SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN
PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2016
Intan Fitria Sari
RINGKASAN
INTAN FITRIA SARI. Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon
dapat dimodelkan dengan proses stokastik.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen. Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Misalkan adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan mempunya dua komponen, yaitu komponen periodik, dengan periode (diketahui) dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain, untuk setiap , fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut
memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat dituliskan sebagai berikut
untuk setiap dan , dengan menyatakan himpungan bilangan asli.
Misalkan adalah suatu proses dengan ∑ ,
di mana merupakan barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam , yang juga
bebas terhadap . Proses disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Fungsi nilai harapan dari , dinotasikan dengan yaitu
, dengan
∫ . Misalkan
⌊ ⌋
dimana untuk setiap bilangan real , menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
⌊ ⌋
maka untuk setiap bilangan real , dapat dinyatakan sebagai
dengan .
Misalkan ∫ adalah fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses . Diasumsikan Untuk setiap yang diberikan, dapat dituliskan sebagai berikut
.
Fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi
.
Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan kemiringan pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu .
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂
dengan
̂
̂ ∑
̂
∑
̂
̂ ∑
dengan ̂ saat dan berimplikasi dengan ̂ saat .
Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat, didapatkan
[ ̂ ] ( dan
̂ (
untuk dimana adalah konstanta yang diketahui sebagai berikut
SUMMARY
INTAN FITRIA SARI. Statistical Properties of the Estimator for the Mean Function of a Coumpond Cyclic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
A stochastic process models which using the rules of probability, have an important role in everyday life . For example, the arrival of a customer to a service center ( bank , post office , bookstore , supermarket , etc.) and the arrival of the telephone line can be modeled by a stochastic process.
A stochastic process is divided into two stochastic processes, they are discrete time stochastic process and continuous time stochastic process. If the intensity is constant (not dependent to the time) the process is called homogeneous Poisson process, however if the intensity dependent to the time the process is called nonhomogeneous Poisson process,. Nonhomogeneous Poisson process is a generalization of the homogeneous Poisson process . One particular form of the nonhomogeneous Poisson process is periodic Poisson process, that is a Poisson process with intensity periodic function .
One special form of stochastic process is compound Poisson process which can be used in modeling a wide variety of real phenomena . Bening and Korolev (2002 ) applying compound Poisson process in the insurance and finance . For example , compound Poisson process is used to model the aggregate amount of the claim , so that insurance companies can guess the amount of benefits to be obtained in the future . Previously, Byrne (1969 ) have used a compound Poisson process on some physical problem . In addition, the compound Poisson process has been applied to the fields of demographics ( Kegler 2007) , geology ( Özel and Inal 2008) , and biology ( Puig and Barquinero 2011) .
The study on the compound Poisson process using nonhomogeneous Poisson process was extensive. Therefore , the study begins with one particular form of the nonhomogeneous Poisson process, that is periodic compound Poisson process ( Ruhiyat 2013 ) . The study was expanded to periodic compound Poisson process with linear trend ( Wibowo 2014). Furthermore, the study was expanded to periodic compound Poisson process with power function trend . Periodic compound Poisson process with power function trend is useful to search for generalization of the periodic nature of the compound Poisson process .
Let be a non-homogeneous Poisson process with (unknown) locally integrable intensity function which is assumed to consist of two components, namely, a periodic or cyclic component with (known) period and a power function trend component. In other words, for any points the intensity function can be written as
where is a periodic function with period and is the power function trend component, where denotes the slope of the power function trend. It is also assumed that is known real number and . We do not assume any parametric form of except that it is periodic, that is, the equality
∑
Estimation of the mean function can be divided into several estimations, they are the estimation of , estimation of , estimation of the globally intensity function , and estimation of which is the expected value of the number of events that occur at time intervals . Formulation of the estimator for the mean function of a periodic compound Poisson process with power function trend is
̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂
This estimator is weakly consistent. Asymptotic approximations to the bias and variance of the estimator are given by
̂ (
as where is a constant, which is given by
Keywords: bias, compound Poisson process, cyclic intensity function, mean function, power function trend, variance.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN
PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2015 ini ialah Pemodelan Matematika, dengan judul Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing, serta Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, Muhammad Dinar Mardiana, seluruh keluarga, sahabat, serta teman-teman pascasarjana Matematika Terapan dan adik-adik di Departemen Matematika IPB atas doa dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2016
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
Manfaat Penelitian 2
Kerangka Penelitian 2
PERUMUSAN PENDUGA 3
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 3
Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ̂ 5 Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian ̂ 6
BEBERAPA LEMA TEKNIS 7
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA 10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA 13
SIMPULAN 19
DAFTAR PUSTAKA 20
LAMPIRAN 21
DAFTAR LAMPIRAN
1. Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk 21 2. Penjabaran sebagai nilai harapan dari 22
3. Beberapa lema teknis 23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu.
Proses Poisson dibedakan menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan proses Poisson takhomogen. Pada proses Poisson homogen fungsi intensitas (fungsi nilai harapan) merupakan fungsi yang konstan (tidak bergantung pada waktu), sedangkan pada proses Poisson takhomogen fungsi intensitas bergantung pada waktu. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Proses ini merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena nyata yang berkaitan dengan aturan peluang. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik di antaranya dalam bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, dan seismologi (Helmers
et al. 2003). Dalam suatu proses Poisson periodik, bentuk fungsi intensitas pada
periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada periode berikutnya.
Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat (Sari 2015). Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
2
dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat telah dikaji oleh Sari (2015). Selanjutnya akan dianalisis sifat-sifat statistik dari penduga tersebut.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. merumuskan penduga konsisten untuk fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat
2. menentukan pendekatan asimtotik bagi bias penduga 3. menentukan pendekatan asimtotik bagi ragam penduga.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi terkait perluasan pada bentuk proses Poisson sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi peneliti lainnya dalam penggunaan untuk penelitian yang berkaitan dengan proses Poisson.
Kerangka Penelitian
Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model proses Poisson majemuk perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti komponen proses Poisson homogen pada proses Poisson majemuk menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah satu hal penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut.
Pada penelitian ini, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tidak diasumsikan diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah ditentukan. Pada situasi ini, diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan. Oleh karena itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya, yaitu kekonsistenan lemah. Selain itu, untuk melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya dilakukan analisis pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Langkah-langkah penyelesaian penelitian ini adalah:
1. modifikasi perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat
3
Gambar 1 Bagan Kerangka Penelitian
PERUMUSAN PENDUGA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu komponen periodik, dengan periode (diketahui) dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain, untuk setiap , fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai
(1)
dengan merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode dan merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana melambangkan kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan bilangan real (diketahui) dan . Fungsi periodik tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat dituliskan sebagai
(2)
untuk setiap dan , dengan menyatakan himpunan bilangan asli.
Misalkan adalah suatu proses dengan
∑ , (3)
di mana merupakan barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam , yang juga
bebas terhadap . Proses disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Fungsi nilai harapan dari ,
dinotasikan dengan yaitu
, (4) dengan
∫ . (5)
4
Misalkan
⌊ ⌋
dimana untuk setiap bilangan real , menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan , dan misalkan pula
⌊ ⌋
maka untuk setiap bilangan real , dapat dinyatakan sebagai
dengan .
Selanjutnya untuk setiap yang diberikan dan ∫ adalah fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses , dapat dituliskan sebagai
. (6)
Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada Lampiran 2. Diasumsikan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi
. (7)
Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan (7) dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu
1. Penduga bagi dirumuskan sebagai
̂ ∑ , (8)
dengan ̂ saat berimplikasi ̂ saat Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
2. Penduga bagi kemiringan dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai berikut:
̂ . (9) Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk . 3. Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:
̂ ∑ ̂ (10)
4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂ ) yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu dirumuskan sebagai berikut:
̂
∑ ̂ (11)
Penduga bagi tingkat kemiringan , penduga bagi fungsi intensitas global , dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian merupakan modifikasi dari pendugaan yang telah dikaji Putra (2012) untuk tujuan berbeda.
Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (12)
6
Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu
7
Sehingga didapat penduga untuk yaitu ̂
∑ ̂
BEBERAPA LEMA TEKNIS
Lema 1: Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
( ̂ untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
( ̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta 0 < b < 1 maka
( ̂ ( (
untuk n→ ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
8
dan jika , maka
( ̂ (
untuk n→ ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka
̂ (
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika , maka
̂
jika , maka
̂ (
dan jika , maka
̂ ,
untuk n→ ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
̂ untuk . Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika , maka
( ̂
jika kasus , maka
( ̂ dan jika kasus , maka
( ̂
9 untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika , maka ( ̂
(
jika , maka
( ̂
dan jika , maka
( ̂
(
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka
( ̂ ̂ (
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta maka
̂ ̂ ( untuk n→ ∞. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.
Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta 0 < b < 1 maka
̂ ̂
(
10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA
Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias Penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3) , maka
[ ̂ ] (
untuk Artinya, [ ̂ ] konvergen ke nol jika . Bukti Teorema 1:
[ ̂ ] [ ̂ ]
∑ [ ̂ ]
[ ̂ ]
∑ [ ̂ ]
Untuk maka ̂ . Sedangkan untuk , ̂ ( ̂ ̂ ̂ ∑
Sehingga untuk ,
[( ̂ ̂ ̂ ∑
]
( ̂ ̂ ( ̂ ∑ .
Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 5 diperoleh
( ( ̂ ̂
( ̂ ( ∑
( (
(
(
11
(
(
(
(
(
(
untuk . Jadi,
[ ̂ ] ∑ [ ̂ ]
∑
(
12
∑ (
∑ (
(
(
( ( (
(
(
(
( (
Karena ( ∫ maka
[ ̂ ]
( (
(
(
( untuk . Jadi,
[ ̂ ] [ ̂ ]
(
13
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA
Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam Penduga)
Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3) , maka
̂ (
untuk dengan merupakan konstanta dengan
Artinya, ̂ konvergen ke nol jika . Berdasarkan Teorema 1, yaitu [ ̂ ] konvergen ke nol jika dan Teorema 2, yaitu ̂
konvergen ke nol jika penduga bagi merupakan penduga yang konsisten lemah.
Bukti Teorema 2:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut:
̂ [ ̂ ] ̂ . (13)
Suku kedua dari ruas kanan persamaan (13) telah diperoleh pada persamaan Teorema 1 sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut
[ ̂ ] [ [ ̂ ] ]
∑ [ ̂ ]
[ ̂ ]
∑ [ ̂ ]
Untuk maka ̂ . Sedangkan untuk , ̂ ( ̂ ̂ ̂ ∑
Sehingga untuk , [ ̂ ]
[ ( ̂ ̂ ̂ ∑
14
( ̂ ̂ ̂ ( ∑
Pertama dihitung
( ̂ ̂ ̂
( ̂ ( ̂
( ̂ ̂ ̂
( ̂ ̂
( ̂ ̂
Berdasarkan Lema 7-9 dan Akibat 1-3, persamaan dapat dibedakan menjadi tiga kasus, sehingga untuk dapat ditulis sebagai
( ̂ ̂ ̂
(
( (
(
(
(
(
(
(
15
(
(
(
(
(
untuk . Kedua, dihitung ( ∑
[∑
]
∑
∑ ∑
∑ (
∑ ∑
[ ( ]
16
Jadi diperoleh untuk , [ ̂ ]
(
(
(
(
(
(
(
(
17 Oleh karena itu,
[ ̂ ] [ [ ̂ ] ]
∑
(
( (
∑
(
(
untuk . Pada bukti Teorema 1, telah diperoleh ∑
(14)
untuk . Dengan cara serupa, dapat diperoleh ∑
(15)
untuk . Bukti persamaan (15) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan persamaan (14) dan (15) , dapat dituliskan
18
(
( (
(
(
(
(
( (
( untuk .
Dengan langkah yang sama, diperoleh untuk kasus dan . Sehingga, dengan pendekatan asimtotik untuk ragam penduga, diperoleh ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan untuk adalah sebagai berikut
̂ [ ̂ ] ̂
(
(
(
19
(
(
untuk . Bukti lengkap.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂
dengan
̂
̂ ∑
̂
̂
∑
̂
dan
̂ ∑
dengan ̂ saat , sehingga ̂ jika
Penduga bagi fungsi nilai harapan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam penduga ini adalah
[ ̂ ] ( dan
̂
(
20
DAFTAR PUSTAKA
Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their Applications in
Insurance and Finance. Boston (US): VSP International Science Publishers.
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica 41:575-587.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal. 84(1):19-39.
Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process
(Ph.D.Thesis). Amsterdam : University ofAmsterdam.
Mangku IW, Ruhiyat, IGP Purnaba. 2013. Statistical Properties of an Estimator For the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far East J. Math.
Sciences (FJMS) 82(2):227-237.
Öze G İnal C 2008. The probability function of the compound Poisson process and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 467(2127):897-910.
Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida:
Academic Press Inc.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Ruhiyat, I. W. Mangku and I.G. Purnaba. 2013. Consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East J. Math. Sci
(FJMS) 77(2): 183-194.
Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press. Sari IF. 2015. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat [sikrpsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21 Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
Bukti persamaan (4) : . Berdasarkan persamaan (3),
∑ Dengan menggunakan sifat nilai harapan,
∑ ∑ . Selanjutnya terlebih dahulu
∑
(∑
∑
karena barisan peubah acak bebas terhadap proses . Kemudian, karena adalah barisan peubah acak i.i.d, maka
∑ ∑ , sehingga
∑ .
22
Lampiran 2 Penjabaran sebagai nilai harapan dari Bukti persamaan (6) :
∫
∫
∫ ( ∫ Berdasarkan Ruhiyat (2013): ∫ ( ,
23 Lampiran 3 Beberapa Lema Teknis
Lema 1: Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
( ̂ untuk n → ∞.
Bukti: Nilai harapan dari ̂ dapat ditulis sebagai ( ̂ (
∫
(
( untuk . Bukti lengkap.
Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
( ̂
untuk n → ∞.
Bukti: Ragam dari ̂ dapat ditulis sebagai ( ̂ (
(
∫
(
(
untuk . Bukti lengkap.
Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta 0 < b < 1 maka
( ̂ ( (
untuk n → ∞.
24
( ̂
∑
( ̂
∑ ∫
( (
∑ ∫
( (
( ∑ ∫ (
( ∫
( (
( (
( (
untuk . Bukti lengkap.
Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kasus , maka
( ̂ (
( jika kasus , maka
( ̂
jika kasus , maka
( ̂ (
untuk n → ∞.
Bukti:
25
28
Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (19)-(23) ke persamaan (16), diperoleh ̂ yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut,
29
∑
∫ ∑ (
(
( ∫
(
(
(
( (
( untuk . Bukti lengkap.
Lema 6: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kasus , maka
̂
jika kasus , maka
̂ (
jika kasus , maka
̂
,
untuk n→ ∞.
Bukti:
Untuk setiap , dimana maka dan tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga dan
adalah bebas untuk Telah didefinisikan penduga bagi yaitu ̂ sehingga ( ̂ dapat dihitung sebagai
̂ (24)
dengan memisalkan
∑
30
32
33
Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (27)-(31) ke persamaan (24), diperoleh ̂ yang dibedakan menjadi tiga kasus
Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
34
35 untuk kasus , diperoleh
( ̂
(
( untuk n → ∞.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal.
Jika kasus , maka ( ̂
(
jika kasus , maka
( ̂
dan jika kasus , maka
( ̂
(
untuk n → ∞.
Bukti:
( ̂ ̂ ( ̂
( ̂
36
(
untuk kasus , diperoleh
( ̂
untuk kasus , diperoleh
( ̂
(
untuk n → ∞.
Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka
( ̂ ̂ (
untuk n → ∞.
Bukti: Nilai harapan dari ̂ ̂ adalah sebagai berikut: Misal
∑
dan ̂
( ̂ ̂ (
∑
38
Suku kedua persamaan (32) dapat dituliskan sebagai berikut ( ̂
40
Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta 0 < b < 1 maka
̂ ̂
(
41 Bukti:
Misalkan
̂ ∑
̂
̂ ∑ ̂ Perhatikan bahwa
̂ (̂ ̂ Berdasarkan Lampiran 4. Diperoleh
(̂ ̂ (
untuk Nilai harapan dari ̂ ̂ adalah sebagai berikut: ̂ ̂
(̂ ̂ ( ̂ ̂
̂ (̂ ̂ ( ̂ ̂
̂ ̂ (̂ ̂ ( ̂ ̂
̂ (̂ ̂ ( ̂ ̂ Berdasarkan Lema 6, diperoleh ̂ dalam tiga kasus, yaitu
untuk , diperoleh
̂ (̂ ̂ ( ̂ ̂
(
( (
( ( (
(
(
untuk , diperoleh
42
(
( (
( ( (
(
(
untuk , diperoleh
̂ (̂ ̂ ( ̂ ̂
( (
( ( (
(
(
44
∑
∑
Karena Poisson, maka , sehingga diperoleh
∑
(
untuk
Ketiga dihitung
∑
̂
∑
̂
∑
46
untuk
Sehingga diperoleh
(̂ ̂
( (
(
(
(
( (
(
(
47
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA 1 Kudus. Tahun 2015 penulis lulus sebagai Sarjana Sains dari Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dan pada tahun yang sama secara resmi diterima di Pascasarjana IPB dengan Program Studi Matematika Terapan (MAT), namun penulis telah mengikuti kegiatan perkuliahan di S-2 MAT sejak September 2014 melalui program sinergi IPB (fasttrack).
