Program Linier Fuzzy Penuh

�=1

(�= 1, 2, … ,�) ��_� ≥_ℜ0� (�= 1, 2, … ,�)

di mana koefisien fungsi tujuan (��^{) dan koefisien fungsi kendala (}���^{) adalah} koefisien crisp dan ��_� adalah konstanta fuzzyserta ��_� adalah variabel keputusan fuzzy.

2.7 Program Linier Fuzzy Penuh

Program Linier Fuzzy adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana semua parameter yaitu koefisien, variabel maupun konstanta dalam model berupa bilangan fuzzy.

Bentuk umum program linier fuzzy penuh dengan � buah kendala pertidaksamaan fuzzy dan � buah variabel fuzzy:

Maksimumkan atau Minimumkan �=� �̃_���_� � �=1 Kendala � ��_����_� ≤_ℜ��_� � �=1 (�= 1, 2, … ,�) ��_� ≥_ℜ 0� (� = 1, 2, … ,�)

dengan��_��,�̃_�,��_�,��_�adalah bagian dari himpunan semua bilangan fuzzy yang terdefinisi dalam himpunan bilangan rill.

BAB 3 ANALISIS

Ambil sebuah permasalahan program linier fuzzy penuh sebagai berikut:

Maksimumkan atau Minimumkan �̃=� �̃_���_� � �=1 Kendala � ������� ≤ℜ��� � �=1 (�= 1, 2, … ,�) ��_� ≥_ℜ 0� (� = 1, 2, … ,�)

Dengan ��_��,�̃_�,��_�,��_� adalah bagian dari himpunan semua bilangan fuzzy secara berurut (�_��,�_��,�_��,ℎ_��),��_�,�_�,�_�,�_��,��_�,�_�,�_�,�_��, (�_�,�_�,�_�,�_�)yang terdefinisi dalam himpunan bilangan rill.

Maka permasalahan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: Maks (Min)��1,�2,�3,�4� =�(�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( � �=1 �_�,�_�,�_�,�_�) Kendala�����,���^,���^,ℎ���⨂���^,��^,��^,��� ≤ℜ���^,��^,��^,���; � = 1,2, … ,� � �=1 ��_�,�_�,�_�,�_�� ≥_ℜ 0� ; �= 1,2, … ,�

Artinya ���^,��^,��^,��� merupakan bilangan fuzzy dari variabel keputusan ���^yang nilainya haruslah besar sama dengan nol (non-negative) yang terdefinisi dalam bilangan rill.

Karena ��_�,�_�,�_�,�_�� adalah bilangan trapezoidal fuzzy, maka �_� ≤ �_� ≤ �_� ≤ �_� ; � = 1,2, …�

Maks(Min) Maks(Min)

Maks(Min)

Maks(Min)

Tanda ⨁,⊝, ⊗, ≤ℜ^, ≥ℜ^{, =}ℜ ^{merupakan operator yang digunakan dalam} perhitungan fuzzy.Artinya oerator tesebut menandakan bahwa parameter yang terlibat dalam perhitung merupakan bilangan fuzzy yang terefinisi dalam himpunan bilangan rill.

Langkah-langkah dalam menerapkan metode Bound and Decomposition pada permasalahan program linier fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy adalah:

1. Uraikan permasalahan program linier fuzzy penuh ke dalam empat bentuk Crisp Linear Programming(CLP) yaitu Middle Level Problem I (MLP I),Middle Level Problem II (MLP II), Upper Level Problem (ULP),dan Lower Level Problem (LLP).

Gunakan operasi aritmatika bilanangan trapezoidal fuzzy untuk menguraikan model permasalahan program linier fuzzy penuh sebagai berikut:

�1 =�nilai bawah dari (��^,��^,��^,��⁾⨂( �

�=1

��^,��^,��^,��⁾

�2 = �nilai tengah I dari (�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

�_�,�_�,�_�,�_�)

�3 = �nilai tengah II dari (�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

�_�,�_�,�_�,�_�)

�4 = �nilai atas dari (�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

�_�,�_�,�_�,�_�) Kendala

�nilai bawah dari �

�=1

��_��,�_��,�_��,ℎ_���⨂��_�,�_�,�_�,�_�� ≤_ℜ �_� untuk �= 1,2, … ,�

�nilai tengah I dari �

�=1

Maks(Min)

Maks(Min)

untuk�= 1,2, … ,� �nilai tengah II dari

�

�=1

����,���^,���^,ℎ���⨂���^,��^,��^,��� ≤ℜ �� untuk �= 1,2, … ,�

�nilai atas dari �

�=1

��_��,�_��,�_��,ℎ_���⨂��_�,�_�,�_�,�_�� ≤_ℜ�_� untuk �= 1,2, … ,�

dan semua variabel keputusan adalah non-negative.

Dari hasil penguraianmodel permasalahan program linier fuzzy penuh tersebut, bentuklah permasalahan menjadi empat model Crisp Linier Programming (CLP) yang terdiri dari Middle Level Problem I (MLP I), Middle Level Problem II (MLP II), Upper Level Problem (ULP),dan Lower Level Problem (LLP)sebagai berikut:

(MLP I)

�2 =�nilai tengah I dari(�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

�_�,�_�,�_�,�_�) Kendala

�nilai tengah I dari � �=1 ��_��,�_��,�_��,ℎ_���⨂��_�,�_�,�_�,�_�� ≤_ℜ�_� untuk �= 1,2, … ,� ��_�,�_�,�_�,�_�� ≥_ℜ0� ; �= 1,2, … ,� (MLP II)

�3 =�nilai tengah II dari (�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

�_�,�_�,�_�,�_�) Kendala

�nilai tengah II dari �

�=1

����,���^,���^,ℎ���⨂���^,��^,��^,��� ≤ℜ�� untuk �= 1,2, … ,�

Maks(Min)

Maks(Min)

��_�,�_�,�_�,�_�� ≥_ℜ0� ; �= 1,2, … ,�

(ULP)

�4 =�nilai atas dari (��^,��^,��^,��⁾⨂( �

�=1

��^,��^,��^,��⁾ Kendala

�nilai atas dari � �=1 ����,���^,���^,ℎ���⨂���^,��^,��^,��� ≤ℜ�� untuk �= 1,2, … ,� ���^,��^,��^,��� ≥ℜ⁰� ; �= 1,2, … ,� (LLP)

�1 =�nilai bawah dari (�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

�_�,�_�,�_�,�_�) Kendala

�nilai bawah dari �

�=1

��_��,�_��,�_��,ℎ_���⨂��_�,�_�,�_�,�_�� ≤_ℜ �_� untuk �= 1,2, … ,�

���^,��^,��^,��� ≥ℜ⁰� ; �= 1,2, … ,�

2. Gunakan teknik penyelesaian pada program linier untuk mendapatkan penyelesaian optiml dari MLP I, MLP II, ULP, dan LLP

3. Penyelesaian optimal dari MLP I, MLP II, ULP, dan LLP merupakan penyelesaian optimal dari permasalahan program linier fuzzy penuh.

BAB 4 PEMBAHASAN

Diberikan sebuah permasalahan program linier fuzzy penuh tikutip dari tulisan A. Kumuar et all (2010) sebagai berikut:

Maksimumkan �̃=�(0,1,2,3)⊗ ��1⊕(2,3,4,5)⊗ ��2�

Kendala (1,2,3,4)⊗ ��1⊕(−3,2,5,10)⊗ ��2 ≤ℜ⁽−15,10,32,72) (−2,3,5,6)⊗ ��1⊕(4,5,7,11)⊗ ��2 ≥ℜ⁽−8,21,48,76) (0,1,2,3)⊗ ��1⊕(2,4,6,8)⊗ ��2 = (2,14,32,58) ��1,��2adalah bilangan non-negativetrapezoidal fuzzy.

Langkah pertama, uraikan bentuk permasalahan program linier fuzzy penuh dengan menerapkan aritmatika perhitungan bilangan trapezoidal fuzzy ke dalam bentuk permasalahan program linier.

Maksimumkan �̃=�(0,1,2,3)⊗(�1,�1,�1,�1)⊕(2,3,4,5)⊗(�2,�2,�2,�2)� =�^min(0�1, 0�1, 3�1, 3�1), min��1,�1,2�1,2�1�, max��1,�1,2�1,2�1�, max(0�1, 0�1, 3�1, 3�1)� ⨁ �^min(2�2, 2�2, 5�2, 5�2), min�3�2, 3�2,4�2,4�2�, max�3�2, 3�2,4�2,4�2�, max(2�2, 2�2, 5�2, 5�2)� = (0�1,�1, 2�1, 3�1)⊕(2�2, 3�2, 4�2, 5�2) =�(0�1+ 2�2), (�1 + 3�2), (2�1+ 4�2), (3�1 + 5�2)�

Perhitungan yang sama juga dilakukan pada fungsi kendala, sehingga diperoleh: Kendala

((�1−3�2), (2�1+ 2�2), (3�1+ 5�2), (4�1+ 10�2))≤ℜ⁽−15,10,32,74) ((−2�1+ 4�2), (3�1+ 5�2), (5�1+ 7�2), (6�1+ 11�2))≥_ℜ (−8,21,48,76) ((0�1+�2), (�1+ 4�2), (2�1+ 6�2), (3�1+ 8�2)) = (2,14,32,58)

Dari hasil penguraian permasalahan program linier fuzzy penuh tersebut, selanjutnya kelompokkan permasalahan tersebut menjadi empat bentuk persoalan CLP yaitu Middle Level Problem I (MLP I),Middle Level Problem II (MLP II),Upper Level Problem (ULP), dan Lower Level Problem (LLP) dan masing-masing diselesaikan dengan metodeBig M sebagai berikut:

Middle Level Problem I (MLP I)

Maksimumkan �2 =�1 + 3�2 Kendala 2�1 + 2�2 ≤ 10 3�1+ 5�2 ≥ 21 �1+ 4�2 = 1 Bentuk umum: Maksimumkan �2 =�1 + 3�2 Kendala 2�1 + 2�2+�4 = 10 3�1+ 5�2− �3+�5 = 21 �1+ 4�2+�6 = 14

Tabel 3.1 Tabel Simpleks Awal

Basis /C 1 3 0 0 -M -M B �1 �2 �3 �4 �5 �6 �4 0 2 2 0 1 0 0 10 �5 -M 3 5 -1 0 1 0 21 �6 -M 1 4 0 0 0 1 14 Zj - Cj -4M-1 -9M-3 M 0 0 0 -35M

Dari tabel 3.1terlihat bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai pada baris Zj - Cj< 0 (masih mengandung harga negatif). Harga Zj - Cj terkecildari tabel diatas adalah -9M-3, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalahvariabel �2, kolom variabel �2menjadi kolom kunci, harga positif terkecil pada kolom� yang dapat masuk ke dalam basis adalah :

���� �¹⁰₂ ,²¹ 5 ^,

14

4�= ¹⁴ 4 ^{= 3,5} Maka variabel �6 keluar dari basis.

Tabel 3.2 Tabel Simpleks Iterasi 1

Basis /C 1 3 0 0 -M -M B �1 �2 �3 �4 �5 �6 �4 0 3 2 ^{0 0 1 0} −¹ 2 ³ �5 -M 7 4 ^{0 -1 0 1} −⁵₄ ⁷₂ �2 3 1 4 ^{1 0 0 0} 1 4 7 2 Zj - Cj −⁷ 4^M−¹ 4 ^{0 M 0 0} 9 4^{M +} 3 4 ^{21M +} 21 2

Dari tabel 3.2terlihat bahwa penyelesaian optimal masih belum dicapai, karena masih adanilai pada baris Zj - Cj< 0.Harga Zj - Cj terkecildari tabel diatas adalah −7

4M−1

4, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalahvariabel �1,kolom variabel �1menjadi kolom kunci, harga positif terkecil pada kolom�1yang dapat masuk ke dalam basis adalah :

�_��� �₃³ 2 � ^, 7 2 � 7 4 � ^, 7 2 � 1 4 � ^�= 3 3 2 � ^{= 2} Maka variabel �4 keluar dari basis.

Tabel 3.3 Tabel Simpleks Iterasi 2

Basis /C 1 3 0 0 -M -M B �1 �2 �3 �4 �5 �6 �1 1 1 0 0 ² 3 ⁰ −¹₃ 2 �5 -M 0 0 -1 −⁷₆ 1 −²₃ 0 �2 3 0 1 0 −¹ 6 ⁰ 1 3 ³

Zj - Cj 0 0 M 7

6^M−¹₂ 0 5

3^{M + 1 11}

Karena nilai pada baris �� − �� ≥0, maka penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �2 = 11 untuk �1 = 2 dan �2 = 3.

Middle Level Problem II (MLP II)

Maksimumkan �3 = 2�1 + 4�2 Kendala 3�1+ 5�2 ≤32 5�1+ 7�2 ≥48 2�1+ 6�2 = 32 Bentuk umum: Maksimumkan �3 = 2�1 + 4�2 Kendala 3�1+ 5�2+�4 = 32 5�1+ 7�2 − �3 +�5 ≥48 2�1+ 6�2 +�6 = 32

Dengan perhitungan metode Big M diperoleh tabel optimal simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.4 Tabel Optimal Simpleks MLP II

Basis /C 2 4 0 0 -M -M B �1 �2 �3 �4 �5 �6 �1 2 1 0 0 ³ 4 ⁰ −⁵₈ 4 �5 -M 0 0 -1 −2 1 1 2 ⁰ �2 4 0 1 0 −¹ 4 ⁰ 3 8 ⁴ Zj - Cj 0 0 0 2M +¹ 2 ⁰ 1 2^{M +} 1 4 ²⁴

Penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �3 = 24 untuk �1 = 4dan �2 = 4.

Upper Level Problem (ULP) Maksimumkan �4 = 3�1+ 5�2 Kendala 4�1+ 10�2 ≤ 74 6�1 + 8�2 ≥ 76 3�1+ 8�2 = 58 Bentuk umum: Maksimumkan �4 = 3�1+ 5�2 Kendala 4�1+ 10�2+�4 = 74 6�1 + 11�2− �3+�5 = 76 3�1 + 8�2+�6 = 58

Dengan perhitunganmetode Big M diperoleh tabel optimal simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.5 Tabel Optimal Simpleks ULP

Basis /C 3 5 0 0 -M -M B �1 �2 �3 �4 �5 �6 �1 3 1 0 0 4 0 −5 6 �2 5 0 1 0 −³₂ 0 2 5 �3 0 0 0 1 15 2 ^-1 −8 15 Zj - Cj 0 0 0 9 2 ^{0 M}−5 43

Penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �4 = 32 untuk �1 = 6dan �2 = 5.

Lower Level Problem (LLP)

Maksimumkan �1 = 0�1+ 2�2

Kendala �1−3�2 ≤ −15 −2�1 + 4�2 ≥ −8

Untuk permaslahan ini dapat diperoleh penyelesaian secara langsung tanpa menggunkan metode Big M yaitu maksimum �1 = 2 untuk �1 = 0 dan �2 = 1.

Berdasarka teori metode Bound and Decomposition, penyelesaian optimal dari MLP I, MLP II, ULP dan LLP merupakan penyelesaian dari permasalahan program linier fuzzy penuh. Dari proses perhitungan yang telah dilakukan diperoh penyelessaian untuk

LLP : maksimum �1 = 2 untuk �1 = 0 dan �2 = 1 MLP I : maksimum �2 = 11 untuk �1 = 2 dan �2 = 3 MLP II : maksimum �3 = 24 untuk �1 = 4 dan �2 = 4 ULP : maksimum �4 = 32 untuk �1 = 6 dan �2 = 5

Sehingga nilai maksimum �̃= (�1,�2,�3,�4) = (2, 11, 24, 32)untuk ��1 = (�1,�1,�1,�1) = (0, 2, 4, 6)dan ��2 = (�2,�2,�2,�2) = (1, 3, 4, 5).

Jika diujikan kembali ke dalam fungsi tujian dengan mensubstitusikan nilai ��1 = (0, 2, 4, 6)dan ��2 = (1, 3, 4, 5), maka akan diperoleh:

Maksimum�̃ =�(0,1,2,3)⊗ ��1⊕(2,3,4,5)⊗ ��2�

= �(0,1,2,3)⊗(�1,�1,�1,�1)⊕(2,3,4,5)⊗(�2,�2,�2,�2)� = ((0,1,2,3)⊗(0,2,4,6)⊕(2,3,4,5)⊗(1,3,4,5))

= �^{min(0,0,0,18), min(2,4,4,8),}_{max(2,4,4,8), max(0,0,0,18)}� ⨁ �^{min(2,10,5,25), min(9,12,12,16),}_{max(9,12,12,16), max(2,10,5,25)}� = (0,2,8,18)⊕(2,9,16,25)

= �(0 + 2), (2 + 9), (8 + 16), (18 + 25)� = (2,11,24,43)

Dengan menggunakan fungsi rangking diperoleh penyelesaian optimal sebagai berikut:

ℜ(�̃) =¹

Sehingga maksimum �̃ = 20.

Jadi, dengan menguraikan bentuk permasalahan program linier fuzzy penuh yang mana semua parameter dan variabelnya merupakan bilangan fuzzy menjadi bentuk program linier, yang artinya semua variabel dan parameternya berbentuk bilangan rill akan lebih mudah untuk menemukan penyelesaian optimalnya.

BAB 5