KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Oleh:
LIA NURLIANA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
‘’ Karya ilmiah ini ku persembahkan untuk : Mamah, Aa, Kakak-kakak ku tersayang dan
RINGKASAN
LIA NURLIANA. Kekonsistenan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Sehingga proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam memodelkan fenomena di berbagai bidang kehidupan kita sehari-hari. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalkan banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini terdiri atas komponen periodik dan komponen tren linear.
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Oleh:
LIA NURLIANA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Nama : Lia Nurliana
NRP : G54102005
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc Ir. Retno Budiarti, MS
NIP. 131 633 020 NIP. 131 842 409
Mengetahui,
Dekan FMIPA
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur 7 September 1983 sebagai anak ketujuh dari tujuh bersaudara, anak dari pasangan Maman Abdurahman dan Niah Mariah.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan izin dan rahmat – Nya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear ”.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc. sebagai pembimbing I atas kesabaran, koreksi, dan
bimbingannya selama ini.
2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. sebagai pembimbing II atas kesabaran, koreksi, dan bimbingannya.
3. Bapak Drs. Siswandi, MS. sebagai moderator seminar dan dosen penguji.
4. Mamah dan Aa untuk doa dan dukungannya, serta kesabaran dan kasih sayangnya selama ini.
5. Kakak-kakak ku tersayang (Teh Ai, Teh Elis, Teh Ois, Kang Yayan, Teh Nunung, dan Teh Yuyun), terima kasih atas dukungan, doa dan kasih sayangnya selama ini. “Alhamdulillah adik kalian yang bungsu ini bisa lulus juga”.
6. Keponakan-keponakan dan cucu ku yang lucu-lucu, terima kasih atas doanya selama ini pada Bi Iya.
7. Kak Imron Amirullah untuk kasih sayang, kesabaran, dan doanya selama ini. “Alhamdulillsh Ade bisa menyelesaikan skripsi ini dengan lancar dan cepat, terima kasih juga telah menemani saat sidang”.
8. Kakak-kakak ipar, Bibi, Ua, Amang, dan saudara-saudara ku terima kasih atas doa dan dukungannya.
9. Andri, Aden, dan Erra yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar.
10. Teman sebimbingan Nur dan Lutfi untuk persahabatan, doa, dan bantuannya.”Lutfi, tetap semangat. Kamu pasti bisa”.
11. Azhari, Erra, Lutfi, Moza, Nur (terima kasih sudah menemani saat sidang dan membantu jadi seksi konsumsi), Neli dan Elis untuk persahabatan, doa, serta bantuannya.
12. Sahabat-sahabat ku: Miranti, Innike atas doa, kasih sayang, dukungan, dan dorongannya selama ini.
13. Warga Balsem: Nyimas, Mbak Tanti, Mbak Ari, Dewi Titi, Ainy, Ela, Wicha, Zakiah, Yolanda, Sarry, Ani, Teh Lili, Teh Atin, Harni, Tati, Renti, Achi, Enny, Desy, Mbak Umi, Mbak Iib, Mbak Tutut atas doa dan dukungannya selama ini.
14. Warga Griya Amani di Baranangsiang.
15. Riswan dan teman-teman di kosan Kc Math terima kasih atas pinjaman komputernya.”Yana, tetap semangat dalam mengerjakan skripsi”.
16. Teman–teman math 39, ”Kalian telah membuat suatu kenangan yang indah bagi Iya”. 17. Seluruh pegawai Departemen Matematika ( Bu Ade, Mas Bono, Mas Yono, Bu Susi,
Mas Deni ... ) dan FMIPA .
18. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua pihak yang mempunyai ketertarikan yang sama pada materi ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan.
Bogor, Oktober 2005
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ...vi
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1
Tujuan . ...1
LANDASAN TEORI Kejadian dan Peluang . ...1
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran . ...2
Kekonvergenan ...2
Momen dan Nilai Harapan ...3
Penduga Tak-bias dan Penduga Konsisten...4
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ...4
Proses Stokastik dan Proses Poisson ...6
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga ...7
Kekonvergenan dari Penduga Kemiringan Tren Linear...8
Kekonsistenan dari Penduga Komponen Periodik ...11
SIMPULAN ...15
DAFTAR PUSTAKA ...16
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Bukti Lema 2 ………... . . .. .. . . 17
Bukti Lema 3 ……….... . . .. . . . .17
Bukti Lema 4 Ketaksamaan Markov………18
Bukti Lema 5 Ketaksamaan Chebyshev………...…18
Bukti Lema 6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz……….19
PENDAHULUAN
Latar BelakangTulisan ini mengkaji kekonsistenan penduga kernel dari fungsi intensitas pada proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper: Helmers dan Mangku (2005). Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan kita sehari-hari. Sebagai contoh dalam bidang transportasi: banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya pada suatu selang waktu tertentu hanya bisa diamati sekali. Beberapa kendala tersebut memaksa kita untuk mengkaji pemodelan stokastik tentang fungsi intensitas dari sebuah proses Poisson dengan hanya menggunakan sebuah realisasi dari proses tersebut.
Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian
ini , kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui, yaitu τ.
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren linear. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalnya banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut
( )
s =λc( )
s +asλ
dengan λc
( )
s adalah suatu fungsi periodik, dana
dalah komponen tren linear dengan menyatakan kemiringan dari tren tersebut. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.as
a
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:
(i) Mempelajari penyusunan penduga kernel pada proses Poisson periodik dengan tren linear.
(ii)
Mempelajari pembuktiankekonsistenan dan beberapa jenis kekonvergenan dari penduga dan penduga kernel bagi
a
( )
s cλ .
LANDASAN TEORI
Kejadian dan PeluangDefinisi 1 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
Ω
[Ross, 1996]
Definisi 2 (σ−field)
Suatu himpunan
F
yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan−
σ field jika memenuhi kondisi (i) φ∈F.
(ii) JikaA1,A2,...∈F maka
U
F;∞
=
∈
1
i i A
(iii) Jika A∈F maka Ac∈F.
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
σ - field terkecil yang mengandung semua selang berbentuk
(
−∞,r]
,r
∈
R , disebut medan Borel, dan dinotasikan B(
F)
; dananggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Oleh:
LIA NURLIANA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
‘’ Karya ilmiah ini ku persembahkan untuk : Mamah, Aa, Kakak-kakak ku tersayang dan
RINGKASAN
LIA NURLIANA. Kekonsistenan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Sehingga proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam memodelkan fenomena di berbagai bidang kehidupan kita sehari-hari. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalkan banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini terdiri atas komponen periodik dan komponen tren linear.
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON
PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Oleh:
LIA NURLIANA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Nama : Lia Nurliana
NRP : G54102005
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc Ir. Retno Budiarti, MS
NIP. 131 633 020 NIP. 131 842 409
Mengetahui,
Dekan FMIPA
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur 7 September 1983 sebagai anak ketujuh dari tujuh bersaudara, anak dari pasangan Maman Abdurahman dan Niah Mariah.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan izin dan rahmat – Nya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear ”.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Bapak Dr. Ir. I. Wayan Mangku, Msc. sebagai pembimbing I atas kesabaran, koreksi, dan
bimbingannya selama ini.
2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. sebagai pembimbing II atas kesabaran, koreksi, dan bimbingannya.
3. Bapak Drs. Siswandi, MS. sebagai moderator seminar dan dosen penguji.
4. Mamah dan Aa untuk doa dan dukungannya, serta kesabaran dan kasih sayangnya selama ini.
5. Kakak-kakak ku tersayang (Teh Ai, Teh Elis, Teh Ois, Kang Yayan, Teh Nunung, dan Teh Yuyun), terima kasih atas dukungan, doa dan kasih sayangnya selama ini. “Alhamdulillah adik kalian yang bungsu ini bisa lulus juga”.
6. Keponakan-keponakan dan cucu ku yang lucu-lucu, terima kasih atas doanya selama ini pada Bi Iya.
7. Kak Imron Amirullah untuk kasih sayang, kesabaran, dan doanya selama ini. “Alhamdulillsh Ade bisa menyelesaikan skripsi ini dengan lancar dan cepat, terima kasih juga telah menemani saat sidang”.
8. Kakak-kakak ipar, Bibi, Ua, Amang, dan saudara-saudara ku terima kasih atas doa dan dukungannya.
9. Andri, Aden, dan Erra yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar.
10. Teman sebimbingan Nur dan Lutfi untuk persahabatan, doa, dan bantuannya.”Lutfi, tetap semangat. Kamu pasti bisa”.
11. Azhari, Erra, Lutfi, Moza, Nur (terima kasih sudah menemani saat sidang dan membantu jadi seksi konsumsi), Neli dan Elis untuk persahabatan, doa, serta bantuannya.
12. Sahabat-sahabat ku: Miranti, Innike atas doa, kasih sayang, dukungan, dan dorongannya selama ini.
13. Warga Balsem: Nyimas, Mbak Tanti, Mbak Ari, Dewi Titi, Ainy, Ela, Wicha, Zakiah, Yolanda, Sarry, Ani, Teh Lili, Teh Atin, Harni, Tati, Renti, Achi, Enny, Desy, Mbak Umi, Mbak Iib, Mbak Tutut atas doa dan dukungannya selama ini.
14. Warga Griya Amani di Baranangsiang.
15. Riswan dan teman-teman di kosan Kc Math terima kasih atas pinjaman komputernya.”Yana, tetap semangat dalam mengerjakan skripsi”.
16. Teman–teman math 39, ”Kalian telah membuat suatu kenangan yang indah bagi Iya”. 17. Seluruh pegawai Departemen Matematika ( Bu Ade, Mas Bono, Mas Yono, Bu Susi,
Mas Deni ... ) dan FMIPA .
18. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua pihak yang mempunyai ketertarikan yang sama pada materi ini. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan.
Bogor, Oktober 2005
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ...vi
PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1
Tujuan . ...1
LANDASAN TEORI Kejadian dan Peluang . ...1
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran . ...2
Kekonvergenan ...2
Momen dan Nilai Harapan ...3
Penduga Tak-bias dan Penduga Konsisten...4
Beberapa Definisi dan Lema Teknis ...4
Proses Stokastik dan Proses Poisson ...6
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga ...7
Kekonvergenan dari Penduga Kemiringan Tren Linear...8
Kekonsistenan dari Penduga Komponen Periodik ...11
SIMPULAN ...15
DAFTAR PUSTAKA ...16
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Bukti Lema 2 ………... . . .. .. . . 17
Bukti Lema 3 ……….... . . .. . . . .17
Bukti Lema 4 Ketaksamaan Markov………18
Bukti Lema 5 Ketaksamaan Chebyshev………...…18
Bukti Lema 6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz……….19
PENDAHULUAN
Latar BelakangTulisan ini mengkaji kekonsistenan penduga kernel dari fungsi intensitas pada proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper: Helmers dan Mangku (2005). Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang pada kehidupan kita sehari-hari. Sebagai contoh dalam bidang transportasi: banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya pada suatu selang waktu tertentu hanya bisa diamati sekali. Beberapa kendala tersebut memaksa kita untuk mengkaji pemodelan stokastik tentang fungsi intensitas dari sebuah proses Poisson dengan hanya menggunakan sebuah realisasi dari proses tersebut.
Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian
ini , kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui, yaitu τ.
Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren linear. Sebagai contoh, banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan raya dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Namun, kalau misalnya banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas jalan tersebut mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang lebih cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Dengan demikian model fungsi intensitas untuk kasus ini dapat diformulasikan sebagai berikut
( )
s =λc( )
s +asλ
dengan λc
( )
s adalah suatu fungsi periodik, dana
dalah komponen tren linear dengan menyatakan kemiringan dari tren tersebut. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.as
a
Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:
(i) Mempelajari penyusunan penduga kernel pada proses Poisson periodik dengan tren linear.
(ii)
Mempelajari pembuktiankekonsistenan dan beberapa jenis kekonvergenan dari penduga dan penduga kernel bagi
a
( )
s cλ .
LANDASAN TEORI
Kejadian dan PeluangDefinisi 1 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
Ω
[Ross, 1996]
Definisi 2 (σ−field)
Suatu himpunan
F
yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan−
σ field jika memenuhi kondisi (i) φ∈F.
(ii) JikaA1,A2,...∈F maka
U
F;∞
=
∈
1
i i A
(iii) Jika A∈F maka Ac∈F.
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
σ - field terkecil yang mengandung semua selang berbentuk
(
−∞,r]
,r
∈
R , disebut medan Borel, dan dinotasikan B(
F)
; dananggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.
Definisi 3 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang pada (Ω, F ) adalah fungsi : F → [0,1] yang memenuhi:
Ρ
Ρ
(i)
Ρ
( )
φ
=
0
,
Ρ
( )
Ω
=
1
.
(ii) Jika adalah himpunan
disjoint yang merupakan anggota dari F , yaitu
... , , 2
1 A
A
φ
=
∩
ji
A
A
,untuk setiap
i,
j
dengani
≠
j
,maka
∑
( )
.∞
= ∞
=
= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
1
1 i
i i
i A
A Ρ
Ρ
U
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Tripel
(
Ω
,
F
, ) disebut dengan ruang peluang.Ρ
Definisi 4 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
(
A
B
) ( ) (
Ρ
A
Ρ
B
.
Ρ
∩
=
)
Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika
{
Ai;i∈I}
( )
.∏
∈ ∈
= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
J i
i J
i
i A
A Ρ
Ρ
I
untuk setiap himpunan bagian J dari I. [Grimmett dan Stirzaker,1992]
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 5 (Peubah Acak)
Peubah acak
X
adalah fungsi X:Ω→ Rdengan
{
ω∈Ω:X( )
ω ≤x}
∈ F untuk setiap ∈x R.
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X,Ydan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti
y
x, dan z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.
Definisi 6 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X
adalah
F
X:
R→[ ]
0,1, yang didefinisikan oleh( ) (
x X x).
FX =Ρ ≤
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak Xdikatakan diskret jika semua himpunan nilai
{
x1,x2,...}
merupakan himpunan tercacah.[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Untuk peubah acak diskret X fungsi kerapatan peluang didefinisikan pada definisi berikut.
Definisi 8 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret
X
adalah fungsi R , dengan:
X
p
→[ ]
0,1( ) (
x X x).
pX =Ρ =
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Kekonvergenan
Definisi 9 (Kekonvergenan Barisan Bilangan Nyata)
Barisan
{ }
an disebut mempunyai limit dankita tuliskan
L
L an n
=
∞ →
lim atau an →L jika n→∞ apabila untuk setiap ε>0 terdapat sebuah bilangan M sedemikian rupa sehingga
jikan > M maka an −L <ε.
Jika an L
nlim→∞ = ada, kita katakan barisan
tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen.
[Stewart, 1999]
Lema 1 (Deret– p)
Deret
∑
∞
=1
1
n p
n
(disebut juga deret–p) konvergen jika p>1, dan divergen jika1 ≤
p .
Bukti: Lihat Stewart (1999).
Definisi 10 (Konvergen dalam Peluang)
Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang
(
Ω
,
F
, ). Kita katakankonvergen dalam peluang ke
X X X1, 2,...
Ρ
n
X X jika
(
)
1lim − < =
∞
→ Xn X ε
n Ρ
atau
(
)
0lim − ≥ =
∞
→ Xn X ε
n Ρ
untuk setiap ε >0, dan ditulis
untuk .
X
Xn⎯⎯→P n→∞
[Serfling, 1980]
Definisi 11 (Konvergen dalam rataan ke –r) Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang
(
Ω
,
F
, ). Kita katakankonvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak
X X X1, 2,...
Ρ
n X
X, dengan r≥1, ditulis , untuk , jika
X Xn ⎯⎯→r
∞ →
n
∞ <
Ε r
n X
untuk semua dan n
(
−)
→0Ε r
n X X
untuk n→∞.
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Definisi 12 (Konvergen Hampir Pasti)
Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang
(
Ω
,
F
, ). Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acakX X X1, 2,...
Ρ
,... , 2
1 X
X
X, ditulisXn⎯a⎯→s X, untuk
. →∞
n , jika
untuk setiap ε>0,
1
lim ⎟=
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ − <
Ρ
∞
→ Xn X ε
n .
Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang satu.
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Definisi 13 (Konvergen Lengkap)
Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang
(
Ω
,
F
, P). Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen lengkap ke peubah acakX X X1, 2,...
,... , 2
1 X
X
X, jika untuk setiap
0
>
ε berlaku
(
− >)
<∞Ρ
∑
∞=1
n
n X
X ε .
[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Definisi 14 (Konvergen dalam Sebaran)
Misalkan adalah peubah acak dalam ruang peluang
(
Ω
,
F
, P). Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acakX X X1, 2,...
,... , 2
1 X
X
X, ditulis , jika
X Xn ⎯⎯→d
(
Xn ≤x)
→Ρ(
X ≤x)
Ρ
untuk n→∞, untuk semua titik
x
dimana fungsi sebaran FX( )
x adalah kontinu.[Grimmett dan Stirzaker,1992]
Momen dan Nilai Harapan
Definisi 15 (Momen)
Jika X adalah peubah acak diskret, maka momen ke-mdari X didefinisikan sebagai
[ ]
=∑
( )
Ε
i
i X m i m
x p x
X ,
dimana diperoleh dari fungsi kerapatan peluang
i
x
( )
xi pX( )
xip = , untuk
jika jumlahnya konvergen. Jika jumlahnya divergen, maka momen ke-m dari peubah acak
,... 2 , 1 =
i
Xdikatakan tidak ada.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Momen pertama dari peubah acak X, yaitu jika m = 1 disebut sebagai nilai harapan dari
Xdan dinotasikan dengan Ε
[ ]
X atau µ.Definisi 16 (Momen Pusat)
Momen pusat ke-m dari peubah acak
Xdidefinisikan sebagai momen ke-m dari peubah acak
(
X −Ε[ ]
X).
[Taylor dan Karlin, 1984]
Momen pusat pertama adalah nol. Ragam dari peubah acak
X
adalah momen pusat kedua dari peubah acak tersebut dan dinotasikan sebagai Var( )
X atauσ
2X . Jadi( )
X[
(
X[ ]
X)
2]
.Var =Ε −Ε
Lema 2
Jika X adalah peubah acak diskret dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta dan c d, berlaku
(
cX d)
c Var(
XVar + = 2
)
.[Casela dan Berger, 1990]
Bukti: Lihat Lampiran 1.
Definisi 17 (Covarian)
Misalkan X dan Yadalah peubah acak diskret, dan misalkan pula µX dan µY
masing- masing menyatakan nilai harapan dari
X
danY
. Covarian dari XdanY didefinisikan sebagai(
X,Y)
(
(
X X)(
Y Y)
).
Cov =Ε −µ −µ
[Casela dan Berger, 1990]
Lema 3
Misalkan X dan Yadalah peubah acak diskret, dan misalkan pula dan adalah dua buah konstanta sebarang, maka
c d
(
cX dY)
c Var( )
X d Var( )
YVar + = 2 + 2
.
(
X Y)
cdCov , 2
+
Jika X dan Yadalah peubah acak saling bebas, maka
(
cX dY)
c2Var( )
X d2Var( )
Y .Var + = +
[Casela dan Berger, 1990]
Bukti: Lihat Lampiran 2.
Penduga Tak- bias dan Penduga Konsisten
Definisi 18 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada parameter (yang tidak diketahui).
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 19 (Penduga)
Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik
n X X X1, 2,...
(
X X Xn)
U
U= 1, 2,..., =U
( )
Xyang digunakan untuk menduga fungsi parameter g
( )
θ , dikatakan sebagai penduga bagi g( )
θ . Nilai amatandari dengan nilai amatan
(
X1,X2,...,X2U
)
U X1=x1,X2 =
, disebut sebagai dugaan bagi
n n x X x2,..., =
( )
θg .
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 20 (Penduga Tak-bias)
( )
XU disebut penduga tak bias bagi g
( )
θ , bila Ε[
U( )
X]
=g( )
θ .Bila Ε
[
U( )
X]
−g( ) ( )
θ =bθ , maka b( )
θdisebut bias dari penduga. Bila
[
U( )
X]
g( )
θnlim→∞Ε = maka U
( )
X disebutsebagai penduga tak bias asimtotik.
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 21 (Penduga Konsisten)
(i) Suatu statistik
yang konvergen dalam peluang ke parameter
(
X X Xn U 1, 2,...,)
( )
θg , yaitu U
(
X1,X2,...,Xn)
⎯→ ⎯P
( )
θg , untuk , disebut
penduga konsisten bagi ∞ →
n
( )
θg .
(ii) Jika U
(
X X Xn)
⎯a⎯→s g( )
θ. 2
1, ,...,
untuk n→∞, maka
disebut penduga konsisten kuat bagi
(
X1,X2,...,U Xn
)
( )
θg .
(iii) Jika U
(
X1,X2,...,Xn)
⎯⎯→r g( )
θuntuk n→∞, maka
disebut penduga konsisten dalam rataan ke-r bagi
(
X1,X2,...,U Xn
)
( )
θg .
Definisi 22 (Mean Squared Error)
Mean squared error
(
MSE)
dari penduga Wuntuk parameter θ adalah fungsi dari θ yang didefinisikan oleh Εθ
(
W −θ)
2. Dengan kata lain adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga W dan parameterMSE
θ . Dari sini diperoleh
(
θ)
2( )
(
(
θ)
)
2θ
θ − = + Ε −
Ε W VarW W
=Var
( )
W +(
Bias( )
θˆn)
2.[Cassela dan Berger, 1990]
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 23 (O
( )
1 dan o( )
1 )(i) Suatu barisan bilangan nyata
{ }
andisebut terbatas dan ditulis an =O
( )
1 , untuk n→∞, jika ada bilangan terhinggaA dan sehingga , untuk semua bilangan asli .
B B<an <A
n
(ii) Suatu barisan { yang konvergen ke , untuk
}
n b
0
n→∞, kadangkala ditulis( )
1o
bn = , untuk n→∞.
[Purcell dan Varberg, 1998]
Definisi 24 (Momen Kedua Terbatas)
Peubah acak X disebut mempunyai momen kedua terbatas jika Ε
( )
X2 terbatas.[Helms, 1996]
Definisi 25 (Fungsi Indikator)
Fungsi indikator dari himpunan A, sering ditulis ΙA
( )
x , didefinisikan sebagai fungsi( )
⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = Ι . , 0 , 1 A x A x x A[Cassela dan Berger, 1996]
Lema 4 (Ketaksamaan Markov)
Jika X adalah peubah acak dengan Ε
( )
Xterbatas dan t>0, maka
(
)
[ ]
.t X t X ≥ ≤ Ε
Ρ
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 3.
Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan µ dan ragam terbatas σ2, maka
(
)
22δ σ δ µ ≥ ≤ − Ρ X
untuk setiap δ ≥0.
[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 4.
Lema 6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika Xdan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka
[ ]
(
)
2[ ] [ ]
2 2Y X
XY ≤Ε Ε
Ε
dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika Ρ
(
X =0)
=1 atau Ρ(
Y =aX)
=1 untuk suatu konstanta a.[Helms, 1996]
Bukti: Lihat Lampiran 5.
Lema 7 (Lema Borel-Cantelli)
(i) Misalkan adalah sebarang
kejadian. Jika maka P
( A
{ }
An{ }
<∞ Ρ∑
∞ =1 n n An terjadi sebanyak tak hingga kali)=0.
(ii) Misalkan adalah sebarang kejadian yang saling bebas. Jika
maka P ( A
{ }
An{ }
=∞ Ρ∑
∞ =1 n nA n terjadi
sebanyak tak hingga kali )=1.
Bukti: Lihat Durret (1996).
Lema 8 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan adalah suatu barisan peubah acak yang bebas dan sebarannya
identik dengan nilai harapan finite
,... , 2
1 X
X
µ dan ragam tak nol σ2<∞. Jika
(
)
µσ n n
X X X n n − + + + =
Ζ 1 2 ...
maka Zn
konvergen ke sebaran normal baku, dan ditulis Ζn⎯⎯→d Normal (0,1) untuk n→∞, atau
(
)
∫
∞ − − ∞ → ΡΖ ≤ = x y nn x e dy
2 / 2 2 1 lim π .
Bukti: Lihat Ghahramani (2000).
Lema 9 (Teorema Deret Taylor)
Suatu fungsi disebut deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a), jika memenuhi persamaan
( )
∑
∞ ( )( )( )
= − = 0 ! n n n a x n a f x f( )
( )( ) ( )( )
... ! 2 ! 1 2 '' ' + − + − += f a f a x a f a x a .
[Stewart, 1999]
Lema 10 (Teorema Fubini)
Jika f ≥0 atau
∫
f dµ<∞ maka( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∫ ∫
∫
∫∫
= = Y X XxY X Y dy dx y x f fd dx dy y x f 2 1 1 2 , , µ µ µ µ µ .Bukti: Lihat Durret (1996).
Definisi 26 (Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sebarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh
µ(B )=
∫
λ( )
sds<∞ . B[Dudley, 1989]
Definisi 27 (Titik Lebesgue)
Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi λ jika
( ) ( )
∫
+ − → − = h s h sh 2h u s du 0.
1 lim
0
λ λ
[Wheeden dan Zygmund, 1977]
Proses Stokastik dan Proses Poisson
Definisi 28 (Proses Stokastik)
Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state .
( )
{
N t,t∈T}
S
[Ross,1996]
Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak. Indeks sering diinterpretasikan sebagai waktu (meskipun dalam berbagai penerapannya tidak selalu menyatakan waktu), dan
t
( )
tN
T,
t
t
( )
t Nkita sebut sebagai state dari proses pada waktu . Ruang state
t
S mungkin berupa: (i) Z (himpunan bilangan bulat),atau himpunan bagiannya. =
S
(ii) R (himpunan bilangan nyata), atau himpunan bagiannya.
=
S
Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks
N
T
adalah himpunan tercacah, sedangkan kita sebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.N
Definisi 29 (Proses Pencacahan)
Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
( )
{
Nt,t≥0}
( )
t Nt
[Ross, 1996]
Kadangkala proses pencacahan
{
N( )
t,t≥0}
ditulis , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu[ ]
(
t N 0,)
[ ]
0,t . Proses pencacahan harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut:( )
t N(i) N
( )
t ≥0 untuk semua t∈[
0,∞)
. (ii) Nilai N( )
t adalah bilangan bulat. (iii) Jika s<t maka N( )
s ≤ N( )
t ,)
[
∞ ∈0, ,ts .
(iv) Untuk s<t maka N
( )
t −N( )
s , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang(
s,t]
.Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sebarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak
overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen statsioner jika sebaran (distribusi) dari banyaknya kejadian yang terjadi pada
sebarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut.
Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan proses stokastik dengan waktu kontinu.
Definisi 30 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju
( )
{
Nt,t≥0}
λ, λ>0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
(i) N
( )
0 =0.(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sebarang
interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi, untuk semua t,s>0
(
) ( )
(
)
( )
, 0,1,....! =
= = − +
Ρ − k
k t e k s N t s N
k t λ λ
Dari syarat (iii) bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang statsioner. Dari syarat ini juga diperoleh bahwa
( )
(
Nt)
=λtΕ . Proses Poisson dengan laju λ yang merupakan kostanta untuk semua waktu
t disebut proses Poisson homogen. Jika laju λ bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, λ
( )
t , maka disebut proses Poisson tak-homogen. Untuk kasus ini, λ( )
tdisebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas λ
( )
t harus memenuhi syarat λ( )
t ≥0 untuk t≥0.Lema 11
Misalkan Xdan Y adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan u v. Maka
Y
X + memiliki sebaran Poisson dengan parameter u+v.
[Taylor dan Karlin, 1984]
Bukti: Lihat Lampiran 6.
Definisi 31 (Fungsi Periodik)
Suatu fungsi λ disebut periodik jika
(
s kτ) (
λ s)
λ + =
untuk semua s∈R dan Z. Konstanta terkecil
∈
k
τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut.
[Browder, 1996]
Definisi 32 (Proses Poisson Periodik)
Proses Poisson periodik adalah proses Poisson dimana fungsi intensitas λ adalah siklik (periodik).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Penduga
Misalkan adalah proses Poisson non homogen pada interval dengan fungsi intensitas
N
)
[
0,∞λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas 2 komponen, yaitu sebuah komponen periodik atau komponen siklik dengan periode (diketahui) τ >0dan sebuah tren linear yang tidak diketahui pula. Dengan kata lain, untuk
sebarang titik , kita dapat
menuliskan fungsi intensitas
)
[
∞ ∈ 0,s
λ sebagai berikut:
( )
s =λc( )
s +asλ (1)
dengan λc
( )
s adalah fungsi periodik denganperiode τ dan adalah kemiringan dari tren linear. Dalam bahasan ini kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari
a
c
λ kecuali bahwa λc adalah periodik yaitu persamaan
(
s k)
c(
sc τ λ
)
λ + = (2)
berlaku untuk ∀s∈
[
0,∞)
dan k∈ Z denganZ adalah himpunan bilangan bulat. Karena
c
λ periodik dengan periode τ, maka untuk menduga λc untuk cukup diduga nilai
[
∞)
∈ 0,s
c
λ pada s∈
[
0,τ)
.Misalkan untuk suatu ω∈Ω, terdapat sebuah realisasi N
( )
ω dari proses Poisson Nyang terdefinisi dalam ruang peluang (Ω, F, P) dengan bentuk fungsi intensitas di persamaan (1).
Tujuan kita dalam pembahasan ini adalah mempelajari penyusunan penduga konsisten bagi λc pada s∈
[
0,τ]
, dengan menggunakansebuah realisasi N
( )
ω dari proses Poisson yang diamati pada interval[ ]
0,n .Kita mengasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari λ, yang secara otomatis berarti bahwa s adalah titik Lebesgue dari λc.
Pada kajian ini kita asumsikan bahwa periode τ diketahui, tetapi slope dan fungsi
a
c
λ pada
[
0,τ)
keduanya tidak diketahui. Dalam kondisi ini, kita bolehmendefinisikan penduga
a
dan penduga bagic
λ di titik s yang diberikan.
Penduga bagi a diberikan oleh:
[ ]
(
)
2
, 0 2 ˆ
n n N
an = . (3)
Sedangkan untuk penduga bagi λc
( )
s padatitik s∈
[
0,τ)
diberikan oleh:( )
∑
∞(
[
]
=
+ + − +k
=
1 ,
2 , 1
ln 1 ˆ
k n
n n
n c
h
h k s h s N k n
s τ τ
λ
[ ]
)
⎟⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ + − ∩
n n s a n
n
ln ˆ , 0
(4)
dimana adalah barisan bilangan real
positif yang konvergen menuju 0,
n h
0 ↓
n
h (5)
untuk n→∞.
Sekarang akan diuraikan ide tentang pembentukan penduga bagi . Untuk menjelaskan hal ini akan kita gunakan Lema berikut.
a
Lema 12
Jika fungsi intensitas λc adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal,
maka
∫
λ( )
→θn
c sds
n
0
1
untuk n→∞,
dengan =
∫
c( )
sds τλ τ θ
0
1
.
[Damiri, 2003]
Bukti: Lihat Damiri (2003).
Pertama, perhatikan bahwa
[ ]
(
n)
( )
sds Nn
∫
= Ε0
,
0 λ
(
( )
s as)
ds nc
∫
+=
0
λ
=
∫
( )
+∫
.n n
c sds asds
0 0
λ
Perhatikan suku pertama dari ruas kanan persamaan di atas. Berdasarkan Lema 12, maka
( )
∫
≈n
c sds n
0
. θ λ
Suku kedua dari ruas kanan persamaan tadi
. 2 0 2
∫
= n n a asdsDengan mengganti dengan
padanan stokastiknya maka
diperoleh
[ ]
(
n N 0,Ε
)
)
[ ]
(
n N 0,[ ]
(
)
22 ,
0 n n an
N ≈θ + . Kedua ruas
dibagi dengan n2, sehingga
[ ]
(
)
(
[ ]
)
. 2 , 0 2 2 , 0 22 n n a
n N a n n n
N ≈θ + ⇔ − θ ≈
Jika n→∞, maka 2θ →0
n . Akhirnya
diperoleh bahwa:
[ ]
(
)
2 , 0 2 ˆ n n Nan = .
Sekarang, akan diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga kernel λˆc,n
( )
sdari λc
( )
s . Perlu diingat bahwa hanya ada sebuah realisasi dari proses Poisson yang tersedia, kita harus menggabungkan informasi tentang nilai dariN
( )
sc
λ yang belum diketahui dari tempat yang berbeda pada interval
[ ]
0,n . Dari (1) dan (2) yang kita punya, untuk sebarang titiks
dan k∈Z, maka( )
λ(
τ)
λc s = c s+k . (6)
Misalkan dan
yang memegang
peranan penting dalam menuntun kita ke rangkaian pendekatan. Berdasarkan (6), kita dapat menuliskan
( )
x[
x h x h]
Bhn = − , +
[ ]
(
∑
∞ = −Ι + ∈ = 11 0,
k
n k s k n
L τ
)
( )
∑
∞(
(
)
)
(
[ ]
)
= ∈ + Ι + = 1 , 0 1 1 k c nc s k s k n
k L
s λ τ τ
λ
(
) (
(
∑
∞ = + − + = 1 1 1 k n k s a k s kL λ τ τ
))
Ι
(
s+kτ∈[ ]
0,n)
(
)
(
)
(
[ ]
)
∑
∞ = ∈ + Ι + = 1 , 0 1 1 k n n k s k s kL λ τ τ
as
−
(
s k[ ]
n L a k n , 0 1 ∈ + Ι −∑
∞ = τ τ)
. (7)
Perlu diingat bahwa
(
[ ]
)
ττ n n
k s k ≈ ∈ + Ι
∑
∞ =1 , 0dan untuk setara
asimtotik dengan . Maka persamaan (7) dapat dituliskan sebagai berikut:
n
Ln ~ln n→∞
(
Ln)
n
ln
( )
x(
x s k[ ]
n)
dx h k n n n h k s h k s k n , 0 2 1 1 ln 1 1 ∈ + + Ι ≈∑
∫
+ + − + ∞ = τ λ τ τ n n a as ln − −(
)
[ ]
(
)
∑
∞ = ∩ + Ε = 1 2 , 0 ln 1 k n n h n k s Bh N n τ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
n
n
s
a
ln
. (8) Perilaku ΕN(
Bhn(
s+kτ)
∩[ ]
0,n)
(
)
[ ]
(
Bh
s
k
n
)
N
n+
∩
0
,
≈
τ
yang merupakanpadanan stokastiknya, sehingga persamaan (8) dapat ditulis:
(
)
[ ]
(
)
∑
∞ = ∩ + ≈ 1 2 , 0 ln 1 k n n h n k s Bh N n τ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
n
n
s
a
ln
, (9)yang dapat dilihat sebagai penduga dari
( )
sc
λ , dengan periode τdan kemiringan dari tren linear diasumsikan diketahui. Jika tidak diketahui, kita ganti a dengan di persamaan (9) sehingga diperoleh penduga dari
a a
n
aˆ
( )
sc
λ yang diberikan di persamaan (4).
Kekonvergenan dari
a
ˆ
nLema 13
Misalkan fungsi intensitas λdiberikan di (1) dan terintegralkan lokal. Maka:
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = Ε 2 1 2 ˆ n O n aan θ (10) dan
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 3 2 1 2 ˆ n O n a aVar n (11)
untuk n→∞, dimana .
Akibatnya, adalah penduga konsisten dari , dan Mean-squared error (MSE)nya adalah:
( )
∫
− = τ λ τ θ 01 sds
c
n
aˆ
a
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 3 2 2 1 4 2 ˆ n O n a a MSE n θ .(12) Bukti:Berdasarkan (3), dapat dihitung sebagai berikut:
( )
aˆnΕ
( )
= Ε(
[ ]
)
=∫
( )
Εn
n sds
n n N n a 0 2 2 2 , 0 2 ˆ λ
( )
(
)
( )
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ο + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + =∫
∫
∫
2 2 2 0 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 n n a O n a n n asds ds s n ds as s n n n c n c θ θ λ λuntuk . Ragam dari diperoleh dengan cara yang serupa:
∞ →
n aˆn
( )
Var(
N(
[ ]
n)
)
n a
Var n 0,
4 ˆ
4
=
[ ]
(
n)
N
n 0,
4 4 Ε =
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += an On n 2 4 2 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 3 2 1 2 n O n a ,
untuk n→∞.
( )
( )
(
(
)
2ˆ ˆ
ˆn Var an Biasan a
MSE = +
)
( )
(
ˆ)
2(
( )
ˆ)
2a a a
Bias n = Ε n −
2 2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = a n O n a θ 2 2 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O n θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 3 2 2 1 4 n O n θ
, (13)
untuk n→∞.
Sehingga berdasarkan (11) dan (13), maka
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ο + + = 3 2 2 1 4 2 ˆ n n a a MSE n θ ,untuk n→∞.
Teorema 1 (Kekonsistenan)
Penduga adalah penduga konsisten bagi yaitu
n aˆ
a
a
aˆn ⎯⎯→P (14)
untuk n→∞.
Berdasarkan Definisi 10, untuk membuktikan teorema ini adalah setara dengan menunjukan bahwa, untuk setiap ε >0, berlaku
(
ˆ − >)
→0Ρ an a ε . (15)
Bukti:
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, kita peroleh a a a a a
aˆn− ≤ ˆn−Εˆn +Εˆn− . (16)
Berdasarkan Lema 13, kita peroleh
0 ˆ
limΕ − =
∞
→ an a
n (17)
sehingga untuk ∀ε >0, ada N agar
2 ˆ − <ε
Εan a (18)
untuk ∀n≥N.
Berdasarkan persamaan (17), kita peroleh
(
)
⎟⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −Ε >
Ρ ≤ > − Ρ 2 ˆ ˆ
ˆn a ε an an ε
a .
Jadi untuk membuktikan (14) cukup ditunjukan
0 2 ˆ ˆ
lim ⎟=
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −Ε >
Ρ ∞ → ε n n
n a a .
Dengan ketaksamaan Chebyshev, kita peroleh
( )
2 ˆ 4 2 ˆ ˆ ε ε n n n a Var aa ⎟≤
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −Ε >
Ρ .
Jadi kita tinggal membuktikan bahwa
( )
0 ˆ 4 lim 2 → ∞ → ε n n a Var. (19)
Berdasarkan Lema 13, akan
konvergen ke nol jika , sehingga persamaan (19) terbukti.
( )
an Var ˆ∞ →
n
Jadi Teorema 1 terbukti.
Teorema 2 (Kekonvergenan Lengkap)
Penduga adalah konvergen lengkap ke a, yaitu
n aˆ
,
ˆ a
an⎯⎯→c
untuk n→∞.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 13, untuk membuktikan teorema ini cukup dibuktikan
(
ˆ)
. 1 ∞ < > − Ρ∑
∞ = n n a a εBerdasarkan ketaksaman segitiga, kita peroleh
a a a a a
aˆn− ≤ ˆn −Εˆn + Εˆn − .
Dengan cara yang sama dengan pembuktian Teorema 1, akhirnya kita peroleh
( )
2 ˆ 4 2 ˆ ˆ ε ε n n n a Var aa ⎟≤
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ −Ε >
Ρ .
Kemudian 4 2
( )
ˆ 42 22 13 ⎟⎟.⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O n a a Var n ε ε Sehingga diperoleh
( )
. 1 2 4 ˆ 4 1 1 3 2 22 ⎟⎟⎠<∞
⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =
∑
∞∑
= ∞ = n n n n O n a a Var ε εJadi Teorema 2 terbukti.
Akibat 1 (Kekonsistenan Kuat)
Penduga adalah penduga konsisten kuat bagi a, yaitu
n aˆ
,
ˆ . a
an⎯a⎯→s
untuk n→∞.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 12, untuk membuktikan akibat ini akan dibuktikan untuk ε >0, maka
1 ˆ
lim ⎟=
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ − <
Ρ
∞
→ an a ε
n
atau
. 0 ˆ
lim ⎟=
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≥ Ρ ∞
→ an a ε
n
Dari Teorema 2 diketahui
∑
(
∞ = > − Ρ 1 ˆ n n a
a ε
)
. Dengan bagian (i) Lema Borel - Cantelli
(Lema 7), diperoleh jika ∞ <
(
)
∑
∞ = > − Ρ 1 ˆ n n a a ε ∞< maka kejadian
{
aˆn−a >ε}
hanya akanterjadi sebanyak terhingga, yang berimplikasi bahwa
. 0 ˆ
lim ⎟=
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≥ Ρ ∞
→ an a ε
n
Maka Akibat 1 terbukti.
Sebaran Normal Asimtotik dari aˆn
Teorema 3 (Kekonvergenan dalam Sebaran)
(
a a n ˆn−)
)
adalah konvergen dalam sebaran ke Normal
(
2θ,2a untuk n→∞. (20)Bukti:
Ruas kiri persamaan (20) adalah sebagai berikut:
(
a a) (
na a) (
n a a n ˆn− = ˆn−Εˆn + Εˆn −)
.Untuk membuktikan Teorema 3, cukup dibuktikan
(
a a)
(
a)
n ˆn−Εˆn ⎯⎯→d Ν0,2 …(a)
dan
(
Εaˆ −a)
→2θn n …(b)
Untuk membuktikan bagian (a), perhatikan bahwa ruas kiri bagian (a) adalah sebagai berikut:
(
)
(
[ ]
)
(
[ ]
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ε − = Ε − 2 2 , 0 2 , 0 2 ˆ ˆ n n N n n N n a an n n
[ ]
(
)
(
[ ]
)
(
)
[ ]
(
)
(
[ ]
)
(
[ ]
)
[ ]
(
0,)
., 0 , 0 , 0 2 , 0 , 0 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −Ε = Ε − = n VarN n N n N n VarN n n N n N n
Berdasarkan Teorema Limit Pusat, maka diperoleh
[ ]
(
)
(
[ ]
)
[ ]
(
0,)
( )
0,1, 0 ,
0 ⎯⎯→Ν
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ −Ε d
n VarN n N n N (21)
jika n→∞. Maka untuk membuktikan (a), tinggal dibuktikan
[ ]
(
n)
aVarN
n 0, 2
2 →
. (22)
Karena N
(
[ ]
0,n)
adalah peubah acak Poisson, maka ruas kiri persamaan (22) dapat dituliskan sebagai berikut:[ ]
(
)
N(
[ ]
n)
n n VarN
n 0,
2 , 0
2 = Ε
( )
1 2 2 2 O n a nn + +
= θ
( )
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 1 2 4 22 n O
a n n θ . 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O
a Perhatikan bahwa ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n O 1
konvergen ke nol untuk n→∞, sehingga
( )
11
o n O ⎟=
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
. Misalkan x=2a+o
( )
1 , f( )
x x= . Berdasarkan Teorema Deret Taylor, maka
( ) ( )
( ) (
)
( )
! 2 2 " 2 ! 1 2 '2a f a x a1 f a
f x
f = + − +
(
x−2a)
2+...( )
( )
( )
2( )
( )
1 ... 2 . 4 1 1 2 2 1 2 2 31− +
+ = o a o a a
( ) ( )
1( ) ( )
1 12a+O o +o
=
( )
1 2a+o= .
Sehingga bagian (a) terbukti.
Untuk membuktikan bagian (b) gunakan Lema 13, sehingga ruas kiri dari (b) dapat dituliskan sebagai berikut:
(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − Ε 2 1 2 ˆ n O n n a a n n θ2 1⎟.
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n O θ
Dengan kata lain n
(
Εaˆn−a)
→2θ jika. ∞ →
n
Jadi Teorema 3 terbukti.
Kekonsistenan dari λˆc,n
( )
sLema 14 (Ketakbiasan Asimtotik)
Misalkan fungsi intensitas λseperti (1) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (5) dipenuhi, maka
( )
s c( )
sn
c λ
λ →
Εˆ, (23) untuk n→∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari λc. Dengan kata lain, λˆc,n
( )
sadalah penduga tak bias secara asimtotik bagi
( )
sc
λ .
Bukti:
Untuk membuktikan persamaan (23), akan ditunjukan bahwa
( )
s c(
s nc n→∞Ελ , =λ
ˆ
lim
)
. (24)Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (23) dapat dinyatakan sebagai berikut:
(
)
[ ]
(
)
∑
∞ = ∩ + Ε 1 2 , 0 1 ln 1 k n n h n k s Bh N k n τ( )
an n ns ˆ
ln ⎟⎠Ε
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
− . (25)
Suku pertama dari (25)
(
)
∑ ∫
∞= − + + = 1 1 ln 2 1 k h h n n n k s x k nh λ τ
[ ]
(
x+s+k ∈0,n)
dxΙ τ
(
) (
(
)
∫
∑
− ∞ = + + + + = n n h h c k n k s x a s x k nh 1 λ τ
1 ln 2
1
)
[ ]
(
x+s+k ∈0,n)
dxΙ τ
(
)
(
)
⎜⎜ ⎝ ⎛ + =∫
∑
∞ = − 1 1 ln 1 2 1 k h h cn n k
s x h n n λ
[ ]
(
x+s+k ∈0,n))
dxΙ τ
(
)
∑ ∫
∞ = − + + + 1 1 ln 2 k h h n n n k s x k n h a τ[ ]
(
x+s+k ∈0,n)
dxΙ τ (26)
Suku pertama dari (26) dapat diuraikan sebagai berikut:
[ ]
(
)
∑
∞ = ∈ + + Ι 1 , 0 1 ln 1 k dx n k s x k n τ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ο + = n ln 11 (27)
untuk n→∞, dan
(
)
(
)
( )
(
)
(
( )
)
(
)
( )
(
)
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = + − + = +∫
∫
∫
− − − dx s s x h dx s s s x h dx s x h n n n n n n h h c c n h h c c c n h h c n λ λ λ λ λ λ 2 1 2 1 2 1 .( )
⎥⎥ ⎦ ⎤ +∫
− dx s n n h h c λKarena s adalah titik Lebesgue dari λc, maka
(
)
( )
(
)
12 1 o dx s s x h n n h h c c n = − +
∫
− λ λ( ).
( )
( )
∫
∫
− − = n n n n h h n c h h c n dx h s dx s h 2 1 21 λ λ
( )
[ ]
n n h h n c x h s − = 2 1 λ
( )
( )
nn c h h s 2 2 1 λ =
=λc
( )
s . (28) Dari (27) dan (28), kita peroleh suku pertama dari (26) :( ) ( )
(
1ln 1
1 s o
n
O ⎟⎟ c +
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + λ
)
( ) ( )
ο1 λ += c s (29)
untuk n→∞.
Suku kedua dari (26), dapat diuraikan sebagai berikut:
(
)
∑ ∫
∞ = − + + 1 1 ln 2 k h h n n n k s x k n h a τ[ ]
(
x+s+k ∈0,n)
dxΙ τ
( )
(
x s k)
dx k n x h a k h h n n n ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + Ι =∫
∑
∞ = − 1 1 ln 1 2 τ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +∫
− n O dx h as n n h h n ln 1 1 2[ ]
(
0, .ln 1
2h n 1 x s k n dx
a n
n h
h k
n −
∫
∑
∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ + + Ι ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ τ
τ
)
(30)Suku pertama ruas kanan persamaan (30) akan diperoleh sama dengan nol. Suku kedua ruas kanan persamaan (30) yaitu
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n O as ln 1
. Perhatikan suku ketiga ruas
kanan persamaan (30). Karena nilai dari
dapat ditulis menjadi
[ ]
(
∑
∞ = ∈ + + Ι 1 , 0 k n k s <