LB=36 calon solusi
B. Pola Awal dan Kombinasi Pola yang paling layak dalam Pemotongan Balok Kayu
Seperti yang telah diuraikan, penggunaan pola pemotongan ini bertujuan untuk meminimumkan sisa pemotongan dengan cara mengkombinasikan pola-pola pemotongan. Selain itu perlu diperhatikan juga adanya produksi surplus, yaitu hasil produksi melebihi pesanan yang dihasilkan dari kombinasi pola pemotongan.
Sebagai gambaran untuk menjelaskan persoalan tersebut, diilustrasikan seperti pada Gambar 3.1 berikut:
Pola 1
a meter a meter b meter b meter Pola 2
a meter a meter c meter s1 meter Pola 3
a meter b meter c meter s2 meter
64
Gambar 3.1 tersebut menunjukkan tiga macam pola pemotongan yang mungkin dilakukan pada suatu pesanan. Panjang balok kayu yang akan dipotong adalah sepanjang L meter dan dipotong menurut panjang pesanan a, b dan c meter, dengan a < b < c dan syarat sisa pemotongan s1, s2 a meter, a meter adalah panjang minimum pesanan dan s 1 adalah sisa pemotongan Pola 2 sedangkan s 2
adalah sisa pemotongan Pola 3.
Meskipun terdapat pola pemotongan yang lain, sebagai pengantar diilustrasikan pada Gambar 3.1, yaitu untuk Pola 1, 2 dan 3.
Contoh 3.1
Suatu perusahaan kayu memperoleh pesanan balok kayu dengan panjang a meter sebanyak A batang, panjang b meter sebanyak B batang dan panjang c meter sebanyak C batang.
Untuk memenuhi pesanan dengan panjang a, b dan c meter, ketiga pola dapat dikombinasikan dengan memotong balok kayu panjang L meter sebanyak
positif. bulat bilangan ; ..., , 2 , 1 , batang i i i m w
w Berikut ini adalah contoh
kombinasi yang dapat digunakan:
1. Memotong balok kayu dengan panjang L meter sebanyak w 1 batang menggunakan Pola 1 dan w batang menggunakan Pola 2. 2
2. Memotong balok kayu dengan panjang L meter sebanyak w batang 3
menggunakan Pola 1 dan w 4 batang menggunakan Pola 3.
3. Memotong balok kayu dengan panjang L meter sebanyak w batang 5
65
Dari ketiga kombinasi pola di atas, kombinasi mana yang lebih baik?
Pertanyaan tersebut dapat dijawab dengan mempertimbangkan sisa pemotongan. Pada Gambar 3.1, bagian diarsir menunjukkan batang surplus yang tidak cukup panjang untuk memenuhi pesanan. Sisa pemotongan yang dihasilkan dari ketiga kombinasi itu adalah :
Kombinasi I : w2 s1meter xmeter. Kombinasi II : w4 s2 meter ymeter.
Kombinasi III : (w5 s2 meter) (w6 s1meter) z meter. positif real bilangan , ,y z x .
Selanjutnya setiap produksi surplus dengan panjang a, b dan c meter harus dipertimbangkan dalam perhitungan sebagai sisa pemotongan.
Pada Kombinasi I, Pola 1 menghasilkan f 1 batang panjang a meter dan f 2
batang panjang b meter, dengan jumlah batang f1 f2 karena pemotongan dengan Pola 1 menghasilkan 2 batang panjang a meter dan 2 batang panjang b meter. Sehingga f 1 f2 2 w1dan f1, f2 bilangan realpositif. Untuk Pola 2 menghasilkan g 1 batang panjang a meter dan g 2 batang panjang b meter, dengan jumlah batang g1 2 w2 dan jumlah batang g2 1 w2 karena pemotongan balok menggunakan Pola 2 menghasilkan 2 batang panjang a meter dan 1 batang panjang c meter dan g1,g2 bilangan bulat positif .
Pada Kombinasi II, Pola 1 menghasilkan h 1 batang panjang a meter dan
2
h batang panjang b meter, dengan jumlah batang h1 h2 karena pemotongan dengan Pola 1 menghasilkan 2 batang panjang a meter dan 2 batang panjang b
66
meter. Sehingga h 1 h2 2 w3;h1,h2 bilangan realpositif. Sementara Pola 3 menghasilkan i batang panjang a meter, 1 i batang panjang b meter dan 2 i batang 3
panjang c meter, dengan jumlah batang i1 i2 i3 karena pemotongan dengan Pola 3 menghasilkan 1 batang panjang a meter, 1 batang b meter dan 1 batang panjang c meter. Sehingga (i1,i2,i3) w4 (1 batang a meter, 1 batang b meter, 1 batang c meter) dan i 1,i2,i3 bilangan bulat positif.
Pada Kombinasi III, Pola 3 menghasilkan j 1 batang panjang a meter, j 2
batang panjang b meter dan j batang panjang c meter, dengan jumlah batang 3
3 2
1 j j
j karena pemotongan dengan Pola 3 menghasilkan 1 batang panjang a meter, 1 batang b meter dan 1 batang panjang c meter. Sehingga (j1, j2, j3) w5
(1 batang a meter, 1 batang b meter, 1 batang c meter) dan positif real bilangan , , 2 3 1 j j
j . Sementara Pola 2 menghasilkan k 1 batang
panjang a meter dan k 2 batang panjang c meter, dengan jumlah batang k1 2 w6 dan jumlah batang k2 1 w6
karena pemotongan balok menggunakan Pola 2 menghasilkan 2 batang panjang a meter dan 1 batang panjang c meter dan
positif. bulat bilangan , 2 1 k k
Hasil-hasil dari Kombinasi I, Kombinasi II dan Kombinasi III disajikan dalam Tabel 3.1 sebagai berikut:
67
Tabel 3.1 Hasil pesanan Kombinasi I, II dan III
Pola (j)
Jumlah panjang pesanan yang dihasilkan (batang) Jumlah yang dipesan (batang) Kombinasi I Kombinasi II Kombinasi III
a (m) b (m) c (m) a (m) b (m) c (m) a (m) b (m) c (m) a (m) b (m) c (m) 1 f 1 f 2 - h 1 h 2 - - - - A B C 2 g 1 - g 2 - - - k 1 k 2 3 - - - i 1 i 2 i 3 j 1 j 2 j 3
Selanjutnya bagaimana produksi surplus diperoleh, hal ini diperhatikan pada masing-masing kombinasi.
Kombinasi I, produksi surplus panjang a meter diperoleh jika (f 1 g1) A.
Kombinasi II, produksi surplus panjang a meter diperoleh jika (h1 i1) A; produksi surplus panjang b meter diperoleh jika (h 2 i2) B.
Kombinasi III, produksi surplus panjang a meter diperoleh jika (k1 j1) A; produksi surplus panjang c meter diperoleh jika (k 2 j3) C
Agar diketahui kombinasi mana yang paling baik digunakan, yang harus dilakukan yaitu membandingkan perhitungan yang didapat pada Kombinasi I, Kombinasi II dan Kombinasi III. Perhitungannya:
Kombinasi I : total sisa pemotongan x meter + produksi surplus Kombinasi I.
Kombinasi II : total sisa pemotongan y meter + produksi surplus Kombinasi II.
68
Dari hasil perhitungan, dapat diketahui kombinasi mana yang paling baik digunakan, dengan melihat hasil sisa pemotongan yang lebih sedikit.
Untuk menentukan solusi optimal, pertama perlu untuk menentukan semua pola yang mungkin dan kemudian menentukan semua kombinasi pola yang layak. Meskipun menentukan semua pola yang mungkin tidak begitu sulit, namun menentukan semua kombinasi pola yang layak merupakan suatu pekerjaan yang berat. Apalagi jika telah melibatkan banyak variabel. Disinilah model program linear memainkan peranan dan teknik pendekatan yang sistematis diperlukan. Contoh 3.2
Suatu perusahaan kayu memperoleh pesanan balok kayu dari suatu UD dengan 3 ukuran. Pesanan pertama, panjang 1,5 meter sebanyak 25 batang, yang merupakan panjang minimum. Pesanan kedua, panjang b meter sebanyak 20 batang dan pesanan ketiga panjang c meter sebanyak 15 batang. Perusahaan tersebut harus memenuhi pesanan dengan memotong panjang balok kayu standar, yakni
meter 7
L dan menginginkan sisa pemotongan seminimum mungkin. Pesanan disajikan dalam Tabel 3.2 sebagai berikut:
Tabel 3.2 Jumlah Pesanan
Pesanan (i)
Panjang yang diinginkan (meter)
Jumlah yang dipesan (batang)
1 1,5 25
2 b 20
3 c 15
Berapa ukuran balok kayu yang dipesan oleh UD untuk pesanan pertama dan kedua, jika sisa pemotongan minimum adalah 0,5 meter?
69
Jika digunakan kombinasi pola pemotongan I, kombinasi pola pemotongan II dan kombinasi pola pemotongan III, manakah kombinasi yang lebih baik?
Penyelesaian
Untuk mendapatkan nilai dari b dan c pola-pola yang telah dipaparkan dapat dijadikan sebagai acuan.
Dari Pola 1, diperoleh nilai a dan b.
Nilai a 1,5 meter merupakan panjang awal yang diketahui.
Pola 1, membagi balok kayu panjang 7 meter dengan 2a dan 2b, maka:
meter 3 meter 5 , 1 2 2a
b merupakan panjang yang diinginkan, berdasarkan Pola 1, maka:
panjang yang diinginkan balok kayu panjang 7 meter – 3 meter, sehingga:
meter 2 meter 4 2 meter 3 meter 7 2 b b b
Jadi panjang b 2meter .
Pada Pola 1 tidak diperoleh sisa pemotongan, karena 2a + 2b 0 meter.
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai c, akan lebih mudah jika menggunakan Pola 3, karena balok kayu panjang 7 meter dipotong dengan panjang a, b dan c serta sisa, maka:
(panjang pesanan 1 + panjang pesanan 2 + panjang pesanan 3) balok kayu panjang 7 meter – sisa minimum pemotongan, dengan sisa minimum pemotongannya pada soal adalah 0,5 meter, sehingga:
70 meter 3 meter 5 , 3 meter 5 , 6 meter ,5 6 ) 3,5 ( meter 6,5 ) 2 (1,5 meter 5 , 0 meter 7 ) ( c c c c c b a
Jadi panjang c 3meter, dengan panjang sisa pada Pola 3 adalah 0,5 meter. Nilai a, b dan c telah diketahui, pada Pola 2, akan diperoleh sisa (s) yang nilainya harus lebih kecil dari panjang minimum pesanan (s < 1,5 meter), yaitu:
meter. 1 meter 7 6 meter 7 ) 3 3 ( meter 7 kayu balok panjang ) 2 ( s s s s c a
Jadi panjang sisa pada Pola 2 1 meter (memenuhi 1 < 1,5).
Karena panjang pesanan kedua dan ketiga telah diketahui, maka jika digunakan kombinasi pola pemotongan dari Kombinasi I dan Kombinasi II, berikut ini contoh kombinasi yang layak digunakan:
1. Memotong balok kayu dengan panjang 7 meter sebanyak 10 batang menggunakan Pola 1 dan 15 batang menggunakan Pola 2.
2. Memotong balok kayu dengan panjang 7 meter sebanyak 5 batang menggunakan Pola 1 dan 15 batang menggunakan Pola 3.
3. Memotong balok kayu dengan panjang 7 meter sebanyak 20 batang menggunakan Pola 3 dan 3 batang menggunakan Pola 2.
Dari ketiga pola di atas, kombinasi mana yang lebih baik?
Pertanyaan tersebut dapat dijawab dengan mempertimbangkan sisa pemotongan. Sebagai berikut:
71
Pada Gambar 3.1, bagian diarsir menunjukkan batang surplus yang tidak cukup panjang untuk memenuhi pesanan. Sisa pemotongan yang dihasilkan dari kedua kombinasi itu adalah :
Kombinasi I : 15 1meter 15 meter. Kombinasi II : 15 0,5meter 7,5meter.
Kombinasi III : (20 0,5meter ) (3 1meter ) 13meter.
Selanjutnya setiap produksi surplus dengan panjang 1,5, 2 dan 3 meter harus dipertimbangkan dalam perhitungan sebagai sisa pemotongan. Pada Kombinasi I, Pola 1 menghasilkan 20 batang panjang 1,5 meter dan 10 batang panjang 2 meter. Untuk Pola 2 menghasilkan 30 batang panjang 1,5 meter dan 15 batang panjang 3 meter. Produksi surplus yang dihasilkan dari kombinasi 1 sebanyak 25 batang dengan panjang 1,5 meter. Karena produksi surplus diperhitungkan sebagai sisa pemotongan, sehingga total panjang produksi surplus adalah: 25 1,5 30 meter.
Pada Kombinasi II, Pola 1 menghasilkan 10 batang panjang 1,5 meter dan 10 batang panjang 2 meter. Sementara Pola 3 menghasilkan 15 batang panjang 1,5 meter, 15 batang panjang 2 meter dan 15 batang panjang 3 meter. Jadi, pada Kombinasi II terdapat produksi surplus untuk panjang 2 meter sebanyak 5 batang, sehingga produksi surplus: 5 2 10 meter.
Pada Kombinasi III, Pola 3 menghasilkan 20 batang panjang 1,5 meter, 20 batang panjang 2 meter dan 20 batang panjang 3 meter, sementara Pola 2 menghasilkan 6 batang panjang 1,5 meter dan 3 batang panjang 3 meter. Jadi pada Kombinasi II
72
terjadi produksi surplus untuk panjang 1,5 meter sebanyak 1 batang dan panjang 3 meter sebanyak 8 batang, sehingga produksi surplus: 8 3meter 24meter .
Jadi, total sisa pemotongan adalah:
Kombinasi I : 15 meter 30 meter 45 meter. Kombinasi II : 7,5meter 10meter 17,5meter .
Kombinasi III : 13meter 1,5meter 24meter 38,5meter .
Jadi Kombinasi II adalah kombinasi yang paling lebih baik karena menghasilkan sisa pemotongan paling sedikit (minimum) yaitu sebesar 17,5 meter.
Contoh 3.2 merupakan contoh kasus persoalan pemotongan kayu menggunakan 3 pola pemotongan dan kombinasi dari ketiga pola. Bagaimana jika suatu perusahaan kayu mendapatkan m pesanan dengan panjang yang bervariasi, juga banyaknya n pola pemotongan yang berukuran besar. Disinilah model program linear memainkan peranan dan teknik pendekatan yang sistematis diperlukan.
C. Implementasi Teknik Pembangkit Kolom dalam Optimasi Pemotongan