Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat

(1)

RO’FAH NUR RACHMAWATI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal dari atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, April 2010

(3)

Periodic Component of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

In this thesis, estimation for periodic component of the intensity function of a periodic Poisson process in the presence of power function trend by using general kernel function is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity which consist of a periodic component and a power function trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. There are two cases to be considered. Firstly, it is assumed that the slope of the power function trend to be known. Secondly, it is not assumed that the slope of the power function trend to be known. It has been formulated estimators for both cases and also has been formulated statistical properties of those estimators. Finally, it is also given asymptotic normality of those estimators.

(4)

RINGKASAN

RO’FAH NUR RACHMAWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, dalam fenomena pelayanan pelanggan (customer service) yaitu banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Jika laju proses tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval , ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik , ∞ dapat ditulis fungsi intensitas sebagai berikut

dan , dengan adalah fungsi periodik dengan periode dan a adalah kemiringan dari tren, serta diasumsikan bahwa nilai b dan adalah diketahui. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari , kecuali bahwa adalah periodik dengan persamaan:

berlaku untuk setiap , ∞ dan dengan adalah himpunan bilangan bulat.

Misalkan untuk suatu Ω, hanya terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, , P dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas ,

, ∞ . Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah

menduga pada titik s dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan , .

Pada pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat dibedakan menjadi dua kasus, yaitu kasus a diketahui dan a tidak diketahui. Selain itu, diasumsikan periode dan b (1)

(5)

, ,

dengan n adalah panjang interval pengamatan, , _, ∑ , K adalah suatu kernel, adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞. Diperoleh bahwa penduga _{, ,} menyebar normal asimtotik. Jika / maka

, , Normal ,

untuk ∞, dengan . Jika /

maka

, , Normal ,

untuk ∞, dengan " dan .

Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a tidak diketahui pada , adalah:

, ,

,

, ,

dengan n adalah panjang interval pengamatan, , _, ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju

nol, yaitu untuk ∞, serta _, , adalah

penduga yang konsisten bagi a. Diperoleh bahwa penduga _{, ,} menyebar normal asimtotik. Jika / maka

, , Normal ,

maka

, , Normal ,

Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh bahwa _{, ,} dan , , adalah penduga tak bias asimtotik bagi dan ragam dari penduga konvergen menuju nol, dengan syarat fungsi intensitas memenuhi

dan terintegralkan lokal, K adalah suatu kernel, ,

∞ untuk ∞, serta s adalah titik Lebesgue dari . Dari dua kasus diperoleh sebaran asimtotik dari _{, ,} dan _{, ,} adalah sama.

(6)

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2010

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor

(7)

RO’FAH NUR RACHMAWATI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

(8)

Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat

Nama : Ro’fah Nur Rachmawati

NIM : G551080051

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S.

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(9)

sehingga tesis yang berjudul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku dan Ibu Ir. Retno Budiarti M.S. selaku pembimbing, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.

Semoga karya tulis ini bermanfaat.

Bogor, April 2010

(10)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Depok pada tanggal 15 Desember 1986 dari ayah H. Buchori Muslim dan ibu Hj. Nur Rofiah. Penulis merupakan putri kedua dari tiga bersaudara.

Tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB, lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Program Pascasarjana IPB dan menamatkannya pada tahun 2010.

(11)

Halaman

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1 Proses Poisson Periodik ... 3

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 5

BAB 3 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK UNTUK KASUS DIKETAHUI ... 8

3.1 Perumusan _{, ,} ... 8

3.2 Sifat-sifat Statistik _{, ,} ... 10

3.3 Sebaran Asimtotik _{, ,} ... 22

BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK UNTUK KASUS TIDAK DIKETAHUI ... 36

4.1 Pendugaan ... 36

4.2 Perumusan _{, ,} ... 39

4.3 Sifat-sifat Statistik _{, ,} ... 40

4.4 Sebaran Asimtotik _{, ,} ... 43

BAB 5 KESIMPULAN ... 49

DAFTAR PUSTAKA ... 51

LAMPIRAN ... 54

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan proses stokastik. Sebagai contoh, banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon, dan banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk menggambarkan perilaku suatu system yang tidak diketahui dengan pasti di masa yang akan datang.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena serupa. Jika laju kedatangan tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.

Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut

,

(13)

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

1. Mempelajari perumusan penduga komponen periodik dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dengan fungsi kernel umum.

(14)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 1996) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks , adalah suatu peubah acak. Setiap t pada himpunan indeks juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks adalah himpunan tercacah, sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika adalah suatu interval.

Definisi 2 ( Inkremen Bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu , disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua , peubah acak

, , … , adalah bebas.

(Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 3 (Inkremen Stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu , disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(15)

Definisi 4 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik , disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) _{untuk semua} , ∞ .

(ii) Nilai adalah integer.

(iii) Jika maka , , , ∞ .

(iv) Untuk maka , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang , .

(Ross 1996)

Definisi 5 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan , disebut proses Poisson dengan laju , , jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) .

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan .

Jadi untuk semua , ,

! , , , , …

(16)

Definisi 6 (Fungsi Periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

untuk semua dan . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 7 (Proses Poisson Periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan , ∞ dan , menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada , , maka

fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan , .

Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam selang , . Secara matematis penduga bagi fungsi intensitas

global dapat dinyatakan dengan , .

(17)

metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global pada Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).

Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).

Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).

Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al. 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005).

(18)

(19)

PERIODIK UNTUK KASUS a DIKETAHUI

3.1 Perumusan _{, ,}

Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval , ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode diketahui dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik , ∞ kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut

,

berlaku untuk setiap , ∞ dan .

, ∞ ._Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah

Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari (lihat Definisi 33 pada Lampiran). Pada bahasan ini dikaji dua kasus, yaitu pertama diasumsikan bahwa kemiringan a diketahui sedangkan fungsi pada , tidak diketahui. Kedua diasumsikan fungsi intensitas global bagi yang merupakan nilai rata-rata

dari pada , yaitu diketahui, sedangkan kemiringan a dan

(20)

Misalkan adalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

untuk ∞ dan misalkan : adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut:

(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) K terbatas.

(K.3) K memiliki daerah definisi pada , .

Dengan notasi di atas, dapat dirumuskan penduga dari pada titik

, sebagai berikut:

, ,

, , ,

dengan _, ∑ dan . Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel _{, ,} dari dapat dijelaskan

seperti berikut:

Dari (1) dan (2), untuk setiap titik s dan maka

.

Dengan pemisalan seperti pada (5) maka (6) dapat dituliskan

,

, , .

Nilai fungsi di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar s, yaitu pada interval , serta dengan menggunakan (3) maka (7) dapat ditulis

, ,

,

E ,

, .

Dengan mengganti E , dengan padanan stokastiknya

(21)

, I , , ,

, , ,

dimana I _, . Agar penduga yang diperoleh lebih umum maka digunakan fungsi kernel umum K.

3.2 Sifat-sifat Statistik _{, ,}

Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga)

Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K

adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞ maka

E , , "

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari .

Bukti:

Dari persamaan (4) dapat dimisalkan

,

, , maka E _{, ,} E E . Suku pertama dari (12) adalah

E

, E

(22)

Dengan penggantian peubah, misalkan: , . Sehingga (13) dapat ditulis

E

, I , .

Karena fungsi intensitas memenuhi (1), maka diperoleh

E

, I ,

, I( ,

,

I( , .

Dapat diperhatikan bahwa _, ∑ / , sehingga

, / /

/ /

.

Dengan menggunakan deret geometri persamaan di atas dapat ditulis

/ /

/

untuk ∞, maka suku pertama (14) dapat ditulis

, I( ,

/

(23)

.

Selanjutnya dengan menggunakan formula Young diperoleh

" _!

untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (17) ke (16) diperoleh

′ " _! .

Dengan penggantian peubah, misal: , , maka (18) menjadi

′ " _!

′ "

.

Karena K adalah simetrik dan memenuhi (K.1) dan (K.3) maka (19) menjadi

"

(24)

"

untuk ∞.

Suku kedua dari (14) dapat diuraikan sebagai berikut. Dengan menggunakan deret Taylor, diperoleh

! !

Karena untuk ∞ maka perilaku dari y sama dengan . Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi

!

untuk ∞. Sehingga suku kedua (14) menjadi

, I( , .

, ! I( , .

Dengan penggantian peubah, misal: , persamaan di atas menjadi

, ! I( , .

, I( ,

.

Dengan

, seperti pada (15), K adalah simetrik dan memenuhi (K.1) dan (K.3)

(25)

/

/ /

/

untuk ∞. Dapat diperhatikan bahwa dengan menggunakan deret Taylor diperoleh

.

Sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

/

.

(26)

E E

,

, . Dengan

, seperti pada (15), ruas kanan (22) menjadi

/

untuk ∞.

Dengan menggabungkan (20), (21), dan (23) maka diperoleh

E , , "

"

untuk ∞. Karena dan ∞ untuk ∞, maka suku

ke-empat dan ke-lima dari persamaan di atas adalah . Sehingga persamaan di atas menjadi

"

(27)

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞, serta terbatas di sekitar s, maka

Var , , _/

untuk ∞.

Bukti:

Dengan pemisalan seperti pada (11) dan karena adalah deterministik, maka

Var , , Var . Untuk nilai n yang besar dan , interval , dan

, tidak overlap sehingga untuk semua ,

dan adalah bebas. Sehingga Var

dapat ditentukan sebagai berikut:

Var Var

,

Var .

Karena N adalah proses Poisson, maka Var E sehingga (27) menjadi

,

E

,

.

Dengan penggantian peubah, misal: , , maka (28) dapat ditulis

Var

,

I( , .

(28)

,

I( ,

,

I( ,

,

I( , .

Karena terbatas di sekitar s maka , adalah konstanta, sehingga suku pertama ruas kanan (30) dapat ditulis

,

I( ,

,

I( , .

Dengan penggantian peubah, misal: , maka ruas kanan (31)

menjadi

,

I( , .

Karena K memenuhi (K.3) maka (32) dapat ditulis

,

I( , .

Untuk menentukan kuantitas pada ruas kanan (33), dibedakan dalam tiga kasus,

yaitu untuk , , dan . Untuk dapat

diperhatikan bahwa

I( , /

untuk ∞. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari (15) dan (34), maka kuantitas ruas kanan (33) menjadi

,

(29)

/

.

Dengan melihat kuantitas terbesar maka persamaan di atas dapat ditulis

untuk ∞. Untuk , dapat diperhatikan bahwa

I( , ln

untuk ∞. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari (15) dan (36), maka kuantitas ruas kanan (33) menjadi

,

I( ,

/ ln

ln

/ /ln

ln

/ /ln .

Dengan melihat kuantitas terbesar, persamaan di atas menjadi

ln

/

(30)

I( ,

untuk ∞. Sehingga kuantitas pada ruas kanan (33) dapat ditulis

,

I( ,

/

untuk ∞. Dengan mengambil kuantitas terbesar dari (35), (37) dan (39) dapat diperoleh kuantitas pada (33) yang juga menyatakan kuantitas suku pertama (30), yaitu

untuk ∞. Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (30). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, diperoleh

! !

Karena untuk ∞ maka perilaku y sama dengan . Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi

. Dengan menggunakan (41), suku kedua ruas kanan (30) dapat dituliskan

,

(31)

Dengan penggantian peubah, misal: , dan karena K memenuhi

(K.3) maka (42) dapat ditulis

,

I( , .

Dengan menyubstitusikan (15) maka persamaan di atas menjadi

/ I(

,

/ I( ,

I( , .

Dengan cara yang sama yaitu dengan melihat setiap kasus maka persamaan (43) menjadi

I( ,

untuk ∞. Dapat diperhatikan bahwa

I( , I( , .

Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh

! !

(32)

.

Dengan demikian persamaan (45) menjadi

I( ,

.

Dapat diingat kembali bahwa _, ∑ / , sehingga

persamaan di atas dapat ditulis

/

untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (46) ke (44) diperoleh

/

(33)

/

untuk ∞. Nilai dari untuk ∞ maka ruas kanan (48) menjadi

/

untuk ∞. Dengan demikian Teorema 2 terbukti.

3.3 Sebaran Asimtotik _{, ,}

Teorema 3 (Sebaran Normal Asimtotik , , )

Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), terbatas di sekitar s, ∞,

untuk ∞ dan memiliki turunan ke dua yang terbatas di sekitar s.

(i) Jika / maka

/

, , Normal ,

untuk ∞, dengan .

(ii) Jika / maka

/

, , Normal ,

Bukti:

Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (50) dan (51) sebagai berikut: /

, , /

, , E , , / E , , .

(34)

/

, , E , , Normal ,

untuk ∞, dan jika / maka / _E

, ,

untuk ∞, jika / maka

/ _E

, , " .

untuk ∞.

Pertama dibuktikan bentuk (52) di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (52) dapat ditulis

Var , , , , E , ,

Var , ,

.

Untuk membuktikan bentuk (55) konvergen ke ruas kanan (52) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 15. Misalkan:

.

Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak adalah

E E

E

.

Dengan penggantian peubah, misalkan: , . Sehingga suku pertama (57) dapat ditulis

.

(35)

Karena K memenuhi (K.2) suku pertama (58) dapat ditulis

| | I( ,

Karena s adalah titik Lebesgue dari dan dengan penggantian peubah, misal:

, maka persamaan di atas menjadi

I( , I( , .

Karena K memenuhi (K.1) dan terbatas di sekitar s maka persamaan di atas menjadi

untuk ∞.

Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (58). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dapat ditulis

.

Dengan penggantian peubah, misal: , maka persamaan di atas

menjadi

I( ,

I( , I( ,

(36)

.

Dengan demikian ruas kanan persamaan (58) menjadi

.

Dengan menyubstitusikan ruas kanan persamaan (59) ke suku pertama ruas kanan (56) diperoleh

E

untuk ∞.

Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan pemisalan seperti pada (56) dan karena suku kedua adalah deterministik maka

Var Var

Var .

Untuk nilai n yang besar dan , interval , dan

, tidak overlap sehingga untuk semua ,

dan adalah bebas. Dengan demikian

persamaan di atas menjadi

Var .

Karena N adalah proses Poisson, maka Var E sehingga (60) menjadi

E

.

(37)

Karena fungsi intensitas memenuhi (1) maka

.

Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan (61). Karena terbatas

di sekitar s, dan dengan penggantian peubah, misal: , diperoleh

I , .

Karena K memenuhi (K.3) maka

I ,

untuk ∞.

Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (61). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dapat ditulis

.

Dengan penggantian peubah, misal: , dan karena K memenuhi

(K.3) diperoleh

I ,

I , .

(38)

Var I ,

I , .

Misalkan ∑ Var sehingga diperoleh

I ,

I , .

Untuk menentukan kuantitas pada ruas kanan (63), dibedakan dalam tiga kasus,

yaitu untuk , dan . Untuk dapat diperhatikan

bahwa kuantitas dari ∑ I , sama dengan ruas

kanan persamaan (46), dan kuantitas dari ∑ sama dengan ruas kanan

persamaan (34). Dengan demikian persamaan (63) menjadi

/ /

/

untuk ∞. Selanjutnya dengan pemisalan seperti pada (56) diperoleh

(39)

E .

Karena suku kedua adalah deterministik maka persamaan di atas menjadi

E E

E E .

Karena N adalah proses Poisson maka

E

E E

E

E .

Dapat diperhatikan bahwa

Var E .

(40)

Var .

Selanjutnya dapat diperhatikan suku pertama (65). Karena K memenuhi (K.2) dan

Var seperti pada ruas kanan (62) diperoleh

Var

I ,

I , .

! !

Karena untuk ∞ maka persamaan di atas menjadi

.

Dengan demikian diperoleh

(41)

.

Dengan menyubstitusikan (67) ke ruas kanan (66) diperoleh

/

.

Karena ∞ untuk ∞, persamaan di atas yang merupakan suku pertama (65) dapat ditulis menjadi

.

Selanjutnya suku kedua (65) dapat diuraikan sebagai berikut. Karena K memenuhi (K.2) dan Var seperti pada ruas kanan (62) maka

I ,

(42)

I ,

I , .

! !

Karena untuk ∞ persamaan di atas menjadi

.

I ,

/

.

Dengan menyubstitusikan (70) ke persamaan (69) yang merupakan suku kedua persamaan (65) maka diperoleh

(43)

/

.

Dengan menyubstitusikan (68) dan (71) ke ruas kanan (65) diperoleh

E E

.

Karena untuk ∞_{persamaan di atas menjadi}

.

(44)

Sehingga penduga _{, ,} merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu

, ,

,

yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E dan ragam Var , maka diperoleh

, , E , ,

Var , ,

Normal ,

untuk ∞. Sehingga untuk membuktikan (52) tinggal membuktikan

/ _Var

, , .

untuk ∞.

Dengan menyubstitusikan (25) ke ruas kiri (72) diperoleh

/ _Var , ,

/

.

untuk ∞. Misalkan dan √ ,

dengan menggunakan deret Taylor diperoleh

(45)

untuk ∞. Sehingga diperoleh

/ _Var , ,

untuk ∞.

Dengan cara yang sama diperoleh hasil yang sama untuk dan .

Dengan demikian (52) terbukti.

Untuk membuktikan (53) dan (54) dapat digunakan Teorema 1 sehingga diperoleh

/ _E , ,

/ "

"

.

Karena / untuk ∞, persamaan (74) menjadi

"

(46)

"

(47)

PERIODIK UNTUK KASUS a TIDAK DIKETAHUI

4.1 Pendugaan a

Pada kasus kedua diasumsikan bahwa a tidak diketahui tetapi diketahui. Dari kondisi ini, sebelum merumuskan suatu penduga bagi perlu diformulasikan terlebih dahulu penduga dari a yang konsisten. Penduga dari a adalah:

, , .

Sehingga penduga dari untuk kasus kedua ini dapat diformulasikan seperti pada (4) dengan mengganti nilai a pada persamaan tersebut dengan _, .

Untuk mendapatkan penduga _, cukup diperhatikan bahwa

E , ,

karena memenuhi (1) maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis

.

Dapat diperhatikan suku pertama (76), dengan menggunakan asumsi bahwa

adalah fungsi intensitas global dari maka . Sedangkan suku

kedua dari (76) adalah . Dengan mengganti E ,

dengan padanan stokastiknya yaitu , maka diperoleh

, .

Jika kedua ruas dikalikan dengan , diperoleh

, atau

, .

(48)

Lema 1

Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal, maka

E ,

Var ,

untuk ∞, dengan . Dengan kata lain _, merupakan penduga yang konsisten bagi a, dengan Mean Square Error-nya adalah

,

untuk ∞.

Bukti:

Berdasarkan (75), E _, dapat dihitung sebagai berikut:

E ,

untuk ∞. Suku pertama dari (80) adalah

E ,

Seperti yang telah dilakukan pada pendugaan a, maka nilai dari

, sehingga persamaan di atas dapat ditulis

.

Dengan menyubstitusikan persamaan (81) ke (80), maka diperoleh

(49)

Var ,

Var , .

Karena N adalah proses Poisson, maka Var E _{sehingga persamaan di} atas dapat ditulis

E ,

untuk ∞. Berdasarkan definisi dari , maka

, Bias , Var ,

dan Bias _, E _, , dengan menyubstitusikan (82) diperoleh

Bias ,

untuk ∞. Berdasarkan (83) dan (84) maka diperoleh

,

(50)

Teorema 4 (Kekonsistenan , )

Penduga _, merupakan penduga konsisten bagi a, yaitu

_, untuk ∞.

Bukti:

Untuk membuktikan (86), berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa

, P , untuk ∞. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh

, , E , E , .

Berdasarkan Lema 1 diperoleh E _, , berarti , ada N sehingga

E , , N.

Dari (88) diperoleh P _, P _, E _, . Jadi untuk

membuktikan (84) cukup ditunjukkan

P , E , .

Dengan ketaksamaan Chebychev, diperoleh

P , E , Var , .

Dari Lema 1 yaitu Var _, _untuk ∞, sehingga diperoleh (87). Dengan demikian Teorema 4 terbukti.

4.2 Perumusan _{, ,}

Dasar pembentukan penduga _{, ,} untuk kasus kedua sama dengan kasus pertama, yaitu dengan mengganti a pada kasus pertama dengan _, . Sehingga penduga _{, ,} pada kasus kedua ini dapat diformulasikan sebagai berikut:

, ,

,

, ,

dengan _, ∑ dan , K adalah suatu kernel, adalah barisan

(51)

4.3 Sifat-sifat Statistik _{, ,}

Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga)

Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞ maka

E , , "

untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari .

Bukti:

Dari persamaan (90) dapat dimisalkan

,

, , maka E _{, ,} E E . Suku pertama pada ruas kanan (93) telah diperoleh pada bab sebelumnya yang tidak lain adalah persamaan (20) dan (21) pada pembuktian Teorema 1, yaitu

E "

untuk ∞. Selanjutnya suku kedua dari ruas kanan (93) adalah

E ,

, .

Berdasarkan Lema 1, ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis

,

(52)

dengan menyubstitusikan (15) ke persamaan di atas diperoleh

/

untuk ∞. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, seperti yang telah dilakukan sebelumnya, persamaan di atas dapat ditulis

/

untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (94) dan (95) ke persamaan (93), diperoleh

E , ,

"

untuk ∞. Karena ∞maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi

"

(53)

memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞, serta terbatas di sekitar s, maka

Var , , _/

untuk ∞.

Bukti:

Dengan menggunakan pemisalan seperti pada (92) maka

Var , , Var Var Cov , .

Suku pertama dari (97) telah diperoleh pada kasus pertama yaitu

Var _/

untuk ∞. Nilai dari suku kedua persamaan (97) dapat ditentukan sebagai berikut:

Var Var ,

,

, ,

,

dengan menggunakan (15), persamaan di atas dapat ditulis

/

(54)

untuk ∞. Dari persamaan (98), (99) dan dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, dapat diperoleh suku ke tiga persamaan (97) yaitu

Cov , Var Var

/

√

.

Karena , maka untuk ∞, maka persamaan di atas menjadi

untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (98), (99), dan (101) ke persamaan (97), diperoleh

Var , ,

/

untuk ∞. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.

4.4 Sebaran Asimtotik _{, ,}

Teorema 7 (Sebaran Normal Asimtotik , , )

(55)

/ _{, ,} Normal ,

untuk ∞, dengan .

(ii) Jika / maka

/

, , Normal ,

Bukti:

Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (103) dan (104) sebagai berikut: /

, , /

, , E , , / E , , .

Sehingga untuk membuktikan Teorema 7, cukup dibuktikan /

, , E , , Normal ,

untuk ∞, dan jika / maka / _E

, ,

untuk ∞, jika / maka

/ _E

, , "

untuk ∞. Pertama dibuktikan bentuk (105) di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (105) dapat ditulis

Var , , , , E , ,

Var , ,

.

Untuk membuktikan bentuk (108) konvergen ke ruas kanan (105) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 15. Misalkan:

(56)

Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak adalah

E E ,

E E , .

Nilai dari suku pertama ruas kanan (110) sama dengan suku pertama ruas kanan (57) yaitu

.

Dengan E _, seperti pada (77), suku ke dua (110) menjadi

.

Dengan manggabungkan (111) dan (112) ke persamaan (110) diperoleh

E

untuk ∞. Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan seperti pada (109) dan dengan memisalkan:

, ,

maka Var Var Var Cov , . Nilai dari suku pertama (114) sama dengan ruas kanan (60) yaitu

I , .

(57)

Var ,

.

Dengan ekspansi deret Taylor seperti yang telah dilakukan sebelumnya, persamaan di atas dapat ditulis menjadi

.

Karena dan untuk ∞, maka kuantitas (116) adalah .

Dari persamaan (115), (116) dan dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, dapat diperoleh suku ke tiga persamaan (114) adalah

Cov , Var Var

I , .

Dengan ekspansi deret Taylor seperti yang telah dilakukan sebelumnya diperoleh

.

Karena ∞ untuk ∞ maka persamaan di atas menjadi

.

(58)

.

Karena untuk ∞ maka kuantitas persamaan di atas adalah .

Var

I ,

I , .

Dapat diperhatikan bahwa Var untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var untuk kasus a diketahui, dengan demikian barisan untuk kasus a tidak diketahui juga merupakan barisan peubah acak bebas dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tidak nol untuk sembarang k. Sehingga

penduga _{, ,} merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu

, ,

,

yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E dan ragam Var , maka diperoleh

, , E , ,

Var , ,

(59)

∞.

(60)

BAB 5

KESIMPULAN

Pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat, dengan koefisien pangkat , , dibedakan menjadi dua kasus, yaitu untuk nilai (koefisien kemiringan tren) yang diketahui dan nilai yang tidak diketahui.

Untuk nilai diketahui, diperoleh hasil sebagai berikut: (i) Penduga tipe kernel bagi pada , _adalah:

, ,

dengan n adalah panjang interval pengamatan, , _, ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞.

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan _{, ,} adalah

E , , "

untuk ∞.

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam _{, ,} adalah

Var , , _/

untuk ∞.

(iv) Penduga _{, ,} menyebar normal asimtotik.

Jika / maka

/

, , Normal ,

untuk ∞, dengan .

Jika / maka

/

, , Normal ,

(61)

(i) Penduga tipe kernel bagi pada , _adalah:

, ,

,

, ,

dengan n adalah panjang interval pengamatan, , _, ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞, serta _,

, adalah penduga konsisten bagi a.

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan _{, ,} adalah

E , , "

untuk ∞.

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam _{, ,} adalah

Var , , _/

untuk ∞.

(iv) Penduga _{, ,} menyebar normal asimtotik.

Jika / maka

/

, , Normal ,

untuk ∞, dengan .

Jika / maka

/

, , Normal ,

(62)

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, New York. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth &

Brooks/Cole, Pasific Grove, California.

Dudly RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.

Farida T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. Prentice Hall. New York.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Helmers R. 1995. On Estimating the Intensity of Oil Polution in the North Sea. CWI Note BS-N9501.

Helmers R, Zitikis R. 1999. On Estimation of Poisson Intensity Function. Ann. Inst. Stat. Math, 51 (2) 265-280.

Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM-GMU Intenational Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-29, 1999, p. 9-21. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson

Process in the Precense of Linear Trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61 (3), 559-628.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39.

(63)

481-492.

Hogg et al. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey.

Mangku IW. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. CWI Report PNA-R9914.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of

Amsterdam, Amsterdam.

Mangku IW. 2005. A Note on Estimation of the Global Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 4, No: 2.

Mangku IW. 2006a. Weak and Strong Convergence of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 1.

Mangku IW. 2006b. Asymptotic Normality of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 2.

Purcell EJ, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Rachmawati RN. 2008. Sifat-sifat Statistika Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.

Rahayu M. 2008. Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.

Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John

Wiley & Sons. New York.

Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta.

(64)

(65)

(66)

Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 8 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari rung contoh.

(Ross 1996)

Definisi 9 (Medan - )

Suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan medan - jika memenuhi syarat sebagai berikut:

(i) .฀

(ii) Jika maka . ฀฀฀฀

(iii) Jika , , … maka .

(Grimmet dan Stirzaker 1992) Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ∞, ,

disebut medan Borel, dinotasikan B( dan anggota dari medan Borel disebut

himpunan Borel.

Definisi 10 (Ukuran Peluang)

Ukuran peluang P pada Ω, adalah fungsi P : , yang memenuhi:

(i) P , P Ω .

(ii) Jika , , … adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari , yaitu untuk setiap i, j dengan maka P

∑ P .

(Grimmet and Stirzaker 1992)

(67)

umum, himpunan kejadian , dikatakan saling bebas jika P

∏ P untuk setiap himpunan bagian dari .

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 12 (Peubah Acak)

Peubah acak adalah fungsi : Ω dengan Ω; untuk setiap .

Definisi 13 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah : , , yang didefinisikan

oleh P .

Definisi 14 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai , , … merupakan himpunan tercacah.

Untuk peubah acak diskret fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 15 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi : ,

dengan P .

Definisi 16 (Peubah Acak Poisson)

(68)

P _!, untuk , , , …

(Ghahramani 2005)

Kekonvergenan

Definisi 17 (Kekonvergenan Barisan Bilangan Nyata)

Barisan disebut mempunyai limit dan dituliskan lim atau jika ∞, apabila untuk setiap terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga jika maka | | . Jika lim ada, dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan divergen.

(Stewart 1999)

Lema 6 (Deret-p)

Deret ∑ (disebut juga deret-p) konvergen jika , dan divergen jika

.

Bukti: Lihat Stewart (1999).

Definisi 18 ( Konvergen dalam Peluang)

Misalkan , , … , adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, , P . Dikatakan bahwa barisan peubah acak konvergen dalam peluang ke , dinotasikan , jika untuk setiap , P | | untuk ∞.

Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi 19 (Nilai Harapan)

Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang

P . Nilai harapan dari dinotasikan E , adalah

E P ,

jika jumlah diatas konvergen mutlak.

(69)

sembarang, maka

E E .

Bukti: Lihat Ghahramani (2005).

Definisi 20 (Ragam)

Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang dan nilai harapan E , ragam dari dinotasikan dengan Var atau , adalah

E E E .

(Hogg et al. 2005)

Lema 8

Jika adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku

Var Var .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Dari definisi dapat dituliskan bahwa

Var

E E

Var .

(70)

Definisi 21 (Covarian)

Misalkan dan adalah peubah acak, covariance dari dan didefinisikan sebagai

Cov , E E E .

(Ghahramani 2005)

Lema 9

Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah konstanta sembarang, maka

Var Var Cov , .

Jika dan adalah peubah acak yang saling bebas, maka

Var Var .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Dari definisi dapat dituliskan bahwa

E E

E E E

E E E E E

Var Var Cov , .

Dengan demikian Lema 9 terbukti.

Definisi 22 (Momen ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak adalah E .

(71)

acak adalah E .

(Hogg et al. 2005) Nilai harapan peubah acak merupakan momen pertama dari . Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka dengan nilai harapannya disebut ragam dari . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak .

Penduga

Definisi 24 (Statistik)

Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 25 (Penduga)

Misalkan , , … , adalah contoh acak. Suatu statistik

, , … , yang digunakan untuk menduga fungsi parameter

, dikatakan sebagai penduga bagi , dilambangkan oleh . Nilai amatan , , … , dari dengan nilai amatan , , … ,

, disebut sebagai dugaan bagi .

(Hogg et al. 2005)

Definisi 26 (Penduga Tak Bias)

disebut penduga tak bias bagi , bila E . Bila E

, maka disebut bias bagi penduga. Bila lim E

, maka disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi .

(Hogg et al. 2005)

Definisi 27 (Penduga Konsisten)

Suatu statistik , , … , yang konvergen dalam peluang ke parameter , yaitu disebut penduga konsisten bagi .

(72)

Definisi 28 (Mean Square Error)

Mean Square Error (MSE) dari penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh E . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara penduga dan parameter . Dari sini diperoleh

E Var E Var .

(Cassela and Berger 1990)

Definisi 29 (O(1) dan o(1))

(i) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis untuk ∞, jika ada bilangan terhingga dan sehingga untuk semua bilangan asli n.

(ii) Suatu barisan yang konvergen ke nol untuk ∞, dapat ditulis untuk ∞.

(Purcell and Varberg 1998)

Definisi 30 (Fungsi Indikator)

Fungsi indikator dari himpunan , sering ditulis I , didefinisikan sebagai fungsi

I _{, jika}, jika _.

(Cassela and Berger 1990)

Lema 10 (Ketaksamaan Markov)

Jika adalah peubah acak, maka untuk suatu , P | | | |. (Ghahramani 2005)

Bukti:

Misalkan | | , maka | | I , dengan I adalah fungsi indikator dari . Jika ditentuka nilai harapannya, maka diperoleh

E | | E I

(73)

Lema 11 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam , maka untuk

setiap , P | | .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Karena , dengan ketaksamaan Markov diperoleh

P E .

Oleh karena adalah ekuivalen | | , dengan demikian Lema 11 terbukti.

Lema 12 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz)

Jika dan adalah peubah acak, maka berlaku E E E .

(Ghahramani 2005)

Bukti:

Untuk semua bilangan real , .

Oleh karena untuk semua nilai dari , .

Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka

E .

Hal ini berimplikasi bahwa

E E E .

Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka didapatkan

E E E .

Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis

E E E

(74)

Dengan demikian Lema 12 terbukti.

Lema 13 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

! | | .

Untuk .

Bukti: Lihat Serfling (1980).

Lema 14 (Teorema Deret Taylor)

Misal f suatu fungsi maka deret Taylor dari f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) adalah

!

"

!

(Stewart 1999)

Definisi 32 (Terintegralkan Lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan

Borel terbatas diperoleh ∞.

(Dudley 1989)

Definisi 33 (Titik Lebesgue)

Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika

lim | | .

(75)

memiliki nilai harapan dan ragamnya bernilai berhingga . Jika

∑ dan untuk suatu , ∑ | | , ∞, maka

∑ menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan ∑ dan ragam

, dinotasikan

, .

(Serfling 1980)

(76)

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

RO’FAH NUR RACHMAWATI

(77)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal dari atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, April 2010

(78)

ABSTRACT

RO’FAH NUR RACHMAWATI. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

In this thesis, estimation for periodic component of the intensity function of a periodic Poisson process in the presence of power function trend by using general kernel function is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity which consist of a periodic component and a power function trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. There are two cases to be considered. Firstly, it is assumed that the slope of the power function trend to be known. Secondly, it is not assumed that the slope of the power function trend to be known. It has been formulated estimators for both cases and also has been formulated statistical properties of those estimators. Finally, it is also given asymptotic normality of those estimators.

(79)

Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, dalam fenomena pelayanan pelanggan (customer service) yaitu banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Jika laju proses tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval , ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik , ∞ dapat ditulis fungsi intensitas sebagai berikut

berlaku untuk setiap , ∞ dan dengan adalah himpunan bilangan bulat.

, ∞ . Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah

Pada pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat dibedakan menjadi dua kasus, yaitu kasus a diketahui dan a tidak diketahui. Selain itu, diasumsikan periode dan b diketahui sedangkan tidak diketahui. Fungsi intensitas global diasumsikan diketahui hanya pada kasus kedua.

(1)

(80)

Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a diketahui pada , _adalah:

, ,

dengan n adalah panjang interval pengamatan, , _, ∑ , K adalah suatu kernel, adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞. Diperoleh bahwa penduga _{, ,} menyebar normal asimtotik. Jika / maka

, , Normal ,

maka

, , Normal ,

Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a tidak diketahui pada , adalah:

, ,

,

, ,

dengan n adalah panjang interval pengamatan, , _, ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju

nol, yaitu untuk ∞, serta _, , adalah

penduga yang konsisten bagi a. Diperoleh bahwa penduga _{, ,} menyebar normal asimtotik. Jika / maka

, , Normal ,

maka

, , Normal ,

Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh bahwa _{, ,} dan , , adalah penduga tak bias asimtotik bagi dan ragam dari penduga konvergen menuju nol, dengan syarat fungsi intensitas memenuhi

dan terintegralkan lokal, K adalah suatu kernel, ,

∞ untuk ∞, serta s adalah titik Lebesgue dari . Dari dua kasus diperoleh sebaran asimtotik dari _{, ,} dan _{, ,} adalah sama.

(81)

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor

(82)

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

RO’FAH NUR RACHMAWATI

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

(83)

NIM : G551080051

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S.

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(84)

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-Nya sehingga tesis yang berjudul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku dan Ibu Ir. Retno Budiarti M.S. selaku pembimbing, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.

Semoga karya tulis ini bermanfaat.

Bogor, April 2010

(85)

Buchori Muslim dan ibu Hj. Nur Rofiah. Penulis merupakan putri kedua dari tiga bersaudara.

Tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB, lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Program Pascasarjana IPB dan menamatkannya pada tahun 2010.

(86)

DAFTAR ISI

Halaman BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ... 3 2.1 Proses Poisson Periodik ... 3 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 5

BAB 3 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN

PERIODIK UNTUK KASUS DIKETAHUI ... 8 3.1 Perumusan _{, ,} ... 8 3.2 Sifat-sifat Statistik _{, ,} ... 10 3.3 Sebaran Asimtotik _{, ,} ... 22

BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN

PERIODIK UNTUK KASUS TIDAK DIKETAHUI ... 36 4.1 Pendugaan ... 36 4.2 Perumusan _{, ,} ... 39 4.3 Sifat-sifat Statistik _{, ,} ... 40 4.4 Sebaran Asimtotik _{, ,} ... 43

BAB 5 KESIMPULAN ... 49

DAFTAR PUSTAKA ... 51

LAMPIRAN ... 54

(87)

1.1 Latar belakang

Banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan proses stokastik. Sebagai contoh, banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis, banyaknya orang yang menggunakan suatu line telepon, dan banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Fenomena tersebut dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik, yaitu model yang menggunakan aturan-aturan peluang untuk menggambarkan perilaku suatu system yang tidak diketahui dengan pasti di masa yang akan datang.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis dengan periode satu hari, atau memodelkan fenomena-fenomena serupa. Jika laju kedatangan tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat.

Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut

,

(88)

komponen tren berbentuk fungsi pangkat, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

1. Mempelajari perumusan penduga komponen periodik dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan komponen tren berbentuk fungsi pangkat dengan fungsi kernel umum.

(89)

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.

(Ross 1996) Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks , adalah suatu peubah acak. Setiap t pada himpunan indeks juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks adalah himpunan tercacah, sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika adalah suatu interval.

Definisi 2 ( Inkremen Bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu , disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua , peubah acak

, , … , adalah bebas.

(Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 3 (Inkremen Stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu , disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(90)

sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

Definisi 4 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik , disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) _{untuk semua} , ∞ .

(ii) Nilai adalah integer.

(iii) Jika maka , , , ∞ .

(iv) Untuk maka , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang , .

(Ross 1996)

Definisi 5 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan , disebut proses Poisson dengan laju , , jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) .

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai