Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru
3.3 Program Linier Pecahan Dengan Fungsi Tujuan Berkoefisien Interval
Pada beberapa masalah aplikasi program linier, koefisien pada model seringkali tidak bisa ditentukan secara tepat. Jadi dalam kasus seperti itu, jauh lebih baik untuk memilih koefisien sebagai interval bukan merupakan angka tetap. Sebagai contoh salah satu dari situasi ini terjadi ketika koefisien bilangan fuzzy.
Dalam kasus ini jika pengambil keputusan menetapkan α-tingkat kepuasan, maka bilangan fuzzy diubah menjadi interval. Oleh karena itu, dalam berbagai situasi seperti itu untuk menyelesaikan permasalahan dalam bentuk pemrograman matematika dengan koefisien interval. Salah satu metode dalam menyelesaikan masalah PL ini adalah dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi bentuk interval. Bentuk PL ini
dinamakan Linier Programming with Interval Coefficient (LPIC). Koefisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi (atau daerah) dimana parameter konstanta bisa diterima dan memenuhi model LPIC. (Farida, 2011)
Sehingga permasalahan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval merupakan kombinasi persoalan program linier pecahan dengan program linier dengan koefisen interval. Sehingga persamaan persoalan tersebut dapat dituliskan menjadi:
Maksimumkan Z = [ 1, 1] 1+[ 2, 2] 2+⋯+[ , ] +[ +1, +1] [ 1, 1] 1+[ 2, 2] 2+⋯+[ , ] +[ +1, +1] (k= 1,2,3,…m ) dan ( j= 1,2,3,…n) Kendala 1 1+⋯+ 1 0,…, 0 … (4)
Untuk menyelesaikan permasalahan ini diasumsikan bahwa [ 1, 1] 1+ [ 2, 2] 2+⋯+ [ , ] + [ +1, +1] > 0 untuk semua � =
1,…, ∈
�, dimana X adalah daerah feasible kompak,
Untuk menyelesaikan persamaan (4), diasumsikan variabel
t = 1 [ 1, 1] 1+[ 2, 2] 2+⋯+[ , ] +[ +1, +1] sehingga diperoleh: Maksimumkan = [ 1, 1] 1 + [ 2, 2] 2 +⋯+ [ , ] + [ +1, +1] Kendala 1 1 +⋯+ t [c1,d1] 1 + [c2, d2] 2 +⋯+ [ck,dk] + [ck+1,dk+1] = 1 1 0,…, 0, 0 … (5)
Dengan diasumsikan variabel = 1
[ 1, 1] 1+[ 2, 2] 2+⋯+[ , ] +[ +1, +1]= untuk i=1,…,k, persamaan (5) dapat di reduksi menjadi:
Maksimumkan = [ 1, 1] 1+ [ 2, 2] 2+⋯+ [ , ] + [ +1, +1] Kendala 1 1+⋯+ t [ 1, 1] 1+ [ 2, 2] 2+. . . +[ , ] + [ +1, +1] = 1 1 0,…, 0, 0 … (6) Kombinasi linier dari masing-masing daerah interval mengikuti persamaan: Maksimum = [ 1 1+ (1− 1) 1] 1+ [ 2 2 + (1− 2) 2] 2+⋯+ [ + (1− 1) ] + [ +1 +1+ (1− +1) +1] Kendala 1 1+⋯+ − 0 [ 1 1+ (1− 1) 1] 1+ [ 2 2+ (1− 2) 2] 2+⋯+ [ + (1− ) ] + [ +1 +1+ (1− +1) +1] = 1 1 0,…, 0, 0, 0 1 ,… , 0 1, untuk i=1,…,k+1 …(7) Dari persamaan (7). Pada fungsi kendala dapat di reduksi menjadi:
[ 1 1+ (1− 1) 1] 1+⋯+ [ + (1− ) ] + [ +1 +1 + (1 − +1) +1] = 1
[ 1 1 1 + 1 1− 1 1 1+⋯+ 1+ − + +1 +1
[ 1 1 1 − 1 1 1]+…+ [ 1− ] + [ +1 +1 − +1 +1 ] + 1 1+⋯+ + +1 = 1 [ 1 1 1− 1 +⋯+ − + +1 +1 − +1 ] + 1 1+⋯ + + +1 = 1 … (8) Karena, 0 untuk = 1,…, , 0, 0 βi 1, − 0 untuk = 1,…, + 1
Oleh karena itu persamaan (8) dapat ditulis:
1 1 + [ 1 1 1− 1 +⋯+ − + +1 +1− +1 ]
1 + 1 1− 1 +⋯+ − + +1− +1 ]
…(9) Dengan mengkombinasikan persamaan (8) dan (9) menghasilkan:
1 1 1 +⋯+ + +1
1 + 1 1− 1 +⋯+ − + +1− +1
… (10) Yang selanjutnya direduksi menjadi:
1 1+⋯+ + +1 1
…(11)
Dan
1 1+⋯+ + +1 1
Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan (11) dan (12), persamaan (7) ditransformasikan kedalam persamaan berikut:
Maksimumkan = [ 1 1+ (1− 1) 1] 1+ [ 2 2 + (1− 2) 2] 2+⋯+ [ + (1− 1) ] + [ +1 +1+ (1− +1) +1] Kendala c1 1+⋯+ ck + ck+1 1 d1 1+⋯+ dk + dk+1 1 1 1+⋯+ − 0 1 0,…, 0, 0, 0 αi 1 untuki=1,…,k+1 … (13) Jika ( 1,…, , ) menjadi titik daerah feasible dari persamaan (13), dengan 0 1, − 0 untuk i=1,…,k+1, maka fungsi objektif dalam persamaan (13) dapat ditulis sebagai:
1 1 1− 1 +⋯+ − + +1 +1− +1 ] +b1 1+⋯+ bk + bk+1 1 1− 1 +⋯+ − + +1− +1 ] +b1 1+ ⋯+ bk + bk+1 = a1 1+⋯+ ak + ak+1
Persamaan diatas membuktikan bahwa 1, 2,…, +1 merupakan batas bawah dari koefisien interval pada fungsi tujuan. Maka worst optimum pada persamaan fungsi tujuan adalah Z= a1 1+⋯+ ak + ak+1
Sehingga bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z= 1 1 +⋯+ + +1
Kendala 1 1+⋯+ + +1 1
1 1+⋯+ + +1 1
1 0,…, 0, 0, untukk=1,…,m
Sedangkan untuk memperoleh best optimum maka diambil batas atas dari koefisien interval pada fungsi tujuan. Sehingga bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z= 1 1+⋯+ + +1
Kendala 1 1+⋯+ + +1 1
1 1+⋯+ + +1 1
1 1+⋯+ − 0
1 0,…, 0, 0, untukk=1,…,m
Berikut akan dibuktikan bahwa Program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval dibawah ini sama dengan metode Charnes-Cooper.
Maksimumkan Z=[ 1, 1] 1+[ 2, 2] 2+⋯+[ , ] +[ +1, +1] [ 1, 1] 1+[ 2, 2] 2+⋯+[ , ] +[ +1, +1] Kendala 1 1+⋯+ 1 0,…, 0 (k= 1,2,…,m ) dan( j= 1,2,…,n) Bukti:
Karena koefisien interval pada pembilang fungsi tujuan memiliki nilai yang sama. Nilai koefisien fungsi tujuan pada best optimum dan worst optimum adalah sama. Maka persoalan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval diatas dapat ditransformasikan menjadi:
Maksimumkan Z= 1 1 +⋯+ + +1
1 1+⋯+ + +1 1
1 1+⋯+ − 0
1 0,…, 0, 0, untukk=1,…m
Karena koefisien ruas kiri persamaan pertama dan kedua pada fungsi kendala sama, Maka persamaan pertama dan kedua dikombinasikan, sehingga diperoleh persamaan program liniernya menjadi:
Maksimumkan Z= 1 1+⋯+ + +1
Kendala 1 1+⋯+ + +1 = 1
1 1+⋯+ − 0
1 0,…, 0, 0, untuk = 1,…,
Sehingga terbukti bahwa optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval sesuai dengan bentuk transformasi yang diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper. (Borza, 2012)
Kasus 1
PT Sayang Anak memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu yang berupa boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp 27.000 - 35.000/ lusin yang setiap lusinnya memerlukan biaya material sebesar Rp 10.000-14.000 serta biaya tenaga kerja sebesar Rp 10.000-14.000-16.000. Kereta api yang dijual seharga Rp 21.000 -30.000/ lusin memerlukan biaya material sebesar Rp 9.000-12.000 dan biaya tenaga kerja Rp 10.000-13.000. Apabila perusahan dikenai pajak pembuatan sekitar Rp 5000-8000. Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan dua kelompok tenaga kerja, yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu, sedangkan setiap lusin kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu. Meskipun pada setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, jam kerja yang tersedia hanya 100 jam untuk pemolesan
dan 80 jam untuk pekerjaan kayu. Dari pengamatan pasar selama ini dapat dikatakan bahwa kebutuhan akan kereta api tidak terbatas, tetapi untuk boneka tidak lebih dari 40 lusin yang terjual setiap minggunya. Bagaimanakah formulasi dari persoalan di atas untuk mengetahui berapa lusin jenis mainan masing-masing yang harus dibuat setiap minggu dengan mengoptimalkan efisiensi keuntungan/pendapatan ?
(dikutip dari Bu’ulolo, 2005; dengan modifikasi)
Solusi:
Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (untuk ongkos). Pada persoalan ini akan dimaksimumkan (pendapatan/minggu) –
(ongkos material/minggu) – (ongkos tenaga kerja/minggu).
Pendapatan dan ongkos-ongkos ini dapat diekspresikan dengan menggunakan variabel keputusan x1 dan x2 sebagai berikut :
Pendapatan /minggu = [27, 35] x1 + [21, 30] x2 Ongkos material/minggu = [10, 14] x1 + [9, 12] x2 Ongkos tenaga kerja/minggu = [14,16] x1 + [10,13] x2
Pajak = [5, 8]
Sehingga yang akan dimaksimumkan adalah :
Pendapatan = [27, 35] x1 + [21, 30] x2
Biaya = [10+14, 14+16] x1 + [9+10, 12+13] x2 + [5, 8] =[24, 30] x1 + [19, 25] x2 + [5, 8]
Fungsi biaya dapat disimbolkan dengan g(x). Sehingga untuk menyatakan persamaan fungsi biaya dapat ditulis:
g(x) = [24, 30] x1 + [19, 25] x2 + [5, 8] Keuntungan = Pendapatan – Biaya
= [3, 5] x1 + [2, 5] x2 + [-8, -5]
dimana fungsi keuntungan disimbolkan dengan fungsi f(x). Sehingga untuk menyatakan persamaan fungsi tujuan dari keuntungan dapat ditulis:
Untuk menyatakan nilai fungsi tujuan akan digunakan variabel Z dan dapat ditulis:
Maksimumkan f(x) = Z = [3, 5] x1 + [2, 5] x2 + [-8, -5]
Sehingga persamaan fungsi tujuan diatas merupakan bentuk fungsi tujuan model LPIC
Pembatas
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang. Pada persoalan di atas ada 3 pembatas yang dihadapi yaitu :
Pembatas 1 : Setiap minggu tidak lebih dari 100 jam waktu pemolesan yang dapat digunakan.
Pembatas 2 : Setiap minggu tidak lebih dari 80 jam waktu pengerjaan kayu yang dapat digunakan.
Pembatas 3 : Karena permintaan yang tebatas, maka tidak lebih dari 40 lusin boneka yang dapat dibuat setiap minggu. Jumlah material yang dapat digunakan diasumsikan tidak terbatas sehingga tidak ada pembatas untuk hal ini.
Dengan menggunakan simbol matematik dapat ditulis : Pembatas 1 : 2x1 + x2 100
Pembatas 2 : x1 + x2 80 Pembatas 3 : x1 40
Pembatas Tanda
Pembatas tanda adalah yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel keputusan boleh berharga positif, boleh juga negatif. Pada contoh diatas kedua variabel keputusan harus berharga nonnegatif sehingga harus dinyatakan bahwa : x1 0 dan x2 0 Dengan demikian, formulasi lengkap dari persoalan PT Sayang Anak adalah : Maksimumkan Z = [3, 5] x1 + [2, 5] x2 + [-8, -5] Kendala 2 x1 + x2 100 x1 + x2 80 x1 40 x1 0 , x2 0
Setelah dicapai solusi optimum untuk x1= 20, dan x2= 60 dan Z= [172, 395]. Sehingga keuntungan maksimum yang diperoleh PT Sayang Anak diantara Rp 172.000 hingga Rp 395.000 dengan modal investasi sebesar 1.625.000 hingga Rp 2.108.000. Sehingga efisiensi dari keuntungan dan biaya PT Sayang Anak adalah 172.000/1.625.000= 0.1058 pada worst optimum. Sedangkan efisiensi pada best optimum diperoleh sebesar 395.000/2.108.000= 0.1873.
Dengan menggunakan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval dapat meningkatkan rasio dari efisiensi keuntungan dan biaya.
Maka bentuk persamaan optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z= ( ) ( ) = [3, 5] 1 + [2,5] 2 + [−5, −8] [24,30] 1 + [19,25] 2 +[5, 8] Kendala 2 x1 + x2 100 x1 + x2 80 x1 40 x1 0 , x2 0
Transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval-nya menjadi:
Maksimumkan Z= [3, 5] 1 + [2, 5] 2 + [−8,−5] Kendala 24 1+ 19 2+ 5 1 34 1+ 25 2+ 8 1 2 1+ 2−100 0 1+ 2−80 0 1 −40 0 1 0, 2 0, 0
Sehingga bentuk persamaan program linier untuk memperoleh efisiensi best optimum-nya adalah
Maksimumkan Z= 5 1 + 5 2 -5t Kendala 24 1+ 19 2+ 5 1 34 1+ 25 2+ 8 1 2 1+ 2−100 0 1+ 2−80 0 1−40 0 1 0, 2 0, 0
Dari perhitungan program linier diatas maka diperoleh nilai rasio efisiensi best optimum dari keuntungan dan biaya dengan solusi 1 = 0, 2 = 0.0525, = 0.0007 dan = 0.259. Efisiensinya meningkat dari 0.1873 menjadi 0.259. Dengan memproduksi mainan kereta api sebanyak x2= 2= 0.0525
0.0007 = 75
biaya modal sebesar Rp 1.883.000 dan keuntungan sebesar Rp 367.000.
Sedangkan untuk worst optimum-nya maka bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval adalah
Maksimumkan Z= 3 1 + 2 2 + -8t Kendala 24 1+ 19 2+ 5 1 34 1 + 25 2+ 8 1 2 1 + 2−100 0 1+ 2−80 0 1−40 0 1 0, 2 0, 0
Dari persamaan program linier diatas maka diperoleh rasio tertinggi worst optimum untuk efisiensi keuntungan dan biaya dengan solusi 1 = 0.0415, 2 = 0, = 0.001 dan = 0.1161. Meningkat dari 0.1058 menjadi 0.1161. Dengan memproduksi mainan boneka sebanyak x1= 1 =0.0415
0.001 = 41 , dengan biaya
modal sebesar Rp 992.000 dan keuntungan sebesar Rp 115.000.
Kasus 2
Tentukan solusi dar optimasi program linier pecahan dibawah ini!
Maksimumkan Z = ( ) ( ) = [1.5,3] 1+3,4 2+[5, 6] 0.5,2.5 1+1.5,3 2+[2,4] Kendala −2 1+ 2 3 2 1+ 3 2 10 1− 2 4 1 0, 2 0
Ditransformasikan kedalam bentuk transformasi optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval menjadi:
Maksimumkan Z= [1.5, 3] u1 + [3, 4] u2 + [5, 6]t Kendala: 0.5 1+ 1.5 2+ 2 1 2.5 1+ 3 2+ 4 1 −2 1+ 2 −3 0 2 1+ 3 2−10 0 1− 1−4 0 1 0, 2 0, 0
Untuk memperoleh best optimum dari program linier yang memiliki fungsi tujuan yang berbentuk LPIC. Maka diambil batas atas dari koefisien interval pada fungsi tujuan sehingga persamaan program liniernya menjadi:
Maksimumkan Z= 3 1 + 4 2 + 6 Kendala 0.5 1+ 1.5 2+ 2 1 2.5 1+ 3 2+ 4 1 −2 1+ 2−3 0 2 1+ 3 2−10 0 1− 1−4 0 1 0, 2 0, 0
Dari persamaan program linier diatas maka diperoleh solusi 1 = 1, 2 = 0, = 0.25 dan = 4.5. Nilai optimal dari fungsi tujuan adalah 4.5 dengan nilai pada titik x1= 1= 1
0.25= 4 sedangakan pada titik x2 adalah 0.
Sedangkan untuk menentukan nilai worst optimum diambil nilai batas bawah dari koefisien interval. Sehingga persamaan program liniernya menjadi:
Maksimukan Z= 3 1 + 4 2 + 6 Kendala 0.5 1+ 1.5 2+ 2 1 2.5 1+ 3 2+ 4 1 −2 1+ 2 −3 0 2 1+ 3 2−10 0 1− 1−4 0 1 0, 2 0, 0
Dari persamaan diatas maka diperoleh untuk nilai worst optimum pada fungsi tujuan adalah dengan solusi 1 = 1, 2 = 0, = 0.25 dan = 2.75. Nilai optimal dari fungsi tujuan adalah 2.75 dengan nilai pada titik x1= 1 = 1
0.25 = 4
sedangakan pada titik x2 adalah 0.
Dari contoh kasus diatas dapat dilihat bahwa optimasi program linier pecahan dengan fungsi tujuan berkoefisien interval menghasilkan nilai optimal yang lebih baik dibandingkan penyelesaian dengan metode optimasi program linier biasa. Hal ini disebabkankan oleh faktor koefisien yang berada dalam interval, sehingga pemilihan nilai terbaik lebih fleksibel.
Dengan demikian nilai optimum yang dihasilkan dari suatu nilai dalam interval dapat memberikan hasil yang lebih baik daripada nilai optimum yang dihasilkan dari satu koefisien tertentu. Hal ini meningkatkan efisiensi biaya pada masalah optimasi biaya produksi.
BAB 4
