• Tidak ada hasil yang ditemukan

Consistency of Estimators for the Distribution Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Consistency of Estimators for the Distribution Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend."

Copied!
171
0
0

Teks penuh

(1)

POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

DONI FERNANDO PUTRA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)
(3)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka dibagian akhir tesis ini.

Bogor, Januari 2012

(4)
(5)

Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

This thesis is concerned with estimation of distribution and density functions of waiting time of a periodic Poisson process with power function trend. The intensity function is assumed to consist of two components, namely, a periodic component and a power function trend component. It is also assumed that the Poisson process is observed in interval . Let denotes the waiting time of -th event since the beginning of observation of the Poisson process discussed. Estimators of the distribution function and the density function of have been constructed and their consistency as the length of observation interval of the process goes to infinity have been proved. Finally some numerical results are also presented.

(6)
(7)

Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon, banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di periode waktu yang akan datang.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.

Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat dirumuskan sebagai berikut

diasumsikan bahwa periode diketahui, tetapi koefisien dan fungsi pada titik

tidak diketahui, dengan adalah suatu fungsi periodik, dan

adalah komponen tren dengan . Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus

.

(8)
(9)

dengan

dan

dimana adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,

yaitu , , adalah suatu kernel dan adalah barisan

bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu untuk .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, disimpulkan bahwa :

a) Jika fungsi intensitas dan terintegralkan lokal, maka

untuk setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan bulat positif

diperoleh

(10)
(11)

bulat positif , diperoleh

untuk asalkan merupakan titik Lebesgue dari .

c) Berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa kualitas penduga dari fungsi

sebaran waktu tunggu pertama lebih baik dari waktu tunggu kedua untuk

ukuran yang sama, artinya diperlukan nilai yang lebih besar untuk waktu

tunggu kedua dibandingkan waktu tunggu pertama. Diperoleh pola penduga

yang lebih dekat ke pola sebarannya untuk pangkat 0,25 dibandingkan

(12)
(13)

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

(14)
(15)

POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

DONI FERNANDO PUTRA

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(16)
(17)

Nama : Doni Fernando Putra

NRP : G551090441

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Ketua Anggota

Ir. Retno Budiarti, MS

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana

Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Dr.Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

(18)
(19)

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat”. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada program studi Matematika Terapan.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc sebagai ketua komisi pembimbing dan Ir. Retno Budiarti, MS selaku anggota komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan arahan dalam penyusunan tesis ini serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. 2. Ibunda tercinta, Surisdiyanti Sukandar atas doa, cinta dan dukungannya. 3. Saudara-saudara dan sahabat-sahabatku, atas doa dan dukungan semangatnya. 4. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah

membantu dalam penyusunan tesis ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan tesis ini. Oleh karena itu kritik, saran, dan masukan sangat penulis harapkan demi penyempurnaan dan perbaikan tulisan ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat untuk semua pembaca. Amin.

Bogor, Januari 2012

(20)
(21)

Ayah Ibnu Hajar dan ibu Surisdiyanti Sukandar. Penulis merupakan putra pertama dari 3 bersaudara.

Tahun 2005 Penulis lulus dari SMA Negeri 4 Curup dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Sriwijaya, Palembang, melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru. Penulis diterima pada jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(22)
(23)

BAB I PENDAHULUAN ………..…. 1

1.1 Latar Belakang ………..……..……... 1

1.2 Tujuan Penelitian ………..………..………..…..…... 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ………..….... 3 2.1 Proses Poisson Periodik …………...………...…….….. 3 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ….….…... 5 2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi

Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson

Periodik dengan Tren Linear ………...…... 7

BAB III REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT ………....………...….. 9 3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson

dengan Tren Fungsi Pangkat ……….…... 9 3.1.1 Pendugaan ………..…....10

3.1.2 Pendugaan ….………... 14

3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson

dengan Tren Fungsi Pangkat ……… 19

BAB IV KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI

PANGKAT ………... 29

4.1 Perumusan Penduga ………. 29

4.2 Beberapa Lema Teknis ………..………... 32

4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat ……. 49 4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu

Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi

Pangkat ………... 54

4.5 Hasil Simulasi .………... 56

BAB V KESIMPULAN ………..……... 61

DAFTAR PUSTAKA ………..…....… 63

(24)
(25)
(26)
(27)

1. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ………….………. 67

2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ……….... 68

3. Kekonvergenan ………..69

4. Nilai Harapan, Ragam dan Momen ………...70

5. Beberapa Definisi dan Lema Teknis ……….72

6. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya

Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.25 ………74

7. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya

Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.25 …...…………75

8. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya

Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75 ………77

9. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya

(28)
(29)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan

dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu

antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,

banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan

banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk

setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses

stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk

menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di

periode waktu yang akan datang.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan

waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk

khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan

fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat

digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan

pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain

sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena

serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi

pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah

proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.

Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini

dapat dirumuskan sebagai berikut

diasumsikan bahwa periode diketahui, tetapi koefisien dan fungsi pada titik

tidak diketahui, dengan adalah suatu fungsi periodik, dan

adalah komponen tren dengan . Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus

(30)

Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu tunggu

bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang datang

pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin, hal ini

mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil tindakan

dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya peristiwa

serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada tulisan ini

dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu dan fungsi

kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat.

1.2Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :

1. Merumuskan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu proses Poisson

periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan

kekonsistenannya.

2. Merumuskan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu proses Poisson

periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan

kekonsistenannya.

3. Melakukan simulasi komputer untuk mempelajari perilaku penduga fungsi

sebaran bagi waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua untuk

ukuran sampel terbatas, serta mempelajari pola dugaan fungsi sebaran waktu

(31)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state .

(Ross, 1996)

Jika merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik

disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan disebut proses

stokastik dengan waktu kontinu jika merupakan suatu interval.

Definisi 2.2 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua , peubah acak

adalah bebas.

(Ross, 1996)

Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut

memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang

tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.

Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk

semua nilai .

(Ross, 1996)

Definisi 2.4 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika

(32)

Suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut :

(i) untuk semua

(ii) Nilai adalah integer.

(iii) Jika maka

(iv) Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang

terjadi pada interval .

(Ross, 1996)

Definisi 2.5 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju ,

, jika dipenuhi tiga syarat berikut :

(i)

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang ,

memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan .

Jadi untuk semua

(Ross, 1996)

Definisi 2.6 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika :

untuk semua dan Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di

atas disebut periode dari fungsi tersebut.

(Browder, 1996)

Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi

intensitasnya adalah fungsi periodik.

(33)

2.2 Pendugaan Fungsi Intenitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses

Poisson tersebut. Fungsi intensitas terbagi atas dua, yaitu fungsi intensitas lokal

dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses

Poisson dititik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata

laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.

Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari

suatu proses Poisson di titik adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari

banyaknya kejadian di sekitar titik . Secara matematis, misalkan

dan menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada maka

fungsi intensitas lokal di titik dapat didekati dengan .

Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global

dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya

kejadian dalam interval . Secara matematis, penduga bagi fungsi intensitas

global pada dapat dinyatakan dengan .

Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik

untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya

adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest

neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara

konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode (diketahui) (Helmers dan

Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan

metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari

penduga yang telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain, yaitu dengan

meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses

Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga laju proses Poisson

homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global pada

Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).

Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju

(34)

dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson

dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).

Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya,

yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode

yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses

dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe

kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode

tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang

diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian

dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a)

dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku

2006b).

Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang

dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009),

maupun menggunakan periode ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al.

2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada

Mangku (2005).

Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang

menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan

kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan

menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat

statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam

telah dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari

komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), serta sifat-sifat statistik

penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji

pada Farida (2008), dan pendugaan fungsi intensitas dengan dua kasus, yaitu tren

fungsi pangkat dengan kemiringan dari tren yang diketahui dan tidak diketahui,

selain itu telah dikaji kekonvergenan sebaran asimtotik bagi fungsi periodik untuk

(35)

2.3 Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.

Diasumsikan fungsi intensitas dari suatu proses Poisson nonhomogen yang

diamati pada interval terbatas adalah terintegralkan lokal. Dirumuskan fungsi

sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu, serta penduga dari fungsi-fungsi

tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positif diperoleh bahwa penduga fungsi

sebaran waktu tunggu konvergen dalam peluang terhadap fungsi sebaran waktu

tunggunya, dan diperoleh juga bahwa penduga fungsi kepekatan waktu tunggu

konvergen dalam peluang terhadap fungsi kepekatan waktu tunggunya, asalkan

interval yang diamati merupakan titik Lebesgue dari fungsi intensitas, seperti yang

(36)
(37)

BAB 3

REVIEW

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN

GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval

dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi diasumsikan

terintegralkan lokal dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik

(siklik) dengan periode (diketahui) dan suatu komponen tren yang berupa

fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sebarang titik , fungsi intensitas

dapat dituliskan sebagai berikut :

dengan adalah fungsi periodik dengan periode , menyatakan kemiringan

tren dimana dan (diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana

. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali

bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik dan seluruh

, dengan adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut

3.1 Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat

Berdasarkan Rachmawati (2010), misalkan untuk suatu , hanya

terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson yang terdefinisi pada suatu

ruang peluang dengan fungsi intensitas seperti pada yang diamati

pada interval terbatas . Karena adalah fungsi periodik dengan

periode , maka masalah menduga pada titik dengan dapat

(38)

Diasumsikan fungsi intensitas global bagi merupakan nilai rata-rata dari

pada yaitu .

Misalkan adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen ke nol,

yaitu

untuk dan misalkan pula adalah suatu fungsi bernilai real,

disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut :

(K.1) merupakan fungsi kepekatan peluang.

(K.2) terbatas.

(K.3) memiliki daerah definisi pada .

3.1.1 Pendugaan

Berdasarkan modifikasi penduga pada Rachmawati (2010), diperoleh

penduga untuk seperti berikut :

untuk .

Untuk mendapatkan penduga , cukup diperlihatkan bahwa

Karena memenuhi , maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis

Perhatikan suku pertama , dengan menggunakan asumsi adalah fungsi

(39)

adalah . Langkah berikutnya, mengga nti

dengan padanan stokastiknya yaitu maka diperoleh

Jika kedua ruas dikalikan dengan diperoleh

sehingga

Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika dan , sehingga

. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

maka diperoleh penduga dari , yaitu seperti pada .

Lema 3.1

Misalkan fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, maka

untuk , dengan Dengan kata lain, merupakan

penduga yang konsisten bagi , dengan Mean Square Error-nya adalah

untuk .

Bukti :

(40)

untuk . Ruas kanan adalah

Karena fungsi intensitas seperti , maka

untuk

Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika dan .

Sehingga . Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai

untuk

Dengan mensubstitusikan ke , diperoleh seperti pada .

Ragam dari diperoleh dengan cara serupa, yaitu :

Karena adalah proses Poisson, maka sehingga persamaan di

(41)

Karena fungsi intensitas seperti , maka

untuk

Perhatikan bahwa konvergen ke 0 jika , dan . Sehingga

untuk

Dengan mensubstitusikan pada , maka diperoleh seperti

pada .

Didefinisikan berikut :

dimana .

Berikutnya, substitusikan dan pada , maka diperoleh

untuk

Langkah selanjutnya, dengan menjumlahkan dan menyederhanakan hasil

pada maka diperoleh seperti pada .

Telah dibuktikan dan , sehingga Lema 3.1 terbukti.

Teorema 3.1 (Kekonsistenan )

(42)

untuk .

Bukti :

Untuk membuktikan , berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa

untuk . Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh

Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh , berarti , ada sehingga

Sehingga . Jadi untuk membuktikan

bahwa , digunakan ketaksamaan Chebychev, sehingga

diperoleh

Berdasarkan Lema 3.1, diperoleh untuk sehingga diperoleh

. Berdasarkan langkah-langka h di atas, Teorema 3.1 terbukti.

3.1.2 Pendugaan

Berdasarkan Farida (2008) dan Rachmawati (2010), diperoleh modifikasi

penduga dari pada titik sebagai berikut :

dengan , , adalah suatu kernel dan adalah barisan

bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ,

serta adalah penduga bagi seperti .

Lema 3.2

Jika fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, serta kernel

(43)

untuk , asalkan adalah titik Lebesgue dari . Jika kernel memenuhi

kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan , untuk , maka

untuk .

Bukti :

Berdasarkan , dapat dihitung sebagai berikut :

Dari dapat dimisalkan

maka dapat dinyatakan sebagai

Suku pertama pada ruas kanan diperoleh sebagai berikut

untuk

(Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010).

(44)

Dengan menggunakan pada persamaan di atas, maka diperoleh

untuk . Dengan mensubstitusikan dan pada , maka

diperoleh persamaan seperti .

Ragam dari diperoleh dengan menggunakan sehingga

Dengan memisalkan seperti maka persamaan di atas dapat ditulis

(45)

untuk (Lihat Farida 2008 & Rachmawati 2010). Nilai suku kedua dari ruas

kanan dapat ditentukan sebagai berikut

Dengan menggunakan pada persamaan di atas, maka diperoleh

untuk . Dari dan , dengan menggunakan ketaksamaan

(46)

untuk . Karena dan untuk maka untuk

sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

untuk . Kemudian, dengan mensubstitusikan hasil dan

pada maka diperoleh seperti pada .

Teorema 3.2 (Kekonsistenan )

Jika fungsi intensitas seperti dan terintegralkan lokal, serta kernel

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan maka

untuk , asalkan adalah titik Lebesgue dari .

Bukti :

Untuk setiap berlaku

jika .

Menggunakan ketaksamaan segitiga, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis

sebagai berikut :

Berdasarkan , diperoleh

kemudian untuk setiap , ada sehingga

(47)

dengan menggunakan ketaksamaan Chebychev pada persamaan di atas, diperoleh

Menggunakan hasil pada , maka dapat dituliskan sebagai berikut

untuk . Melihat hubungan antara persamaan di atas dan , maka

terbukti bahwa jika .

Berdasarkan langkah-langka h di atas, Teorema 3.2 terbukti.

3.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson dengan Tren Fungsi Pangkat

Fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada

interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada

pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan

menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam interval . Secara

matematis, penduga bagi fungsi intensitas global pada dapat dinyatakan

dengan .

Memodifikasi hasil pada Yuliawati (2008), kita asumsikan bahwa periode

diketahui, tetapi fungsi pada tidak ketahui, didefinisikan penduga untuk

sebagai berikut

dengan adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,

yaitu dan seperti .

Teorema 3.3 (Kekonsistenan )

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka

(48)

Bukti : Teorema 3.3 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 3.4 dan Teorema 3.5.

Teorema 3.4 (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dari )

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka

untuk .

Bukti :

Pertama, akan dibuktikan sebagai nilai harapan dari yaitu

Perhatikan, suku pertama pada ruas kanan , yaitu

dengan perubahan batas integral, maka persamaan diatas menjadi

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka persamaan

(49)

Berdasarkan , suku pertama ruas kanan menjadi

Diketahui bahwa

jika (Lihat Titchmarsh 1960).

Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan pada , maka

diperoleh

jika

(50)

Perhatikan salah satu komponen berikut,

jika

Dengan mensubstitusikan pada , diperoleh

(51)

Selanjutnya, dengan menggabungkan dan , maka diperoleh

ruas kanan pada seperti berikut :

jika

Berikutnya, perhatikan suku kedua ruas kanan yaitu

Dengan menggunakan maka kuantitas di atas menjadi

untuk .

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari

dan ke , maka diperoleh seperti pada .

Bedasarkan langkah-langkah di atas, Teorema 3.4 terbukti.

Teorema 3.5 (Pendekatan Asimtotik untuk Ragam dari )

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka

untuk

(52)

untuk

jika

Bukti :

Akan dibuktikan dan . Catatan, untuk setiap dimana

j,k = 1,2,…, maka dan tidak saling

tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga dan

adalah bebas, untuk .

Telah didefinisikan penduga bagi yaitu pada sehingga

dapat dihitung sebagai

dengan memisalkan

Perhatikan suku pertama ruas kanan dari Berdasarkan kuantitas

yang diperlukan, dapat dibedakan dalam tiga kasus, yaitu

dan .

Untuk kasus diperoleh

jika .

Untuk kasus diperoleh

(53)

Untuk kasus diperoleh

jika .

(Lihat Yuliawati, 2008).

Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan sehingga dapat

diperoleh sebagai berikut

Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan pada persamaan di

atas, diperoleh persamaan berikut

untuk .

Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz pada

suku ketiga ruas kanan diperoleh sebagai berikut

Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, ekspresi di atas dapat dibedakan dalam

tiga kasus, yaitu dan .

(54)

untuk

Berdasarkan hasil yang tunjukkan pada langkah-langkah sebelumnya, diperoleh

, untuk .

Dengan cara yang sama dilakukan untuk kedua kasus berikutnya, yaitu

untuk kasus dan kasus . Diperoleh dan

, untuk , akibatnya dan ,

sehingga , untuk .

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari langkah-langkah di atas

ke sehingga diperoleh yang dibedakan menjadi tiga kasus

berikut, yaitu

Untuk kasus

untuk . Dengan kata lain diperoleh seperti pada .

(55)

untuk . Dengan kata lain diperoleh seperti pada .

Untuk kasus

untuk . Dengan kata lain diperoleh seperti pada .

Berdasarkan langkah-langka h di atas, Teorema 3.5 terbukti.

Bukti Teorema 3.3 :

Berdasarkan diperoleh

atau dapat ditulis sebagai

jika

Sedangkan dari dan diperoleh

atau dapat ditulis juga sebagai

jika

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa adalah penduga konsisten bagi ,

yaitu bahwa untuk setiap berlaku

jika .

(56)

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka menjadi

Berdasarkan , ada sehingga

untuk setiap .

Dengan mensubstitusikan ke , diperoleh

Kemudian dengan melihat hubungan antara dan diperoleh

Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pertaksamaan di atas, dengan

menggunakan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh

Perhatikan, dengan menggunakan pada dapat ditunjukkan

hubungan bahwa jika .

(57)

BAB 4

KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN

FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES

POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

4.1 Perumusan Penduga

Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan

fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi diasumsikan terintegralkan lokal

dan terdiri dari dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan

periode (diketahui) dan suatu komponen tren yang berupa fungsi pangkat.

Dengan kata lain untuk sebarang titik , fungsi intensitas dapat

dituliskan sebagai berikut :

dengan adalah fungsi periodik dengan periode , menyatakan kemiringan

tren dimana dan (diketahui) merupakan bilangan nyata sebarang dimana

. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali

bahwa adalah fungsi periodik, sehingga untuk semua titik dan seluruh

, dengan adalah himpunan bilangan bulat, dapat dituliskan sebagai berikut

Misalkan untuk suatu , kita hanya memiliki sebuah realisasi

dari proses Poisson yang terdefinisi pada suatu ruang peluang dengan

fungsi intensitas seperti pada yang diamati pada interval terbatas

. Untuk setiap bilangan nyata dan untuk suatu bilangan bulat

positif , diperoleh fungsi sebaran dari waktu tunggu

(58)

dimana Karena memenuhi maka

diperoleh

Misalkan dimana untuk setiap bilangan nyata , maka

menunjukkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan . Maka

untuk setiap didapatkan dengan . Dimisalkan

merupakan intensitas global dari . Maka untuk setiap

dapat ditulis sebagai berikut

Untuk setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan bulat positif ,

(59)

Berdasarkan dan , diperoleh penduga fungsi sebaran dan fungsi

kepekatan waktu tunggu secara berturut-turut dengan menggunakan data amatan

, yaitu suatu proses Poisson yang diamati pada diberikan

sebagai berikut

dengan

dengan penduga seperti pada sebagai berikut :

dengan adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,

yaitu , penduga seperti pada sebagai berikut :

(60)

dimana adalah barisan bilangan nyata positif yang konvergen menuju nol,

yaitu untuk . Berikutnya, diformulasikan penduga sebagai

berikut :

dengan .

4.2 Beberapa Lema Teknis

Berikut ini disajikan beberapa lema teknis. Prinsip-prinsip yang diperoleh

melalui keempat lema berikut ini digunakan sebagai salah satu alat untuk

membuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan

waktu tunggu.

Lema 4.1

Misalkan dan adalah barisan-barisan peubah acak, serta dan

adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan untuk , maka

untuk

Bukti :

Misalkan dan untuk , dengan menggunakan Definisi L.12

dan misalkan diberikan, maka

(61)

sehingga

Dengan kata lain, terbukti bahwa untuk

Lema 4.2

Misalkan dan adalah barisan-barisan peubah acak, serta dan

adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan untuk , maka

untuk

Bukti :

Misalkan dan untuk , dengan menggunakan Definisi L.12

dan misalkan diberikan, maka

Berdasarkan Definisi L.12, diperoleh

sehingga

(62)

Lema 4.3

Misalkan dan adalah barisan-barisan peubah acak, serta dan

adalah konstanta bilangan nyata. Jika dan untuk , maka

, untuk .

Bukti :

Diasumsikan bahwa dan untuk , dengan menggunakan

Definisi L.12 dan misalkan diberikan, maka

Perhatikan ruas kanan dari .

Berdasarkan diperoleh , sehingga

artinya

Berikutnya, berdasarkan diperoleh , sehingga

artinya

Berikutnya, dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari ke

(63)

Kemudian, untuk , diperoleh sebagai berikut :

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada , diperoleh sebagai berikut

artinya terbukti bahwa , untuk .

Lema 4.4

Misalkan adalah barisan-barisan peubah acak, dan adalah konstanta

bilangan nyata. Jika dan adalah fungsi kontinu, maka ,

untuk .

Bukti :

Diasumsikan , artinya untuk

Akan dibuktikan bahwa , untuk . Artinya,

Perhatikan, karena adalah fungsi kontinu, diberikan , ada , sehingga

,

sehingga

Berdasarkan , diperoleh sebagai berikut :

(64)

Corollary 4.1

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka untuk

setiap bilangan nyata , diperoleh

untuk .

Bukti :

Perhatikan bahwa, dapat pula dinyatakan seperti berikut

Dengan kata lain, akan dibuktikan bahwa merupakan penduga konsisten

dari .

Berdasarkan dan , diperoleh hubungan berikut :

untuk .

Berikutnya, untuk membuktikan , dapat ditunjukkan dengan

membuktikan Lema 4.5, serta menggunakan prinsip Lema 4.1, Teorema 3.1 dan

Teorema 3.3 sebagai berikut :

Lema 4.5

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka untuk

setiap bilangan nyata , diperoleh

untuk .

Bukti :

Melalui Lema 4.5, akan dibuktikan bahwa merupakan penduga

konsisten dari , untuk .

Langkah pertama, dengan menggunakan , diperoleh nilai harapannya

(65)

Untuk persamaan pertama dari ruas kanan kita dapat mengganti batas

integral sebagai berikut

Karena fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, sehingga

persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut

Perhatikan komponen pertama dengan menggunakan diperoleh

(66)

untuk .

(67)

Langkah berikutnya, dengan mensubstitusikan persamaan di atas dan

pada diperoleh

untuk .

Perhatikan kembali persamaan kedua dari ruas kanan , kemudian

dengan menggunakan diperoleh sebagai berikut

untuk .

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan dan pada

maka diperoleh

untuk

Langkah berikutnya, dengan memisalkan diperoleh

(68)

dengan

Perhatikan,

Karena merupakan proses Poisson, maka sehingga persamaan

di atas ditulis menjadi

Karena fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, jadi

(69)

Berdasarkan , diperoleh komponen pertama sebagai berikut

Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, sehingga dapat dibedakan

dalam tiga kasus berikut :

Untuk kasus

jika .

(70)

jika .

Untuk

jika .

Berikutnya, untuk komponen kedua diperoleh

Perhatikan salah satu komponen ruas kanan pada , dengan menggunakan

ekspansi Taylor, diperoleh bahwa

Karena untuk , maka perilaku sama dengan . Persamaan di atas

(71)
(72)

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan ke , diperoleh

hubungan berikut

Berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dapat dibedakan

dalam tiga kasus berikut :

Untuk kasus

jika .

(73)

jika .

Untuk kasus

jika .

Berdasarkan hasil yang didapatkan dari langkah-langkah sebelumnya,

diperoleh ruas kanan sebagai berikut :

Untuk kasus

jika .

Untuk kasus

(74)

Untuk kasus

jika .

Kemudian, kita lanjutkan untuk memperoleh nilai ragam dari sebagai

berikut,

Berdasarkan persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

jika .

Selanjutnya, dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka

diperoleh sebagai berikut

berdasarkan kuantitas yang diperlukan, maka dibedakan dalam tiga kasus, yaitu :

Pertama, kasus Untuk , karena dan

berakibat dan , sehingga

(75)

Kedua, kasus Untuk , karena dan

berakibat dan , sehingga

.

Ketiga, kasus Untuk , karena dan

berakibat dan , sehingga

.

Berdasarkan dan , diperoleh

jika .

Selanjutnya, dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari

dan ke diperoleh

yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu :

Untuk kasus

jika .

(76)

jika .

Untuk kasus

jika .

Langkah berikutnya, untuk membuktikan Lema 4.5, dengan menggunakan

diperoleh

Berdasarkan dan diperoleh

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa adalah penduga konsisten

bagi , yaitu bahwa untuk setiap berlaku

jika .

Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

Berdasarkan ketaksamaan segitiga, maka menjadi

Selanjutnya, berdasarkan , maka ada sehingga

untuk setiap .

(77)

Berikutnya, dengan melihat hubungan antara dan diperoleh

Berdasarkan pertaksamaan Chebyshev, diperoleh

Perhatikan, dengan melihat hubungan dan diperoleh bahwa

jika . Artinya, Lema 4.5 terbukti.

Perhatikan, dengan menggunakan Lema 4.5, Teorema 3.1, Teorema 3.3

dan prinsip Lema 4.1 untuk membuktikan Corollary 4.1, sehingga diperoleh

untuk . Terbukti bahwa merupakan penduga konsisten dari ,

jika .

4.3 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Sebaran Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat

Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi

sebaran waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.

Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu

masalah utama dalam penelitian ini.

Teorema 4.1

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, maka untuk

setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan bulat positif diperoleh

(78)

Bukti :

(79)

Perhatikan, salah satu komponen pertama ruas kanan dari berikut :

(80)

Berdasarkan Corollary 4.1, diperoleh

, untuk .

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4, diperoleh

untuk ,

karena merupakan fungsi kontinu.

Kemudian, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 dan melihat hubungan yang

ditunjukkan pada langkah di atas, diperoleh

untuk .

Berikutnya, perhatikan salah satu komponen kedua ruas kanan dari

berikut :

Berdasarkan langkah yang diperoleh melalui Induksi Matematika pada

untuk semua , ditunjukkan bahwa

.

Langkah pertama, basis induksi :

(81)

(berdasarkan Corollary 4.1).

Langkah kedua, hipotesis induksi :

Diasumsikan benar bahwa .

Langkah ketiga, langkah induksi :

Akan ditunjukkan bahwa

Perhatikan,

dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah pertama dan langkah

kedua, maka persamaan di atas menjadi

Karena langkah pertama sampai langkah ketiga diperlihatkan benar, sehingga

terbukti bahwa untuk semua

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan pada , diperoleh

hubungan berikut :

(82)

Berdasarkan hubungan yang diperoleh dari dan ditunjukkan

bahwa , dengan kata lain Teorema 4.1 terbukti.

4.4 Kekonsistenan Penduga dari Fungsi Kepekatan Waktu Tunggu dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat

Pada teorema berikut dibuktikan kekonsistenan penduga dari fungsi

kepekatan waktu tunggu, jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.

Pengkajian terhadap teorema ini penting dilakukan untuk menjawab salah satu

masalah utama dalam penelitian ini.

Teorema 4.2

Jika fungsi intensitas memenuhi dan terintegralkan lokal, serta

maka untuk setiap bilangan nyata dan bilangan bulat positif , diperoleh

untuk asalkan merupakan titik Lebesgue dari .

Bukti :

untuk , dapat pula dinyatakan sebagai

(83)

Berdasarkan dan pada persamaan di atas, diperoleh

Telah ditunjukkan dari langkah sebelumnya, bahwa

untuk dan untuk .

Berdasarkan langkah-langkah yang diperoleh sebelumnya, dapat

ditunjukkan sebagai berikut

Menurut Teorema 3.2, diperoleh bahwa

untuk .

Menurut Teorema 3.1, diperoleh bahwa

untuk .

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.4 terhadap Corollary 4.1,

diperoleh hasil seperti berikut :

, untuk , maka , untuk , karena

merupakan fungsi kontinu.

Berdasarkan hasil yang diperoleh seperti pada , dimana diperoleh

hubungan , dibuktikan bahwa

untuk (proses pembuktian dapat ditunjukkan dengan menggunakan

induksi matematika, seperti pembuktian sebelumnya).

Berikutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.1, diperoleh bahwa

Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip Lema 4.3 terhadap hasil yang

diperoleh dari langkah-langkah di atas, maka

(84)

4.5 Hasil Simulasi

Di sini diperlihatkan cara menentukan penduga untuk fungsi sebaran

waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua dengan menggunakan data

bangkitan dengan fungsi intensitas

dan

Data dibangkitkan pada interval untuk dengan ,

dan . Kemudian dengan menggunakan pemrograman dapat

diperoleh gambar grafik fungsi sebaran dan penduganya untuk waktu tunggu

kejadian pertama yaitu ketika , dan kejadian kedua ketika , sebagai

(85)
(86)
(87)

Gambar 11 Gambar 12

Grafik dan , ketika Grafik dan , ketika

pada (0,10), dengan dan grid 0.05. pada (0,10), dengan dan grid 0.05.

Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa suatu penduga bagi fungsi

sebaran kejadian pertama dan kejadian kedua akan mendekati sebaran yang

sebenarnya jika semakin besar panjang interval pengamatan . Hal ini sesuai

dengan Teorema 4.1, yaitu akan konvergen ke jika .

Untuk pangkat diperoleh pola dugaan yang lebih dekat terhadap pola

fungsi sebarannya dibandingkan pangkat .

(88)
(89)

BAB 5

KESIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga fungsi sebaran dan

fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi

pangkat. Diformulasikan fungsi intensitas dengan komponen tren fungsi pangkat

sebagai berikut :

diasumsikan bahwa periode diketahui, tetapi koefisien dan fungsi pada titik

tidak diketahui.

Pada situasi ini kita gunakan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan

penduga fungsi kepekatan waktu tunggu berturut-turut sebagai berikut :

dengan

(90)

dimana adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ,

yaitu , , adalah suatu kernel dan adalah barisan

bilangan nyata positif yang konvergen ke nol, yaitu untuk .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, disimpulkan bahwa :

a) Jika fungsi intensitas dan terintegralkan lokal, maka

untuk setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan bulat positif

diperoleh

untuk

b) Jika fungsi intensitas dan terintegralkan lokal, serta

maka untuk setiap bilangan nyata dan untuk setiap bilangan

bulat positif , diperoleh

untuk asalkan merupakan titik Lebesgue dari .

c) Berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa kualitas penduga dari fungsi

sebaran waktu tunggu pertama lebih baik dari waktu tunggu kedua untuk

ukuran yang sama, artinya diperlukan nilai yang lebih besar untuk waktu

tunggu kedua dibandingkan waktu tunggu pertama. Diperoleh pola penduga

yang lebih dekat ke pola sebarannya untuk pangkat 0,25 dibandingkan pangkat

(91)

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer, New York.

Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd

Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.

Ed. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California.

Farida T. 2008. Penduga Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. 3rd

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2

Ed. Prentice Hall. New York.

nd

Helmers R. 1995. On Estimating the Intensity of Oil Polution in the North Sea.

CWI Note BS-N9501.

Ed. Clarendon Press. Oxford.

Helmers R, Zitikis R. 1999. On Estimation of Poisson Intensity Function. Ann.

Ins. Math, 51 (2) 265-280.

Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM-GMU International Conference on

Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-29, 1999, p. 9-21.

Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Precense of Linear Trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61 (3), 559-628.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2007. A Non-parametric Estimator for thr Doubly Periodic Poisson Intensity Function. Statistical Methodology, 4, 481-492.

Hogg et al. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 5th

Mangku IW. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. CWI Report PNA-R9914.

Ed. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process.

(92)

Mangku IW. 2005. A Note on Estimation of the Global Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Journal of Mathematics and

Its Aplications, Vol. 4, No:2.

Mangku IW. 2006a. Weak and Strong Convergence of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its

Aplications, Vol. 5, No:1.

Mangku IW. 2006b. Asymtotic Normality of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its

Aplications, Vol. 5, No:2.

Mangku IW. 2010.Consistent Estimation of the Distribution Function and the Density of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Far

East Journal of Theoretical Statistics, 33 (1), 81-91.

Purcell EJ, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Rachmawati, RN. 2008. Sifat-sifat Statistika Penduga Fungsi IntensitasPoisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Rachmawati, RN. 2010. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periode Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

Rahayu M. 2008. Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Ross SM. 1996. Stochastic Processes. 2nd

Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ed. John Wiley & Sons. New York.

Titchmarsh, E. C. 1960. The Theory of Functions. Oxford University Press. London.

Wheeden RL, Zygmund A. 1997. Measure and Integral : An Introduction to Real

Analysis. Marcell Dekker. New York.

(93)
(94)
(95)

Lampiran 1. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian)

Himpunan dari semua peristiwa yang mungkin muncul sebagai akibat atau hasil

dari suatu percobaan disebut ruang contoh, misalkan dinotasikan dengan S.

Himpunan bagian dari ruang contoh, termasuk ruang contoh itu sendiri dan

himpunan kosong disebut kejadian.

(Cassela dan Berger, 2002)

Definisi L.2 (Medan- )

Suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari disebut

medan- jika memenuhi syarat sebagai berikut :

(i)

(ii) Jika maka

(iii) Jika maka

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ,

disebut medan Borel, dinotasikan dan anggota dari medan Borel disebut

himpunan Borel.

Definisi L.3 (Ukuran peluang)

Ukuran peluang P pada adalah fungsi P : yang memenuhi :

(i) P P .

(ii) Jika adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari , yaitu

(96)

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Tripel disebut sebagai ruang peluang.

Definisi L.4 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika P . Secara

umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika,

untuk setiap himpunan bagian J dari I.

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Lampiran 2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi L.5 (Peubah acak)

Peubah acak X adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke himpunan bilangan

nyata .

(Cassela dan Berger, 2002)

Definisi L.6 (Fungsi sebaran kumulatif)

Fungsi sebaran kumulatif dari suatu peubah acak X, dinotasikan sebagai ,

adalah didefinisikan sebagai :

, untuk semua .

(Cassela dan Berger, 2002)

Definisi L.7 (Peubah acak diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika semua nilai dari peubah acak

tersebut merupakan himpunan tercacah.

(97)

Untuk peubah acak diskret fungsi massa peluang didefinisikan sebagai

berikut :

Definisi L.8 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari suatu peubah acak diskret X adalah fungsi

yang diberikan oleh .

(Grimmet dan Stirzaker, 1992)

Definisi L.9 (Peubah acak Poisson)

Peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter , jika fungsi

massa peluangnya dinyatakan oleh

(Ghahramani, 2005)

Lampiran 3. Kekonvergenan

Definisi L.10 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)

Barisan disebut mempunyai limit dan dituliskan atau

jika , apabila untuk setiap terdapat sebuah bilangan

sedemikian sehingga jika maka . Jika ada,

dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan

divergen.

(Stewart, 1999)

Lema L.1 (Deret- )

Deret (disebut juga deret- ) konvergen jika , dan divergen jika

.

(98)

Definisi L.11 (Kekonsistenan)

Misalkan merupakan penduga konsisten bagi , untuk , atau dapat

dinyatakan sebagai

untuk . Jika untuk , untuk .

Definisi L.12 (Kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang .

Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke , dinotasikan

, jika untuk setiap

atau

untuk . Dengan kata lain, jika untuk , maka

atau .

(Hogg et al. 2005)

Lampiran 4. Nilai Harapan, Ragam dan Momen

Definisi L.13 (Nilai harapan)

Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang

. Nilai harapan dari dinotasikan , adalah

jika jumlah di atas konvergen mutlak.

(Hogg et al. 2005)

Lema L.2

Jika adalah peubah acak dan adalah konstanta

sebarang, maka

(99)

Definisi L.14 (Ragam)

Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan

nilai harapan ragam dari dinotasikan dengan atau , adalah

(Hogg et al. 2005)

Lema L.3

Jika adalah peubah acak maka untuk sebarang konstanta dan berlaku

(Ghahramani, 2005) Bukti :

Dari definisi dapat dituliskan bahwa

Dengan demikian Lema L.3 terbukti.

Definisi L.15 (Covarian)

Jika dan adalah peubah acak yang saling bebas, maka

(Ghahramani, 2005) Bukti :

(100)

Dengan demikian Lema L.4 terbukti.

Definisi L.16 (Momen pusat ke- )

Jika adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke- atau dari peubah

acak adalah

(Hogg et al. 2005) Nilai harapan peubah acak merupakan momen pertama dari . Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acak dengan nilai harapannya disebut ragam dari . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak .

Lampiran 5. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi L.17 (Terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan

Borel terbatas diperoleh

(Dudley, 1989)

Definisi L.18 (Titik Lebesgue)

Suatu titik disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika

(101)

Definisi L.19 ( (1) dan (1) )

(i) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis (1)

untuk , jika ada bilangan terhingga dan sehingga

untuk semua bilangan asli .

(ii) Suatu barisan yang konvergen ke nol untuk , dapat ditulis

(1) untuk .

(Purcell dan Varberg, 1998)

Lema L.5 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan mempunyai nilai turunan ke- yang terhingga pada suatu titik , maka

untuk .

Bukti : Lihat Serfling (1980).

Lema L.6 (Ketaksamaan Markov)

Jika adalah peubah acak, maka untuk suatu

(Ghahramani, 2005)

Bukti :

Misalkan , maka , dengan adalah fungsi indikator dari

. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh

(102)

Lema L.7 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam , maka untuk

setiap

(Ghahramani, 2005)

Bukti :

Karena menggunakan ketaksamaan Markov, maka ketaksamaan

Chebyshev diperoleh

Oleh karena adalah ekuivalen , dengan demikian

Lema L.7 terbukti.

Lampiran 6. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.25

Fzduga=function(tau,n,z)

x=s[s>i*tau-(tau/2)&s< i*tau+(tau/2)] sum1=sum1+(length(x)*(1/(tau*i^(0.25)))) }

tetaduga=((1-0.25)/(ntau^(1-0.25)))*sum1-((1-0.25)*aduga*(tau^0.25)*(ntau^0.25)) zr=z-(tau*floor(z/tau))

(103)

for(j in 1:ntau)

Lampiran 7. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Kedua dengan Pangkat 0.25

(104)

P=lambda/maxlambda

(105)

Lampiran 8. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75

Fzduga=function(tau,n,z)

(106)

analitik=seq(1:length(z))

Lampiran 9. Program Penentuan Fungsi Sebaran dan Penduganya Untuk Waktu Tunggu Kejadian Pertama dengan Pangkat 0.75

Fzduga=function(tau,n,z)

(107)
(108)

Function and the Density of Waiting Time of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

This thesis is concerned with estimation of distribution and density functions of waiting time of a periodic Poisson process with power function trend. The intensity function is assumed to consist of two components, namely, a periodic component and a power function trend component. It is also assumed that the Poisson process is observed in interval . Let denotes the waiting time of -th event since the beginning of observation of the Poisson process discussed. Estimators of the distribution function and the density function of have been constructed and their consistency as the length of observation interval of the process goes to infinity have been proved. Finally some numerical results are also presented.

(109)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Terdapat banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan

dengan suatu proses stokastik. Misalnya, proses kedatangan pelanggan pada suatu

antrian di pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon,

banyaknya orang yang memerlukan penanganan kesehatan pada rumah sakit dan

banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk

setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses

stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk

menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui dengan pasti di

periode waktu yang akan datang.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan

waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk

khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson dengan

fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses tersebut antara lain dapat

digunakan untuk memodelkan suatu proses kedatangan pasien yang memerlukan

pelayanan kesehatan segera setelah terjadi suatu bencana, kecelakaan, dan lain

sebagainya dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena

serupa. Jika laju kedatangan pasien tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi

pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah

proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.

Berdasarkan alasan sebelumnya, model fungsi intensitas untuk kasus ini

dapat dirumuskan sebagai berikut

diasumsikan bahwa periode diketahui, tetapi koefisien dan fungsi pada titik

tidak diketahui, dengan adalah suatu fungsi periodik, dan

adalah komponen tren dengan . Kajian ini dibatasi hanya untuk kasus

(110)

Pendugaan terhadap fungsi sebaran dan fungsi kepekatan dari waktu tunggu

bermanfaat dalam peramalan perilaku sistem atau fenomena. Pasien yang datang

pada suatu rumah sakit harus mendapatkan pelayanan sesegera mungkin, hal ini

mengindikasikan seberapa jauh kesiagaan tim medis dalam mengambil tindakan

dan merekapun perlu mempertimbangkan kapan waktu berikutnya peristiwa

serupa terulang kembali. Berdasarkan contoh fenomena tersebut, pada tulisan ini

dikaji penduga-penduga konsisten dari fungsi sebaran waktu tunggu dan fungsi

kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat.

1.2Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :

1. Merumuskan penduga dari fungsi sebaran waktu tunggu proses Poisson

periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan

kekonsistenannya.

2. Merumuskan penduga dari fungsi kepekatan waktu tunggu proses Poisson

periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dan membuktikan

kekonsistenannya.

3. Melakukan simulasi komputer untuk mempelajari perilaku penduga fungsi

sebaran bagi waktu tunggu kejadian pertama dan kejadian kedua untuk

ukuran sampel terbatas, serta mempelajari pola dugaan fungsi sebaran waktu

(111)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state .

(Ross, 1996)

Jika merupakan himpunan tercacah, maka suatu proses stokastik

disebut proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan disebut proses

stokastik dengan waktu kontinu jika merupakan suatu interval.

Definisi 2.2 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua , peubah acak

adalah bebas.

(Ross, 1996)

Diartikan pula, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut

memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang

tidak tumpang tindih (overlaping) adalah bebas.

Definisi 2.3 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk

semua nilai .

(Ross, 1996)

Definisi 2.4 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika

Gambar

Gambar 1
Gambar 3
Grafik  dan , ketika  pada (0,10), dengan  dan grid 0.05.
Grafik  dan , ketika  pada (0,10), dengan  dan grid 0.05.
+5

Referensi

Dokumen terkait

Kendala- kendala lain yang dihadapi oleh penyidik dalam penanggulangan terhadap tindak pidana yang dilakukan oleh anak adalah: Kemampuan dan cara kerja penyidik/penyidik

Data mengenai model struktur tegakan dan sebaran spasial diperoleh dari hasil pengukuran diameter dan kerapatan pohon dengan diameter • FP Pengukuran dilakukan pada ketiga

[r]

[r]

melakukan penelitian ini dengan judul “PENGARUH PENDAPATAN ASLI DAERAH (PAD), DANA ALOKASI UMUM (DAU), DANA ALOKASI KHUSUS (DAK), DAN SISA LEBIH PEMBIAYAAN

Semua obat tradisional jika digunakan dalam jangka waktu yang lama dapat menyebabkan kerusakan ginjal dan hati.. Semua obat tradisional memiliki efek yang lama

Hasil pengujian menunjukkan bahwa metode yang diusulkan (TF.IDF.ICF.IBF.LSI) memberikan nilai evaluasi ( precision, recall, dan f-measure ) yang lebih baik dibandingkan

source code hasil plagiaris, akan tetapi kelemahannya adalah Jaccard similarity mem- bandingkan isi N ± gram dengan eksak dan hanya melihat apakah ada suatu N ±