DAFTAR PUSTAKA
Lampiran 7. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0
Fzduga=function(tau,n,z) { maxlambda=exp(1) ntau=floor(n/tau) EN=tau*ntau*maxlambda PAP=rpois(1,EN) realisasi=runif(PAP,0,tau*ntau) lambda=exp(sin((2*pi*realisasi)/tau))
P=lambda/maxlambda P[P<=0]=0.000001 P[P>=1]=0.999999 hold=rbinom(PAP,1,P)==1 s=realisasi[hold] aduga=(1+0.25)*(length(s)/((tau*ntau)^(1+0.25))) sum1=0 for(i in 1:ntau) { x=s[s>i*tau-(tau/2)&s< i*tau+(tau/2)] sum1=sum1+(length(x)*(1/(tau*i^(0.25)))) } tetaduga=((1-0.25)/(ntau^(1-0.25)))*sum1-((1-0.25)*aduga*(tau^0.25)*(ntau^0.25)) zr=z-(tau*floor(z/tau)) sum2=0 for(j in 1:ntau) { y=s[s>j*tau&s<j*tau+zr] sum2=sum2+(length(y)*(1/(j^0.25))) } Lzr=((1-0.25)/(ntau^(1-0.25)))*sum2-((1-0.25)*aduga*zr*((tau*ntau)^0.25)) Lz=(tau*floor(z/tau)*tetaduga)+Lzr+(((aduga)/(1+0.25))*(z^(1+0.25))) Fzduga=1-exp(-Lz)*(1+Lz) return(Fzduga) } Fz=function(tau,n,z) { int=function(s){exp(sin((2*pi*s)/tau))/tau} teta=integrate(int,-(tau/2),(tau/2)) zr=z-(tau*floor(z/tau)) int2=function(s){exp(sin((2*pi*s)/tau))} Lzr=integrate(int2,0,zr) Lz=(teta[[1]]*tau*floor(z/tau))+Lzr[[1]]+(0.05/(1+0.25))*(z^(1+0.25)) Fz=1-exp(-Lz)*(1+Lz) return(Fz) } fung=function(tau,n) { z=seq(0,10,0.05) FungsiSebaran=seq(1:length(z)) analitik=seq(1:length(z)) for(k in 1:length(z)) { FungsiSebaran[k]=Fzduga(tau,n,z[k]) analitik[k]=Fz(tau,n,z[k]) } plot(z,FungsiSebaran,"l") lines(z,analitik) return(FungsiSebaran) }
Lampiran 8. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75
Fzduga=function(tau,n,z) { maxlambda=exp(1) ntau=floor(n/tau) EN=tau*ntau*maxlambda PAP=rpois(1,EN) realisasi=runif(PAP,0,tau*ntau) lambda=exp(sin((2*pi*realisasi)/tau)) P=lambda/maxlambda P[P<=0]=0.000001 P[P>=1]=0.999999 hold=rbinom(PAP,1,P)==1 s=realisasi[hold] aduga=(1+0.75)*(length(s)/((tau*ntau)^(1+0.75))) sum1=0 for(i in 1:ntau) { x=s[s>i*tau-(tau/2)&s< i*tau+(tau/2)] sum1=sum1+(length(x)*(1/(tau*i^(0.75)))) } tetaduga=((1-0.75)/(ntau^(1-0.75)))*sum1-((1-0.75)*aduga*(tau^0.75)*(ntau^0.75)) zr=z-(tau*floor(z/tau)) sum2=0 for(j in 1:ntau) { y=s[s>j*tau&s<j*tau+zr] sum2=sum2+(length(y)*(1/(j^0.75))) } Lzr=((1-0.75)/(ntau^(1-0.75)))*sum2-((1-0.75)*aduga*zr*((tau*ntau)^0.75)) Lz=(tau*floor(z/tau)*tetaduga)+Lzr+(((aduga)/(1+0.75))*(z^(1+0.75))) Fzduga=1-exp(-Lz) return(Fzduga) } Fz=function(tau,n,z) { int=function(s){exp(sin((2*pi*s)/tau))/tau} teta=integrate(int,-(tau/2),(tau/2)) zr=z-(tau*floor(z/tau)) int2=function(s){exp(sin((2*pi*s)/tau))} Lzr=integrate(int2,0,zr) Lz=(teta[[1]]*tau*floor(z/tau))+Lzr[[1]]+(0.05/(1+0.75))*(z^(1+0.75)) Fz=1-exp(-Lz) return(Fz) } fung=function(tau,n) { z=seq(0,10,0.05) FungsiSebaran=seq(1:length(z))
analitik=seq(1:length(z)) for(k in 1:length(z)) { FungsiSebaran[k]=Fzduga(tau,n,z[k]) analitik[k]=Fz(tau,n,z[k]) } plot(z,FungsiSebaran,"l") lines(z,analitik) return(FungsiSebaran) }
Lampiran 9. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75
Fzduga=function(tau,n,z) { maxlambda=exp(1) ntau=floor(n/tau) EN=tau*ntau*maxlambda PAP=rpois(1,EN) realisasi=runif(PAP,0,tau*ntau) lambda=exp(sin((2*pi*realisasi)/tau)) P=lambda/maxlambda P[P<=0]=0.000001 P[P>=1]=0.999999 hold=rbinom(PAP,1,P)==1 s=realisasi[hold] aduga=(1+0.75)*(length(s)/((tau*ntau)^(1+0.75))) sum1=0 for(i in 1:ntau) { x=s[s>i*tau-(tau/2)&s< i*tau+(tau/2)] sum1=sum1+(length(x)*(1/(tau*i^(0.75)))) } tetaduga=((1-0.75)/(ntau^(1-0.75)))*sum1-((1-0.75)*aduga*(tau^0.75)*(ntau^0.75)) zr=z-(tau*floor(z/tau)) sum2=0 for(j in 1:ntau) { y=s[s>j*tau&s<j*tau+zr] sum2=sum2+(length(y)*(1/(j^0.75))) } Lzr=((1-0.75)/(ntau^(1-0.75)))*sum2-((1-0.75)*aduga*zr*((tau*ntau)^0.75)) Lz=(tau*floor(z/tau)*tetaduga)+Lzr+(((aduga)/(1+0.75))*(z^(1+0.75))) Fzduga=1-exp(-Lz)*(1+Lz) return(Fzduga) }
Fz=function(tau,n,z) { int=function(s){exp(sin((2*pi*s)/tau))/tau} teta=integrate(int,-(tau/2),(tau/2)) zr=z-(tau*floor(z/tau)) int2=function(s){exp(sin((2*pi*s)/tau))} Lzr=integrate(int2,0,zr) Lz=(teta[[1]]*tau*floor(z/tau))+Lzr[[1]]+(0.05/(1+0.75))*(z^(1+0.75)) Fz=1-exp(-Lz)*(1+Lz) return(Fz) } fung=function(tau,n) { z=seq(0,10,0.05) FungsiSebaran=seq(1:length(z)) analitik=seq(1:length(z)) for(k in 1:length(z)) { FungsiSebaran[k]=Fzduga(tau,n,z[k]) analitik[k]=Fz(tau,n,z[k]) } plot(z,FungsiSebaran,"l") lines(z,analitik) return(FungsiSebaran) }
Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.
This thesis is concerned with estimation of distribution and density functions of waiting time of a periodic Poisson process with power function trend. The intensity function is assumed to consist of two components, namely, a periodic component and a power function trend component. It is also assumed that the Poisson process is observed in interval . Let denotes the waiting time of -th event since the beginning of observation of the Poisson process discussed. Estimators of the distribution function and the density function of have been constructed and their consistency as the length of observation interval of the process goes to infinity have been proved. Finally some numerical results are also presented.
Keywords : periodic Poisson process, power function trend, distribution and density function of waiting time.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon, banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di periode waktu yang akan datang.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.
Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat dirumuskan sebagai berikut
diasumsikan bahwa periode diketahui, tetapi koefisien dan fungsi pada titik tidak diketahui, dengan adalah suatu fungsi periodik, dan adalah komponen tren dengan . Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus
Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu tunggu bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang datang pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin, hal ini mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil tindakan dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya peristiwa serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada tulisan ini dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat.
1.2Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :
1. Merumuskan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu proses Poisson periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan kekonsistenannya.
2. Merumuskan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu proses Poisson periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan kekonsistenannya.
3. Melakukan simulasi komputer untuk mempelajari perilaku penduga fungsi sebaran bagi waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua untuk ukuran sampel terbatas, serta mempelajari pola dugaan fungsi sebaran waktu tunggu untuk pangkat 0,25 dan pangkat 0,75.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik)
Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state .
(Ross, 1996) Jika merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika merupakan suatu interval.
Definisi 2.2 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua , peubah acak
adalah bebas.
(Ross, 1996) Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.
Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai .
(Ross, 1996)
Definisi 2.4 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
Suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut :
(i) untuk semua
(ii) Nilai adalah integer. (iii) Jika maka
(iv) Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada interval .
(Ross, 1996)
Definisi 2.5 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju , , jika dipenuhi tiga syarat berikut :
(i)
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang , memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan .
Jadi untuk semua
(Ross, 1996)
Definisi 2.6 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika :
untuk semua dan Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.
(Browder, 1996) Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
2.2 Pendugaan Fungsi Intenitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas terbagi atas dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson dititik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik . Secara matematis, misalkan
dan menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada maka
fungsi intensitas lokal di titik dapat didekati dengan .
Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval . Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas
global pada dapat dinyatakan dengan .
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest
neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode (diketahui) (Helmers dan Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain, yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global pada Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah
dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periode ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al. 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005).
Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), serta sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida (2008), dan pendugaan fungsi intensitas dengan dua kasus, yaitu tren fungsi pangkat dengan kemiringan dari tren yang diketahui dan tidak diketahui, selain itu telah dikaji kekonvergenan sebaran asimtotik bagi fungsi periodik untuk dua kasus tersebut pada Rachmawati (2010).
2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Diasumsikan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson nonhomogen yang diamati pada interval terbatas adalah terintegralkan lokal. Dirumuskan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu, serta penduga dari fungsi-fungsi tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positif diperoleh bahwa penduga fungsi sebaran waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi sebaran waktu tunggunya, dan diperoleh juga bahwa penduga fungsi kepekatan waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi kepekatan waktu tunggunya, asalkan interval yang diamati merupakan titik Lebesgue dari fungsi intensitas, seperti yang telah dikaji pada Mangku (2010).
BAB 3
REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN
GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode (diketahui) dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik , fungsi intensitas
dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan adalah fungsi periodik dengan periode , menyatakan kemiringan tren dimana dan (diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik dan seluruh , dengan adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut
3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat
Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan untuk suatu , hanya terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson yang terdefinisi pada suatu ruang peluang dengan fungsi intensitas seperti pada yang diamati pada interval terbatas . Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah menduga pada titik dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik dengan .
Diasumsikan fungsi intensitas global bagi merupakan nilai rata-rata dari
pada yaitu .
Misalkan adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu
untuk dan misalkan pula adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut :
(K.1) merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) terbatas.
(K.3) memiliki daerah definisi pada .
3.1.1 Pendugaan
Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh penduga untuk seperti berikut :
untuk .
Untuk mendapatkan penduga , cukup diperlihatkan bahwa
Karena memenuhi , maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
Perhatikan suku pertama , dengan menggunakan asumsi adalah fungsi
adalah . Langkah berikutnya, mengga nti
dengan padanan stokastiknya yaitu maka diperoleh
Jika kedua ruas dikalikan dengan diperoleh
sehingga
Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika dan , sehingga
. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
maka diperoleh penduga dari , yaitu seperti pada .
Lema 3.1
Misalkan fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, maka
untuk , dengan Dengan kata lain, merupakan
penduga yang konsisten bagi , dengan Mean Square Error-nya adalah
untuk .
Bukti :
untuk . Ruas kanan adalah
Karena fungsi intensitas seperti , maka
untuk
Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika dan .
Sehingga . Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai
untuk
Dengan mensubstitusikan ke , diperoleh seperti pada . Ragam dari diperoleh dengan cara serupa, yaitu :
Karena adalah proses Poisson, maka sehingga persamaan di atas dapat ditulis
Karena fungsi intensitas seperti , maka
untuk
Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika , dan . Sehingga
untuk
Dengan mensubstitusikan pada , maka diperoleh seperti pada .
Didefinisikan berikut :
dimana .
Berikutnya, substitusikan dan pada , maka diperoleh
untuk
Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil
pada maka diperoleh seperti pada .
Telah dibuktikan dan , sehingga Lema 3.1 terbukti.
Teorema 3.1 (Kekonsistenan )
untuk . Bukti :
Untuk membuktikan , berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa
untuk . Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh , berarti , ada sehingga
Sehingga . Jadi untuk membuktikan
bahwa , digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga
diperoleh
Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh untuk sehingga diperoleh . Berdasarkan langkah-langka h di atas, Teorema 3.1 terbukti.
3.1.2 Pendugaan
Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi penduga dari pada titik sebagai berikut :
dengan , , adalah suatu kernel dan adalah barisan
bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk , serta adalah penduga bagi seperti .
Lema 3.2
Jika fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, serta kernel memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3) dan untuk , maka
untuk , asalkan adalah titik Lebesgue dari . Jika kernel memenuhi
kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan , untuk , maka
untuk .
Bukti :
Berdasarkan , dapat dihitung sebagai berikut :
Dari dapat dimisalkan
maka dapat dinyatakan sebagai
Suku pertama pada ruas kanan diperoleh sebagai berikut
untuk
(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010).
Dengan menggunakan pada persamaan di atas, maka diperoleh
untuk . Dengan mensubstitusikan dan pada , maka
diperoleh persamaan seperti .
Ragam dari diperoleh dengan menggunakan sehingga
Dengan memisalkan seperti maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
untuk (Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas kanan dapat ditentukan sebagai berikut
Dengan menggunakan pada persamaan di atas, maka diperoleh
untuk . Dari dan , dengan menggunakan ketaksamaan
untuk . Karena dan untuk maka untuk sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
untuk . Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil dan
pada maka diperoleh seperti pada .
Teorema 3.2 (Kekonsistenan )
Jika fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, serta kernel memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan maka
untuk , asalkan adalah titik Lebesgue dari .
Bukti :
Untuk setiap berlaku
jika .
Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut :
Berdasarkan , diperoleh
kemudian untuk setiap , ada sehingga
dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh
Menggunakan hasil pada , maka dapat dituliskan sebagai berikut
untuk . Melihat hubungan antara persamaan di atas dan , maka
terbukti bahwa jika .
Berdasarkan langkah-langka h di atas, Teorema 3.2 terbukti.
3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat
Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval . Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada dapat dinyatakan
dengan .
Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode diketahui, tetapi fungsi pada tidak ketahui, didefinisikan penduga untuk
sebagai berikut
dengan adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,
yaitu dan seperti .
Teorema 3.3 (Kekonsistenan )
Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka
Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5.
Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari )
Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka
untuk .
Bukti :
Pertama, akan dibuktikan sebagai nilai harapan dari yaitu
Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan , yaitu
dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi
Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka persamaan di atas dituliskan sebagai berikut
Berdasarkan , suku pertama ruas kanan menjadi
Diketahui bahwa
jika (Lihat Titchmarsh 1960).
Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan pada , maka diperoleh
jika
Perhatikan salah satu komponen berikut,
jika Dengan mensubstitusikan pada , diperoleh
Selanjutnya, dengan menggabungkan dan , maka diperoleh ruas kanan pada seperti berikut :
jika
Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan yaitu
Dengan menggunakan maka kuantitas di atas menjadi
untuk .
Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari
dan ke , maka diperoleh seperti pada .
Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti.
Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari )
Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka
untuk
untuk
jika
Bukti :
Akan dibuktikan dan . Catatan, untuk setiap dimana
j,k = 1,2,…, maka dan tidak saling
tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga dan
adalah bebas, untuk .
Telah didefinisikan penduga bagi yaitu pada sehingga dapat dihitung sebagai
dengan memisalkan
Perhatikan suku pertama ruas kanan dari Berdasarkan kuantitas
yang diperlukan, dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu
dan .
Untuk kasus diperoleh
jika .
Untuk kasus diperoleh
Untuk kasus diperoleh
jika .
(Lihat Yuliawati, 2008).
Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan sehingga dapat diperoleh sebagai berikut
Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan pada persamaan di atas, diperoleh persamaan berikut
untuk .
Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada suku ketiga ruas kanan diperoleh sebagai berikut
Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam
tiga kasus, yaitu dan .
untuk
Dengan kata lain, diperoleh untuk , sehingga ,
untuk .
untuk
Dengan kata lain, diperoleh untuk , sehingga ,
untuk .
Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh
, untuk .
Dengan cara yang sama dilakukan untuk kedua kasus berikutnya, yaitu
untuk kasus dan kasus . Diperoleh dan
, untuk , akibatnya dan ,
sehingga , untuk .
Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas ke sehingga diperoleh yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu
Untuk kasus
untuk . Dengan kata lain diperoleh seperti pada .
untuk . Dengan kata lain diperoleh seperti pada .
Untuk kasus
untuk . Dengan kata lain diperoleh seperti pada . Berdasarkan langkah-langka h di atas, Teorema 3.5 terbukti.
Bukti Teorema 3.3 :
Berdasarkan diperoleh
atau dapat ditulis sebagai
jika
Sedangkan dari dan diperoleh
atau dapat ditulis juga sebagai jika
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa adalah penduga konsisten bagi , yaitu bahwa untuk setiap berlaku
jika . Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka menjadi
Berdasarkan , ada sehingga
untuk setiap .
Dengan mensubstitusikan ke , diperoleh
Kemudian dengan melihat hubungan antara dan diperoleh
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh
Perhatikan, dengan menggunakan pada dapat ditunjukkan
hubungan bahwa jika .
BAB 4
KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN
FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES
POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
4.1 Perumusan Penduga
Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode (diketahui) dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik , fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan adalah fungsi periodik dengan periode , menyatakan kemiringan tren dimana dan (diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali
