BAB 1
PERSAMAAN
Sifat –Sifat Persamaan
Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan.
Contoh persamaan Contoh kesamaan
a) 2x + 3 = 9 a) 5 = 3 + 2
b) x2 – 9 = 0 b) 3 + 8 = 12
c) x2 + 3 = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap
d) 3x – 2 = 3x + 5 e)
Keterangan:
Persamaan 2x + 3 = 9 hanya benar untuk x = 3, dan persamaan x2 – 9 = 0 hanya benar untuk x= 3 atau x = -3. Kedua persamaan tersebut dinamakan persamaan bersyarat (kondisional). Persamaan x2 + 3 = 0 untuk x R, tidak ada nilai x yang memenuhi atau tidak mempunyai jawaban. Sedangkan persamaan 3x – 2 = 3x + 5 disebut persamaan palsu.
Persamaan mempunyai banyak jawaban atau benar untuk semua x kecuali x=±2,
persamaan ini disebut persamaan identitas.
Aksioma 1 : Jika f(x) = g(x) maka f(x) + h(x) = g(x) + h(x) Aksioma 2 : Jika f(x) = g(x) maka f(x) . h(x) = g(x) . h(x)
Aksioma 3 : Jika f(x) = g(x) maka f(x)2 = g(x)2. Akar – akar dari f(x)2 = g(x)2 mengandung
akar dari f(x) = g(x). Tentkan HP dari persamaan berikut
1. X3 – 1 = 1 2. 2 1 4 2 2 x x x 3. 2x – 1 = 4 + 2x 2 1 4 2 2 x x x 2 1 4 2 2 x x x
1. Persamaan linear (Persamaan garis)
Bentuk umumnya: ax + by = c atau y = mx + c dengan m = gradien (kemiringan)
Y a, b, c bilangan real Y a ax + by = ab c
m = -
0 b X 0 X
1. Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dengan graien m adalah y – y1 = m(x – x1) 2. Persamaan garis yang melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah
1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x
Soal soal latihan
2. Tentukan gradien dari persamaan garis berikut: a. 2x – 3y = 6
b. X + 4y = 5 c. 2x + 5y – 6 = 0
2.2 Sistem Persamaan linear dua varibel.
Bentuk umum: ax + by = c
px + qy = r a, b, c dan p, q, r bilangan real Penyelesian system persamaan tersebut adalah pasangan bilangan terurut (x, y). Ada 3 sifat yang dimiliki pada system persamaan linear :
1) Kedua persamaan tersebut bergantungan, jika
2) Kedua persamaan tersebut bertentangan (berlawanan), jika 3) Kedua persamaan tersebut bebas
Cara penyelesaian system persamaan linear diantaranya dengan: a. Substitusi
b. Eliminasi
c. Gabungan Substitusi dan eliminasi d. Determinasi b a r c q b p a r c q b p a q b p a
Contoh soal:
Dari system persamaan berikut, manakah yang merupakan system persamaan yang saling bergantungan, bertentangan, dan bebas.
a) 2x – y = 1
6x – 3y = 3 b) 2x + 3y = 5
4x + 6y = 15 c) x + 2y = 3 –2x + y = 4
Soal – Soal Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut: a. 5x – 2y = 3 8x + 4y = 3 d. b. 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 2x = 3y – 9 e. c. x – 9y = 8 x + 5y = –7 HP {(2, - 1)} 2. Diketahui sistem persamaan linear sbb. (2p – 1 )x – py = 2 – 6p
(4p – 5)x + (2p – 1)y = 7 + 4p Tentukan nilai p agar system persamaan tersebut
a) Bergantungan b) berlawanan (bertentangan)
3. Carilah nilai x, y dan z dari system persamaan linear berikut: x + = 4
3x +
Hp {(3, 5, -3)}
4. Carilah nilai a pada system persamaan (2a + 2)x – y = 1 ax – y = 0 (a + 6)x – ay = a Dengan mengeliminasi x dan y, kemudian hitunglah nilai x dan y.
5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik sbb: a) A(3, 1) dengan gradien m = ½
b) B(-5, 4) dengan gradien m = -2 3 1 3 2 6 9 1 3 4 y x 3 3 2 2 5 y x 3 1 2 3 4 5 3 2 52 y x y x 1 1 2 3 2 5 3 2 4 y x y x z y 2 13 2 8 y z x 1 2 6 8 z x y z y
c) A(2, 1) dan B(6, 8)
d) Memotong sumbu X di (-4, 0) dan gradien m = -3/4
e) Memotong sumbu-sumbu koordinat di titik (0,4) dan (-½, 0)
2.3 Sistem Persamaan linear tiga varibel. Bentuk umum: a1x +b1y +c1z = d1
a2x +b2y +c2z = d2
a3x +b3y +c3z = d3 dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, dan d3 R disebut system persamaan linear tiga variable. Seperti halnya pada system persamaan linear dua variable, penyelesaian system persamaan linear tiga variable ini mempunyai kesamaan dalam penyelesaianya, antara lain:
1. Metode substitusi 2. Metode eliminasi
3. Gabungan substitusi dan eliminasi 4. Metode determinan dalam matriks.
Jika x = x0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (x0, y0, z0), memenuhi system persamaan linear tersebut di atas , maka (x0, y0, z0) disebut penyelesaian system persamaan linear tiga variabel, dan himpunan penyelesaiannya ditulis {(x0, y0, z0)}.
Contoh soal:
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap system persamaan linear berikut:
1. x – y + z = 6 2. 2x – y + z = 6 3. 5x + 3y – 3z = 1
x + 2y – z = – 3 x – 3y + z = – 2 4x – 2y + z = 10
5x + y – z = 3 2x + y + z = 6 x + 2y – z = 3
BAB 2
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
2.1Persamaan Kuadrat (Persamaan pangkat dua)
Bentuk umum: ax2 + bx + c = 0, dengan syarat a ≠ 0, a, b, c R. Cara penyelesaian persamaan kuadrat:
1) Pemfaktoran , yaitu jika a . b = 0 maka a = 0 atau b = 0
2) Melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu dengan mengubah PK menjadi (x ± p)2 = k 3) Rumus akar – akar persamaan kuadrat (rumus abc), yaitu :
x1,2 = Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan ke tiga cara tersebut:
1. x2 – 8x + 15 = 0 2. 4x2 – 12x – 7 = 0
Soal Latihan
Selesaikanlah persamaan berikut dengan ketiga cara!
1. x2 – x – 30 = 0 6. 4x2 – 13x + 3 = 0 2. x2 – ¼x = 0 7.9x2 + 6x – 4 = 0 3. 4x2 – 9 = 0 8. 2(x – 5)2 + 5(x – 5) = 0 4. 2x2 + 5x + 2 = 0 5. 15x2 – 19x – 132 = 0 9. 7 + 10.
2.2Jumlah dan Hasil Kali Akar- akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan : ax2 + bx + c = 0, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a(x – x1)(x – x2) = 0.
Jadi : ax2 + bx + c = 0 a(x – x1)(x – x2) = 0 x2 + x + = 0 (x – x1)(x – x2) = 0 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 Sehingga: a ac b b 2 4 2 1 5 1 3 x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x a b a c x1 + x2 = – dan x1x2 = a b a c
Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar dari persamaan : ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a(x – x1)(x – x2)(x – x3) = 0.
Jadi : ax3 + bx2 + cx + d = 0 a(x – x1)(x – x2) (x – x3) = 0 x3 + x2 + x + = 0 (x – x1)(x – x2) (x – x3) = 0
→ [x2 – (x1 + x2)x + x1x2](x – x3) = 0
→ x3 – (x1 + x2 +x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 Jadi didapat : (x1 + x2 +x3) = - b/a (x1x2 + x1x3 + x2x3) = c/a dan x1x2x3 = - d/a
Bagaimana dengan rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan yang pangkat 4 ?
Contoh: 3x3 + 4x2 – x + 6 = 0.
Carilah (x1 + x2 +x3) = ... (x1x2 + x1x3 + x2x3) = ... dan
x1x2x3 = .... Rumus-rumus yang umum digunakan:
1) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 8) 2) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) 3) x13 – x23 = (x1 – x2)3 – 3x1x2(x1 – x2) 9) 4) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 4(x1x2)2 5) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 6) x12 – x22 = (x1 + x2)(x1 – x2) 7) x15 + x25 = ... Contoh Soal:
1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. 3x2 + 6x + 2 = 0 b. x2 – 12x – 4 = 0
2. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar dari persamaan 2x2 + 4x + 5 = 0. Tentukan nilai dari:
a. c. x12 + x22 e.
b. (x1 + )(x2 + ) d. x13 + x23 f.
3. Tentukan nilai m, jika akar yang satu dari persamaan x2 + mx + 18 = 0 dua kali akar yang lain. 2 1 1 1 x x 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x 2 1 x 1 1 x 2 2 1 1 2 1 x x x x x x 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( ) 1 1 x x x x x x a b a c a d
Soal Latihan:
1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari perssamaan kuadrat berikut ini: a. 4x2 + 7x – 3 = 0
b. x(x – 3) = x + 4 c. ax2 – (a + 2)x – a = 0 d.
2. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar dari persamaan 3x2 – 5x + 6 = 0. Tentukan nilai
dari:
a. b. x12 + x22 c.
d. (x1 + )(x2 + ) e. x13 + x23 f.
3. Kedua akar persamaan kuadrat x2 + (2a – 6)x – 9 = 0 saling berlawanan. Tentukan
nilai a.
4. Tentukan p, jika akar – akar persamaan kuadrat (3p + 1)x2 – 29x + p2 + 1 = 0 saling berkebalikan.
5. Akar – akar persamaan x2 + ax + 60 = 0 mempunyai beda 7. Tentukan a dan akar yang lainnya.
6. Akar-akar dari persamaan x2 – 2ax + 9 = 0 adalah 3 kali dari akar-akar x2 – 4x + b = 0. Tentukan nilai (a – 4b).
7. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persaman 2x2 + qx + (q – 1) = 0 tentukan q bila:
2.3Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika diketahui akar – akar suatu persamaan kuadrat adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagai berikut:
1) Menggunakan perkalian faktor: (x – x1)(x – x2) = 0
2) Menggunakan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
x1 + x2 = – dan x1.x2 =
3) Menggunakan bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu: ax2 + bx + c = 0 ↔ a(x – x 1)(x – x2) = 0 2 3 2 1 x x 2 1 1 1 x x 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x 2 1 x 1 1 x 2 2 1 1 2 1 x x x x x x 1 1 1 2 2 2 1 x x a b a c
Contoh Soal
Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya diketahui berikut ini:
1. 3 dan 8 2. – 7 dan 4 3. ½ dan – 3 4. – 5 dan – 3 Jawab:
1. Dik. x1 = 3 dan x2 = 8. Cara 1: → (x – 3)(x – 8) = 0 ↔ x2 – 11x + 24 = 0 Cara 2: x1 + x2 = 8 dan x1.x2 = 24 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ↔ x2 – 8x + 24 = 0 Cara 3: a(x – x1)(x – x2) = 0 ↔ a(x – 3)(x – 8) = 0 ↔ a(x2 – 8x + 24) = 0
Jika a = 1, maka persamaannya adalah x2 – 8x + 24 = 0. Untuk nomor : 2, 3, dan 4 selanjutnya terserah anda.
2.4Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya.
Jika suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru yang akarnya saling berhubungan dengan akar persamaan tersebut, misalnya akar-akarnya saling berlawanan, akar-akar-akarnya saling berkebalikan, akar-akar-akarnya k kali akar-akar yang lain, akar-akarnya k lebihnya dari akar-akar yang lain, akar-akarnya k kurangnya dari akar-akar yang lain, dan lain-lain. Cara penyelesaiannya digunakan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, yaitu: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
→ x2 – (hasil jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0 Membentuk persamaan kuadrat baru
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 adalah cx2 + bx + a = 0
2. Jika akar-akarnya kx1 dan kx2, maka persamaan kuadrat yang baru adalah ax2 + kbx + k2c
=0
3. Jika akar-akarnya (x1 – k) dan (x2 – k), maka persamaan kuadrat yang baru adalah a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0
4. Jika akar-akarnya berlawanan, maka persamaan kuadrat yang baru adalah x2 – c/a = 0 atau ax2 – c = 0
Contoh soal:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan x2 – 5x + 10 = 0
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 10 = 0 adalah x
1 dan x2 maka x1 + x2 = 5 dan x1.x2 = 10, sehingga persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x1 dan 3x2 adalah;
Jumlah akar = 3x1 + 3x2 Hasil kali akar = 3x1. 3x2
= 3(x1 + x2) = 9(x1. x2)
= 3.(5) = 9(10)
= 15 = 90
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 – 15x + 90 = 0 Soal Latihan:
1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sbb:
a. 3 dan 0 d. dan f. dan
b. – 5 dan 4
c. dan e. dan g. dan
2. Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar dari persamaan 2x2 – 4x + 5 = 0, susunlah persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya sbb:
a. x1 + 2 dan x2 + 2 d.
b. x12 dan x22
c. x1 – x2 dan x2 – x1 e.
3. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya berkebalikan dengan akar – akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x – 1 = 0
4. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya berlawanan dengan akar – akar persamaan kuadrat 4x2 – 3x – 2 = 0
5. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya lima kali akar – akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x – 1 = 0.
6. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya tiga lebihnya dari akar – akar persamaan kuadrat x2 + 6x – 7 = 0.
7. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya lima kurangnya dari akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 1 = 0
8. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya kuadrat dari akar – akar persamaan kuadrat ax2 – bx – c = 0 3 2 1 5 4 5 4 4 5 2 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 5 3 2 5 3 3 1 3 1 2 1 x dan x 2 2 2 1 1 2 x x dan x x
9. Susunlah persamaan kuadrat yang akar – akarnya berkebalikan dan berlawanan dari akar – akar persamaan kuadrat ax2 - bx - c = 0
2.5 Sifat – sifat Akar Persamaan Kuadrat
Secara empiris, dapat ditentukan kaitan antara jenis akar-akar pesamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac sebagai berikut:
1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a) Jika D kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
b) Jika D bukan kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar)
real, dan rasional.
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya imajiner
4. Real positif, jika D ≥ 0, x1 + x2 > 0 dan x1.x2 > 0 5. Real negatif, jika D ≥ 0, x1 + x2 < 0 dan x1.x2 > 0 6. Real berlainan tanda, jika D > 0, dan x1.x2 < 0 7. Real berlawanan, jika D > 0, x1 + x2 = 0 atau b = 0 8. Real berkebalikan, jika D ≥ 0, dan x1.x2 = 1 atau a = c
9. Sebuah akarnya nol, jika x1.x2 = 0 dan c = 0 (sebuah lagi akarnya real). Soal Latihan
1. Persamaan kuadrat x2 – (2p + 3)x + 3p = 0, dengan p R. Tunjukan bahwa dua akarnya real dan berlainan p R.
2. Diketahui persamaan kuadrat x2 + (2p – 1)x + (p2 – 2p + 3) = 0. Tentukan nilai p, agar persamaan kuadrat tersebut:
a) Mempunyai dua akar real yang berbeda
b) Mempunyai dua akar real yang sama (akar kembar) c) Tidak mempunyai akar – akar yang real
3. Persamaan kuadrat x2 – ax + a2 – a + 2 = 0, dengan a R. Tunjukan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar real a R.
4. Diketahui persamaan kuadrat x2 – 4x + 2p = 0, Tentukan nilai/batas p agar persamaan kuadrat tersebut.
a) Mempunyai dua akar real yang berbeda.
b) Mempunyai dua akar yang sama.
c) Tidak mempunyai akar real
5. Carilah m agar persamaan kuadrat x2 – (m – 2)x + 25 = 0 mempunyai dua akar kembar.
6. Tentukan harga m agar akar – akar persamaan 8x2 – (3m + 1)x + (3m – 5) = 0
a) Real sama b) Real berlawanan c) Real berkebalikan
7. Diketahui persamaan kuadrat (q2 – 4pr)x2 + 4(p + r)x – 4 = 0 dengan p, q, dan r R. Tentukan syaratnya agar kedua akar persamaan tersebut:
a) Real positif b) Real berlainan tanda c) Real berlawanan d. Real
sama
8. Persamaan kuadrat x2 – 412x + a = 0 dan x2 – 280x + b = 0 mempunyai sebuah akar bersamaan. Akar kedua dari persamaan pertama berlawanan dengan akar kedua dari persamaan kedua. Tentukan nilai a dan b.
9. Persamaan x2 – nx + n + 8 = 0 memiliki dua akar negatif. Tentukan nilai n.
10.Diketahui (k – 1)x2 + 2kx + k + 2 = 0 mempunyai akar – akar nyata dan berlawanan. Tentukan nilai k.
11.Diketahui persamaan kuadrat x2– 4x + (n – 2) = 0, dengan n bilangan asli. Tentukan nilai n, agar persamaan tersebut mempunyai dua akar real, rasional, dan berlainan. 12.Untuk persamaan kuadrat nx2 – 5x + 1 = 0, dengan n bilangan asli. Tentukan nilai –
nilai n yang mungkin, agar persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real, irasional, dan berlainan.
2.6 Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat ialah fungsi yang berbentuk f : x → ax2 + bx + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, c R atau sering ditulis f(x) = ax2 + bx + c
Sebagai contoh, fungsi f : x → x2 – 3x + 3, maka dinyatakan:
a) Rumus untuk fungsi f adalah f(x) = x2 – 3x + 3 dengan x R b) Peta dari 0 adalah f(0) = (0)2– 3(0) + 3 = 3
c) Peta dari 1 adalah f(1) = (1)2 – 3(1) + 3 = 1, dst. Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f(x) untuk x = 0
Secara umum f(a) = a2 – 3a + 3 adalah nilai fungsi f untuk x = a. d) Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = x2 – 3x + 3 Harga ekstrim fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c, dapat ditulis sbb:
y = ax2 + bx + c → y = a(x2 + x) + c = a(x2 + x + – ) + c = a(x + )2 – + c = a(x + )2 + = a(x + )2 – a b a b 2 2 4a b 2 2 4a b a b 2 a b 4 2 a b 2 a ac b 4 ) 4 ( 2 a b 2 a D 4
Untuk a > 0:
Jika x = , maka y mencapai harga ekstrim minimum (harga minimum) Jika D > 0, maka minimum negatif
Jika D = 0, maka minimum nol Jika D < 0, maka minimum positif. Untuk a < 0:
Jika x = , maka y mencapai harga ekstrim maksimum (harg maksimum) Jika D > 0, maka maksimum positif
Jika D = 0, maka maksimum nol. Jika D < 0, maka maksimum negatif. Contoh:
Diketahui y = – 2x2 – 3x + 5. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya. 2.7 Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berbentuk parabola dengan persamaannya dirumuskan sebagai y = ax2 + bx + c
Y
X a>0; D > 0 a>0; D = 0 a>0; D < 0
X A < 0; D >0 A < 0; D = 0 A < 0; D < 0 a b 2 a D 4 a D 4 a D 4 a D 4 a b 2 a D 4 a D 4 a D 4 a D 4
Sketsa grafik fungsi kuadrat dapat digambarkan dengan langkah – langkah sbb:
1. Tentukan titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (dengan sumbu X, ambil y=0 dan dengan sumbu Y, ambil x = 0)
2. Cari sumbu simetri x =
3. Tentukan titik puncak dengan ( , )
4. Ambil beberapa titik anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. (dibuat dalam table, bila perlu).
5. Gambarlah grafik fungsi tersebut pada sebuah bidang kartesius. Contoh soal
Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini: a) y = x2 - 4x
b) y = - x2 + 6x – 5 c) y = - x2 - 2x + 3
Membentuk Persamaan kuadrat P(p, q) y = a(x – p)2 + q
1) Persamaan parabola yang berpuncak di titik P(xp, yp) adalah y = a(x – xp)2 + yp 2) Persamaan parabola yang memotong sumbu X di titik (x1, 0) dan (x2, 0) adalah:
y = a{x2 – (x1 + x2)x + x1x2} Contoh: 1. Diketahui grafik sbb. a) b) 3 -3 1 -2 Solusi (2, -1) a) y = a(x – p)2 + q b) y = a{x2 – (x1 + x2)x + x1x2} y = a(x – 2)2 + (-1) y = a{x2 – (- 2 )x + (-3)(1)}
= a(x2 – 4x + 4) – 1, melalui titik (0, 3) di dapat: y = a{x2 + 2x – 3 }, mel (0, -2)
3 = a( 4 ) – 1 -2 = a(-3)
a = 1 a = 2/3
Jadi fungsi kuadratnya adalah y = x2 – 4x + 3 Jadi fungsinya adalah y = 2/3(x2 + 2x – 3) y = 2/3x2 + 4/3 x – 2 a b 2 a D 4 a b 2
Soal latihan
1. Jumlah kuadrat akar – akar persamaan x2 + (m – 2)x – (m + 3) = 0 adalah k. Tentukan harga k yang sekecil-kecilnya.
2. Bagilah 100 menjadi dua bagian sehingga jumlah kuadrat bagian-bagiannya sekecil – kecilnya.
3. Hitunglah harga ekstrim dari y = (x + ½ p)2 – (3x + 2p)2. Jika harga ekstrim tersebut dicapai untuk x = -1 3/8.
4. Tentukan harga ekstrim dari y = (7 – x)(x + 5) dan jenisnya 5. Hitunglah harga maksimum dari y = x .
6. Lukislah grafik fungsi berikut ini:
a) y = 2x2 d. x = y2 – 4y + 4 b) x = 2y2 e. y = x2 – 20x + 90 c) y = -x2 + 3x f. x = 2y2 + 3y + 4 7. Dik. kurva sbb. a) Y = 4x2 – 8x + 3 2 1/2 3 (1, -1) -1 4
Carilah persamaan kurvanya y = -5/8 x2 + 15/8 x + 20/8
2
BAB 3
PERSAMAAN IRASIONAL, FUNGSI IRASIONAL DAN GRAFIKNYA
4.1 Persamaan Irasional (persamaan radikal)
Persamaan irasional adalah persamaan yang mengandung variable dibawah tanda akar dan atau yang dapat dijadikan demikian, variable berakar tersebut tak dapat ditarik akarnya.
Misalnya: 1) = 5, 3) x1/2 = 2
2) = x + 2 4) = (x + 5) ½ - 4
Contoh persamaan yang mengandung variable di bawah tanda akar tetapi bukan persamaan irasional sbb:
1) = 3, ekuivalen dengan | x | = 3
2) = x + 3, ekuivalen dengan |2x + 1| = x + 3
Persamaan irasional yang dibahas disini hanyalah persamaan irasional yang tanda akarnya berpangkat dua dengan semesta pembicaraan bilangan real.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut. 1)
2) 3) 4)
4.2Fungsi Irasional dan grafiknya
Fungsi irasional ialah fungsi yang domainnya terletak di bawah tanda akar. Variabel berakar tersebut tak dapat ditarik akarnya.
Bentuk umumnya y = dengan syarat f(x) ≥ 0. Contoh
Gambarlah grafik fungsi y = Jawab Syarat x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1 A B C D x -1 0 3 8 y 0 1 2 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 x 14 x 3 2x 2 x 2 ) 1 2 ( x 0 4 5 3 5 2x x 15 3 x x 28 6 1 4 3 2x x x ) (x f 1 x 5 ) 5 3 ( x
Soal Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan irasional berikut : a) e)
b) f) c) 2x2 – 3x + g) d)
2. Tentukan nilai c pada persamaan agar persamaan tersebut mempunyai akar real.
3. Ganbarlah sketsa grafik fungsi: a) y = ± b) y = ± c) y = d) y = ± e) y = ± f) y = 8 7 15 3 9 x x x 4 7 3 2x x 1 5 3 2x2 x 3 7 2x x 3 2 x c x 1 x 1 2 x x 2 3 12 x 4 2 x 1 2 x x 2 9x 0 2 4 1 x x 0 1 1 2 1 x x 0 5 2 32 2 5 2 3 5 2x2 x x2 x x2 x
BAB 4
PERSAMAAN EKSPONEN, FUNGSI EKSPONEN DAN GRAFIKNYA
4.1 Eksponen
Eksponen artinya perpangkatan, bentuknya seperti an = a.a.a.a. . . . a sebanyak n faktor, n disebut eksponen. Kita telah mengenal beberapa sifat dari bentuk eksponen, seperti berikut ini:
Jika a dan b bilangan real sedangkan m dan n bilangan rasional, maka:
1) am x an = am + n ; 5) a-m = atau am = ; a ≠ 0 2) am : an = am - n ; a ≠ 0
3) (an)m = am n ; a > 0 6) am/n = ; a > 0 4) (a b)m = ambm 7) a0 = 1 dan a-1 = Contoh Soal:
1. Sederhanakan bentuk berikut ini tanpa ada pangkat negatif: a) b) c)
2. Hitunglah
a) b) c) d) e) 3. Sederhanakanlah bentuk akar berikut:
a) b) c) 4.2 Persamaan Ekponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang memiliki variable sebagai eksponen bilangan berpangkat.
Bentuk – bentuk umum persamaan eksponen sebagai berikut: 1) af(x) = 1 f(x) = 0 2) g(x)f(x) = 1 a. f(x) = 0 b. g(x) = 1 c. g(x) = -1 dengan f(x) genap 3) af(x) = ap f(x) = p 4) af(x) = ag(x) f(x) = g(x) 5) f(x)g(x) = f(x)h(x) a. g(x) = h(x) b. f(x) = 1
c. f(x) = -1 dengan g(x) dan h(x) genap.
6) f(x)g(x) = h(x)g(x) a. g(x) = 0
b. f(x) = h(x)
7) af(x) + bg(x) + c = 0, bentuk ini kita ubah kebentuk persamaan kuadrat.
m a 1 n m a a 1 m a 1 1 2 1 a a 1 1 2 2 b a a b 1 1 1 1 a b b a ab 16 , 0 3 008 . 0 3 27 1 3 1 2 ) 9 1 ( 3 1 4 3 3 2 27 10 81 ) 8 1 ( 3 2 a a a 3 a a3 xy33 xy24 x2y4
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: a. b. c. d. e. Soal latihan:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: 1. 23x – 2 = 32 2. 3. 4. 22x + 1 + 2x = 3 5. 6. 4x + 2x + 1 = 8 7. 22x – 1 – 2x = 1 8. 3x + 2 – 32x = 18 9. 10. 11.(x2 – x – 2)x + 3 = (x2 – x – 2) 12. 13. 14.
4.3 Fungsi Eksponen dan grafiknya
Fungsi eksponen adalah fungsi yang domainnya terdapat pada eksponen bilangan berpangkat.
Bentuk umumnya : y = af(x), syarat: a > 0, a ≠ 1 dan f(x) bulat rasional. 1 34x212x7 1 10) 8x + (x2 x24x +3 01 , 0 10 3 x1 30 5 5x23x +2 x23x1 1 2 2 2 + x 2 ) 1 ( 1) (x x x 5 1 2 ) 2 1 ( x2 x 3 2 2 9 1 ) 3 3 ( x 3 3 1 1 2 16 1 ) 4 1 ( x x
54
3
3
2
2x11
x150
5
5
x2 x
x2x1
x x x x x x2 3 5)x2 3 x (5 2 5 )23 (2 5 6 7 x 4 x2 2 ) 1 ( ) 1 (x x x x 1 ` 2 2 x 4 x 2 2 2)
6
(
)
6
(
x
x
x
x
xxContoh:
1.Gambarlah grafik fungsi y = 2x
A B C D E x - -1 0 1 2 3 + y 0 1/2 1 2 4 8 + 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X Catatan:
a) Grafik fungsi y = 2f(x) dimana f(x) merupakan fungsi linear, kurvanya tidak mempunyai asimtot tegak, asimtot datarnya y = 0
b) Untuk selanjutnya dalam melukis grafik fungsi model ini cukup dengan menentukan dulu asimtotnya kemudian tiga titik disebelah atas asimtot.
2.Gambarlah grafik fungsi Solusi :
a) Harga minimum dari x2 – 2x + 2 dicapai untuk x = -b/2a = 1 b) Titik – titik pada grafik
A B C D E
x - -1 0 1 2 3 +
y + 32 4 2 4 32 +
c) Asimtot tegak tidak ada dan asimtot datarnya juga tidak ada
2 2 2
2
x xy
d) Grafiknya sbb: 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 Soal Latihan
Gambarlah grafik fungsi berikut ini:
1. y = 3x
2.
y = 3-2x3.
y = (1/2)
x + 1 4. 2 2 2 ) 2 1 ( x x yBAB 5
PERSAMAAN LOGARITMA, FUNGSI LOGARITMA DAN
GRAFIKNYA
5.1 LOGARITMA
Invers dari fungsi perpangkatan disebut logaritma, secara umum jika basisnya a maka
alog y = x ekuivalen dengan ax = y untuk a > 0, a ≠ 1dan y > 0. Untuk logaritma yang berbasis 10 cukup ditulis log y = x.
Berikut ini sifat – sifat logaritma:
1. alog 1 = 0 7. alog y = alog z y = z
2. alog a = 1 8. alog (xy) = alog x + alog y
3. alog ax = x 9. alog x/y = alog x - alog y
4. 10. alog xn = n alog x 5. alog x = 11. alog x. xlog y = alog y
6. 12. Contoh 1. Hitunglah : a) 2log 32 = …… e) log(- 10) = …….. b) 3log 27 = …… f) 2log 1/16 = ……. c) 7log 1/7 = …… g) 1/2log 64 = ……. d) log 0,00001 = …… h) 1/27log 1/81 = ……..
2. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut:
a) 2log 15 + 2log 14 – 2log 105 d) 3 3log 2 + 2 3log 3 – 3log 24 b) 6log 9 + 6log 8 – 6log (½)-1 e) 9log 4 + 9log 1 – 9log 36
c) ½log 3 x 9log 8 f)
3. Diketahui alog b = p, alog c = q, dan alog d = r. Nyatakan dalam p, q, dan r tiap bentuk berikut:
a) alog (bcd) b) alog (b/c) c) alog b2 x alog c3 x alog d4
4. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakanlah logaritma berikut dalam bentuk a dan b
a) 2log 5 b) 6log 15 c) 9log 75
5. Diketahui log x = p dan log y = q. Nyatakanlah log dalam bentuk p dan q
y aalogy a x p p log log x m n xn a am log . log m n an am log 6 log 4 log 2 1 3
16
9
y x33 1 4 log 2 log 2 x x 5.2 Persamaan Logaritma
Persaman logaritma ialah persamaan yang mengandung variable pada numerus dan atau pada bilangan pokoknya. Suatu bentuk aljabar E(x) = F(x) atau E(x) = C dimana E(x) dan F(x) fungsi logaritma dan C suatu konstanta dinamakan bentuk – bentuk logaritma. Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, diantaranya sbb:
1) alog f(x) = p f(x) = ap, a > 0; a ≠ 1 dan f(x) >0
2) alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x), a > 0; a ≠ 1 dan f(x), g(x) >0 3) h(x)log f(x) = h(x)log g(x) h(x) > 0, h(x) ≠ 1 dan f(x), g(x) >0 4) Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat. Contoh soal latihan
Selesaikan persamaan logaritma berikut ini: a) Log (x + 2) – log x = log 12 b) Log (3x + 2) = log (x – 4) + 1
c) 3log x + 3log (2x – 1) = 0
d) x+6log – 1x + xlog (x – 1) = 2 + 2log – 1x Soal - soal Latihan
Tentukan himpunan penyelesaian dari persaman logaritma berikut ini: 1. x – 1log 25 = 2
2. log log (x – 2) + log 2 = log log (x2 – 2x) 3. xlog (5x3 – 4x) = xlog x5
4. 2log 2log x = 2log (3 – 2log x) + 1 5.
6.
7. 5log x + 2log x = xlog 3 8. 7log (log x5 + 15) = 9. 10. 2x – 1log 3 – 4.3log (2x – 1) + 3 = 0 11. xlog 0,01 + 10xlog 0,01 = 3 12. x2+logx = 1.000 13. x2.log x – 11xlog x + 10 = 0 14. 6log (6x – 30) = 3 – x 15.xlogx – 10x–log x – 9 = 0 7 ) log log( 7 7 x ) 10 log(log 3 7 x
0
8
2
log log . 22 x
2 x
x
x
5.3 Fungsi Logaritma dan grafiknya
Fungsi logaritma ialah fungsi yang domainnya terletak pada numerous suatu logaritma, bentuknya seperti y = alog f(x), a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0
Mengingat fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen, maka grafiknya saling simetris.
Contoh :
Buatlah grafik fungsi y = alog x dan x = ay dengan a > 1 dan 0 < a < 1 y = ax y = x y = ax y = x x= alog y a > 1 0 < a < 1 x = alog y
Dari gambar di atas dapat kita simpulkan sbb:
1. Grafik selalu melalui titik (0, 1) untuk setiap a > 1 dan 0 < a < 1 ; a ≠ 1 2. Garis x = 0 (sumbu Y) sebagai asimtot tegak
(bila y → ~ atau y → - ~ maka x → 0)
3. Grafik berada di sebelah kanan sumbu Y, dengan kata lain daerah asal (domain) dari fungsi adalah Df = {x | x > 0}
BAB 6
PERSAMAAN PECAH, FUNGSI PECAH DAN GRAFIKNYA
6.1 Persamaan Pecah
Persamaan pecah adalah persamaan yang ruas kiri dan atau ruas kanannya terdiri dari pecahan yang penyebutnya mengandung variable.
Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
2. Tentukan himpunan penyelesian dari persamaan
3 9 3 6 2 x x x x 5 4 24 20 7 8 30 32 9 8 43 40 3 4 13 16 x x x x x x x x
