LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
Program linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk linier dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi program linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan (Aminuddin, 2005).
Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).
2.1.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997):
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.
2. Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai dengan yang disebut dalam model matematika.
5. Keterkaitan Peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.2 Model Umum Matematik Program Linier
Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik sebagai berikut (Sitorus, 1997):
Z = 1 1+ 2 2 + 3 3+ + = =1 untuk = 1, 2, 3,…, Kendala: Misalkan A = 11 21 1 11 22 2 … … … 1 2 , x = 1 2 , b = 1 2 Ax= b
11 1+ 12 2+ + 1 = 1
21 1+ 22 2+ + 2 = 2
1 1+ 2 2+ + =
Sehingga untuk bentuk umum dari kendala program linier adalah:
=1 atau untuk = 1, 2, 3,…, 0 untuk = 1, 2, 3,…,
Keterangan:
= Fungsi tujuan = Variabel keputusan
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan
= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala = Sumber daya yang tersedia dalam kendala
ke-2.1.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu (Siswanto, 2006):
1. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.
2.1.4 Metode Simpleks
Cara yang paling sederhana unrtuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Namun cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan. Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh penyelesaian dari permasalahan tersebut.
Oleh karena itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang solusi) menuju titik ekstrim yang optimum.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack.
b. Untuk batsan bernotasi atau = diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini
dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks
1 ... Basis Variabel Basis Harga Basis �1 ... � ��1 1 11 ... 1 1 �� 1 ... − − ... −
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai − yang paling positif untuk kasus minimasi atau yang memiliki nilai − yang paling negatif untuk kasus maksimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.
6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris − sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus minimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus maksimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
2.2 Program Bilangan Bulat
Program bilangan bulat ialah persoalan program linier di mana pemecahan optimalnya harus me nghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain dari antara berbagai bilangan bulat diharuskan mencari nilai-nilai variabel yang fisibel dan membuat fungsi tujuan optimum. Ada beberapa persoalan program linier yang solusinya tidak masuk akal jika solusi yang dihasilkan berupa bilangan pecahan. Diadalam persoalan ekonomi sering kali djumpai variabel-variabel yang nilainya harus positif misalnya produksi mobil, produksi kapal terbang, jumlah jembatan, jumlah gedung, kebutuhan tenaga kerja, jumlah penganggur, jumlah ternak, dan lain sebagainya. Dalam persoalan ini bilangan-bilangan pecahan tidak mempunyai arti (Supranto, 1983).
Program bilangan bulat merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem program linier di mana nilai-nilai variabel-variabel keputusan dalam penyelesaian optimal harus merupakan bilangan bulat. Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bulat mengingat nilai tidak mungkin dalam bilangan pecahan, seperti rumah, pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997). Pada saat menggunakan program linier biasa sering dijumpai solusi yang berupa bilangan pecahan kadang diasumsikan bahwa nilai tersebut dapat dibulatkan ke nilai bilangan bulat terdekat. Metode ini tidak akan menyebabkan kesulitan, jika contohnya hasil yang didapat 1 = 8,4 paku dibulatkan menjadi 1 = 8 paku, mengingat harga paku hanya beberapa sen saja perbuahnya. Akan tetapi, jika masalah yang dihadapi adalah mempertimbangkan produksi suatu jet pesawat dan solusi yang dihasilkan adalah
