Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat

(1)

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES

POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN

TREN FUNGSI PANGKAT

INTAN FITRIA SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015

Intan Fitria Sari

(4)

ABSTRAK

INTAN FITRIA SARI. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.

Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan slope

dari tren fungsi pangkat diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan, membuktikan kekonsitenan penduga, dan menentukan laju kekonvergenan menuju nol untuk bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga, jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga.

Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan penduga, proses Poisson majemuk, tren fungsi pangkat.

ABSTRACT

INTAN FITRIA SARI. Estimating the Mean Function of a Coumpond Cyclic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.

This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process with power function trend. The cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any parametric form, but its period is assumed to be known. The slope of the power function trend is assumed to be positive, but its value is unknown. The main problems of this manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving consistency of this estimator, and determining the rate of convergence to zero for the bias, variance, and mean squared error of this estimator, when the length of the observation time interval indefinitely expands.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES

POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN

TREN FUNGSI PANGKAT

INTAN FITRIA SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat

Nama : Intan Fitria Sari NIM : G54110003

Disetujui oleh

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I

Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, dan keluarga besar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih sayang, dan motivasi.

2. Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.

3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran. 4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah

memberikan ilmu dan sarannya.

5. Rahmi Budhy Fatmasari selaku sahabat penulis sejak SMA yang telah mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, sahabat seperjuangan di tingkah akhir yang siap membantu, dan memberikan motivasi, semangat, serta saran.

6. Muhammad Dinar Mardiana senantiasa mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, menampung keluh kesah, dan memberikan motivasi, serta doa.

7. Aristin, Kiki, Lidya, Sifa, Andini, Hanna, Alfi, Febiyana, Riefdah, Putri, Atikah, Resty selaku sahabat yang menemani penulis selama masa kuliah dan memeberikan motivasi, doa, serta dukungan.

8. Teman-teman Matematika Angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan, dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan.

9. Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49, kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 51, anggota DPM FMIPA IPB, anggota MPM KM IPB, penghuni Asrama lorong VI TPB IPB tahun 2011/2012, dan semua keluarga besar OMDA KKB MK yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2015

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

LANDASAN TEORI 2

Momen, Nilai Harapan, dan Ragam 2

Kekonvergenan 3

Penduga dan Sifat-sifatnya 3

Proses Stokastik 4

Beberapa Definisi dan Lema Teknis 5

PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 6

Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 6

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya 8

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya 8

BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA 11

Bukti Kekonvergenan Penduga 11

Bukti Laju Kekonvergenan Penduga 12

SIMPULAN 19

DAFTAR PUSTAKA 19

LAMPIRAN 21

(10)

DAFTAR LAMPIRAN

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon dapat dimodelkan dengan proses stokastik.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen. Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.

Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga nilai harapan dari proses tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan fungsi dari waktu.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.

2. Menganalisis kekonsistenan penduga.

(12)

2

LANDASAN TEORI

Momen, Nilai Harapan, dan Ragam

Definisi 1 (Nilai harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang PX, maka

nilai harapan dari X didefinisikan sebagai [ ] ∑

jika jumlah di atas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).

2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fX, maka

nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

[ ] ∫

jika integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).

Definisi 2 (Ragam)

Jika adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai (

(Ghahramani 2005). Definisi 3 (Koragam)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, dan misalkan pula dan masing-masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Koragam dari X dan Y

didefinisikan sebagai [ ] (Ghahramani 2005). Lema 1 (Sifat ragam)

1. Jika X adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta c dan d, berlaku .

2. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d

adalah dua buah konstanta sebarang, maka .

3. Jika X dan Y adalah peubah acak saling bebas, maka .

Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005). Definisi 4 (Momen ke–k₎

(13)

3 tidak, kita katakan barisan tersebut divergen (Stewart 2001) .

Definisi 6 (Kekonvergenan dalam peluang) tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui (Hogg

et al. 2014).

(14)

4 nilai harapan kuadrat dari selisih penduga W dan parameter . Dari sini diperoleh

̂ (Cassela dan Berger 1990).

Proses Stokastik

Definisi 12 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S (Ross 2010). Definisi 13 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval (Ross 2010).

Definisi 14 (Inkremen bebas) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

(15)

5 memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t.

Jadi, untuk semua ,

, k =

0,1,… (Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki

inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: ( .

Definisi 18 (Proses Poisson homogen)

Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t (Ross 2010).

Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)

Suatu proses Poisson disebut proses Poisson takhomogen jika laju pada sebarang waktu t merupakan fungsi takkonstan dari t yaitu (Ross 2010).

Definisi 20 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen X dengan fungsi intensitas pada titik adalah , yaitu nilai fungsi di s (Cressie 1993). Definisi 21 (Fungsi intensitas global)

Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:

[ ]

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 24 (Fungsi terintegralkan lokal)

(16)

6

Definisi 25 (

Simbol “big-oh” ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua

fungsi dan , dengan x menuju suatu limit L. fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat, yaitu memenuhi

(1)

untuk , konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan

(17)

7 yang diberikan, dapat dituliskan sebagai berikut

. (6) menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan

slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [ ]. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:

̂ _{[ ]}∑ [ ] , (8)

dengan ̂ saat [ ] . Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan [ ]

Penduga bagi slope dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai berikut:

̂ [ ] . (9)

Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk . Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:

̂ ∑ [ ] [ ] ̂ . (10)

Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:

(18)

8

dengan ̂ saat [ ] .

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya

Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3) , maka

[ ̂ ] [ ̂ ] (14)

untuk Dengan kata lain [ ̂ ] konvergen ke nol dengan laju

jika .

Teorema 3 (Laju keonvergenan ragam)

[ ̂ ] (15)

untuk . Dengan kata lain, [ ̂ ] konvergen ke nol dengan laju

jika .

Akibat 1 (Laju Kekonvergenan MSE)

[ ̂ ] (16)

untuk . Dengan kata lain, [ ̂ ] konvergen ke nol dengan laju jika .

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya

Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga bagi fungsi nilai harapan.

Lema 5: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

( ̂ (17)

(19)

9

Lema 6: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

( ̂

(18)

untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Berdasarkan Lema 5 dan 6 diperoleh akibat berikut.

Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

̂ (19)

untuk .

Bukti : Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut : ̂ ̂ ( ̂

( ̂ (20)

untuk n→ ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

Lema 8: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

untuk n→ ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

Berdasarkan Lema 7 dan 8 diperoleh akibat berikut.

(20)

10

( ̂ (24)

untuk .

Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut : ( ̂ ( ̂ ( ̂

( (

( untuk . Bukti lengkap.

̂ (25)

untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

Lema 10: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

untuk kasus , diperoleh

̂ (26)

̂ (27)

̂ (28)

untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012). Berdasarkan Lema 9 dan 10 diperoleh akibat berikut.

Akibat 4: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

( ̂ (29)

untuk .

Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut : ( ̂ ̂ ( ̂

( (

(21)

11

Untuk membuktikan Teorema 1, diperlukan beberapa Lema berikut

Lema 11: Misalkan fungsi memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, terintegralkan lokal. Jika kondisi persamaan (2) dan dipenuhi, maka dengan peluang 1,

Perhatikan kembali persamaan (12). Dengan menerapkan Lema 2 (kekonvergenan), untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa

̂

(22)

12 Lema 4 dan Lema 14, diperoleh persamaan (36). Bukti lengkap.

(23)

(24)

14

Bukti Teorema 3:

Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut:

[ ̂ ] [ ̂ ] ̂ . (38) Suku kedua dari ruas kanan persamaan (38) telah diperoleh pada persamaan (37) sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut:

[ ̂ ] [ [ ̂ ] | [ ] ]

∑ [ ̂ ] | [ ] [ ]

[ ̂ ] | [ ] [ ]

∑ [ ̂ ] | [ ] [ ]

Untuk [ ] maka ̂ . Sedangkan untuk [ ] ,

̂ ̂ ̂ [ ] _{[ ] ∑} [ ]

Sehingga untuk ,

[ ̂ | [ ] ]

[ ̂ ̂ _∑

]

̂ ̂ (_∑ Pertama dihitung

[ ̂ ̂ ]

( ̂ ( ̂ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂

Berdasarkan lema dan akibat, dapat ditulis sebagai berikut

( ( (

( (

(25)

(26)

16

∑ [ ]

(

( _∑ _{[ ]}

(

∑ [ ]

( ( ∑ [ ]

untuk . Pada bukti Teorema 2, telah diperoleh

∑ [ ] ( [ ] (39)

∑ [ ]

(40)

untuk . Dengan cara serupa, dapat diperoleh

∑ [ ] ( [ ] (41)

∑ [ ]

(42)

untuk . Bukti persamaan (42) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan persamaan (39) dan (42) , dapat dituliskan

[ ̂ ] [ [ ̂ ] | [ ] ]

( [ ] _{[ [ ] ]}

[ [ ] ]

(

( ( (

(27)

17

(

[

[ ]

]

[ ]

(

( ( (

( (

(

[ ̂ ] [ ̂ ]

[ ̂ ]

(

( ( (

( (

(

( ( (

(

( ( (

(28)

18

(

(( ( (

[( (

_] (

( ( (

untuk . Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah [ ̂ ] [ ̂ ] ̂

( ( (

( ( ( (

( untuk .

Bukti akibat 1:

Berdasarkan Teorema 2 dan 3,

[ ̂ ] [ ̂ ] ( [ ̂ ]

( (

(29)

19

SIMPULAN

Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah

̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂

Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga bagi fungsi nilai harapan konvergen ke nol dengan laju .

DAFTAR PUSTAKA

Capinski M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. 2nd Ed. New York (US): Sringer.

Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, California: Wadsworth & Brooks/ Cole.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York: Wiley.

DasGupta A. 2011. Probability for Statisticsand Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.

Dudley R.M. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth & Brooks.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. New York: Prentice Hall.

Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to MathematicalStatistics.

Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process

(Ph.D.Thesis). Amsterdam: University ofAmsterdam.

(30)

20

Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida: Academic Press Inc.

Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons.

Stewart J. 2001. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Susila, I Nyoman dan Gunawan, Hendra, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

(31)

21 Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk

Bukti persamaan (4) : [ ] [ ] Berdasarkan persamaan (19),

[ ] ∑ Dengan menggunakan sifat nilai harapan,

∑ ∑ | . Selanjutnya terlebih dahulu

∑ |

(∑

∑

karena barisan peubah acak bebas terhadap proses . Kemudian, karena adalah barisan peubah acak i.i.d, maka

∑ ∑ , sehingga

(32)

22

Lampiran 2 Penjabaran sebagai nilai harapan dari Bukti persamaan (6) :

∫

∫ ( ∫ Berdasarkan Ruhiyat (2013): ∫ ( ,

sehingga diperoleh

(33)

23 Lampiran 3 Penduga bagi fungsi intensitas global ( ̂

Bukti persamaan (10)

_∫

Misal ∑ .

Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif.

Untuk setiap kτϵ [0,n], sehingga dapat ditulis sebagai berikut

Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu

̂ ∑ [ ] [ ]

(34)

(35)

25

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA 1 Kudus dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) IPB dan diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Metode Statistika pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 , asisten mata kuliah Proses Stokastik pada semester genap tahun ajaran 2014/2015, dan menjadi pengajar SMA mata pelajaran Matematika pada tahun 2013-2014. Penulis mendapatkan beasiswa PPA pada tahun 2012-2013 dan beasiswa Karya Salemba Empat (KSE) pada tahun 2013-2014. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan, antara lain staf Departemen Friendship Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) TPB pada tahun 2011/2012, staf Komisi I Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB pada tahun 2012/2013, sekretaris Badan Pekerja (BP) 3 MPM KM IPB 2012/2013, staf Divisi Internal Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) KKB 2012/2013, dan sekretaris Komisi IV Dewan Perwakilan Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB 2013/2014.