BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan , ∞
dan , menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada , , maka fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan , .
Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam selang , . Secara matematis penduga bagi fungsi intensitas global dapat dinyatakan dengan , .
Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global pada Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).
Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999).
Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).
Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al. 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005).
Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rachmawati (2008), serta pendugaan fungsi intensitas global
dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), dan sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida (2008).
PERIODIK UNTUK KASUS a DIKETAHUI
3.1 Perumusan , ,
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval , ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode diketahui dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik , ∞ kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut
,
dan , dengan adalah fungsi periodik dengan periode dan a adalah kemiringan dari tren, serta diasumsikan bahwa nilai b dan adalah diketahui. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari , kecuali bahwa adalah periodik dengan persamaan:
,
berlaku untuk setiap , ∞ dan .
Misalkan untuk suatu Ω, hanya terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, , P dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas ,
, ∞ . Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah
menduga pada titik s dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan , .
Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari (lihat Definisi 33 pada Lampiran). Pada bahasan ini dikaji dua kasus, yaitu pertama diasumsikan bahwa kemiringan a diketahui sedangkan fungsi pada , tidak diketahui. Kedua diasumsikan fungsi intensitas global bagi yang merupakan nilai rata-rata dari pada , yaitu diketahui, sedangkan kemiringan a dan fungsi pada , ∞ tidak diketahui.
Misalkan adalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu
untuk ∞ dan misalkan : adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika memenuhi sifat-sifat berikut:
(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) K terbatas.
(K.3) K memiliki daerah definisi pada , .
Dengan notasi di atas, dapat dirumuskan penduga dari pada titik
, sebagai berikut: , ,
, , ,
dengan , ∑ dan . Ide di balik penyusunan penduga tipe kernel , , dari dapat dijelaskan
seperti berikut:
Dari (1) dan (2), untuk setiap titik s dan maka
.
Dengan pemisalan seperti pada (5) maka (6) dapat dituliskan
,
, , .
Nilai fungsi di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar s, yaitu pada interval , serta dengan menggunakan (3) maka (7) dapat ditulis
, ,
,
E ,
, .
Dengan mengganti E , dengan padanan stokastiknya
, I , ,
,
, , ,
dimana I , . Agar penduga yang diperoleh lebih umum maka digunakan fungsi kernel umum K.
3.2 Sifat-sifat Statistik , ,
Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga)
Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞
untuk ∞ maka
E , , "
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari .
Bukti:
Dari persamaan (4) dapat dimisalkan
,
, ,
maka E , , E E . Suku pertama dari (12) adalah
E
, E
Dengan penggantian peubah, misalkan: , . Sehingga (13) dapat ditulis
E
, I , .
Karena fungsi intensitas memenuhi (1), maka diperoleh
E
, I ,
, I( ,
,
I( , .
Dapat diperhatikan bahwa , ∑ / , sehingga
, / /
/ /
.
Dengan menggunakan deret geometri persamaan di atas dapat ditulis
/ /
/
untuk ∞, maka suku pertama (14) dapat ditulis
, I( ,
/
.
Selanjutnya dengan menggunakan formula Young diperoleh
" !
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (17) ke (16) diperoleh
′ " ! .
Dengan penggantian peubah, misal: , , maka (18) menjadi
′ " !
′ "
′ "
.
Karena K adalah simetrik dan memenuhi (K.1) dan (K.3) maka (19) menjadi
" "
"
untuk ∞.
Suku kedua dari (14) dapat diuraikan sebagai berikut. Dengan menggunakan deret Taylor, diperoleh
! !
Karena untuk ∞ maka perilaku dari y sama dengan . Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
!
untuk ∞. Sehingga suku kedua (14) menjadi
, I( , .
, ! I( , .
Dengan penggantian peubah, misal: , persamaan di atas menjadi
, ! I( , .
, I( ,
.
Dengan
, seperti pada (15), K adalah simetrik dan memenuhi (K.1) dan (K.3) maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
/
/ /
/ /
untuk ∞. Dapat diperhatikan bahwa dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
.
Sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
/
.
E E
,
, .
Dengan
, seperti pada (15), ruas kanan (22) menjadi
/ /
untuk ∞.
Dengan menggabungkan (20), (21), dan (23) maka diperoleh
E , , "
" "
untuk ∞. Karena dan ∞ untuk ∞, maka suku ke-empat dan ke-lima dari persamaan di atas adalah . Sehingga persamaan di atas menjadi
"
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞, serta terbatas di sekitar s, maka
Var , , /
untuk ∞.
Bukti:
Dengan pemisalan seperti pada (11) dan karena adalah deterministik, maka
Var , , Var . Untuk nilai n yang besar dan , interval , dan
, tidak overlap sehingga untuk semua , dan adalah bebas. Sehingga Var
dapat ditentukan sebagai berikut:
Var Var
,
,
Var .
Karena N adalah proses Poisson, maka Var E sehingga (27) menjadi
,
E
,
.
Dengan penggantian peubah, misal: , , maka (28) dapat ditulis
Var
,
I( , .
, I( , , I( , , I( , .
Karena terbatas di sekitar s maka , adalah konstanta, sehingga suku pertama ruas kanan (30) dapat ditulis
,
I( ,
,
I( , .
Dengan penggantian peubah, misal: , maka ruas kanan (31) menjadi
,
I( , .
Karena K memenuhi (K.3) maka (32) dapat ditulis
,
I( , .
Untuk menentukan kuantitas pada ruas kanan (33), dibedakan dalam tiga kasus,
yaitu untuk , , dan . Untuk dapat
diperhatikan bahwa
I( , /
untuk ∞. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari (15) dan (34), maka kuantitas ruas kanan (33) menjadi
,
/
/
/
/
.
Dengan melihat kuantitas terbesar maka persamaan di atas dapat ditulis
untuk ∞. Untuk , dapat diperhatikan bahwa
I( , ln
untuk ∞. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari (15) dan (36), maka kuantitas ruas kanan (33) menjadi
, I( , / ln / ln ln / /ln ln / /ln .
Dengan melihat kuantitas terbesar, persamaan di atas menjadi
ln
/
I( ,
untuk ∞. Sehingga kuantitas pada ruas kanan (33) dapat ditulis
,
I( ,
/ /
untuk ∞. Dengan mengambil kuantitas terbesar dari (35), (37) dan (39) dapat diperoleh kuantitas pada (33) yang juga menyatakan kuantitas suku pertama (30), yaitu
untuk ∞. Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (30). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, diperoleh
! !
Karena untuk ∞ maka perilaku y sama dengan . Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
. Dengan menggunakan (41), suku kedua ruas kanan (30) dapat dituliskan
,
Dengan penggantian peubah, misal: , dan karena K memenuhi (K.3) maka (42) dapat ditulis
,
I( , .
Dengan menyubstitusikan (15) maka persamaan di atas menjadi
/ I(
,
/ I( ,
I( , .
Dengan cara yang sama yaitu dengan melihat setiap kasus maka persamaan (43) menjadi
I( ,
untuk ∞. Dapat diperhatikan bahwa
I( , I( , .
Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh
! !
.
Dengan demikian persamaan (45) menjadi
I( ,
.
Dapat diingat kembali bahwa , ∑ / , sehingga
persamaan di atas dapat ditulis
/
/
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (46) ke (44) diperoleh
/ / / / / / /
/
/
untuk ∞. Nilai dari untuk ∞ maka ruas kanan (48) menjadi
/
/
untuk ∞. Dengan demikian Teorema 2 terbukti.
3.3 Sebaran Asimtotik , ,
Teorema 3 (Sebaran Normal Asimtotik , , )
Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), terbatas di sekitar s, ∞,
untuk ∞ dan memiliki turunan ke dua yang terbatas di sekitar s.
(i) Jika / maka / , , Normal , untuk ∞, dengan . (ii) Jika / maka / , , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
Bukti:
Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (50) dan (51) sebagai berikut: /
, , /
, , E , , / E , , .
/
, , E , , Normal ,
untuk ∞, dan jika /
maka / E , , untuk ∞, jika / maka / E , , " . untuk ∞.
Pertama dibuktikan bentuk (52) di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (52) dapat ditulis
Var , , , , E , ,
Var , ,
.
Untuk membuktikan bentuk (55) konvergen ke ruas kanan (52) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 15. Misalkan:
.
Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak adalah
E E
E
.
Dengan penggantian peubah, misalkan: , . Sehingga suku pertama (57) dapat ditulis
.
Karena K memenuhi (K.2) suku pertama (58) dapat ditulis
| | I( ,
Karena s adalah titik Lebesgue dari dan dengan penggantian peubah, misal:
, maka persamaan di atas menjadi
I( , I( , .
Karena K memenuhi (K.1) dan terbatas di sekitar s maka persamaan di atas menjadi
untuk ∞.
Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (58). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dapat ditulis
.
Dengan penggantian peubah, misal: , maka persamaan di atas menjadi
I( ,
I( , I( ,
.
Dengan demikian ruas kanan persamaan (58) menjadi
.
Dengan menyubstitusikan ruas kanan persamaan (59) ke suku pertama ruas kanan (56) diperoleh
E
untuk ∞.
Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan pemisalan seperti pada (56) dan karena suku kedua adalah deterministik maka
Var Var
Var .
Untuk nilai n yang besar dan , interval , dan
, tidak overlap sehingga untuk semua , dan adalah bebas. Dengan demikian persamaan di atas menjadi
Var .
Karena N adalah proses Poisson, maka Var E sehingga (60) menjadi
E .
Karena fungsi intensitas memenuhi (1) maka
.
Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan (61). Karena terbatas di sekitar s, dan dengan penggantian peubah, misal: , diperoleh
I , .
Karena K memenuhi (K.3) maka
I ,
untuk ∞.
Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan (61). Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dapat ditulis
.
Dengan penggantian peubah, misal: , dan karena K memenuhi (K.3) diperoleh
I ,
I ,
I ,
I , .
Dengan demikian diperoleh nilai dari ruas kanan persamaan (61) yang merupakan nilai dari Var yaitu
Var I ,
I , .
Misalkan ∑ Var sehingga diperoleh
I ,
I , .
Untuk menentukan kuantitas pada ruas kanan (63), dibedakan dalam tiga kasus, yaitu untuk , dan . Untuk dapat diperhatikan
bahwa kuantitas dari ∑ I , sama dengan ruas
kanan persamaan (46), dan kuantitas dari ∑ sama dengan ruas kanan persamaan (34). Dengan demikian persamaan (63) menjadi
/ /
/
untuk ∞. Selanjutnya dengan pemisalan seperti pada (56) diperoleh
E .
Karena suku kedua adalah deterministik maka persamaan di atas menjadi
E E
E E
E E
E E .
Karena N adalah proses Poisson maka
E
E E
E
E .
Dapat diperhatikan bahwa
Var E .
Var .
Selanjutnya dapat diperhatikan suku pertama (65). Karena K memenuhi (K.2) dan
Var seperti pada ruas kanan (62) diperoleh
Var
I ,
I , .
Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh
! !
Karena untuk ∞ maka persamaan di atas menjadi
.
Dengan demikian diperoleh
.
Dengan menyubstitusikan (67) ke ruas kanan (66) diperoleh
/
.
Karena ∞ untuk ∞, persamaan di atas yang merupakan suku pertama (65) dapat ditulis menjadi
.
Selanjutnya suku kedua (65) dapat diuraikan sebagai berikut. Karena K memenuhi (K.2) dan Var seperti pada ruas kanan (62) maka
I ,
I ,
I ,
I , .
Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor diperoleh
! !
Karena untuk ∞ persamaan di atas menjadi
.
Dengan demikian diperoleh
I ,
/
.
Dengan menyubstitusikan (70) ke persamaan (69) yang merupakan suku kedua persamaan (65) maka diperoleh
/
.
Dengan menyubstitusikan (68) dan (71) ke ruas kanan (65) diperoleh
E E
.
Karena untuk ∞ persamaan di atas menjadi
.
Dengan demikian barisan merupakan barisan peubah acak bebas dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tidak nol untuk sembarang k.
Sehingga penduga , , merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu
, ,
,
yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E dan ragam Var , maka diperoleh
, , E , ,
Var , , Normal ,
untuk ∞. Sehingga untuk membuktikan (52) tinggal membuktikan
/ Var , , .
untuk ∞.
Dengan menyubstitusikan (25) ke ruas kiri (72) diperoleh / Var , ,
/
/
/
.
untuk ∞. Misalkan dan √ ,
dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
untuk ∞. Sehingga diperoleh / Var
, ,
untuk ∞.
Dengan cara yang sama diperoleh hasil yang sama untuk dan . Dengan demikian (52) terbukti.
Untuk membuktikan (53) dan (54) dapat digunakan Teorema 1 sehingga diperoleh / E , , / " / " " . Karena /
untuk ∞, persamaan (74) menjadi
"
untuk ∞ sehingga (53) terbukti. Karena /
untuk ∞, persamaan (74) menjadi
" "
PERIODIK UNTUK KASUS a TIDAK DIKETAHUI
4.1 Pendugaan a
Pada kasus kedua diasumsikan bahwa a tidak diketahui tetapi diketahui. Dari kondisi ini, sebelum merumuskan suatu penduga bagi perlu diformulasikan terlebih dahulu penduga dari a yang konsisten. Penduga dari a adalah:
, , .
Sehingga penduga dari untuk kasus kedua ini dapat diformulasikan seperti pada (4) dengan mengganti nilai a pada persamaan tersebut dengan , .
Untuk mendapatkan penduga , cukup diperhatikan bahwa
E , ,
karena memenuhi (1) maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
.
Dapat diperhatikan suku pertama (76), dengan menggunakan asumsi bahwa adalah fungsi intensitas global dari maka . Sedangkan suku kedua dari (76) adalah . Dengan mengganti E ,
dengan padanan stokastiknya yaitu , maka diperoleh
, .
Jika kedua ruas dikalikan dengan , diperoleh
, atau
, .
Lema 1
Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal, maka
E ,
Var ,
untuk ∞, dengan . Dengan kata lain , merupakan penduga yang konsisten bagi a, dengan Mean Square Error-nya adalah
,
untuk ∞.
Bukti:
Berdasarkan (75), E , dapat dihitung sebagai berikut:
E ,
E ,
E ,
untuk ∞. Suku pertama dari (80) adalah
E ,
Seperti yang telah dilakukan pada pendugaan a, maka nilai dari
, sehingga persamaan di atas dapat ditulis
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (81) ke (80), maka diperoleh
Var ,
Var , .
Karena N adalah proses Poisson, maka Var E sehingga persamaan di
atas dapat ditulis
E ,
untuk ∞. Berdasarkan definisi dari , maka
, Bias , Var ,
dan Bias , E , , dengan menyubstitusikan (82) diperoleh
Bias ,
untuk ∞. Berdasarkan (83) dan (84) maka diperoleh ,
Teorema 4 (Kekonsistenan , )
Penduga , merupakan penduga konsisten bagi a, yaitu
, untuk ∞.
Bukti:
Untuk membuktikan (86), berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa
, P , untuk ∞. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
, , E , E , .
Berdasarkan Lema 1 diperoleh E , , berarti , ada N sehingga
E , , N.
Dari (88) diperoleh P , P , E , . Jadi untuk
membuktikan (84) cukup ditunjukkan
P , E , .
Dengan ketaksamaan Chebychev, diperoleh
P , E , Var , .
Dari Lema 1 yaitu Var , untuk ∞, sehingga diperoleh (87). Dengan demikian Teorema 4 terbukti.
4.2 Perumusan , ,
Dasar pembentukan penduga , , untuk kasus kedua sama dengan kasus pertama, yaitu dengan mengganti a pada kasus pertama dengan , . Sehingga penduga , , pada kasus kedua ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
, ,
,
,
, ,
dengan , ∑ dan , K adalah suatu kernel, adalah barisan
4.3 Sifat-sifat Statistik , ,
Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga)
Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞
untuk ∞ maka
E , , "
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari .
Bukti:
Dari persamaan (90) dapat dimisalkan
,
,
, ,
maka E , , E E . Suku pertama pada ruas kanan (93) telah diperoleh pada bab sebelumnya yang tidak lain adalah persamaan (20) dan (21) pada pembuktian Teorema 1, yaitu
E "
untuk ∞. Selanjutnya suku kedua dari ruas kanan (93) adalah
E ,
, .
Berdasarkan Lema 1, ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
,
dengan menyubstitusikan (15) ke persamaan di atas diperoleh
/ /
/
untuk ∞. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, seperti yang telah dilakukan sebelumnya, persamaan di atas dapat ditulis
/
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (94) dan (95) ke persamaan (93), diperoleh
E , ,
"
" "
untuk ∞. Karena ∞maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi
"
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞, serta terbatas di sekitar s, maka
Var , , /
untuk ∞.
Bukti:
Dengan menggunakan pemisalan seperti pada (92) maka
Var , , Var Var Cov , .
Suku pertama dari (97) telah diperoleh pada kasus pertama yaitu
Var /
untuk ∞. Nilai dari suku kedua persamaan (97) dapat ditentukan sebagai berikut: Var Var , , , , , ,
dengan menggunakan (15), persamaan di atas dapat ditulis
/ /
untuk ∞. Dari persamaan (98), (99) dan dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, dapat diperoleh suku ke tiga persamaan (97) yaitu
Cov , Var Var
/
√
.
Karena , maka untuk ∞, maka persamaan di atas menjadi
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (98), (99), dan (101) ke persamaan (97), diperoleh
Var , ,
/
/
untuk ∞. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.
4.4 Sebaran Asimtotik , ,
Teorema 7 (Sebaran Normal Asimtotik , , )
/ , , Normal , untuk ∞, dengan . (ii) Jika / maka / , , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
Bukti:
Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (103) dan (104) sebagai berikut: /
, , /
, , E , , / E , , .
Sehingga untuk membuktikan Teorema 7, cukup dibuktikan /
, , E , , Normal ,
untuk ∞, dan jika /
maka
/ E , ,
untuk ∞, jika /
maka
/ E , , "
untuk ∞. Pertama dibuktikan bentuk (105) di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (105) dapat ditulis
Var , , , , E , ,
Var , ,
.
Untuk membuktikan bentuk (108) konvergen ke ruas kanan (105) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 15. Misalkan:
Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak adalah
E E ,
E E , .
Nilai dari suku pertama ruas kanan (110) sama dengan suku pertama ruas kanan (57) yaitu
.
Dengan E , seperti pada (77), suku ke dua (110) menjadi
.
Dengan manggabungkan (111) dan (112) ke persamaan (110) diperoleh
E
untuk ∞. Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan seperti pada (109) dan dengan memisalkan:
, ,
maka Var Var Var Cov , .
Nilai dari suku pertama (114) sama dengan ruas kanan (60) yaitu
I , .
Var ,
.
Dengan ekspansi deret Taylor seperti yang telah dilakukan sebelumnya, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
.
Karena dan untuk ∞, maka kuantitas (116) adalah .
Dari persamaan (115), (116) dan dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, dapat diperoleh suku ke tiga persamaan (114) adalah
Cov , Var Var
I , .
Dengan ekspansi deret Taylor seperti yang telah dilakukan sebelumnya diperoleh
.
Karena ∞ untuk ∞ maka persamaan di atas menjadi
.
.
Karena untuk ∞ maka kuantitas persamaan di atas adalah .
Dengan demikian diperoleh
Var
I ,
I , .
Dapat diperhatikan bahwa Var untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var untuk kasus a diketahui, dengan demikian barisan untuk kasus a tidak diketahui juga merupakan barisan peubah acak bebas dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tidak nol untuk sembarang k. Sehingga penduga , , merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu
, ,
,
yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E dan ragam Var , maka diperoleh
, , E , ,
Var , ,
∞.
Dapat diperhatikan bahwa Var , , untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var , , untuk kasus a diketahui, sehingga dengan cara yang sama diperoleh (118), dengan demikian (105) terbukti. Untuk membuktikan (106) dan (107) dapat digunakan Teorema 5, dan dapat diperhatikan pula bahwa E , , untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var , , untuk kasus a diketahui, sehingga dengan cara yang sama diperoleh (106) dan (107). Dengan demikian Teorema 7 terbukti.
BAB 5
KESIMPULAN
Pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat, dengan koefisien pangkat , , dibedakan menjadi dua kasus, yaitu untuk nilai (koefisien kemiringan tren) yang diketahui dan nilai yang tidak diketahui.
Untuk nilai diketahui, diperoleh hasil sebagai berikut: (i) Penduga tipe kernel bagi pada , adalah:
, ,
, ,
dengan n adalah panjang interval pengamatan, , , ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞.
(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan , , adalah
E , , "
untuk ∞.
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam , , adalah
Var , , /
untuk ∞.
(iv) Penduga , , menyebar normal asimtotik.
Jika / maka / , , Normal , untuk ∞, dengan . Jika / maka / , , Normal , "
(i) Penduga tipe kernel bagi pada , adalah:
, ,
,
, ,
dengan n adalah panjang interval pengamatan, , , ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞, serta ,
, adalah penduga konsisten bagi a. (ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan , , adalah
E , , "
untuk ∞.
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam , , adalah
Var , , /
untuk ∞.
(iv) Penduga , , menyebar normal asimtotik.
Jika / maka / , , Normal , untuk ∞, dengan . Jika / maka / , , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
DAFTAR PUSTAKA
Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, New York. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth &
Brooks/Cole, Pasific Grove, California.
Dudly RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.
Farida T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. Prentice Hall. New York.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.
Helmers R. 1995. On Estimating the Intensity of Oil Polution in the North Sea. CWI Note BS-N9501.
Helmers R, Zitikis R. 1999. On Estimation of Poisson Intensity Function. Ann. Inst. Stat. Math, 51 (2) 265-280.
Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM-GMU Intenational Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-29, 1999, p. 9-21. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson
Process in the Precense of Linear Trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61 (3), 559-628.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2005. Statistical Properties of a Kernel-type Estimator of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 92, 1-23.
481-492.
Hogg et al. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey.
Mangku IW. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a