A. Pengertian
Suatu himpunan persamaan dimana variabel dependen dalam satu atau lebih persamaan juga merupakan variabel independen dalam beberapa persamaan yang lain.
Suatu model yang mempunyai hubungan sebab akibat antara variabel dependen dan variabel independennya, sehingga suatu variabel dapat dinyatakan sebagai variabel dependen maupun independen dalam persamaan yang lain.
Misalnya:
1. X = f (Y) tetapi Y = f (X) Qt = f (P) tetapi P = f (Qt) 2. Jumlah uang beredar M = a0 + b1 Y1 + u1
Y1 = b0 + b1M1 + b2I2 + u1
3. Fungsi demand : Q = b0 + b1P1 + b2P2+ b3Y1+ u1
Fungsi produksi : P = b0 + b1Q1 + b2W2 + v1
Variabel dalam persamaan simultan:
• Variabel endogen/ endogenous variable : variabel dependen pada persamaan simultan (jumlahnya sama dengan jumlah persamaan dalam model simultan).
• Variabel yang sudah diketahui nilainya/ predetermined variable : variabel ini diperlakukan sebagai variabel yang nir stokastik yang nilai-nilainya sudah tertentu atau sudah ditentukan.
Predetermined variable dibedakan menjadi dua, yaitu:
- Variabel eksogen : - Variabel eksogen sekarang Xt , Pt
- Variabel eksogen waktu lampau Xt-1, Pt-1
- Variabel endogen waktu lampau (lagged endogenous variabel)
Yt-1, Qt-1
Dapatkah OLS digunakan untuk menaksir koefisien dalam persamaan simultan?
Tidak dapat, jika OLS tersebut digunakan untuk meregres masing-masing persamaan secara sendiri-sendiri. Karena asumsi dari OLS adalah nir-stokastik atau jika stokastik, dianggap tidak tergantung pada variabel residual yang stokastik. Jika hanya dilakukan regresi pada salah satu model regresi, maka persamaan tunggal tersebut tidak dapat diperlakukan sebagai sebuah model yang lengkap.
Dapat diterapkan, jika model persamaan tersebut sudah diubah dalam bentuk reduce form, yaitu dengan memasukkan salah satu persamaan pada persamaan yang lain.
B. Masalah Identifikasi dalam Persamaan Simultan
Masalah identifikasi sering dijumpai pada model ekonometri yang lebih dari satu persamaan. Untuk memecahkan masalah ini harus dilakukan pengujian atau persyaratan agar diketahui koefisien persamaan mana yang ditaksir. Persyaratan ini disebut Kondisi Identifikasi (condition og identification).
Ada dua macam dalil pengujian identifikasi, yaitu Order condition dan Rank condition. Notasi yang dipergunakan adalah:
M = jumlah variabel endogen dalam model m = jumlah variabel endogen dalam persamaan K = Jumlah variabel predetermined dalam model k = Jumlah variabel predetermined dalam persamaan
1. Order Conditions
Syarat identifikasi suatu persamaan struktural:
Pada persamaan simultan sejumlah M persamaan (yang tidak mempunyai predetermined variable)
M - 1 ≥ 1
Jika M-1 = 1, maka persamaan tersebut identified.
Jika M-1 > 1, maka persamaan tersebut overidentified.
Jika M-1 < 1, maka persamaan tersebut unidentified.
Contoh: Fungsi Demand Qt = α0 + α1Pt + u1t
Fungsi Supply Qt = β0 + β1Pt + u2t
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen tanpa predetermined variable, agar identified maka M-1 = 1, jika tidak maka tidak identified.
Pada kasus ini (M = 2) dan 2 – 1 = 1 ⇒ identified
Pada persamaan yang memiliki predermined variable berlaku aturan:
K – k ≥ m –1
Jika K – k = m –1, maka persamaan tersebut identified . Jika K – k > m –1, maka persamaan tersebut overidentified .
Jika K – k < m –1, maka persamaan tersebut unidentified .
Contoh: Fungsi Demand Qt = α0 + α1Pt + α2 It + u
1t-………(1)
Fungsi Supply Qt = β0 + β1Pt + u2t………
……… (2)
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen dan It adalah predetermined variable.
Persamaan (1) : K – k < m – 1 atau 1 – 1 < 2 – 1 ⇒ Unidentified
Persamaan (2) : M – 1 = 1 atau 2 – 1 = 1 ⇒ Indentified
Catatan
Persamaan yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan simultan adalah persamaan yang identified dan over identified.
2. Rank Conditions.
Suatu persamaan yang mempunyai M persamaan dikatakan identified, sekurang-kurangnya mempunyai satu determinan berdimensi (M-1) yang tidak sama dengan nol.
Kesimpulan :
Jika K – k = m –1, dan rank dari matriks A adalah (M-1), maka persamaan tersebut exactly identified .
Jika K – k > m –1, dan rank dari matriks A adalah (M-1), maka persamaan tersebut overidentified .
Jika K – k ≥ m –1, dan rank dari matriks A adalah kurang dari (M-1), maka persamaan tersebut underidentified .
Jika K – k < m –1, dan rank dari matriks A adalah kurang dari (M-1), maka persamaan tersebut unidentified.
C. Metode Persamaan Simultan
Indirect Least Squares (ILS)
Metode ILS dilakukan dengan cara menerapkan metode OLS pada persamaan reduced form.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan prosedur ILS:
1. Persamaan strukturalnya harus exactly identified.
2. Variabel residual dari persamaan reduced form-nya harus memenuhi semua asumsi stokastik dari teknik OLS. Jika asumsi ini tidak terpenuhi, maka akan menyebabkan bias pada penaksiran koefisiennya.
Contoh:
Diketahui suatu model persamaan simultan adalah sebagai berikut : Qd= α0 + α1 P+ α2 X + v
Qs= β0 + β1 P + β2 Pl + u Dimana:
Qd = Jumlah barang yang diminta Qs = Jumlah barang yang ditawarkan P = harga barang
X = Income Pl = harga Input
Persamaan reduce form-nya adalah sebagai berikut : P= Π0 + Π1 X + Π 2 Pl +Ω1
Q= Π 3 + Π 4 X + Π 5 Pl +Φ2
Persamaan Reduce Form dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:
Selesaikan persamaan Qd = Qs
α0 + α1 P+ α2 X + v = β0 + β1 P + β2 Pl + u
α1 P - β1 P = β0 - α0 - α2 X + β2 Pl + u - v
Kemudian substitusikan persamaan P diatas dengan salah satu persamaan Q, misalnya dengan Qd
Qd = α0 + α1 P+ α2 X + v
Lalu samakan semua penyebutnya dengan α −1 β1
Qd = +
Dari persamaan reduce form-nya diperoleh 6 koefisien reduksi yaitu: Π0
Π1 Π2 Π3 Π4 dan Π5 yang akan digunakan untuk menaksir 6 koefisien structural yaituα0, α1, α2, β0, β1 dan β2
Langkah-langkah ILS:
1. Regres persamaan reduced form dengan metode OLS, yaitu : P= Π0 + Π1 X + Π 2 Pl +Ω1
Q= Π 3 + Π 4 X + Π 5 Pl +Φ2
2. Ambil nilai koefisien dari hasil regresi tersebut, kemudian
masukkan pada koefisien reduced form untuk menaksir koefisien struktural.
Hasil Regresi OLS persamaan reduced form Dependent Variable: P
Included observations: 22
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X 0.017971 0.004477 4.014026 0.0007 PL -1.190681 0.384484 -3.096827 0.0059 C 94.08825 10.42454 9.025651 0.0000 R-squared 0.663099 Mean dependent var 109.0909 Adjusted
R-squared 0.627636 S.D. dependent var 24.97410 Log likelihood -89.52976 F-statistic 18.69819 Durbin-Watson
stat 0.847730 Prob(F-statistic) 0.000032 Dependent Variable: Q
Method: Least Squares
Date: 03/18/02 Time: 16:23 Sample: 1970 1991
Included observations: 22
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X 0.009026 0.002417 3.735081 0.0014 PL -0.615342 0.207526 -2.965133 0.0080 C 95.32565 5.626663 16.94177 0.0000 R-squared 0.601576 Mean dependent var 100.8636 Adjusted
R-squared 0.559637 S.D. dependent var 12.39545 Log likelihood -75.96355 F-statistic 14.34395
Durbin-Watson
stat 2.276325 Prob(F-statistic) 0.000160
Two Stage Least Squares (TSLS)
Metode TSLS sering digunakan dengan alasan:
1. Untuk persamaan yang overidentified, penerapan TSLS menghasilkan taksiran tunggal (sedangkan ILS menghasilkan taksiran ganda).
2. Metode ini dapat diterapkan pada kasus exactly identified. Pada kasus ini taksiran TSLS = ILS.
3. Dengan TSLS tidak ada kesulitan untuk menaksir standar error, karena koefisien struktural ditaksir secara langsung dari regresi OLS pada langkah kedua (sedangkan pada ILS mengalami kesulitan dalam menaksir standar error).
CONTOH METODE 1 UNTUK TSLS:
Persamaan simultan adalah sebagai berikut : Qd= a11 + a12 P+ a13 X + v
Qs= b11+ b12 P + b12 Pl + u
Langkah-langkah TSLS: (untuk persamaan 1) 1. Regres P = a11 + a12 Pl+ a13 X + v
2. Buatlah nilai Fitted dan Residual dari regresi tersebut (PF dan RES1).
3. Regres Variabel Q dengan PF dan RES1.
Q = b11 + b12 PF+ b13 RES1 + b14 X + v
Gambar 4.1
Hasil regresi P = a11 + a12 Pl+ a13 X + v
Dependent Variable: P Method: Least Squares
Date: 03/18/02 Time: 22:56 Sample: 1970 1991
Included observations: 22
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
PL -1.190681 0.38448
4 -3.096827 0.0059 X 0.017971 0.00447
7 4.014026 0.0007 C 94.08825 10.4245
4 9.025651 0.0000 R-squared 0.663099 Mean dependent
var 109.090
9 Adjusted
R-squared 0.627636 S.D. dependent var 24.9741 0 S.E. of regression 15.23961 Akaike info
criterion 8.41179
7 Sum squared
resid 4412.668 Schwarz criterion 8.56057 5
Log likelihood -89.52976 F-statistic 18.6981 9 Durbin-Watson
stat 0.847730 Prob(F-statistic) 0.00003 2
Membuat fitted dari regresi P = a11 + a12 Pl+ a13 X + v
Gambar 4.2
Gambar 4.3.
Membuat residual dari regresi P = a11 + a12 Pl+ a13 X + v
Gambar 4.4.
Gambar 4.5.
Hasil regresi Q=b0 + b1 PF + b2 RES1 + b3X + e
Dependent Variable: Q Method: Least Squares
Date: 03/18/02 Time: 22:51 Sample: 1970 1991
Included observations: 22 Variable Coefficien
t Std. Error t-Statistic Prob.
PF 0.516798 0.178522 2.894866 0.0097 RES1 0.042096 0.126833 0.331900 0.7438 X -0.000262 0.000899 -0.290921 0.7744 C 46.70099 13.59172 3.435989 0.0029 R-squared 0.603999 Mean dependent var 100.8636 Adjusted
R-squared 0.537999 S.D. dependent var 12.39545 S.E. of
regression 8.425265 Akaike info criterion 7.263313 Sum squared
resid 1277.732 Schwarz criterion 7.461684 Log likelihood -75.89644 F-statistic 9.151495 Durbin-Watson
stat 2.301464 Prob(F-statistic) 0.000677 Lakukan langkah yang sama pada persamaan yang lain!
Langkah-langkah TSLS: (untuk persamaan 2) 1. Regres Q = a11 + a12 Pl+ a13 X + v
2. Buatlah nilai Fitted dan Residual dari regresi tersebut (QF dan RES2).
3. Regres Variabel P dengan QF dan RES2.
P = b11 + b12 QF+ b13 RES2 + b14 X + v Metode 2 TSLS:
Buka Workfile, pilih variabel yang dikehendaki akan diregresi , kemudian Klik estimation
Setelah muncul Equation Specification, pilih method TSLS Tuliskan instrument variable , Klik OK
Buatlah regresi P = a11 + a12 Q+ a13 Pl + v
Gambar 4.6
Hasil Regresi dengan Two Stage Least Squares (TSLS).
Dependent Variable: P
Method: Two-Stage Least Squares
Date: 03/18/02 Time: 16:40 Sample: 1970 1991
Included observations: 22 Instrument list: PL X
Variable Coefficien
t Std. Error t-Statistic Prob.
PL 0.034507 0.142983 0.241336 0.8119 Q 1.991068 0.699260 2.847392 0.0103 C -95.71162 60.00985 -1.594932 0.1272 R-squared 0.330473 Mean dependent var 109.0909 Adjusted
R-squared 0.259996 S.D. dependent var 24.97410 S.E. of
regression 21.48358 Sum squared resid 8769.343 F-statistic 9.408793 Durbin-Watson stat 1.790965 Prob(F-statistic) 0.001446
Dependent Variable: Q
Method: Two-Stage Least Squares Date: 03/18/02 Time: 16:42 Sample: 1970 1991
Included observations: 22 Instrument list: X PL
Variable Coefficie
nt Std. Error t-Statistic Prob.
P 0.51679
8 0.231710 2.23036
4 0.0380
X -0.00026
2 0.001167 -0.22414
1 0.8250
System Method / Full Information Method
Dalam metode ini, seluruh persamaan dalam model diperhitungkan bersama-sama dan ditaksir secara simultan dengan memperhatikan seluruh batasan yang ada dalam sistem persamaan dalam model.
Contoh Metode System dengan menggunakan Eviews:
Klik Object, kemudian pilih New object
Gambar 4.7
Pilih System kemudian klik OK
Gambar 4.8
Tuliskan INST diikuti variabel instrumen-nya atau predetermined variabel
Inst x Pl
P= C(1)+ C(2)*Q+ C(3)*PL Q= C(4)+ C(5)*P+ C(6)*X
Gambar 4.9.
Klik, Procs kemudian klik estimate. Pilih Two Stage Least Squares (TSLS) dan Simultaneous, kemudian klik OK.
Gambar 4.10.
Hasil regresi persamaan simultan dengan menggunakan System.
System: UNTITLED
Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 03/18/02 Time: 15:52
Sample: 1970 1991 Instruments: PL X C
Coefficien
t Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) -95.71162 60.0098
5 -1.594932 0.1190 C(2) 1.991068 0.69926
0 2.847392 0.0071 C(3) 0.034507 0.14298
3 0.241336 0.8106 C(4) 46.70099 17.6411
5 2.647275 0.0117 C(5) 0.516798 0.23171
0 2.230364 0.0317 C(6) -0.000262 0.00116
7 -0.224141 0.8238 Determinant residual
covariance 9.78409
7 Equation: P=C(1)+C(2)*Q+C(3)*PL Observations: 22
---
---R-squared 0.33047
3 Mean dependent
var 109.0909
Adjusted R-squared 0.25999
6 S.D. dependent var 24.97410 S.E. of regression 21.4835
8 Sum squared resid 8769.343 Durbin-Watson stat 1.79096
5 Equation: Q=C(4)+C(5)*P+C(6)*X Observations: 22
---
---R-squared 0.295822 Mean dependent
var 100.8636
Adjusted
R-squared 0.221698 S.D. dependent var 12.39545 S.E. of regression 10.93544 Sum squared resid 2272.093 Durbin-Watson
stat 1.769227
Berikut adalah data yang digunakan dalam bagian simultan ini: