25cm daripada ke 24 cm atau 26 cm, yaitu terletak pada suatu tempat antara 24,5 cm dan 25,5 cm. kesalahan pengukuran terbesar yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm atau salah mutlak pengukuran itu adalah 0,5 cm. Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa Salah Mutlak (SM) suatu pengukuran adalah setengah dari satuan ukuran terkecilnya.
Salah mutlak = 2 1
x Satuan Ukuran Terkecil
Contoh :
Hasil pengukuran berat Badan Ahmad adalah 65,45 kg. Tentukan
a. Satuan ukuran terkecilnya! b. Salah mutlaknya!
Jawab:
a. 65,45 kg satuan ukuran terkecilnya 0,01 kg
b. Salah mutlak = ½ x Satuan Ukuran Terkecil = ½ x 0,01 kg
= 0,005 kg
3. Salah Relatif
Salah Relatif =
4. Persentase Kesalahan
Persentase Kesalahan = Salah Mutlak x 100% Contoh :
Hasil pengukuran jarak kota A dan B yang dilakukan oleh Departemen Perhubungan adalah 50 km. Tentukan kesalahan relatif dan persentase kesalahan dari hasil pengukuran tersebut !
Jawab:
Hasil pengukuran 50 km, maka Satuan ukuran terkecilnya 1 km Salah mutlak = ½ x 1 km = 0,5 km
Salah Relatif =
=
= 0,01
kuran Hasil pengu
k Salah mutla
kuran Hasil Pengu
k Salah Mutla
km km 50
Persentase Kesalahan = salah relatif ½ x 100% = 0,01.1/2 x 100% = 1 %
5. Toleransi
Suatu hasil pengukuran akan bisa diterima jika kesalahan yang dimiliki tidak terlalu besar. Untuk itu perlu ditentukan batas-batas pengukuran yang masih bisa diterima. Batas-batas tersbut adalah :
a. Ukuran maksimum (∪mak ) = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak
b. Ukuran Minimum (∪min) = Hasil Pengukuran – Salah Mutlak
Selanjutnya didefinisikan tolransi adalah selisih antara batas atas dan batas bawah.
Toleransi = ∪mak - ∪min
Batas atas pengukuran dan batas bawah pengukuran sering disbut juga dengan ukuran maksimum dan ukuran minimum.
C. Rangkuman
1. Kesalahan adalah selisih antara ukuran sebenarnya dengan hasil pengukuran. 2. Satuan Ukuran Terkecil (SUT) adalah tingkat ketelitian dari suatu pengukuran 3. Salah Mutlak (SM) setengah dari ukuran terkecil.
4. Salah Relatif (SR) adalah perbandingan antara salah mutlak dengan hasil pengukuran.
5. Persentase Kesalahan (PK) adalah salah relatif dikalikan 100%.
6. Toleransi adalah selisih antara ukuran maksimum dan ukuran minimum. 7. Ukuran Maksimum (∪mak) adalah hasil pengukuran ditambah salah mutlak
8. Ukuran minimum (∪min) adalah hasil pengukuran dikurangi salah mutlak
D. Tugas Belajar
Lakukan kegiatan pengukuran secara berkelompok, tiap kelompok terdiri atas 3 orang. Tiap kelompok melakukan kegiatan sekali pengukuran terhadap obyek berikut dengan ketelitian yang sesuai kesepakatan antar kelompok. Bandingkan hasil dari tiap-tiap kelompok dengan mempresentasikan di depan kelas!
Tuangkan hasilnya dalam tabel berikut!
No Nama Benda Nama
Alat Ukur
Satuan Ukuran Terkecil
Salah Mutlak
Salah Relatif
Persentase Kesalahan
1 Panjang meja siswa paling depan 2 Tinggi pintu 3 Berat sebuah
batu bata 4 Tebal buku
tulis (±100hal) 5 Diameter
E. Tes Formatif
Lengkapi tabel berikut!
No Pengukuran Satuan Ukuran
Terkecil
Salah Mutlak
Salah Relatif
Persentase Kesalahan
1 20 m
2 15,2 kg 3 7,25 volt 4 25 menit 5 0,250 derajat
III. OPERASI HASIL PENGUKURAN
A. Tujuan
Setelah mempelajari materi diharapkan siswa dapat : 1. Menentukan hasil penjumlahan dari suatu pengukuran 2. Menentukan selisih dari suatu pengukuran
3. Menentukan hasil kali dari suatu pengukuran
B. Uraian Materi
1. Penjumlahan dan Pengurangan Hasil Pengukuran
Jika dua hasil pengukuran, misalkan ukuran I dan II masing-masing mempunyai ukuran maksimum dan ukuran minimum, kemudian kedua ukuranitu kita jumlahkan, maka akan didapatkan hasil penjumlahan berikut :
a. Jumlah Maksimum = Ukuran Maksimum I + Ukuran Maksimum II b. Jumlah Minimum = Ukuran Minimum I + Ukuran Minimum II
c. Salah mutlak dari jumlahdua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II.
Contoh:
Dari dua kali penimbangan hasil panen ikan didapatkan 57 kg dan 63 kg.
Tentukan berapakah total minimum dan maksimum dari kedua penimbangan tersebut!
Jawab:
Ukuran I 57 kg, maka salah mutlaknya 0,6 kg sehingga ukuran maksimumnya 57,5 kg, minimumnya 56,5 kg.
Ukuran II 63 kg, maka salah mutlaknya 0,5 kg sehingga ukuran maksimumnya 63,5 kg, minimumnya 62,5 kg.
Jumlah maksimum = 57,5 kg + 63,5 kg = 121 kg
Jumlah minimum = 56,5 kg + 62,5 kg = 119 kg
2. Pengurangan Hasil Pengukuran
Jika dua hasil pengukuran kita kurangkan akan didapatkan hasil berikut: a. Selisih Maksimum = Ukuran Maksimum I – Ukuran Minimum II b. Selisih Minimum = Ukuran Minimu I – Ukuran Maksimum II
Contoh:
Dari dalam drum minyak yang berisi 110 liter minyak diambil sebanyak 25 liter. Tentukan sisa maksimum dan minimum minyak yang masih berada dalam drum itu!
Jawab:
Ukuran 110 liter mempunyai : Ukuran maksimum 110,5 liter : Ukuran minimum 109,5 liter Ukuran 25 liter mempunyai : Ukuran maksimum 25,5 liter : Ukuran minimum 24,5 liter Sehingga
Sisa maksimum = 110,5 liter – 24,5 liter = 86 liter
Sisa minimum = 109 liter – 25,5 liter = 84 liter
3. Perkalian Hasil Pengukuran
Jika dua hasil pengukuran dikurangkan akan didapatkan hasil berikut: a. Hasil Kali Maksimum = Ukuran Maksimum I x Ukuran Maksimum II b. Hasil Kali Minimum = Ukuran Minimum I x Ukuran Minimum II
Contoh:
Sebuah kamar mempunyai ukuran panjang 5 meter dan lebar 3 meter. Tentukan ukuran luas maksimum dan minimum kamar tersebut!
Jawab:
Panjang 5 meter maka : Panjang maksimum 5,5 meter Panjang minimum 4,5 meter Lebar 3 meter maka : Lebar maksimum 3,5 meter
Lebar minimum 2,5 meter
Luas maksimum = 5,5 meter x 3,5 meter = 19,25 meter2
Luas minimum = 4,5meter x 2,5 meter = 11,25 mter2
C. Rangkuman
1. Jumlah Maksimum = Ukuran Maksimum I + Ukuran Maksimum II 2. Jumlah Minimum = Ukuran minimum II
3. Salah mutlak dari jumlah dua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II
4. selisih Maksimum = Ukuran Maksimum I – Ukuran Minimum II 5. Selisih Minimum = Ukuran Minimum I – Ukuran Maksimum II
6. Salah mutlak dari selisih dua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II.
D. Tugas
Kerjakan soal berikut secara berkelompok dengan membikin kelompok beranggotakan 3 orang!
1. Tentukan : a. Keliling
b. Keliling maksimum, c. Keliling minimum Dari bangun berikut!
2. Tentukan a. Luas
b. Luas maksimum c. Luas minimum Dari bangun berikut!
E. Tes Formatif
Kerjakanlah soal-soal di bawah ini dengan benar!
1. Dua buah kawat dengan panjang masing-masing 12 m dan 14 m disambung. Tentukan panjang maksimum sambungan kedua kawat tersebut!
2. Sebuah botol yang berisi 900 ml minyak wangi, diambil 3 kali masing-masing 50 ml. tentukan sisa maksimum minyak wangi tersebut!
3. Ketika panen ikan dilakukan pada dua kolam yang berbeda, menghasilkan berat ikan yang berbeda walaupun banyak benihnya sama. Kolam A menghasilkan 152,2 kg dan kolam b 175,3 kg. Tentukan :
a. Jumlah maksimum dan minimumnya! b. Selisih maksimum dan minimunya!
4. Tentukan kebutuhan ubin maksimum untuk menutup lantai berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 m dan lebar 9 m, jika tiap m2 lantai membutuhkan 9 ubin!
5. Sebuah akuarium dibuat berukuran 100 cm x 50 cm x 60 cm. Tentukan volume air maksimum yang bisa ditampung dalam akuarium tersebut!
IV. EVALUASI
Kerjakan Soal berikut ini!
1. Nyatakan 13
6
1 sebagai pecahan desimal, bulatkan sampai :
a. 5 tempat desimal b. 3 tempat desimal c. 6 angka signifikan
10cm
12cm 8cm
1
5
cm
25cm
5cm
6
cm
10cm
6
cm
2. Lengkapi tabel di bawah ini:
No Pengukuran
Satuan Ukuran Terkecil
Salah Mutlak
Salah Relatif
Persentase Kesalahan
1 17 m 2 750 kg 3 53,2 jam 4 1,02 ampere 5 5,25
3. Carilah batas-batas keliling bentuk-bentuk lmpengan berikut!
4. Suatu batang logam panjangnya 28 cm dipotong spanjang 20 cm. berapakah batas-batas sisa batang logam tersebut!
5. Berapakah luas maksimum dan minimum dari :
a. Persegi panjang dengan ukuran panjang 5 m dan lebar 4m b. Persegi dengan sisi (6 ± 0,2) cm.
3
c
m
4 cm 5cm
12 cm
8
c
MODUL 3: PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
I. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan:
1. Memiliki pemahaman mengenai pengertian persamaam dan pertidaksamaan linear.
2. Dapat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear.
B. Uraian Materi
1. Sifat Umum Persamaan
Persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
2. Pengertian Persamaan Linear
a. Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Contoh 1 :
Ari mempunyai satu kantong kelereng. Budi menambahkan 5 kelereng ke dalam kantong tersebut. Setelah dihitung semua kelerengnya, ternyata ada17 biji. Berapa kelereng Ari seblum ditambah kelereng Budi?
Hal tersebut dapat ditulis ke dalam kalimat matematikan sebagai berikut : X + 5 = 17
Berapa x ?
c. kalimat tertutup adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya dari contoh 1 di atas x dapat digenti dengan :
o 12 + 5 = 17 bernilai benar
o 15 + 5 = 17 bernilai salah 3. Penyelesaian Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel adalah ax + b = 0, a, b∈R, a ≠ 0
a. Persamaan Linear Satua Variabel
Bentuk nilai x dari persamaan 3x - 21 = 0! Jawab:
3x - 21=0
⇔3x – 21 + 21 = 0 + 21 (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -21 yaitu 21)
⇔3x = 21
⇔ 21
3 1 3 3
1 =
x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu 3 1
)
⇔ x = 7
Jadi nilai x adalah 7 Contoh :
Tentukan nilai x dari persamaan 3x + 5 = 25-2x! Jawab:
⇔5x + 5 = 25 (disederhanakan)
⇔5x + 5 + (-5) – 25 + (-5) (kedua ruas ditambah dengan lawan dari 5 yaitu -5)
⇔5x = 20 (disederhanakan)
⇔ .20
5 1 5 . 5
1 =
x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 5
yaitu ) 5 1
⇔ x = 4
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 4
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x-6=24-3x!
Jawab:
3x – 6 = 24 -3x
⇔3x – 6 + 3x = 24 -3x + 3x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari (-3x yaitu (-3x)
⇔6x – 6 = 24 (disederhanakan)
⇔6x – 6 + 6 = 24 + 6 (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -6 yaitu 6)
⇔ 6x = 30 (disederhanakan)
⇔ .30
6 1 6 6
1 =
x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 6
yaitu ) 6 1
⇔x = 5
Jadi himpunan penyelesaian dari persamaannya adalah {5}
b. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat dari kdua variabel adalah satu.
Bentuk umum : ax + by = c di mana a,b,c∈R, dan a,b ≠ 0 Penyelesaian satu persamaan linear dua variabel :
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 3y = 6 untuk y∈{-2,0,2}! Jawab:
y = -2, Maka 2x + 3y = 6 ⇔2x + 3.(-2) = 6 ⇔2x – 6 = 6 ⇔ 2 x = 6 + 6
⇔ 2 x = 12
⇔ x = 12 : 2
⇔ x = 6 diperoleh (6,-2) y = 0, maka 2x + 3y = 6
⇔2x + 3.(0) = 6 ⇔2x + 0 = 6
⇔2 x = 6
y = 2, maka 2x + 3y = 6 ⇔2x + 3.(2) = 6 ⇔2x + 6 = 6
⇔2 x = 6-6
⇔2 x = 0
⇔ x = 0 diperoleh (0,2) Jadi HP = {(6,-2).(3.0),(0,2)}
4. Pengertian pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka tidak sama dengan (#) yang dapat menggunakan tanda: <, >, ≥ atau ≤
Contoh:
• 2-x<8 • X + 7 ≤ 0 • 3x-4>0
Sedangkan kalimat tertutup yang menggunakan tanda tanda: <,>,≤ atau ≥
disebut ketidaksamaan. Contoh:
• 4 + 8 <20 • 10-5 ≥ 2
Kostanta pengganti variabel yang menyebabkan suatu pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian.
Sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian dari pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian.
5. Sifat-sifat Pertidaksamaan
• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan positif atau bilangan negatif yang sama,maka arah tanda pertidaksamaan tetap.
• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang sama, maka tanda arahpertidaksamaan tetap
• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang sama, maka tanda arah pertidaksamaan dibalik.
6. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan dengan variabel berpangkat tertinggi satu.
a. Pertidaksamaan linear satu variabel Bentuk umum:
ax + b < 0; ax + b >; ax + b ≥ 0 atau ax + ≤ 0, dengan a ≠ 0
Contoh :
• x + 4 < 0 • 3x – 1 > 0 • 2x-4 ≤ 0
Contoh:
Tentukan HP dan grafik garis bilangan dari pertidaksamaan berikut ini,jika x∈ R (x anggota bilangan real)!
1) 3x – 7 > 2 Jawab : 3x - 7 > 2
⇔3x – 7 + 7 > 2+7 Kedua ruas ditambah lawan dari 7- yaitu 7 3x > 9 disederhanakan
⇔ Kedua ruas dikali kebalikan 3 yaitu 3 1
x > 3 HP = {x / x > 3, x∈ R}
Karena tandanya >, maka digambarkan denga noktah berlubang dan arah panah ke kanan.
2) 5x -2 ≤ 4x + 6
⇔5x – 2 + (-4) ≤ 4x + 6+ (-4x) Kedua ruans ditambah dengan lawan dari 4x yaitu -4x
⇔ x – 2 ≤ 6 disederhanakan
⇔x -2 + 2 ≤ 6 + 2 Kedua ruas ditambah 2 ⇔ x ≤ 8
Jadi HP = {x / x ≤ 8, x ∈R}
Karena tandanya ≤, maka digambarkan dengan noktah padat pada bilangan 8 dan arah panah ke kiri.
3) 2(3-x) ≥ x + 9
⇔6-2x ≥ x + 9 Ruas kiri diselesaikan dahulu dengan cara mengalikan bilanga yang diluar kurung dengan ada yang didalam kurung.
⇔6-2x + (-x) ≥ x + 9 (-x) Kedua ruas ditambah dengan lawan dari x yaitu (-x)
⇔ 6 – 3x ≥ 9
⇔6-3x + (-6) ≥ 9 + (-6) Kedua ruas ditambah dengan 6 ⇔ -3x ≥ 3
⇔ [ ]
− ≤ − −
3 1 3 3 3 1
x Kedua ruas dikali dengan kebalikan
Dari -3 yaitu
3 1
− dan diperhatikan
tanda petidaksamaannya berubah arah ⇔ x ≤ -1
⇔
9 . 3 1 3 . 3 1 >
x
⇔
0
3
Karena tanda pertidaksamaannya ≤ maka digambar dengan noktah padatdan arah panahnya ke kiri.
4) 2x – 5 ≤ x + 3 < 5x-9
Karena pada soal pertidaksamaan ini ada tiga ruas, maka pertidaksamaan ini dikerjakan dengan dua penyelesaian.
Penyelesaian pertamadikerjakan dari ruas kiri dengan ruas tengah. Penyelesaian yang kedua dikerjakan dari ruas tengah dengan ruas kanan.
Penyelesaian I
2x -5 ≤ x + 3
⇔2x -5 + (-x) ≤ x + 3 + (-x) Kedua ruas ditambah (-x) ⇔ x -5 ≤ 3
⇔ x – 5 + 5 ≤ 3 + 5 Kedua ruas diytambah 5 ⇔ x ≤ 8…………)
Penyelesaian 2
x + 3 < 5x – 9
⇔x + 3 + (-5x) < 5x -9 + (-5x) Kedua ruas ditambah (-5x) ⇔ -4x + 3 < -9
⇔ -4x + 3 (-3) < -9 + (-3) Kedua ruas ditambah -3 ⇔ -4x < -12
⇔
[ ]
[ ]
12 4 1 4 4 1−
− > − −
− x Kedua ruas dikali dengan kebalikan
dari -4 yaitu
4 1
− dan perhatikan tanda
pertidaksamaan berubah arah ⇔x > 3 ……….2)
Karena ada dua nilai x, maka nilai xdapat ditulis sebagai berikut : x ≤ 8 atau 3 < x ≤8
Grafik himpunan penyelesaian pada garis bilangan pada titik 3 berupa noktah berlubang dan pada titik 8 berupa noktah padat.
b. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk umum:
ax + by < c; ax + by > c; ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0 contoh 1:
Tentukan HP dari 4x -3y ≤ 12; x,y ∈ R! -1
Jawab:
1) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -3y = 12! Untuk x = 0, maka 4.(0) – 3y = 12
- 3y = 12
y = -4
Jadi titiknya (0,-4)
Untuk y = 0, maka 4x -3.(0) = 12 4x = 12
x = 3
Jadi titiknya (3,0)
x 0 3
y -4 0
(x,y) (0,-4) (3,0)
2) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan garis 4x-3y =12! Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x =0
Dan y = 0. Subtitusikan titik tersebut ke 4x -3y, sehingga didapat 4 (0) – 3(0) = 0 – 0 = 0
Ternyata benar bahwa 0 ≤ 12, sehingga titik (0,0) memenuhi (benar)
3) Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri
garis 4x -3y = 12 merupakan daerah penyelesaian (yang diarsir)
Contoh 2:
Tentukan HP dari 4x -3y > 12; x,y∈ R!
Jawab:
1) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -3y = 12! Untuk x = 0, maka 4.(0) -3y = 12
-3y = 12
y = -4
Jadi titiknya (3,0)
x 0 3
y -4 0
(x,y) (0,-4) (3,0)
2) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan dikiri atau kanan garis 4x-3y =12
Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x = 0 dan y = 0. Substitusikan titik tersebut ke 4x-3y sehingga didapat 4(0) – 3(0) = 0 – 0 = 0
Ternyata benar bahwa 0 ≤12, sehingga titik (0,0) tidak memenuhi (salah)
(3,0) X
3)
C. Rangkuman
Persamaan linear adalah suatu persamaan dengan variabelnya berpangkat satu, Persamaan linear yang dibahas adalah:
Persamaan linear satu variabel Persamaan linear dua variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, ≤, atau ≥, Pertidaksamaan linear satu dan dua variabel adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu.
D. Lembar Kerja Siswa
Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok Anda kemudian presentasikan hasilnya dengan bimbingan guru!
1. Tentukan HP dari: a. 3x – 15 = 0 b. 3 + x = 2x – 4 c. 4x + 7 = 43-2x
2. Tentukan HP dari persamaan 2x + 3y = 6 Untuk y ∈ {-1,0,1,2,3}
3. Tentukan HP untuk : a. 2x – 1 < x + 10 b. 3x + 5 > 25 c. 10x + 5 >25 d. 5 < 2 + x <15
E. Lembar Kerja Siswa (45 menit)
1. Tentukan apakah yang berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat tertutup, jika kalimat tertutup, tentukan benar atau salah!
a. 28 : 3 = 5 b. 3x + 5 = 7 c. 5 > 3
d. 100 x 5 = 110
2. Tentukan apakah yang berikut ini persamaan, pertidaksamaan, kesamaan atau ketidaksamaan!
a. 19 + 8 = 27 b. 10x ≤ 1 -5x c. 35 – 4x = 3 d. 10 > 9
3. Tentukan HP dari: a. 15 -2x = 25
Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri garis 4x-3y= 12
bukan merupakan daerah
penyelesaian(tidak diarsir)
Y
3,0
b. 2(x-4) = 3(x-3)
c.
2 1 5
1
2 +
=
− x
x
d. 4
3 2 4 3
2− − =
x x x
4. Tentukan HP dari : a. 5 + 6 > x b. x + 7 ≤ 6 c. 3x -3 ≤ 3 d. 7 > -4 – x
5. Carilah HP dari 3x + 4y = 12 untuk x ∈ {-2,-1,0,1,2}!
II. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini Anda diharapkan dapat:
• Memahami pengertian tentang persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat • Menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat
• Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat • Menyusun persamaan kuadrat
B. Uraian Materi
1. Pengertian Persamaan Kuadrat
• Bentuk umum persamaan kuadrat a x2 – bx – c = 0 Dengan a,b,c∈R dan a ≤ 0
• Bentuk persamaan kuadrat lainnyaadalah : i. ax2 – c = 0:a.b ∈R dan a ≤ 0
disebut persamaan kuadratbentuk asli ii. ax2 – bx = 0 :a, b ∈R dan a = 0
disebut persamaan kuadrat tidak lengkap 2. Akar-akar Persamaan Kuadrat
Untuk menentukan himpunan penyelesaian akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara :
a. Memfaktorkan
Persamaan kuadrat dengan bentuk umum a x2 + bx + c = 0
Dengan a,b,c ∈R. dan a = 0, maka c a merupakan hasil kali dua bilangan (x1 + x2) dan –b/a merupakan dua jumlah dua bilangan (x1 + x2) sehingga
ax2 –bx – c = 0 ⇔(x1 – x2)(x1 – x2) = 0
Contoh 1.
Tentukan HP dari persamaan kuadrat x2 – 8x – 12 = 0 ! Jawab :
Cara dua bilangan yang bila dikalikan = 12 dan bila dijumlahkan = -8 Ternyata bilangan itu adalah -6 dan -2
Jadi x2 – 8x – 12 = 0 dapat difaktorkan menjadi ⇔(x-6) (x-2) = 0
Contoh 2:
b. Dengan rumus kuadrat / Rumus abc
⇔ x1,2 =
c. Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
⇔x = 19 2 1 2 3+
atau ⇔x = 19 2 1 2 3−
Jadi HP = { 19}
2 1 2 3 , 19 2 1 2
3+ −
3. Jenis-jenis akar dan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Nilai b2 – 4.a.c disebut diskriminan persamaan kuadrat dan dilambangkan dengan D
Sifat-sifat/jenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai D, yaitu sebagai berikut :
• Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda (x1≠ x2)
• Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama/kembar (x1 = x2 )
• Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar yang nyata
Contoh : 1
Tentukanlah m agar persamaan 2x 2 – 8x – m = 0 mempunyai dua akar yang sama, berapa akar tersebut ?
Jawab :
Syarat persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama adalah D = 0, dari persamaan di atas maka a = 2; b = -8 dan c = -6
D = 0 b2 – 4.a.c = 0 ⇔(-8)2−4.1.(− )=0
m ⇔64 + 4m = 0 ⇔m = -8
M = -8 kita subtitusikan ke persamaan awal: x2 – 8x – m = 0
⇔x2 – 8x – (-8) = 0 ⇔x2 – 8x + 8 = 0 ⇔(x-2)(x-2) = 0 ⇔x = 2
Contoh : 2
Tentukan harga k agar persamaan kuadrat k2 x2 + 2 (k + 1) x + 4 = 0 Mempunyai akar:
• Nyata !
• Nyata berbeda !
Jawab :
a = k2, b = 2 (k + 1) = 2 k + 2, c = 4 D = b2 – 4.a.c
⇔D = (2k + 2)2 - 4.k2.4 ⇔D = 4 k2
+ 8 k + 4 – 16 k2
⇔D = -12 k2 + 8k + 4
1) Mempunyai dua akar nyata sama Syarat D = 0
⇔-3k2 + 2k + 1 = 0
Mempunyai dua akar nyata sama maka k = atau 3 1
− k = 1
2) Mempunyai dua akar nyata berbeda Syarat D > 0, maka Nyata dan berbeda, maka
5) maka tentukanlah nilai dari :
•
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan variabel berpangkat tertinggi dua.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah : • ax2 +bx+c>0 Pertidaksamaan kuadrat mempunyai sifat yaitu:
• Jika hasil kali kedua faktor lebih besar dari nol, maka kedua faktornya masing-masing lebih besar dari nol atau keduanya lebih kecil dari nol
, 0 . 2
1x >
x maka x1 >0 dan x2 >0 atau x1 <0 dan x2 <0
Jawab :
35- 2x > x2 35 – 2x –x2 > 0
Harga no! dari 35 -2x-x2 > 0 adalah 35-2x-x2 = 0
atau x2 + 2x – 35 = 0 (x + 7)(x-5) = 0
x + 7 = 0 atau x – 5 = 0 x = -7 atau x = 5
diujicobakan nilai-nilai x selain harga nol dari 35-2x-x2 (selain x = -7 dan x = 5)
Untuk x < -7, misalnya x = -10, maka subtitusikan ke 35 – 2x – x2 > 0
35 – 2.(-10) > (-10)2
15 + 20 > 100
35 > 100 (tidak benar/daerah dikiri -7 adalah daerah yang tidak memenuhi)
Untuk -7 < x < 5, misalnya x = 0, maka jika didistribusikan ke 35-2x > x2
35 – 2.(0) > 02 35-0 > 0
35 > 0 (benar/jadi daerah yang terletak di tengah antara -7 sampai 5 adalah daerah yang memenuhi)
Untuk x > 5, misalkan x = 10, maka disubtitusikan ke 35-2x > x2
35-2(10) > 102 35-20 > 100
15 > 100 (tidak benar/daerah di kanan x = 5 adalah daerah yang tidak memenuhi)
dan digambar dalam bilangan :
− − − − − + + + + + + + + + + − − − − − − −
Maka HP = { x / - 7 < x < 5
6. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya
Apabila akar-akar sebuah persamaan diketahui, persamaan kuadrat tersbut dapat disusun dengan dua cara :
a. Memakai Faktor
Jika sbuah persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x - x1) (x - x2)
= 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar sebuah persamaan
kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai : (x-x1) (x-x2) = 0
b. Memakai rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Persamaan kuadrat bentuk baku ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dapat
x yaitu dengan membagi kedua ruas
persamaan kuadrat semula dengan a.
Sedangkan berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, kita mempunyai hubungan :
a. 1 2 (x1 x2)
x dapat dinyatakan sebagai
0
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarya diketahui sebagai berikut :
Memakai faktor 1) x = 4 dan x = -3
Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar : 1) x1 =4 dan x2 =−3
5
Jadi persamaan kuadratnya adalah:
0
mempunyai hubungan dengan Akar-akar Persamaan Kuadrat lainnya.
Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, yang telah kita pelajari sebelumnya.
b. Penghapusan indeks, jika bentuk akar-akarnya simetri Contoh 1:
Diketahui α dan β adalah akar-akar persamaan 2x2 −6x−5=0
Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1 1! β dan ∂
Jawab :
Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar 0
Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar α
x sehingga diperoleh
Memakai penghapusan indeks
dan 2 dihapuskan akan didapat bentuk yang sama.
Jika indeks 1 pada
α 1 =
x dihapuskan didapat
α
β dengan demikian
x
Dengan substitusi x
x masing-masing ruas dikalikan
2 Dengan cara penghapusan indeks!
Jawab:
α merupakan salah satu akar persamaan 4 2 −3 −2=0, x
x masa berlaku
