BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi - Operasi Bilangan Real

BA B I PENDA HULUA N

A . Deskripsi

Modul Operasi Bilangan Real ini terdiri atas 4 Kegiatan Belajar, yaitu: 1. Operasi Bilangan Real

2. Operasi Bilangan Berpangkat

3. Opreasi Bilangan Irasional (Bentuk Akar) dan 4. Operasi Bilangan Logaritma

B. Prasyarat

Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa telah mempelajari dan memahami berbagai konsep ilmu bilangan dan jenis-jenis bilangan yang telah dipelajari di SMP.

C. Tujuan A khir

Setelah mempelajari kegiatan belajar pada modul ini diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan macam-macam bilangan real

2. Mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat 3. Mengoperasian dua atau lebih bilangan pecahan

4. Melakukan konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan desimal, dan persen 5. Mengoperasikan perbandingan (senilai, dan berbalik nilai) skala dan persen 6. Menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan berpangkat

7. Mengoperasikan bilangan berpangkat 8. Menyederhanakan bilangan berpangkat

9. Menyelesaian masalah yang berhubungan dengan operasi bilangan berpangkat 10. Menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan irrasional

11. Mengoperasikan bilangan irasional 12. Menyederhanakan bilangan irasional

13. Menyelesaikan masalah pada bidang keahlian yang berhubungan dengan operasi bilangan irasional.

14. Menjelaskan konsep dan mengoperasikan bilangan logaritma.

15. Menerapkan konsep logaritma pada bidang keahlian/ kehidupan sehari-hari. w

w

.docu-track.com ww

D. Cek Kemampuan

NO PERTANYAAN Ya Tdk

1. Tahukah Anda Pengertian Bilangan real?

2. Dapatkah Anda mengoperasikan dua bilangan bulat atau lebih? 3. Dapatkah Anda mengoperasian dua atau lebih bilangan pecahan?

4. Dapatkah Anda melakukan konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan desimal, atau persen?

5. Dapatkah anda mengoperasikan perbandingan (senilai/ berbalik nilai), skala dan persen?

6. Dapatkah Anda menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan berpangkat? 7. Dapatkah Anda menyederhanakan bilangan berpangkat?

8. Dapatkah Anda Menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan irrasional? 9. Dapatkah Anda mengoperasikan bilangan irasional?

10. Dapatkah Anda menyederhanakan bilangan irasional? 11. Dapatkah Anda menjelaskan konsep bilangan logaritma? 12. Dapatlah Anda mengopersikan bilangan logaritma?

13. Dapatkah Anda mengaplikasikan konsep opeasi bilangan real dalam bidang keahlian atau kehidupan sehari-hari?

Apabila Anda menjawab “ TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab “ YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan

mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

BA B II PEM BELA JA RA N

A . Rancangan Belajar Siswa

1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Trigonometri, dengan menggunakan format sebagai berikut :

No Kegiatan

Pencapaian _{Alasan perubahan bila} diperlukan

Paraf

Tgl Jam Tempat Siswa Guru

Mengetahui, Klaten, ... 2005

Guru Pembimbing Siswa

(...) (...)

2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah anda pelajari. Selain ringkasan anda juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.

b. Administrasikan setiap tahapan kegiatan belajar/ lembar kerja yang anda selesaikan

c. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus dibetulkan/ dilengkapi, maka anda harus melaksanakan saran guru pembimbing anda.

w

w

.docu-track.com ww

1. Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan : 1. Dapat mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat. 2. Dapat mengoperasikan dua atau lebih bilangan pecah.

3. Dapat mengkonversikan dua atau lebih pecahan ke bentuk pecahan desimal atau persen. 4. Dapat menyelesaikan masalah kejuruan dengan konsep operasi bilangan real.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1 1. Sistem Bilangan Real

Menurut sejarah munculnya bilangan dilatarbelakangi akibat kebutuhan manusia.

Karena hamper semua manusia (apapun profesi dan latar belakangnya) entah disadari atau tidak memerlukannya. Pada awalnya bilangan digunakan untuk menghitung, sehingga yang pertama kali dikenal orang adalah bilangan asli ( bilangan alam ). Kemudian bilangan nol maka muncullah bilangan cacah dan bilangan-bilangan yang lain.

Pada kegiatan belajar ini kita akan mempelajari operasi-operasi pada bilangan real yang meliputi operasi pecahan, perbandingan, skala, dan persen. Macam-macam bilangan real antara lain sebagai berikut :

a. Bilangan Asli

Bilangan Asli biasa ditulis sebagai A = { 1, 2, 3, 4, … }

b. Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah gabungan antara bilangan nol dan bilangan Asli. Biasa ditulis sebagaiC = { 0, 1, 2, 3, 4, … }

c. Bilangan Bulat

Bilangan Bulat tersusun dari bilangan negatif dan bilangan Cacah. Biasa dinotasikan sebagaiB = { … -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3 … }

d. Bilangan Rasional

Bilangan Rasional dinyatakan dalam bentuk

b

a

, dimana : a , b ∈ B dan b 0 biasa

dinotasikan Q = {

b

a

 a , b∈ B, dan b 0 } e. Bilangan Irasional

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

b

a

, dimana : a , b∈ B dan b 0. Dalam matematika dilambangkan dengan huruf I. Berbagai contoh bilangan Irasional dalam matematika antara lain : π = 3,141592654, √2 = 1,414213562 , dane= 2,718281828.

f. Bilangan Real

Bilangan Real adalah gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional, dan dilambangkan dengan huruf R.

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

Berdasar keterangan di atas maka dapat diambil penjelasan bahwa bilangan real merupakan gabungan dari bilangan asli, cacah, bulat, rsioanal dan irasional.

Apabila dinyatakan dalam bentuk dagram Venn akan menghasilkan :

2. Operasi Bilangan Real

Dalam matematika yang dimaksud “ operasi” adalah operasi hitung, pengerjaan yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dengan segala sifat-sifatnya.

a. Operasi hitung pada bilangan bulat. 1). Penjumlahan

Jika a, b ∈ Bulat maka penjumlahan a dan b dinotasikan “ a + b” dibaca a plus b masing-masing a dan b disebut sebagai “suku ” .

Sifat-sifat penjumlahan ; Tertutup dan tunggal

Jika a, b∈ Bulat maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi, a + b = c ( c∈ Bulat ).

Contoh; 5 + 4 = 9, 9 adalah bilangan bulat yang tunggal. Komutatif ( pertukaran )

Jika a, b∈ Bulat maka a + b = b + a Contoh; 12 + 6 = 6 + 12 = 18

Assosiatif ( pengelompokan )

Jika a, b, c∈ Bulat maka a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Contoh; 3 + ( 6 + 4 ) = ( 3 + 6 ) + 4

Distributif ( penyebaran )

Jika a, b, c∈ Bulat maka a ( b + c ) = ab + ac Contoh; 5 ( 24 + 6 ) = 5x24 + 5x 6

Adanya elemen identitas penjumlahan

Ada 0 yang merupakan elemen identitas penjumlahan artinya a + 0 = 0 + a = a. Invers terhadap penjumlahan

Untuk setiap a ∈ Bulat ada -a yang apabila dijumlahkan menghasilkan elemen identitas, artinya a + (-a) = (-a) + a = 0

2). Pengurangan

Penguarangan adalah lawan dari penjumlahan

Jika a, b ∈ Bulat maka pengurangan a dan b dinotasikan “ a - b” dibaca a minus b masing-masing a dan b disebut sebagai “suku ” .

Jika a dan b bilangan bulat, maka akan berlaku aturan-aturan antara lain sebagai berikut:

a – b – c = a – (b + c)

Contoh; 54 – 27 – 10 = 54 – ( 27 + 10 ) = 17 a – ( b - c ) = a – b + c

A B

C Q I

R w

w

.docu-track.com ww

Contoh; 37 – ( 21 – 8 ) = 37 – 21 + 8 = 24 Distributif perkalian terhadap pengurangan p(a – b) = pa – pb

Contoh; 2 x ( 7 – 3 ) = (2 x 7) – ( 2 x 3) = 8 (a + b) – c = a + (b – c)

Contoh; (3 + 4) – 2 = 3 + (4 – 2) = 5

Catatan : a – b

≠

b – a ( pengurangan anti komutatif )

3). Perkalian

Jika a, b∈ Bulat maka perkalian a dan b dinotasikan “ a x b” dibaca a kali b masing-masing a dan b disebut sebagai “faktor ” .

Sifat-sifat perkalian ; Tertutup dan tunggal

Jika a, b∈ Bulat maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi, a x b = c ( c∈ Bulat ).

Contoh; 5 x 4 = 20, 20 adalah bilangan bulat yang tunggal. Komutatif ( pertukaran )

Jika a, b∈ Bulat maka a x b = b x a Contoh; 12 x 6 = 6 x 12 = 72

Assosiatif ( pengelompokan )

Jika a, b, c∈ Bulat maka a x ( b x c ) = ( a x b ) x c Contoh; 3 x (5 x 4 ) = ( 3 x 5 ) x 4 = 60

Distributif ( penyebaran ) perkalian terhadap penjumlahan Jika a, b, c∈ Bulat maka a x ( b + c ) = ab x ac

Contoh; 5 ( 24 + 6 ) = 5x24 + 5x 6 = 150 Adanya elemen identitas penjumlahan

Ada 1 yang merupakan elemen identitas perkalian artinya a x 1 = 1 x a = a.

4). Pembagian

Pembagian adalah kebalikan dari perkalian

Jika a, b∈ Bulat maka pembagian a dan b dinotasikan “ a : b” atau “ a/ b” dibaca a dibagi b, di mana b 0.

Jika a dan b bilangan bulat, maka akan berlaku aturan-aturan pembagian sebagai berikut:

a x ( b : c ) = ( a x b ) : c

Contoh; 3 x ( 8 : 2 ) = ( 3 x 8 ) : 2 = 12 (a x b) : (p x q) = (a : p) x (b :q)

Contoh; (4 x 9) : (2 x 3) = (4 : 2) x ( 9 : 3 ) = 6 a : ( b : c ) = a x ( c : b )

Contoh; 12 : ( 9 : 3) = 12 x ( 3 : 9 ) = 4

b. Operasi Bilangan Pecahan Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

Pecahan adalah bagian dari bilangan rasional, yang dapat ditulis dalam bentuk

b

a

dengan a , b ∈ Bulat dan b 0, selanjutnya a disebut “ pembilang” dan b disebut “ penyebut” .

Secara simbolik pecahan dapat dinyatakan dengan berbagai bentuk, antara lain :

§ Pecahan biasa

§ Pecahan decimal

§ Pecahan prosen

§ Pecahan campuran

Pecahan dalam bentuk

b

a

akan mempunyai nilai yang sama apabila masing-masing pembilang dan penyebut dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

1). Penjumlahan Definisi :

c

b

a

c

b

c

a

+

=

+

Contoh : a.

19 11 19

3 19

8

= +

b.

11

15

11

9

11

6

=

+

Penjumlahan pecahan campuran dapat diselesaikan dengan 2 (dua) cara, yaitu : Cara 1 dengan pecahan murni.

5

1

10

5

51

5

34

5

17

5

4

6

5

2

3

+

=

+

=

=

Cara 2 dengan menggabungkan komutatif dan asosiatif.

5 4 6 5 2

3 + = )

5 4 6 ( ) 5 2 3

( + + +

= )

5 4 5 2 ( ) 6 3

( + + +

=

5

1

10

5

1

1

9

5

6

9

+

=

+

=

_{( coba bandingkan dengan cara pertama)}

Sifat-sifat Penjumlahan :

Untuk semua bilangan pecahan a, b dan c akan berlaku : Sifat Komutatif ( pertukaran )

a + b = b + a Contoh;

3

2

4

3

4

3

3

2

+

=

+

12

17

12

8

9

12

9

8

=

+

=

+

Sifat A sosiatif

(a + b) + c = a + (b + c) Contoh ;

w

w

.docu-track.com ww







+







+

=

+







+







6

1

4

2

3

1

6

1

4

2

3

1

12

12

12

2

6

12

4

12

2

12

6

4

=











 +

+

=

+











 +

Elemen Identitas Pecahan

0

0

adalah elemen identitas a + 0 = 0 + a = a

Contoh ;

7

5

7

5

0

0

0

0

7

5

=

+

=

+

Ada Invers

Mempunyai pecahan –a sehingga berlaku a + (- a) = 0 (elemen identitas)

Contoh;

0

5

2

5

2

=











−

+

, artinya











−

5

2

invers jumlah dari

5

2

2. Pengurangan Umumnya c b c a

− adalah suatu bilangan yang jika ditambahkan kepada

c b hasilnya c a . Singkatnya c a ) c b c a ( c b = − + . Jadi bila c d ) c b c a

( − = maka

c a c d c b = + .

Sifat-sifat pengurangan dan perluasannya, bila a, b dan c bilangan pecahan : 1. a – b – c = a – ( b + c)

2. a – b + c = a – (b – c) 3. – a – b – c = - (a + b + c) 4. – a – b – c = - c – a – b 5. p(a – c) = pa – pc

6. (a + b) – (c + d) = (a – c) + (b - d)

Penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih bilangan pecahan dapat dilakukan jika penyebutnya senama (sama).

Untuk menyenamakan penyebut menggunakan : kelipatan persekutuan terkecil penyebut-penyebut pecahan yang akan dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh : 1. ) 5 1 2 ( ) 3 2 3 ( 5 1 2 3 2

3 + = + + + = )

5 1 3 2 ( ) 2 3 ( + + + = 15 13 5 15 13 5 ) 15 3 15 10 ( 5 ) 3 x 5 3 x 1 5 x 3 5 x 2 (

5+ + = + + = + =

2. ) 5 1 2 ( ) 3 2 3 ( 5 1 2 3 2

3 − = + − + = )

5 1 3 2 ( ) 2 3 ( − + − = 15 7 1 15 7 1 ) 15 3 15 10 ( 1 ) 3 x 5 3 x 1 5 x 3 5 x 2 (

1+ − = + − = + =

3. Perkalian

Perkalian dua pecahan dilakukan dengan caramengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

Contoh :

1. Pecahan Murni:

28 15 7 x 4 5 x 3 7 5 x 4 3 = =

2. Pecahan Campuran :

Dapat dilakukan dengan 2 cara : Cara 1 :

5 1 15 20 4 15 20 304 4 x 5 19 x 16 4 19 x 5 16 4 3 4 x 5 1

3 = = = = =

Cara 2 :

4 3 4 x 5 1

3 = )

4 3 4 ).( 5 1 3 ( + + = ) 4 3 x 5 1 4 3 3x 4 x 5 1 4 x 3 ( + + + = 20 3 4 9 5 4

12+ + + =

20 3 9x5 4x4

12 + + +

=

20 3 45 16

12+ + + =

5 1 15 20 4 3 12 20 64

12+ = + =

Bila a, b dan c bilangan pecahan,a x b = c maka :a disebut pengali,b disebut yang dikalikan dan c disebut hasil kali dan a dan b masing-masing disebut faktor.

1 x a = a x 1 = a → setiap bilangan dikalikan 1 hasilnya bilangan itu sendiri (sifat identitas).

1 a 1 x

a = →

a 1

disebut invers atau kebalikan dari a ( a≠ 0 ).

cxd axb d b x c a

= → c≠ 0 dan d≠ 0.

Untuk setiap p, q dan r bilangan pecahan maka berlaku sifat-sifat : 1. Sifat Komutatif → p x q = q x p

2. Sifat Asosiatif → p x (q x r ) = (p x q ) x r 3. Sifat Distributif → p x (q + r ) = pq + pr

→ p x ( q – r ) = pq – pr 4. Sifat identitas → p x 1 = 1 x p = p

Beberapa perkalian penting :

1. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd 2. (a – b) (c – d) = ac - ad - bc + bd 3. (a + b) (a + d) = a2 _{+ (b + d) a + bd} 4. (a - b) (a - d) = a2 _{- (b + d) a + bd}

5. (a + b) (a + b) = a2 _{+ 2 ab + b}2 6. (a + b) (a - b) = a2 _{– b}2

7. (a - b) (a - b) = a2 _{- 2 ab + b}2

4. Pembagian

Pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Umumnya b x ( a : b ) = a. Jadi apabila a : b = c maka b x c = a.

Pembagian dalam pecahan dilakukan dengan carapembilang dibagi dengan pembilang dan penyebut dibagi dengan penyebutataupecahan pertama dikalikan dengan kebalikan pecahan kedua.

Contoh : Cara 1 :

3 1 1 3 4 3 : 9 2 : 8 3 2 : 9 8 = = = w w

.docu-track.com ww

Cara 2 :

3 1 1 18

6 1 18 24 2 3 x 9 8 3 2 : 9 8

= = = =

Sifat-sifat pembagian : 1. a x (b : c) = (a x b) : c

atau a x

c b x a c b

=

2. (a x b) : (p x q) = (a : p) x (b : q) atau

p b x q a q b x p a q x p

b x a

= =

3. a : (b : c) = a x (c : b) = ac : b atau a :

b ac b c x a c b

= =

4.

bxp axp b a

= dimana p≠ 0.

5.

p : b

p : a b a

= dimana p≠ 0.

6.

p b p a p

b a

+ = +

dan

p b p a p

b a

− = −

7. Bila a, b dan c bilangan bulat , b ≠ 0 dan c≠ 0 maka :

bxc a c : b a

= atau

b c : a c : b a

=

4. Konversi Bilangan

a. Konversi Pecahan ke Desimal dan Persen

Konversi (mengubah) pecahan ke bentuk desimal dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya. Hasil pembagian tersebut (dalam bentuk desimal) apabila dikali dengan 100% akan menghasilkan bentuk persen.

b. Konversi Desimal ke Pecahan dan Persen

Konversi (mengubah) desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :

1. Bilangan desimal terbatas. Contoh : a. 0,2 =

10

2

b. 0,23 =

100

23

c. 0,324 =

1000

324

2. Bilangan desimal tak terbatas berulang.

a. Jika angka yang berulang satu kali, maka pecahannya adalah angka yang berulang dibagi dangan 9.

Contoh : 0,7777… =

9

3

b. Jika angka yang berulang dua angka, maka pecahannya adalah angka yang berulang dibagi dengan 99.

Contoh : 0,323232… =

99

32

c. Jika angka yang berulang tiga angka, maka pecahannya adalah angka yang berulang dibagi dengan 999.

Contoh : 0,245245… =

999

245

Bentuk pecahan desimal dapat diubah menjadi persen dengan langkah mengalikan pecahan desimal tersebut dangan 100%.

c. Konversi Persen ke Pecahan dan Desimal Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

Konversi (mengubah) persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi

100

1

, kemudian menyederhanakan bentuk. Setelah mendapatkan bentuk pecahan tinggal mengubah ke desimal.

Contoh : Bentuk pecahan : 44% = 44 x

100

1

=

100

44

=

25

11

Bentuk desimal : 44% = 44 x

100

1

=

100

44

= 0,44

5. Perbandingan, Skala dan Persen a. Perbandingan

Perbandingan dua nilai sebenarnya juga suatu bentuk pembagian, a : b dibaca a dibanding b atau a dibagi b atau .

b a

Ada dua macam perbandingan yaitu : perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.

1. Perbandingan senilai atau berbanding lurus. Contoh :

Mobil bergerak dengan kecepatan tetap 60 km/ jam.

Bila lama berjalan 1 jam jarak yang ditempuh : 1 x 60 = 60 km. Bila lama berjalan 2 jam jarak yang ditempuh : 2 x 60 = 120 km. Bila lama berjalan 3 jam jarak yang ditempuh : 3 x 60 = 180 km.

Jadi jika waktu yang digunakan bertambah maka jarak yang ditempuh juga bertambah. Perbandingan antara waktu dan jarak selalu tetap yaitu 1 : 60.

Dua variabel dengan perbandingan yang demikian disebut perbandingan senilai (lurus).

Perhatikan tabel berikut !

Waktu (jam) 1 2 3 … n

Jarak (km) 60 120 180 … n x 60

Perhatikan perbandingan yang terjadi !

60 1

=

120 2

=

180 3

= … =

60 nx

n

→ konstan

2. Perbandingan berbalik nilai (berbanding terbalik) Contoh : Suatu pekerjaan jika dikerjakan :

1 orang selesai 60 hari 2 orang selesai 30 hari 3 orang selesai 20 hari , dst.

Jadi jika banyak orang bertambah maka banyak hari berkurang. Perbandingan banyak orang dan banyak hari tidak tetap, akan tetapi kebalikannya adalah hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60.

Dua variabel dengan perbandingan demikian disebut perbandingan berbalik nilai (berbanding terbalik).

w

w

.docu-track.com ww

Perhatikan tabel berikut !

Tenaga (orang) 1 2 3 … 60

Waktu (hari) 60 30 20 … 1

Perhatikan : 1x60 , 2x30 , 3x20 , … , 60x1→ = 60

b. Skala

Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran benda yang digambar. Pada gambar diberi angka perbandingan, biasanya dinyatakan dengan angka satu.

Contoh :

Skala suatu peta 1 : 100.000. Jarak dua kota dapat dicari :

1. Apabila jarak dua kota pada peta 17,5 cm. Maka jarak kedua kota (jarak A dan B) sebenarnya adalah : A-B = 17,5 x 100.000 = 1.750.000 cm = 17,5 km.

2. Apabila jarak dua kota sebenarnya 60 km. Maka jarak kedua kota dalam peta adalah : A-B = 6.000.000 : 100.000 = 60 cm.

c. Persen

Persen adalah lambang bilangan rasional yang berpenyebut seratus (100).

Lambang dari persen adalah : %, jadi makna persen adalah per seratus. Jadi 1 % berarti

100 1

bagian dari jumlah dasar.

Contoh c. 1 :

Luas lembaran logam yang diperlukan untuk sebuah pintu adalah 3,6 m2 _{dan untuk limbah} adalah 0,18 m2_{. Hitung limbah tersebut dalam persen !}

Penyelesaian : Luas dasar : 3,6 m2 _{(100%) jadi untuk 1 m}2 _{= %} 6 , 3 100

Jadi 0,18 m2→ _{0,18 x %} 6 , 3 100

= 5 %

Contoh c. 2 :

Ubahlah ke bentuk persen : a. 5/ 8 dan b. 4,25. Penyelesaian :

Bentuk utuh = 1→ 100% =

100 100

= 1

Semua bilangan dikalikan dengan 1 adalah bilangan itu sendiri.

Jadi : a. %

8 500 % 100 x 8 5 1 x 8 5

=

= → 62½ %

b. 4,25 x 1 = 4,25 x 100% = 425 %

c. Rangkuman M ateri

1. Penyusun dari bilangan Real : Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

a. Bilangan Asli A = { 1, 2, 3, 4, … } b. Bilangan Cacah C = { 0, 1, 2, 3, … }

c. Bilangan Bulat B = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … }

d. Bilangan Rasional Q ={

b

a

 a , b∈ B, dan b 0 }

e. Bilangan Irasional I = { x x∈ ( R – Q )}

2. Operasi Bilangan Bulat

a. Penjumlahan 1. Komutatif : a + b = b + a

2. Asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c 3. Unsur Identitas : a + 0 = 0 + a = a

b. Pengurangan 1. Non-Komutatif : a – b b – a

2. Non-Asosiatif : a – (b – c) (a – b) – c 3. Non-Identitas : a – 0 0 – a

c. Perkalian 1. Komutatif : a x b = b x a

2. Asosiatif : a x (b x c) = (a x b) x c 3. Distribusi thd penjumlahan : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 4. Unsur Identitas : a x 1 = 1 x a = a

3. Operasi Bilangan Pecahan

a. Penjumlahan :

d . b

bc ad d c b

a +

= +

b. Pengurangan :

d . b

bc ad d c b

a_{− =} −

c. Perkalian :

d . b

c . a d

c x b a

=

d. Pembagian :

c . b

d . a c d x b a d

c : b

a _{= =}

d. Tugas Kegiatan Belajar 1 Selesaikanlah !

1. – 19 + {21 + (- 37)} = … 2. – (37 + 49) – (- 56) = … 3. 117 – {213 – (+ 127)} = … 4. 17 + 15 x 12 – 10 = … 5. 60 : (36 : 12) + 11 = … 6. 72 – 48 : 12 – 63 = … 7. 312 : 12 x 13 + 119 = … 8. (17 + 15) x 16 : 8 = …

9. 29(15 – 13) + (-157 + 63) = … 10. {38 x (47 – 65) } – 13(69 – 82) = …

e. Test Formatif Kegiatan Belajar 1 w

w

.docu-track.com ww

1. Test Formatif 1.1

1. Ubahlah ke dalam pecahan murni kemudian selesaikanlah ! a. ... 2 1 4 5 3 3 7 2

1 + + = b. ...

3 1 7 3 2 8 4 3

6 + − =

2. Ubahlah ke dalam pecahan campuran kemudian selesaikanlah !

a. ... 5 46 4 75 7 38 = −

+ b. ...

6 81 5 63 8 27 = − + −

3. Sederhanakan pecahan berikut kemudian selesaikanlah ! a. ... 36 90 32 96 21 91 = +

+ b. ...

126 21 9 75 45 7 48 36

5 + − =

4. Selesaikanlah perkalian berikut !

a. ... 15 3 6 x 9 8 4 x 5 3

7 = b. )x14 ...

12 7 12 ( x 3 1

8 − =

−

5. Selesaikanlah pembagian berikut !

a. ... 7 2 3 : ) 3 1 6 : 5 4 8 ( =

b. ) ...

8 1 3 ( : )} 2 1 4 ( : 7 2 9 { − − =

6. Selesaikanlah ) ...

4 3 8 3 1 7 ( x ) 2 1 5 7 3 4 ( − + =

7. Selesaikanlah ) ...

9 4 5 1 ( : ) 7 3 7 x 8 1 6 ( − =

8. Selesaikanlah ) ...

3 2 4 x 13 11 11 ( x ) 12 1 4 : 11 2 3 ( =

9. Selesaikanlah ) ...

13 19 : 17 12 6 ( : ) 2 1 62 : 15 11 7 ( =

10. Selesaikanlah

... 11 1 2 x 23 6 5 : )} 4 3 7 6 ( x 4 1 16 { − =

2. Test Formatif 1.2

1. Ubahlah pecahan biasa di bawah ini ke pecahan desimal dan persen ! a. 5 3 b. 3 2 c. 7 3

2. Ubahlah dari bentuk persen ke bentuk pecahan biasa dan desimal !

a. 12 ½ % b. 85% c. 160%

3. Ubahlah dari pecahan desimal ke pecahan biasa dan persen !

a. 0,80 b. 0,66 c. 2,15

4. Suatu barang dijual laku Rp 67.080. Barang itu dibeli ulang dengan harga Rp 62.400. Tentukan berapa persen labanya !

5. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 150 km dalam waktu 3 jam. Berapa waktu diperlukan untuk menempuh jarak 300 km ?

6. Seorang mengendarai mobil selama 3 jam. Kecepatan rata-rata 60 km/ jam. Bila orang itu mengurangi waktunya hingga 2 jam. Berapakah kecepatan rata-rata ?

7. Barapa harikah 10 orang dapat menyelesaikan suatu pekerjaan apabila 15 orang dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 20 hari ?

8. Suatu peta berskala 1 : 1.500. Berapakah jarak sesungguhnya apabila pada peta 9 cm ? 9. Pada suatu peta 10 cm mewakili 1.000 m. Berapakah jarak dalam peta apabila jarak

sesungguhnya 8 km ?

10. Sebuah gambar dengan skala 1.000 : 1 Berapakah panjang benda tersebut bila pada gambar terlukis 2 cm ?

f. Kunci jawaban Test Formatif 1 1. Kunci Test Formatif 1.1 Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

1. a.

70 27

9 b.

60 49

7 6.

56 13 17

−

2. a.

140 137

4 b.

40 11 4

− 7.

320 13 10

−

3. a.

6 5

9 b.

60 11

4 8.

13 11 33

4. a.

225 82

230 b.

18 1

1468 9.

375 . 389 . 1

468 . 37

5. a.

185 . 2

924

b.

315 208

10.

176 103 2

−

2. Kunci Test Formatif 1.2

1. a. 0,6 dan 60% b. 0,67 dan 66

3 2

% c. 0,49 dan 42

7 6

%

2. a.

8 1

dan 0,125 b.

20 17

dan 0,85 c.

5 3

1 dan 1,60

3. a.

5 4

dan 80% b.

50 33

dan 66% c.

20 3

2 dan 215%

4. 7,5 % 8. 135 m

5. 6 jam 9. 80 cm

6. 90 km/ jam 10. 0,002 cm

7. 30 hari

g. Lembar Kerja Siswa KB 1 1. Lembar Kerja Siswa 1. 1 Selesaikanlah !

1. 37 – {49 + (=- 75)} = … 6. 144 : 12 + (- 136 + 121) = ... 2. – (63 + 89) – (- 101) = … 7. 161 : 23(201 – 194) = … 3. 127 + {315 + (- 417)} = … 8. 18 x {172 : (79 – 36)} = …

4. 68 – 92 x 12 + 28 = … 9. {123 x(45 – 67)} : 33(98 – 180) = ... 5. 97 + 132 : 13 x 12 = … 10. 5535 : 45 x 41 + 39 – 178 = …

2. Lembar Kerja Siswa 1. 2

1. Ubahlah kedalam pecahan murni ! w

w

.docu-track.com ww

a. ... 7 3 8 3 2 6 15 4

3 + + = b. ...

9 5 3 18 3 4 7 2

9 − − =

2. Ubahlah kedalam pecahan campuran !

a. ... 16 142 11 131 12 125 = −

+ b. ...

18 241 11 150 9 147 = + −

3. Selesaikanlah perkalian di bawah ini !

a. ... 12 5 11 x 9 4 5 x 7 3

8 = b. ...

11 8 5 x ) 8 7 13 ( x ) 5 2 9 (− − =

4. Selesaikanlah pembagian di bawah ini !

a. ) ...

4 3 2 : 3 2 (4 : 7 2

12 = b. ...

7 1 7 : ) 4 3 5 : 9 5 23 ( =

5. Selesaikanlah : ) ...

6 5 4 4 3 8 ( x ) 3 2 3 7 4 5 ( − + =

6. Selesaikanlah : ) ...

20 1 6 10 2 (3 : ) 5 3 4 x 4 3 6 ( − =

7. Selesaikanlah : ) ...

3 2 4 x 4 3 (5 x ) 22 7 4 : 11 2 3 ( =

8. Selesaikanlah : ) ...

23 3 2 : 5 3 4 ( x ) 7 3 4 4 3 6 (− + =

9. Selesaikanlah : ) ...

6 5 4 3 1 3 7 1 12 ( ) 19 7 5 : 4 3 4 ( 2 1

3 + + − =

10. Selesaikanlah : ) ...

5 4 x 2 1 3 4 3 (4 : ) 15 12 6 3 2 8 5 3 4 ( − − + =

3. Lembar Kerja Siswa 1. 3

1. Ubahlah ke pecahan desimal dan persen ! a. 5 4 b. 6 5 c. 7 6

2. Ubahlah ke bentuk pecahan biasa dan desimal !

a. 16% b. 17 ½ % c. 160%

3. Ubahlah ke pecahan biasa dan persen !

a. 0,96 b. 6,66 c. 7,45

4. Apabila 5 tukang mendapat upah Rp 200.000. Berapakah upah untuk 7 orang ?

5. Seorang tukang dalam 6 hari kerja mendapatkan Rp 30.000. Berapa besar upah yang harus dibayar oleh seorang pemborong jika mempekerjakan 4 orang tukang dalam 9 hari kerja ?

6. 15 orang tukang dapat menyelesaikan suatu pesanan dalam 6 hari. Dalam berapa hari pesanan tersebut dapat diselesaikan oleh 9 orang tukang ?

7. Sebuah pompa air dapat memompa 1.800 liter air dalam 2 jam. Berapa waktu yang diperlukan untuk mengisi bak air dengan ukuran 2 m x 1,5 m x 3 m ?

8. Suatu peta berskala 1 : 1.500. Berapa luas daerah berbentuk persegi panjang yang pada gambar panjangnya 13,5 cm dan lebarnya 9,25 cm ?

9. Sebuah STM memiliki 88 siswa kelas I dengan persentase 22% dari seluruh siswa. Berapa jumlah siswa seluruh STM tersebut ?

10. Sebuah mesin dibeli dengan potongan harga 16%. Pembeli membayar Rp 820.000. Hitunglah harga mesin tersebut jika tanpa potongan harga ?

2. Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan : 1. Dapat memahami konsep dan sifat-sifat bilangan berpangkat. 2. Dapat menyelesaikan operasi hitung bilangan berpangkat. 3. Dapat menyederhanakan bilangan berpangkat.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 2

Pengertian pangkat berdasarkan perkalian berganda. Misalnya : 34 _{artinya 3 x 3 x 3 x 3}

Pada umumnya : an _{= a x a x a x a x … x a sebanyak n faktor.} Dalam bentuk an _{, maka :}

a disebut : bilangan pokok n disebut : eksponen

an _{disebut : bilangan berpangkat dan dibaca : “ a pangkat n” atau “ pangkat n dari a “ .}

1. Pangkat Sebenarnya.

Pangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan Asli. Rumus-rumus :

a. amxan =am+n Misal : a3xa2 =(axaxa)x(axa)=a5 5

2 3 2 3

a a xa

a = + =

b. am :an =am−n (a 0) Misal : a3:a2 =(axaxa):(axa)=a a

a a :

a3 2 = 3−2 =

c. (am)n =amxn Misal : (a3)2 =(a3)x(a3)=a3+3 =a6 6

2 x 3 2 3

a a ) a

( = =

2. Pangkat Tak Sebenarnya

Pangkat tak sebenarnya adalah bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan Bulat negatif, nol atau pecahan positif maupun negatif.

Rumus-rumus :

a. a0 =1(a 0) Misal : a3:a3 =(axaxa):(axaxa)=1

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

b. n _n

a 1

a− = (n 0) Misal : 2 5 ₃ a 3

a 1 axaxa

1 axaxaxaxa

axa a

:

a = = = = −

3 5 2 5 2

a a a :

a = − = −

c. n

m

) a ( a n m ₌

Misal : 3a6 a3 a2

6

= =

3 1 9 3

a a a

9 3 _{= =}

Catatan :

1. 1p =1 ( dimana p sembarang ) 2. a1=a ( dimana a sembarang ) 3. 0p =0 ( dimana p 0 )

4. a0 =1 ( dimana a 0 )

5. =

0 0

tak tentu

6. =

a 0

0

7. =

0 a

tak terdefinisi =

8. Bilangan tak tentu selain

0 0

, adalah :

0 , , ,

00 ∞

∞ ∞ ∞ − ∞

Beberapa rumus yang perlu diperhatikan : w

w

.docu-track.com ww

1. n m n m a 1

a− = 6. 2n

1 m 2 1 n m b . a b a − =

2. _(am_xbm₎n =_am.n_.bm.n _{7. n} p n m n_am_.bp =_{a .b}

3. _m.n

n . m n m m b a ) b a

( = (b 0) 8. m n m n

a a a

a ± = ±

4. p q (pq)

) a ( ) a

( ≠ 9. n n n n

b a b

a ± = ±

5. 2m

1 n 2 1 m n b . a ) b a

( = − 10. Bentuk baku (notasi Ilmiah) adalah ax10ndimana 1 a < 10

dan n∈ B.

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2.

1. an _{= a x a x a x ………x a}

sebanyak n faktor

2. Pangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan Asli. n m n m a xa

a = +

n m n m a a :

a = −

n m ) a ( a n m ₌

n m n m a a a

a ± = ±

m m m a ). q p ( qa

pa ± = ±

m m m m qb pa qb

pa ± = ±

3. Pangkat tak sebenarnya adalah : bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan nol, negatif pecahan positif dan negatif.

1 a0 = _{(a 0)}

n n

a 1

a− = (n 0)

n m ) a ( a n m ₌

n m n

m

a 1 a− =

4. Rumus : Notasi Ilmiah atau penulisan Bentuk Baku, a x _{10 dengan dimana 1 a < 10 dan}n n∈ B.

5. Operasi hitung untuk 2 bilangan.

a.(amxbm)p =amp.bmp e. p

n p m b . a b a b a p _n p _m p n m ₋ = =

b. _n.p mp np

p . m p n m b . a b a ) b a

( = = − f. p

n p m b . a b . a b .

a p m p n

p _{m n}

= =

c. a(mp) ≠(am)p g.

b a b a b a

am ± n ₌ m _± n

d. p

nq p

nq a .a

a a ) a a ( mp mq q p _n m ₋ =

= h. am ±bn =am ±bn

d. Tugas Kegiatan Belajar 2 Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

Setelah menyimak uraian materi kegiatan dan contoh soal di atas, selesaikanlah soal pada lembar kerja siswa ( LKS 2 ) secara berkelompok sesuai kelompok yang ada.

Diskusikan jawaban Anda dengan jawaban kelompok lain untuk mengetahui jawaban Anda benar atau salah.

Presentasikan jawaban Anda sesuai petunjuk guru.

Tanyakan kepada guru apabila ada materi pelajaran yang belum jelas. Setiap siswa harus mengumpulkan tugas yang telah dikerjakan.

Contoh soal :

I. Pangkat berdasar perkalian ganda. xa

... axaxax

an = sebanyak n factor. 1. 23 =2x2x2=8

2. (-3)4_{= (-3).(-3).(-3).(-3) = 81}

3. (-2a)5 _{= (-2a). (-2a). (-2a). (-2a). (-2a) = - 32 a}5 4. )4 =

b 3 a 2 ( ) b 3 a 2 ( . ) b 3 a 2 ( . ) b 3 a 2 ( . ) b 3 a 2

( = ₄

4

b 81

a 16

II. Perkalian amxan =am+n 1. 32x33 =32+3 =35 =243

2. (−2a3)x(−2a3)5 =(−2a3)1+5 =(−2a3)6 =(−2)6.(a3)6 =64.a18 3. (5)3b+2x(5)b−1 =(5)3b+b+2−1 =(5)4b+1

4. (−7a)5−2xx(−7a)x−7 =(−7a)5−7−2x+x =(−7a)−x−2

III. Pembagian am :an =am−n

1. 36:32 =36−2 =34 =81 3. _{3 4} 5 3 6 4 2 2 2

6 5 a 4 a . 2 a . 2 a . 2 a .

2 _{= − − = =}

2. (5)2x+5 :(5)3x−2 =(5)2x+5−(3x−2) =(5)−x+7 4.

9 c c . 3 c . 3 c . 3 c .

3 3 5 4 1 2 3 3

5 4 3 = = = − − −

IV. Perpangkatan (am)n =amxn 1. (23)2 =23x2 =26 =64

2. (23.a2)−2 =(23)−2.(a2)−2 =23x(−2).a2x(−2) =2−6.a−4 3. 27 a a . 3 a . 3 a . 3 a . 3 a . 3 a . 3 ) a . 3 a . 3 ( 3 3 3 ) 9 ( 6 9 6 9 9 6 6 3 x 3 3 x 3 3 x 2 3 x 2 3 3 3 2 2 = = = = = − − −− − − − − − − −

4. _{6 3a 12}

9 a 6 9 3 ) 4 a ( 3 x 2 3 ) 3 a 2 ( 3 x 3 3 4 a 2 3 a 2 3 x . 3 x . 2 x . 3 x . 2 ) x . 3 x 2 ( ₊ − + − + − = =

V. Pangkat Nol a0 =1_{(a 0)}

1. 50 =1 3. 1

3 2 3 ) 2 ( ) 3 2 ( ₀ 0 0 0 3 0 3 = = =

2. (−15a)0 =1 4. (2x3+5x+6)0=1

VI. Pangkat Negatif n _n

a 1

a− = (n 0) w

w

.docu-track.com ww

1. 27 1 3 1 3 3 3 3 3 3 7 4 7 4 = = =

= − − 3.

9 16 3 4 3 x 4 3 x 4 4 x 3 3 x 4 2 2 2 2 4 2 3 5 3 4 2 5 = = = = − − − 2. 625 1 5 1 5 ) 5 ( 4 4 2

2 ₌ − _{= =}

− _4. 9 x 6 x 1 ) 3 x ( 1 ) 3 x

( 2 _{2 2}

+ + = + = + −

VII. Pangkat Pecahan n

m

) a ( a n m ₌

1. 3 32 32 9 4

4 _{= = = 3.} 4_81.x6 ₌₍₃4_.x6₎1_{4 =34}4_.x46 _=3.x1₂1 _{=3.x x}

2. 8 (23) 2 3

3 _{= = 4.} 4 3 221 241 521

3 3 2 1 2 3 3 4 3 a . 2 a . 2 a . 2 x a .

2− = − + =

VIII. Pangkat Pecahan Negatif

n m n

m

a 1 a− =

1. 2 8 1 2 . 2 1 2 2 2 . 2 2 2 3 2 1 3 2 2 1 1 2 4 2 3 4 3 = = = = = − − − − − − 2. ₄ 4 3 4 3 4 3 27 1 3 1 3 1

3− = = =

3. 5 2 3 5 2 3 5 2 3 3 . 3 2 3 2 a .

2 − = = 4.

8 1 2 1 2 2 ) 2 ( ) 16 ( 3 3 ) 4 3 ( x 4 4 3 4 4 3 = = = = = − − − −

IX. Bentuk Baku ( Notasi Ilmiah )

Tuliskan dalam bentuk baku hitungan di bawah ini ! 1. 8x103x105=8x108

2. ₆ 8,4x102x10-6 8,4x10-4 10 840 1000000 4 x 210 = = =

3. 3,14x40x0,0008 = 125,6x8x10−4 = 1004,8x10−4= 1,0048x10−1

4. 2,14 x 750 : 3 = 535 = 5,35 x 102

X. Bentuk Persamaan

Tentukan nilai x untuk persamaan di bawah ini ! 1. 2x−4 =1 karena20 =1, maka :

0 4 x

2

2 − = → x – 4 = 0 → x = 4 2. ( 2x 4) _{(5 2)}

32 1 16− − = ₊

) 2 x ( 5 ) 4 x 2 ( 4 ) 2 ( ) 2

( − − = − + karena bil. pokok telah sama, maka : 4.(-2x – 4) = -5.(x + 2)

- 8x – 16 = - 5x – 10 - 8x + 5x = - 10 + 16 - 3x = 6

x = - 2

3. 5 x 4 _x

3 27 )

81 1

( + = → 5(3−4)x+4 =33.3−x

4 3 5 16 x 4 3 3 − − − = Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

x 3 5 16 x 4 − = − − 31 x 16 15 x 5 x 4 x 5 15 16 x 4 = + = + − − = − −

4. (x−3)5 =32 → (x−3)5 =25

x – 3 = 2 x = 5

5. 2x2−5x+9 =8 → 2x2−5x+9 =23

2 x dan 3 x 0 ) 2 x )( 3 x ( 0 6 x 5 x 3 9 x 5 x 2 1 2 2 = = = − − = + − = + −

XI. Penjumlahan dan Pengurangan 1. 2a2+3a3−4a2 =..

2 3 3 2 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 2 − + −

2. 3a3+2b3+4a3b3−7(ab)3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b a 4 b 2 a 3 b a 7 b a 4 b 2 a 3 − + − + +

e. Test Formatif 2

Sederhanakan kemudian tulis dalam pangkat sebenarnya ! 1. a. (3)−2x(2)−3x34 =... b. {(64)−3}4 :28 =... c. 3 x9 :273 ...

2 2 3 1

=

2. a. ) x(2) ... 32

1

( 2

1 1

2 _{= 3. a.}

... ) 9 x 27 ( : ) 9 x 3

( 4 2 −2 =

b. :36 ... ) 16 ( 1 2 2 =

− b. (2p3q)2x(4pq2)−2 =...

c. ... 5 1 x ) 25 ( 3 ₄

2

= c. ...

) 3 ( 5 x 3 : 9 x (3 3 x 5 3 2 4 3 1 2 2

4 − =

4. a. ) ... b

a ( ₃ 4

2

= 5. a. x2(x3+x+2)=...

b. ) ...

b 3 a 2 ( 3 2 3

= b. 2x2(3x2−2x+4)=...

c. ) ...

z 3 y x 5 ( 4 3 2 3

= c. (4x4y3+6x3y2):(2x3y2)=...

6. a. 3ax a a=... 7. a. 4x+4 =210x+12 maka x = … b. 3 4a =... b. 272x+6 =94−3 maka x = …

w

w

.docu-track.com ww

c. 3 a a :a a=... c. )2x 3 39x 27

1

( + = maka x = …

d. 2x 3 ₎x2 x 64

1 (

8 = + maka x = …

8. Tuliskan dalam bentuk baku ! a. 180 x 2.000 : 30.000 = …

b. ...

10 x 5

000 . 1 x 5 , 2

2 =

c. (20x0,6):(0,4x10)2 =...

f. Kunci jawaban Test Formatif 2

1. 2. 3. 4.

a. Error! Objects cannot be created from editing field codes.

a.

2 2

1

8 a.

11 3

a. ₁₂ 8

a a

b. ₈₀

2 1

b.

3 8_x 2

1

− _b.

2 4

q 4

p

b. ₆

9

b 27

a 8

c. 9.33 _c. 3₂₅ 25

1

c. ₃ 3

5 5

9 81

5. 6. 7. 8.

a. x5+x3+2x2 _{a. a}3_a2 a. x = - ½ a. 1,2 x 10 b. 6x4−4x3+x2 b. 24a b. x = - ₁₁₆11 _{b. 5 x 10}0 c. 2xy+3

c. 12_a5 a

1 c. x1 = 0 dan x2 = -¼

c. 7,5 x 10

g. Lembar Kerja Siswa 2 Sederhanakanlah !

1. a. ...

2 3 x 2 x 3

1 4

3 =

−

− 2. a. ( x. y).(6x.7y)=...

b. ...

7 x 7 x 3

3 x 7

3 4 5

2 2

=

− − −

b. x2 y( x.5y2): x5y3 =...

c. ...

3 x 2 x 5

3 x 5 x 8

2 4

4 2 2

=

− − − −

c. x2 x x.3x x =...

3. Carilah harga x dari persamaan : 4. Tuliskan dalam bentuk baku !

a. ) 64

16 1

( x−1 = a. (4,5x80x10−4):(400x10−8)=...

b.

32 1 )

4 1

( x+1 = b. 1.500x4x106x2x10=...

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

c. 2x 1 3 4

x ₃

) 243

1

( − = + c. 4x10−5x3x10−4x103 =...

5. Jika a = 3 dan b = 4, hitunglah ! 6. Carilah harga x ! (ingat a0_{= 1)}

a. ...

b a 3

) ab 2 ( x ) b a (

2 2 4

2 3

= a. 23(6x+8)=33(6x+8)

b. ...

ab 2

ab 2 ) ab 3 ( bx a 3 x ) b a

{( 2 4 2 2

= b. (24)5x−6 =1

c. 2(a3b)2 :(2ab)2 =... c. 32x32x+5 =1

3. Kegiatan Belajar 3

a. Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan : 1. Memahami konsep bilangan irasional.

2. Memahami operasi bilangan bentuk akar. 3. Menyederhanakan bilangan bentuk akar.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 3

Bilangan Irasional atau bilangan tak terukur ada 3 macam : a. Akar bilangan rasional yang tidak rasional (bentuk akar).

Misal :√2,√3,√5, dsb.

√2 = 1,414213562…

√3 = 1,732050808…

√5 = 2,236067977…

b. Logaritma bilangan rasional yang tidak rasional. Misal : log 2, log 3, log 5, dsb.

log 2 = 0,3010…

log 3 = 0,4771… log 5 = 0,6990… c. Nilai bilangan :π, e, M, dsb. Bilanganπ = 3,141592654… Bilangan e = 2,718281828… Bilangan M = 2,30258509…

1. Menentukan perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan Dalam pangkat tak sebenarnya.

Dasar : m

n m n

a

a = a∈ R m

n

m n a a

1 −

= a≠ 0

Contoh :

1. 4 4 (2 ) 2 2 2

1 x 2 2 1 2 2 1

= = =

= 2. 27 27 (3 ) 3 3 3

1 x 3 3 1 3 3 1

3 _{= = = =}

w

w

.docu-track.com ww

3.

3 1 3 3

) 3 ( 81 81

1 ₄1 4 ₄1 4x ₄1 1

4 = = = = =

− − −

−

4. 4

3

5 3 6.5 4

6 −

=

Dalam pangkat sebenarnya.

Dasar : man =ap artinya (ap)m =an

Contoh :

1. 2 2

1 x 4 2 1 4

2 2 ) 2 (

16= = = artinya: (22)2 =24 =16

2. 27 (3 ) 3 3 31 3 1

x 3 3 1 3

3 _{= = = = artinya :(3}1₎3 ₌₃3 ₌₂₇

3. 4 4

1 x 5 4 1 5

4_{32=(2 ) =2 =2 2 artinya :(2}4₂₎4 ₌₂5 ₌₃₂ 4. 6,25= (2,5)2 =2,5 artinya :(2,5)2 =6,25

2. Operasi bentuk akar.

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Berlaku untuk bilangan dengan basis sama.

b ) c a ( b c b

a ± = ± atau ambn ±cmbn =(a±c)mbn

Contoh :

1. 2 5+7 5=(2+7) 5=9 5

2. 8 3−4 3=(8−4) 3=4 3

3. 53a2 +33a2 =8.3a2

4. 7a5a3 −2a5a3 =(7−2).a5a3 =5.a5a3

b. Perkalian bilangan bentuk akar

1. Perkalian bilangan dengan basis index pangkat akar sama. Dasar Rumus : _a.n_{b x c.}n_{d = (axc).}n_(bxd)

Contoh :

1. 3 5x2 45= → (3x2). (5x45)

→ 6. 225 = 6. (15)2 = 6.15 = 90 2. 1534x3364= → _(15x3).3_(4x64)

→ 45.322.26 =45.328 45x22x322 =18034

2. Perkalian bilangan dengan basis index pangkat akar berbeda. Dasar : Index pangkat akar disamakan dahulu baru dikalikan.

Rumus : napxmbq = nmapmxmnbqn atau napxmbq = nmapmxbqn

Contoh :

1. 234x 12 → 2.3x242x2x3123

→ _2.6₄2_x(4x3)3 _=2.6₄2_x43_x33 _=2.6₄5_x33 → 6 2 5 3 6 10 3 6 4 3

3 x 2 . 2 . 2 x 2 . 2 3 x ) 2 ( .

2 = =

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

→ _4.6_16x27=4.6₄₃₂

2. 1239x3448 → (12x3).3x494.483 =36.12(32)4.(243)3 → _36.12₃8_.212_.33 _=36.2.12₃11 _=72.12₃11 c. Pembagian

1. Pembagian bilangan dengan basis index pangkat akar sama.

Dasar Rumus : n

n n b a b a ₌ Contoh :

1. 8 2 2 2

4 32 4

32 ₃ 3 3 3 ₃3

3 3 = = = = =

2. 4 4

2 3 4 2 4 3 a 3 2 a 3 a 2 a 3 a

2 _{= =}

2. Pembagian bilangan dengan basis index pangkat akar beda.

Dasar Rumus : nxm nxm (pm-qn) qn pm m q n p a a a a

a _{= =}

Contoh :

1. =

3 2 5 13

a

a _→ 5x3 (13x3 2x5) 15 39 10 15 29 15 15 14 15 14 a a a a a a

a − = − = = =

2. = 4 2 3 5 3 . 2 3 . 6

→ _3x4 12 (20 6) 12 14 12 12 2 12 2 3 x 2 4 x 5 3 9 3 . 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 3 .

3 = − = = =

d. Perpangkatan

Dasar : Pangkat bilangan bentuk akar adalah bilangan dengan basisnya saja yang dipangkatkan sedang index akarnya tetap.

Rumus : (nam)p = namxp atau

nxm qxrxn pxrxm m qxr n pxr r m q n p b a b a ) b a ( = = Contoh :

1. (3a2)4 =3a8 =3a6.a2 =a2.3a2

2. (2. 3)4 =24. 34 =24.32

3. (3452)3 =33.456 =33.454.52 =27.5.452 =135 5

4. 3 4 3 4 3 3 3

4 3 3 2 . 2 2 . 2 2 ) 2 ( 12 24 = = = =        

5. 12 5 ₁₂

12 9 12 4 4 3 3 4 3 3 3 3

4 12 3 3 9 4 15 3 10 5 4 3 3 2 243 1 3 3 3 3 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 . 3 3 3 3 3 = = = = = = =         − w w

.docu-track.com ww

e. Akar

Dasar: akar dari bilangan bentuk akar disebut bentuk akar berlapis. Rumus : m n paq =mxnxpaq

Contoh :

1. 3x2 =2x3x2 =3x2

2. 3 4 12 7

7 3

4 3 3 4 3

3 4 2

3_x4_{x x = x x.x = x x = x.x = x = x}

3. 23. 2332 =23. 32.22x3 =8.62.26 =8.262=1662

4. 32x32x24x2 =9x3 4x2.24.x2x4 =9x3 416.x10 =9x12x10

f. Perkalian bentuk akar dalam perkalian 2 suku 1. (a + b).(c + d) = ac + bc + ad + bd

(√2 +√3).(√5 +√6) = 2x5+ 3x5+ 2x6+ 3x6

= 10+ 15+ 12+ 18

= 10+ 15+2 3+3 2

(2√3 + 4√2).(√6 – 2) = 2 3x6+4 2x6−4 3−8 2

= 2 18+4 12−4 3−8 2

= 6 2+8 3−4 3−8 2

= 4 3−2 2

2. (a + b).(a – b) = a2 _{– b}2 ) 7 3 ).( 7 3

( + − _{= ( 3)}2_{−( 7)}2 _=3−7=−4

) 11 3 13 2 ).( 11 3 13 2

( − + = (2 13)2−(3 11)2

= 4.13−9.11=52−99=−47

3. (a + b).(a + c) = a2 _{+ a(b + c) + bc} )

8 7 ).( 18 7

( + + = ( 7)2 + 7( 18+ 8)+ 18. 8

= 7+ 7(3 2+2 2)+ 18x8

= 7+ 7(5 2)+ 144

= 7+12+5 14=19+5 14

) 2 5 45 )( 2 5 5 2

( + + = 2 5x45+(2 5+ 45)5 2+(5 2)2

= 2 225+(2 5+3 5)5 2+25.2

= 2.15+5 5.5 2+25.2

= 30+50+25 10

= 80+25 10

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

4. (a± b)2 _{= a}2± _{2ab +b}2 2

) 8 3

( + = ( 3)2+2 3. 8+( 8)2 (2 7−3 5)2 = (2 7)2 −2.2 7.3 5+(3 5)2

= 3+2 24+8 = 4.7−12 35+9.5

= 11+4 6 = 28+45−12 5=73−12 5

g. Merasionalkan penyebut

1. Penyebut berbentuk tunggal b

Dasar Rumus : b

b a b b x b a b

a _{= =}

7 7 3 7 7 3 7 7 x 7 3 7

3 _{= = =}

2 3 4 6 . 3 2 3 . 8 6 . 3 18 8 6 6 x 6 3 3 8 6 3 3

8 _{= = = =}

2. Penyebut berbentuk tunggal nbm

Dasar Rumus : n n m

n n m n n m

n m

n m b b

a b b x b a b a ₋ − − = = 3 2 3 2 3 2

3 3 1 3 3 1

3

3 ₅ 5

7 5 . 5 5 . 7 5 5 x 5 7 5

7 _{= = =}

− − 19 . 3 19 . 3 . 2 19 . 19 . 3 19 . 3 2 19 19 x 19 . 3 3 2 19 3 3

2 10 5 10 4

5 2 5 3

5 2

5 5 3 5 5 3

5 3

5 3 = − = =

−

10 5 4 19 . 3 57 2 =

3. Penyebut berbentuk penjumlahan atau pengurangan Bentuk(a+ b) sekawannya(a− b) atau (-a+ b)

Bentuk(a− b) sekawannya(a+ b) atau (-a− b)

Bentuk( a+ b) sekawannya ( a− b) atau (- a+ b)

Bentuk( a− b) sekawannya( a+ b) atau (- a− b)

Pada umumnya suku kedua yang dilawan (tandanya berlawanan). Jadi untuk penyebut a± b adalah :

b a ) b a .( c b a b a x b a c b a c 2 ₋ − = − − + = + b a ) b a .( c b a b a x b a c b a c 2₋ + = + + − = − Contoh : 1. 23 2 3 23 15 23 2 3 15 2 25 ) 2 5 .( 3 2 5 2 5 x 2 5 3 2 5

3 ₌ − _{= −}

− − = − − + = + w w

.docu-track.com ww

2. 3 5 5 9 ) 5 3 .( 4 5 3 5 3 x 5 3 4 5 3

4 _{= +}

− + = + + − = −

Jadi untuk penyebut a± b adalah :

b a ) b a .( c b a b a x b a c b a c − − = − − + = + b a ) b a .( c b a b a x b a c b a c − + = + + − = − Contoh :

1. 8( 3 2)

2 3 ) 2 3 .( 8 2 3 2 3 x 2 3 8 2 3

8 _{= −}

− − = − − + = +

2. 2( 3 2)

2 3 ) 2 3 ( 10 2 3 2 3 x 2 3 10 2 3

10 _{= +}

+ + = + + − = −

h. Bentuk akar berlapis yang tak berhingga 1. Bentuk Penjumlahan

Bentuk Umum : a+ a+ a+...

Contoh :

Tentukan nilai dari :

... 6 6

6+ + + Penyelesaian :

dimisalkan 6+ 6+ 6+... = x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan 6 + 6+ 6+ 6+... = x2

6 + x = x2 _{maka didapatkan : x}2 _{– x – 6 = 0} memfaktorkan :

(x – 3) (x + 2) = 0 x – 3 = 0 atau x + 2 = 0

x = 3 atau x = -2 (tidak memenuhi)

... 3 2 3 2 3

2 + + + Penyelesaian :

dimisalkan 2 3+2 3+2 3+... = x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan

... 3 2 3 2 3 2 3 .

4 + + + + = x2

12 + x = x2 _{maka didapatkan : x}2 _{– x – 12 = 0} memfaktorkan :

(x – 4) (x + 3) = 0 Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

x – 4 = 0 atau x + 3 = 0

x = 4 atau x = -3 (tidak memenuhi)

2. Bentuk Perkalian

Bentuk Umum : a a a a...

Contoh :

Tentukan nilai dari :

... 7 7 7

7 Penyelesaian :

dimisalkan 7 7 7 7... = x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan 2

x 7 7 7

7 =

2 x x

7 = maka x2−7x=0

memfaktorkan : x.(x – 7) = 0

didapatkan nilai : x = 0 (tm) atau x = 7

... 6 6 6

3 Penyelesaian :

Bentuk 3 6 6 6... diubah ke : 3 2.3 2.3 2.3

dimisalkan 3 2.3 2.3 2.3 = x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan 2

x 3 . 2 3 . 2 3 . 2 .

9 =

18.x = x2 _{maka x}2 _{– 18x = 0} memfaktorkan : x.(x – 18) = 0

didapatkan nilai : x = 0 (tm) atau x = 18

i. Bentuk akar diubah ke bentuk 2 suku dalam akar

Rumus : (a+b)+2 ab = a+ b b a ab 2 ) b a

( + − = −

Dasar : (a+b)2 =a2+2ab+b2 2 2

2

b ab 2 a ) b a

( − = − +

Contoh :

i. 7 2 12 (4 3) 2 4.3 4 3 2 3

4 48 2 7 48

7+ = + = + = + + = + = +

ii. (5 6) 2 (5x6) 5 6

4 120 2 11 120

11− = − = + − = −

w

w

.docu-track.com ww

iii. 2 7 2 3 2 7 x 2 3 2 ) 2 7 2 3 ( 4 7 x 3 2 2 10 4 21 2 5 21

5+ = + = + = + + = +

) 14 6 ( 14 6 2 2 x 2 7 2 2 x 2 3 2 7 2 3 2 1 2 1 2

1 _{+ = +}

= +

= + =

j. Merasionalkan penyebut yang terdiri dari dua suku dengan index akar tiga ( 3_a±3_{b )} Rumus :

o

3 3_{a b}

c

+ = a b( a ab b )

c b ab a b ab a x b a

c 3 2 3 3 2

3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3

3 = + − +

+ − + − + o 3 3_{a b}

c

− = a b( a ab b )

c b ab a b ab a x b a

c 3 2 3 3 2

3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3

3 = − + +

+ + + + − Contoh : 3 3_{3 4}

13

+ = 3 4( 9 12 16)

13 4 4 x 3 3 4 4 x 3 3 x 4 3

13 _{3 3 3}

3 3 3 2 3 3 3 2 3

3 = + − +

+ −

+ − +

= ( 9 12 16) 7

13 _{3 −3 +3}

3 3 3 3 2 3 2 3 − + = 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 x 3 3 2 2 x 3 3 x 2 3 2 3 + + + + − + = ₃ 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 ) 2 ( ) 3 ( 2 . 2 2 . 3 . 2 2 . 3 2 . 3 .. 3 3 . 2 3 . 3 − + + + + +

= 3 3

3 3 3 3 12 . 2 18 . 2 5 2 3 2 12 12 18 18 3 + + = − + + + + +

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3. 1. Bilangan Irasional ada 3 macam :

1. Akar bilangan Rasional yang tidak rasional (Irasional). Misal : 2, 3, 5, 6,...dst

2. Logaritma bilangan rasional yang tidak rasional. Misal : log 2, log3, log 5, …dst

3. Bilangan-bilangan tertentu. Misal :π , e, M, … dst

2. Menentukan dari bentuk akar ke bentuk pangkat tak sebenarnya.

a. m n m n a a = b. m n

m n a a

1 −

=

3. Operasional bentuk akar.

a. Penjumlahan dan pengurangan Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

b ) c a ( b c b

a + = + atau ambn +cmbn =(a+c)mbn b ) c a ( b c b

a − = − atau ambn −cmbn =(a−c)mbn

b. Perkalian bentuk akar

indek akar sama : amb . cmd =a.c.mb.d

indek akar tidak sama: map . nbq =n.map.bq

c. Pembagian bentuk akar

indek akar sama : m

m m b a b a ₌

indek akar tidak sama: m.n qm pn n q m p b a b a ₌

4. Perpangkatan bentuk akar

m n . p m p.n n

m_ap _{= a =a}

    n r . q m r . p

n q.r m p.r r n q m p b a b a b a = =        

5. Penarikan akar bentuk akar

mnp q p . n . m _q

m n p q

a a

a = =

6. Perkalian 2 suku dalam bentuk akar a. ( a+ b).( c+ d)= ac+ ad+ bc+ bd

b. ( a+ b).( a+ b)=( a+ b)2 =( a)2 +2 ab+( b)2 =a+2 ab+b

c. ( a− b).( a− b)=( a− b)2 =( a)2−2 ab+( b)2 =a−2 ab+b

d.( a+ b).( a− b)=( a)2− ab+ ab−( b)2 =a−b

e. ( a+ b).( a+ c)= a2 + a( b+ c)+ bc

f. ( a+ b).( a− c)= a2 + a( b− c)− bc

g.( a− b).( a− c)= a2 − a( b+ c)+ bc

7. Merasionalkan penyebut

a. Penyebut satu suku (satu faktor)

b b a b b x b a b

a _{= =}

Bila indek akar lebih dari 2 : n n m

n n m n n m

n m

n m b b

a b b x b a b a ₋ − − = =

b. Merasionalkan penyebut yang terdiri dari dua suku

b a

c

+ = a b

) b a .( c b a b a x b a c − − = − − + b a c

− = a b

) b a .( c b a b a x b a c − + = + + − w w

.docu-track.com ww

b a

c

+ = a b

) b a .( c b a b a x b a c 2₋ − = − − + b a c

− = a b

) b a .( c b a b a x b a c 2₋ + = + + −

8. Bentuk akar berlapis ( akar ganda ) a. Penjumlahan akar ganda

Pada umumnya proses penyelesaian adalah dengan memisalkan kemudian dengan mengkuadratkan masing-masing ruas.

x ... a a

a+ + + =

x ... b a b a b

a + + + =

b. Perkalian akar ganda

Pada umumnya proses penyelesaian adalah dengan memisalkan kemudian dengan mengkuadratkan masing-masing ruas.

x ... a a a a = x ... a . b a . b a . b a =

9. Menarik akar menjadi dua suku dalam bentuk akar

b a ) axb ( 2 ) b a ( + + = + b a ) axb ( 2 ) b a ( + − = −

10. Merasionalkan penyebut yang terdiri dari 2 suku dengan indek akar 3

3 3_{a b}

c

+ = a b( a ab b )

c b ab a b ab a x b a

c 3 2 3 3 2

3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3

3 = + − +

+ − + − + 3 3_{a b}

c

− = a b( a ab b )

c b ab a b ab a x b a

c 3 2 3 3 2

3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3

3 = − + +

+ + + + − b a c

3 ₊ = ( a b a b )

b a c b a b a b a b a x b a

c 3 2 3 2

3 2 3 3 2 2 3 3 2

3 = ₊ − +

+ − + − + b a c

3 ₋ = _{a b} ( a b a b )

c b a b a b a b a x b a

c 3 2 3 2

3 2 3 3 2 2 3 3 2

3 = ₋ + +

+ +

+ + −

d. Test Formatif 3 1. Selesaikanlah !

a. 0,25 ...

32 1 125 , 0 5

3 _{+ + = b. 3 2+2 27−4 3=...}

2. Selesaikanlah ! Click to buy NOW!

w w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

a. ₉1 x3 3x₃149x9681=... b. 2 18x3348x5412=...

3. a. : ₁₆12 ... 96

24 _{= b. ...}

18 12 3

=

4. ...

2 . 5

5 . 2

2

3 3 2

=     

  

5. 3.33 3 3 =...

6. Selesaikanlah !

a. (3 5−4 3)(3 5+4 3)=... b. (4 7+2 8)2 =...

7. Rasionalkan :

a. ...

2 7

2 4 5

3 ₌

−

+ b. ...

5 5 5 3 2

3 7

3 = − + −

8. Selesaikanlah !

a. 71 71 71 71... =... b. 2 5+2 5+2 5+.... =...

9. 72−2 162 − 33+ 800 =...

10. Sederhankanlah !

a. ...

4 6

4 5

3 2 3

=

− b. 3 5 ...

5 3

3 3

3 3

= − +

e. Kunci jawaban Test Formatif 3

1. a. ₁₂1 _{b. 8 3}

2. a. 939 b. 3601234992

3. a. ₃1 3 b. ₃16₁₈ 4. 3

4 5 5 4

5. 3.1235

6. a. – 3 b. 144+32 14

7. a. ₅4 ₅3

5

3 _{5+ 14+1 b.} 3

7 1 7

6 _{5 15 25}

3

2 − − + −

8. a. x = 71 b. x = 5 9. 2−8

10. a. 34 5 3

+ b. −4−345−375

f. Lembar Kerja Siswa 3

1. Selesaikanlah : 4 2+3 8−6 32−5 72=...

2. Selesaikanlah : 6 3x5 12x3 15:15 3=...

3. Selesaikanlah : 2 4x3322x625 =...

4. Selesaikanlah : (2 3+3 5−4 6).(5 3−3 5)=...

w

w

.docu-track.com ww

5. Selesaikanlah : ... 35 24 : 15

14 ₌

8. Selesaikanlah : (2+13 2)2−(13 2−4)(13 2+4)=...

6. Selesaikanlah : ...

3 5

3 5 2 7 5 2

6 5

3 ₌

− − + + −

9. Selesaikanlah : 3 12 12 12... =...

7. Selesaikanlah : ...

3 6

2 11 4

3 3

12 3 3 3

3  =

      −    

10. Sederhankanlah ! a. 25−2 126− 19− 336 =...

4. Kegiatan Belajar 4

a. Tujuan Kegiatan Belajar 4

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan : 1. Siswa dapat memahami berbagai macam konsep logaritma. 2. Siswa dapat menyelesaikan permasalahan soal logaritma.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 4 1. Logaritma Briggs ( Biasa)

Logaritma dari a dengan bilangan pokok g ialah suatu bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g yang harganya sama dengan a.

p a log

g ₌

berarti gp =a

Jadi jikagp =a berarti gloga=p, sehingga didapatkan dasar rumus :

g

g1= berarti glogg=1 1

g0 = berarti glog1=0

Sifat-sifat logaritma Briggs : 1.

g log

a log a log

g _{= 5. log a loga .}g_loga

n 1 n 1 g n

g _{= =}

2. glog(a.b)=gloga+glogb 6. gloga gloga 1

− =

3. glog(_ba)=gloga−glogb 7. ggloga =a

4. Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Contoh 1 :

a. 2log32= 2log25 =5.2log2=5.1=5

b. 5log ₁₂₅1 =5log5−3 =−3.5log5=−3.1=−3

c. log2 log log( ) 1.2log₂1 1.1 1 1

1 2 1 2 1

2 1 1 2 1 2

1

− = − = −

= =

= −

d. ₂1

2 1 3

2 1 3

1

2 1 2 1 3 1 3

1

1 . 1 . 3 log . 1 . 3 log . 3 log 3

log = = = − = − =−

e. Tentukan nilai x dari xlog125=3

Penyelesaian : xlog125=3 berarti x3 =125

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

3 3 ₅ x =

3 x=

f. Tentukan nilai x ( x bilangan nyata positif ) dari : log x - log 2 = log 6 Penyelesaian : log x - log 2 = log 6

6 log 2 x

log = → 6

2 x₌

12 x=

2. Logaritma Napier

Logaritma Napier adalah logaritma dengan bilangan pokok e dengan e = 2,718. Secara umum eloga dinyatakan sebagai :ln a.Sehingga didapat kesamaan :

a ln a log

e _{= dengan a > 0.}

Sifat-sifat logaritma Napier :

Sifat-sifat logaritma Napier sama dengan sifat-sifat logaritma Briggs (biasa). Catatan :

ln 1 = 0 ln e = 1

ln a = 2,303. log a log a = 0,4342. ln a

Contoh 2 :

a. Tentukan nilai dari ln 15 !

Penyelesaian : ln 15 = 2,303. log 15 = 2,303. 1,1760 = 2,7085

b. Tentukan nilai dari ln 0,1 !

Penyelesaian : ln 0,1 = 2,303. log 0,1 = 2,303. log(₁₀1)

= 2,303. (-1) = -2,303

c. Tentukan nilai dari ln 35 = 2,303. log 2 1 ) 35

( = 2,303. ₂1_{. log 35} = 2,303. ₂1_{. 1,5440 = 1,7779}

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 4. 1. Logaritma Briggs

p a log

g ₌

berarti gp =a

Sifat-sifat logaritma Briggs : 1.

g log

a log a log

g _{= 5. log a loga .}g_loga

n 1 n 1 g n

g _{= =}

2. glog(a.b)=gloga+glogb 6. gloga gloga 1

− =

3. glog(_ba)=gloga−glogb 7. ggloga=a

4. Error! Objects cannot be created from editing field codes. w

w

.docu-track.com ww

2. Logaritma Napier

a ln a log

e ₌

dengan a > 0. ln 1 = 0

ln e = 1

ln a = 2,303. log a log a = 0,4342. ln a d. Tugas Kegiatan Belajar 4 1. Hitunglah nilai dari :

a. 2log8=... d. 2log ₄1=...

b. 3log81=... e. 3log 27=...

c. 4log64=... f. 5log35=...

2. Jadikan bentuk jumlah dan atau selisih logaritma dari soal-soal berikut : a. glog(a.b.c.d)=... d. ...

a d . c log

2 2

g ₌

    

  

b. ...

d . c

b . a log =

   

 _e. g_{log a.b =...}

c. 2log(a2.b3)=... f. ... b . a

1 log

2 2

g ₌

3. Tentukan hasil dari :

a. alog3−alog6+alog16=... d. 2log15−2log14−2log105=...

b. 2log32+2log18−2log72=... e. 3log ₂₇1 −3log₈₁1 =...

c. log 100 + log 50 + log 20 = … f. 4log2+4log8−4log4=...

4. Tentukan nilai x untuk :

a. xlog3=1 d. 3 ₂1

1 x log =

b. xlog25=4 e. 2logx 2 1

=

c. xlog ₂1=1 f. x ₂1

5 log =

5. Tentukan nilai x (x bilangan nyata positif)

a. log 15 – log x = log 3 d. log x = log 5 = log 20 b. 3log(x+1)−3log4=3log5 e. log(x—3) + log 3 = log(2x-1) c. log(x+1) + log(x-1) = log 1

6. a. Ubahlah menjadi logaritma biasa ! i. ln 79 = … ii. ln 32,1 = …

b. Hitumglah : ln 22,24 - ln 55,3 + ln 5,642 = …

c. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma selesaikan : → ln 3_68,3x15,62

EV A LUA SI KOM PETENSI

Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Hitunglah : (24)3x(23)2 :(25)3 =...

Click to buy NOW! w

w

w

.docu-track.com

Click to buy NOW!

w w

w

a. 25 _b. 5 4 4

2 c. 2−2 d. 23 e. 8

3 4 2

2. Hitunglah : 11₂ 12−4 ₂1 −2 18+6 ₈1 +₄1 48=…

a. −3₂1 2+4 3 b. 3 6−4₂1 2 c. 4 3−6 2 d. 4 3−6₂1 2 e. 2₂1 3−4 2

3. Hitunglah : a a x 3a a a = … a. _a3_a

b. 4a3 c. a2 a d. a a e. a

4. Hitunglah : jika x = 2+ 3 dan y = 3− 2 makax2+y2−2xy=...

a. 5−2 3−2 2+2 6 c. 6−2 3−2 2+2 6 e. 12 6

b. 6−2 3+2 2+2 6 d. 6−2 6

5. Dalam bentuk baku hasil dari : (4,5x80x10−4x10−6):(400x10−8)=…

a. 9x10−33 b. 9x10−17 c. 9x10−3 d. 9x10−2 e. 9x10−1

6. Himpunan penyelesaian dari : (x2)x =x4x−x2adal