BAB 3 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN
4.1 Pendugaan
Pada kasus kedua diasumsikan bahwa a tidak diketahui tetapi diketahui. Dari kondisi ini, sebelum merumuskan suatu penduga bagi perlu diformulasikan terlebih dahulu penduga dari a yang konsisten. Penduga dari a adalah:
, , .
Sehingga penduga dari untuk kasus kedua ini dapat diformulasikan seperti pada (4) dengan mengganti nilai a pada persamaan tersebut dengan , .
Untuk mendapatkan penduga , cukup diperhatikan bahwa
E , ,
karena memenuhi (1) maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
.
Dapat diperhatikan suku pertama (76), dengan menggunakan asumsi bahwa adalah fungsi intensitas global dari maka . Sedangkan suku kedua dari (76) adalah . Dengan mengganti E ,
dengan padanan stokastiknya yaitu , maka diperoleh
, .
Jika kedua ruas dikalikan dengan , diperoleh
, atau
, .
Lema 1
Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal, maka
E ,
Var ,
untuk ∞, dengan . Dengan kata lain , merupakan penduga yang konsisten bagi a, dengan Mean Square Error-nya adalah
,
untuk ∞.
Bukti:
Berdasarkan (75), E , dapat dihitung sebagai berikut:
E ,
E ,
E ,
untuk ∞. Suku pertama dari (80) adalah
E ,
Seperti yang telah dilakukan pada pendugaan a, maka nilai dari
, sehingga persamaan di atas dapat ditulis
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (81) ke (80), maka diperoleh
Var ,
Var , .
Karena N adalah proses Poisson, maka Var E sehingga persamaan di
atas dapat ditulis
E ,
untuk ∞. Berdasarkan definisi dari , maka
, Bias , Var ,
dan Bias , E , , dengan menyubstitusikan (82) diperoleh
Bias ,
untuk ∞. Berdasarkan (83) dan (84) maka diperoleh ,
Teorema 4 (Kekonsistenan , )
Penduga , merupakan penduga konsisten bagi a, yaitu
, untuk ∞.
Bukti:
Untuk membuktikan (86), berdasarkan definisi akan ditunjukkan bahwa
, P , untuk ∞. Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
, , E , E , .
Berdasarkan Lema 1 diperoleh E , , berarti , ada N sehingga
E , , N.
Dari (88) diperoleh P , P , E , . Jadi untuk
membuktikan (84) cukup ditunjukkan
P , E , .
Dengan ketaksamaan Chebychev, diperoleh
P , E , Var , .
Dari Lema 1 yaitu Var , untuk ∞, sehingga diperoleh (87). Dengan demikian Teorema 4 terbukti.
4.2 Perumusan , ,
Dasar pembentukan penduga , , untuk kasus kedua sama dengan kasus pertama, yaitu dengan mengganti a pada kasus pertama dengan , . Sehingga penduga , , pada kasus kedua ini dapat diformulasikan sebagai berikut:
, ,
,
,
, ,
dengan , ∑ dan , K adalah suatu kernel, adalah barisan
4.3 Sifat-sifat Statistik , ,
Teorema 5 (Aproksimasi Asimtotik bagi Nilai Harapan Penduga)
Misalkan fungsi intensitas seperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞
untuk ∞ maka
E , , "
untuk ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari .
Bukti:
Dari persamaan (90) dapat dimisalkan
,
,
, ,
maka E , , E E . Suku pertama pada ruas kanan (93) telah diperoleh pada bab sebelumnya yang tidak lain adalah persamaan (20) dan (21) pada pembuktian Teorema 1, yaitu
E "
untuk ∞. Selanjutnya suku kedua dari ruas kanan (93) adalah
E ,
, .
Berdasarkan Lema 1, ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis
,
dengan menyubstitusikan (15) ke persamaan di atas diperoleh
/ /
/
untuk ∞. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, seperti yang telah dilakukan sebelumnya, persamaan di atas dapat ditulis
/
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (94) dan (95) ke persamaan (93), diperoleh
E , ,
"
" "
untuk ∞. Karena ∞maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi
"
memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), , ∞ untuk ∞, serta terbatas di sekitar s, maka
Var , , /
untuk ∞.
Bukti:
Dengan menggunakan pemisalan seperti pada (92) maka
Var , , Var Var Cov , .
Suku pertama dari (97) telah diperoleh pada kasus pertama yaitu
Var /
untuk ∞. Nilai dari suku kedua persamaan (97) dapat ditentukan sebagai berikut: Var Var , , , , , ,
dengan menggunakan (15), persamaan di atas dapat ditulis
/ /
untuk ∞. Dari persamaan (98), (99) dan dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, dapat diperoleh suku ke tiga persamaan (97) yaitu
Cov , Var Var
/
√
.
Karena , maka untuk ∞, maka persamaan di atas menjadi
untuk ∞. Dengan menyubstitusikan (98), (99), dan (101) ke persamaan (97), diperoleh
Var , ,
/
/
untuk ∞. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.
4.4 Sebaran Asimtotik , ,
Teorema 7 (Sebaran Normal Asimtotik , , )
/ , , Normal , untuk ∞, dengan . (ii) Jika / maka / , , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
Bukti:
Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (103) dan (104) sebagai berikut: /
, , /
, , E , , / E , , .
Sehingga untuk membuktikan Teorema 7, cukup dibuktikan /
, , E , , Normal ,
untuk ∞, dan jika /
maka
/ E , ,
untuk ∞, jika /
maka
/ E , , "
untuk ∞. Pertama dibuktikan bentuk (105) di atas. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (105) dapat ditulis
Var , , , , E , ,
Var , ,
.
Untuk membuktikan bentuk (108) konvergen ke ruas kanan (105) dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema 15. Misalkan:
Untuk sembarang nilai k dan karena suku kedua dari adalah deterministik, diperoleh nilai harapan peubah acak adalah
E E ,
E E , .
Nilai dari suku pertama ruas kanan (110) sama dengan suku pertama ruas kanan (57) yaitu
.
Dengan E , seperti pada (77), suku ke dua (110) menjadi
.
Dengan manggabungkan (111) dan (112) ke persamaan (110) diperoleh
E
untuk ∞. Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut. Dengan seperti pada (109) dan dengan memisalkan:
, ,
maka Var Var Var Cov , .
Nilai dari suku pertama (114) sama dengan ruas kanan (60) yaitu
I , .
Var ,
.
Dengan ekspansi deret Taylor seperti yang telah dilakukan sebelumnya, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
.
Karena dan untuk ∞, maka kuantitas (116) adalah .
Dari persamaan (115), (116) dan dengan menggunakan ketaksamaan Chaucy Schwarz, dapat diperoleh suku ke tiga persamaan (114) adalah
Cov , Var Var
I , .
Dengan ekspansi deret Taylor seperti yang telah dilakukan sebelumnya diperoleh
.
Karena ∞ untuk ∞ maka persamaan di atas menjadi
.
.
Karena untuk ∞ maka kuantitas persamaan di atas adalah .
Dengan demikian diperoleh
Var
I ,
I , .
Dapat diperhatikan bahwa Var untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var untuk kasus a diketahui, dengan demikian barisan untuk kasus a tidak diketahui juga merupakan barisan peubah acak bebas dengan nilai harapan dan ragam yang nilainya terhingga dan tidak nol untuk sembarang k. Sehingga penduga , , merupakan jumlah dari peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta yaitu
, ,
,
yang menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan E dan ragam Var , maka diperoleh
, , E , ,
Var , ,
∞.
Dapat diperhatikan bahwa Var , , untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var , , untuk kasus a diketahui, sehingga dengan cara yang sama diperoleh (118), dengan demikian (105) terbukti. Untuk membuktikan (106) dan (107) dapat digunakan Teorema 5, dan dapat diperhatikan pula bahwa E , , untuk kasus a tidak diketahui sama dengan Var , , untuk kasus a diketahui, sehingga dengan cara yang sama diperoleh (106) dan (107). Dengan demikian Teorema 7 terbukti.
BAB 5
KESIMPULAN
Pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat, dengan koefisien pangkat , , dibedakan menjadi dua kasus, yaitu untuk nilai (koefisien kemiringan tren) yang diketahui dan nilai yang tidak diketahui.
Untuk nilai diketahui, diperoleh hasil sebagai berikut: (i) Penduga tipe kernel bagi pada , adalah:
, ,
, ,
dengan n adalah panjang interval pengamatan, , , ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞.
(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan , , adalah
E , , "
untuk ∞.
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam , , adalah
Var , , /
untuk ∞.
(iv) Penduga , , menyebar normal asimtotik.
Jika / maka / , , Normal , untuk ∞, dengan . Jika / maka / , , Normal , "
(i) Penduga tipe kernel bagi pada , adalah:
, ,
,
, ,
dengan n adalah panjang interval pengamatan, , , ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞, serta ,
, adalah penduga konsisten bagi a. (ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan , , adalah
E , , "
untuk ∞.
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam , , adalah
Var , , /
untuk ∞.
(iv) Penduga , , menyebar normal asimtotik.
Jika / maka / , , Normal , untuk ∞, dengan . Jika / maka / , , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
DAFTAR PUSTAKA
Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, New York. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth &
Brooks/Cole, Pasific Grove, California.
Dudly RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.
Farida T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. Prentice Hall. New York.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.
Helmers R. 1995. On Estimating the Intensity of Oil Polution in the North Sea. CWI Note BS-N9501.
Helmers R, Zitikis R. 1999. On Estimation of Poisson Intensity Function. Ann. Inst. Stat. Math, 51 (2) 265-280.
Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM-GMU Intenational Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-29, 1999, p. 9-21. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson
Process in the Precense of Linear Trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61 (3), 559-628.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2005. Statistical Properties of a Kernel-type Estimator of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 92, 1-23.
481-492.
Hogg et al. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey.
Mangku IW. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. CWI Report PNA-R9914.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.
Mangku IW. 2005. A Note on Estimation of the Global Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 4, No: 2.
Mangku IW. 2006a. Weak and Strong Convergence of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 1.
Mangku IW. 2006b. Asymptotic Normality of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 2.
Purcell EJ, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.
Rachmawati RN. 2008. Sifat-sifat Statistika Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.
Rahayu M. 2008. Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John
Wiley & Sons. New York.
Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta.
Wheeden RL, Zygmund A. 1997. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. Marcell Dekker. New York.
Yuliawati L. 2008. Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 8 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari rung contoh.
(Ross 1996)
Definisi 9 (Medan - )
Suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan medan - jika memenuhi syarat sebagai berikut:
(i) .
(ii) Jika maka . (iii) Jika , , … maka .
(Grimmet dan Stirzaker 1992) Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ∞, ,
disebut medan Borel, dinotasikan B( dan anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.
Definisi 10 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang P pada Ω, adalah fungsi P : , yang memenuhi:
(i) P , P Ω .
(ii) Jika , , … adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari , yaitu untuk setiap i, j dengan maka P
∑ P .
(Grimmet and Stirzaker 1992)
umum, himpunan kejadian , dikatakan saling bebas jika P ∏ P untuk setiap himpunan bagian dari .
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 12 (Peubah Acak)
Peubah acak adalah fungsi : Ω dengan Ω; untuk setiap .
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Definisi 13 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah : , , yang didefinisikan
oleh P .
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Definisi 14 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai , , …
merupakan himpunan tercacah.
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Untuk peubah acak diskret fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 15 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi : ,
dengan P .
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Definisi 16 (Peubah Acak Poisson)
Suatu peubah acak disebut peubah acak Poisson dengan parameter , , jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh
P !, untuk , , , …
(Ghahramani 2005)
Kekonvergenan
Definisi 17 (Kekonvergenan Barisan Bilangan Nyata)
Barisan disebut mempunyai limit dan dituliskan lim atau jika ∞, apabila untuk setiap terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga jika maka | | . Jika lim ada, dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan divergen.
(Stewart 1999)
Lema 6 (Deret-p)
Deret ∑ (disebut juga deret-p) konvergen jika , dan divergen jika
.
Bukti: Lihat Stewart (1999).
Definisi 18 ( Konvergen dalam Peluang)
Misalkan , , … , adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, , P .
Dikatakan bahwa barisan peubah acak konvergen dalam peluang ke , dinotasikan , jika untuk setiap , P | | untuk ∞.
(Grimmet and Stirzaker 1992)
Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi 19 (Nilai Harapan)
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
P . Nilai harapan dari dinotasikan E , adalah
E P ,
jika jumlah diatas konvergen mutlak.
sembarang, maka
E E .
Bukti: Lihat Ghahramani (2005).
Definisi 20 (Ragam)
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang dan nilai harapan E , ragam dari dinotasikan dengan Var atau , adalah
E E E .
(Hogg et al. 2005)
Lema 8
Jika adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku
Var Var .
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Dari definisi dapat dituliskan bahwa
Var E E E E E E E E E E Var .
Definisi 21 (Covarian)
Misalkan dan adalah peubah acak, covariance dari dan didefinisikan sebagai
Cov , E E E .
(Ghahramani 2005)
Lema 9
Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah konstanta sembarang, maka
Var Var Cov , .
Jika dan adalah peubah acak yang saling bebas, maka
Var Var .
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Dari definisi dapat dituliskan bahwa
E E
E E E
E E E
E E E E E
Var Var Cov , .
Dengan demikian Lema 9 terbukti.
Definisi 22 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak adalah E .
acak adalah E .
(Hogg et al. 2005) Nilai harapan peubah acak merupakan momen pertama dari . Nilai harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka dengan nilai harapannya disebut ragam dari . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak .
Penduga
Definisi 24 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 25 (Penduga)
Misalkan , , … , adalah contoh acak. Suatu statistik
, , … , yang digunakan untuk menduga fungsi parameter
, dikatakan sebagai penduga bagi , dilambangkan oleh . Nilai amatan , , … , dari dengan nilai amatan , , … ,
, disebut sebagai dugaan bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 26 (Penduga Tak Bias)
disebut penduga tak bias bagi , bila E . Bila E
, maka disebut bias bagi penduga. Bila lim E
, maka disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 27 (Penduga Konsisten)
Suatu statistik , , … , yang konvergen dalam peluang ke parameter , yaitu disebut penduga konsisten bagi .
Definisi 28 (Mean Square Error)
Mean Square Error (MSE) dari penduga untuk parameter adalah fungsi dari yang didefinisikan oleh E . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara penduga dan parameter . Dari sini diperoleh
E Var E Var .
(Cassela and Berger 1990)
Definisi 29 (O(1) dan o(1))
(i) Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis untuk ∞, jika ada bilangan terhingga dan sehingga untuk semua bilangan asli n.
(ii) Suatu barisan yang konvergen ke nol untuk ∞, dapat ditulis untuk ∞.
(Purcell and Varberg 1998)
Definisi 30 (Fungsi Indikator)
Fungsi indikator dari himpunan , sering ditulis I , didefinisikan sebagai fungsi
I , jika , jika .
(Cassela and Berger 1990)
Lema 10 (Ketaksamaan Markov)
Jika adalah peubah acak, maka untuk suatu , P | | | |.
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Misalkan | | , maka | | I , dengan I adalah fungsi indikator dari . Jika ditentuka nilai harapannya, maka diperoleh
E | | E I
Lema 11 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam , maka untuk setiap , P | | .
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Karena , dengan ketaksamaan Markov diperoleh
P E .
Oleh karena adalah ekuivalen | | , dengan demikian Lema 11 terbukti.
Lema 12 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz)
Jika dan adalah peubah acak, maka berlaku E E E .
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Untuk semua bilangan real , .
Oleh karena untuk semua nilai dari , .
Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka
E .
Hal ini berimplikasi bahwa
E E E .
Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka didapatkan
E E E .
Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis
E E E
E E E
Dengan demikian Lema 12 terbukti.
Lema 13 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka
! | | .
Untuk .
Bukti: Lihat Serfling (1980).
Lema 14 (Teorema Deret Taylor)
Misal f suatu fungsi maka deret Taylor dari f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) adalah ! ! " ! (Stewart 1999)
Definisi 32 (Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas diperoleh ∞.
(Dudley 1989)
Definisi 33 (Titik Lebesgue)
Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika
lim | | .
memiliki nilai harapan dan ragamnya bernilai berhingga . Jika
∑ dan untuk suatu , ∑ | | , ∞, maka
∑ menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan ∑ dan ragam , dinotasikan
, .
(Serfling 1980)
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
RO’FAH NUR RACHMAWATI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat adalah karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal dari atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, April 2010
Ro’fah Nur Rachmawati NIM G551080051
ABSTRACT
RO’FAH NUR RACHMAWATI. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.
In this thesis, estimation for periodic component of the intensity function of a periodic Poisson process in the presence of power function trend by using general kernel function is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity which consist of a periodic component and a power function trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. There are two cases to be considered. Firstly, it is assumed that the slope of the power function trend to be known. Secondly, it is not assumed that the slope of the power function trend to be known. It has been formulated estimators for both cases and also has been formulated statistical properties of those estimators. Finally, it is also given asymptotic normality of those estimators.
Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, dalam fenomena pelayanan pelanggan (customer service) yaitu banyaknya pelanggan yang datang pada suatu pusat servis akan berbeda untuk setiap waktu tertentu. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.
Jika laju proses tersebut meningkat berdasarkan suatu fungsi pangkat terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval , ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas dua komponen, yaitu suatu komponen periodik (siklik) dengan periode dan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi pangkat. Dengan kata lain untuk sembarang titik , ∞ dapat ditulis fungsi intensitas sebagai berikut
dan , dengan adalah fungsi periodik dengan periode dan a adalah kemiringan dari tren, serta diasumsikan bahwa nilai b dan adalah diketahui. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari , kecuali bahwa adalah periodik dengan persamaan:
berlaku untuk setiap , ∞ dan dengan adalah himpunan bilangan bulat.
Misalkan untuk suatu Ω, hanya terdapat sebuah realisasi dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, , P dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas ,
, ∞ . Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah
menduga pada titik s dengan dapat direduksi menjadi masalah menduga pada titik s dengan , .
Pada pendugaan komponen periodik dari fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat dibedakan menjadi dua kasus, yaitu kasus a diketahui dan a tidak diketahui. Selain itu, diasumsikan periode dan b diketahui sedangkan tidak diketahui. Fungsi intensitas global diasumsikan diketahui hanya pada kasus kedua.
(1)
Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a diketahui pada , adalah:
, ,
, ,
dengan n adalah panjang interval pengamatan, , , ∑ , K adalah suatu kernel, adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu untuk ∞. Diperoleh bahwa penduga , , menyebar normal asimtotik. Jika /
maka
, , Normal ,
untuk ∞, dengan . Jika /
maka
, , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
Penduga tipe kernel bagi untuk kasus a tidak diketahui pada ,
adalah:
, ,
,
, ,
dengan n adalah panjang interval pengamatan, , , ∑ , K adalah suatu kernel, dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju
nol, yaitu untuk ∞, serta , , adalah
penduga yang konsisten bagi a. Diperoleh bahwa penduga , , menyebar normal asimtotik. Jika /
maka
, , Normal ,
untuk ∞, dengan . Jika /
maka
, , Normal ,
untuk ∞, dengan " dan .
Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh bahwa , , dan , , adalah penduga tak bias asimtotik bagi dan ragam dari penduga konvergen menuju nol, dengan syarat fungsi intensitas memenuhi
dan terintegralkan lokal, K adalah suatu kernel, ,
∞ untuk ∞, serta s adalah titik Lebesgue dari . Dari dua kasus diperoleh sebaran asimtotik dari , , dan , , adalah sama.
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2010
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa