Consistent Estimation of the Distribution and the Density Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend.

(1)

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI

KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

(3)

ABSTRACT

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH. Consistent Estimation of the Distribution and the Density Function of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.

(4)

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI

KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON

PERIODIK DENGAN TREN LINEAR

TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan

Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren

Linear.

Nama

: Tita Robiah Al Adawiyah

NRP

: G54070030

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Ir. Retno Budiarti, M.S.

NIP. 19620305 198703 1 001

NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I dan Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2011

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Subang pada tanggal 21 Maret 1990 dari ayah Tarsid Sadikin dan ibu Eli Haryati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara

Tahun 2001 penulis lulus dari SDN 1 Pabuaran. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 1 Pabuaran. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Ciasem dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI ... 1

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 1

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

Kekonvergenan ... 2

Momen, Nilai Harapan dan Ragam ... 2

Penduga dan Sifat-sifatnya ... 3

Proses Stokastik dan Proses Poisson ... 4

Beberapa Definisi dan Lema Teknis ... 5

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 7

Perumusan Penduga ... 7

Kekonsistenan dari ... 9

Kekonsistenan dari _, ... 9

Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang . ... 16

SIMPULAN ... 18

DAFTAR PUSTAKA ... 19

(9)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 (Pembuktian Lema 2)... 21

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Contoh proses yang dapat dijelaskan dengan proses Poisson periodik adalah proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Namun, jika banyaknya pelanggan yang datang mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear.

Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, waktu tunggu dari seorang pelanggan adalah jarak waktu sejak pusat servis tersebut dibuka sampai pelanggan tersebut datang. Karena waktu tunggu ini merupakan suatu peubah acak kontinu, maka ia memiliki fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang. Umumnya kedua fungsi ini tidak diketahui sehingga diperlukan suatu penduga bagi kedua fungsi tersebut.

Pada tulisan ini dikaji kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper Mangku (2010).

Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian interval pengamatan yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang, maka diperlukan asumsi keperiodikan dari fungsi intensitas proses yang dikaji. Pada kajian ini dianggap periode dari fungsi intensitas diketahui yaitu .

Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Mengonstruksi kembali penyusunan

penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. 2. Mengonstruksi kembali pembuktian

kekonsistenan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan penduga fungsi kepekatan peluang waktu tunggu.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh .

Definisi 3 (Kejadian lepas)

Kejadian dan disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

.

Definisi 4 (Medan- )

Suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari disebut medan- jika memenuhi kondisi berikut

1. ;

2. Jika , , … maka ∞ ;

3. Jika maka .

Definisi 5 (Ukuran peluang)

Ukuran peluang Ρ pada , adalah fungsi Ρ: 0,1" yang memenuhi

(11)

2. Jika , , … adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari , yaitu

$ %# ,

untuk setiap i, j dengan & ' (, maka Ρ ∞ # ∑ *∞ Ρ +.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Pasangan , ,Ρ disebut ruang peluang.

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika

Ρ $ #P P .

Secara umum, himpunan kejadian { ; & Ι} dikatakan saling bebas jika

P*. _/ +=∏ _/P ,

untuk setiap himpunan bagian berhingga 1 dari Ι.

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 7 (Peubah acak)

Peubah acak 2 adalah fungsi 2: 4 5 dengan 67 : 2 7 8 9: untuk setiap

9 5.

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, seperti 2, ; dan <. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil, seperti 9, = dan >.

Definisi 8 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran peubah acak 2 adalah

?@: 5 4 0,1", yang didefinisikan oleh

?@ 9 #P 2 8 9 .

Fungsi ?_@ disebut fungsi sebaran dari peubah acak 2.

Definisi 9 (Peubah acak diskret)

Peubah acak 2 dikatakan diskret jika semua himpunan nilai 69 , 9 , … : dari 2 merupakan himpunan tercacah.

Definisi 10 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 2 adalah fungsi A_@: 5 4 0, 1", yaitu

A@ 9 #Ρ 2 # 9 .

Definisi 11 ( Peubah acak kontinu)

Peubah acak 2 dikatakan kontinu jika ada kepekatan peluang bagi peubah acak 2.

Kekonvergenan

Definisi 12 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan 2 , 2 , … , 2 adalah peubah acak

[Casella dan Berger, 1990]

Lema 1 (Sifat kekonvergenan dalam

Momen, Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 13 (Momen)

1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A_@, momen ke-T dari 2 didefinisikan sebagai

Ε 2U" # ∑ 9UA_@ 9 ,

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada.

2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B_@, momen ke-T dari 2 didefinisikan sebagai

Ε2U" # V 9_GW∞∞ UB@ 9 E9,

jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen

ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 1984]

Definisi 14 (Nilai harapan)

1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A_@ , maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai

(12)

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari 2 adalah tidak ada.

2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B_@, maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai

Ε 2" # C 9B@ 9 E9

[Taylor dan Karlin, 1984]

Definisi 15 (Ragam)

Jika 2 adalah peubah acak, maka ragam dari

2 didefinisikan sebagai

Z[\ 2 #Ε X RΕX" ".

Definisi 16 (Covarian)

Lema 2

Bukti: Lihat Lampiran 1

Lema 3

Jika 2 adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta d dan E, berlaku

Z[\ d2 e E # d Z[\ 9 .

Bukti: Lihat Lampiran 2.

Definisi 17 (Fungsi indikator)

Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi g_hH 4

60,1:, yang diberikan oleh

gh 7 # i1, (&j[ 7_{0, (&j[ 7 k .}l

Nilai harapan dari fungsi indikator di atas dapat dinyatakan sebagai berikut

c gh #Ρ . digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah m n , disebut sebagai penduga

Definisi 20 (Penduga tak-bias)

1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter m n yang diduga, yaitu c 2 , 2 , … , 2_I " # m n , disebut penduga tak bias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.

Definisi 21 (Penduga konsisten)

Suatu penduga 2 , 2 , … , 2_I yang dikatakan terbatas dalam peluang, ditulis

2I# so 1 , untuk K 4 ∞, jika untuk setiap L M 0, uv_w dan x_w sehingga

?I vw R ?I Rvw M 1 R L, yK M xw.

Mudah terlihat bahwa

(13)

2. Secara umum, untuk dua barisan dari

Definisi 23 (MSE suatu penduga)

Mean squared error (MSE) dari penduga •

Proses Stokastik dan Proses Poisson

Definisi 24 (Proses stokastik)

Proses stokastik … # 62 † , † ‡: adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) ˆ.

[Ross, 1996]

Jadi, untuk setiap † pada himpunan indeks

‡, 2 † adalah suatu peubah acak. Indeks † sering diinterpretasikan sebagai waktu dan

2 † disebut sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu †. Ruang state ˆ mungkin berupa

1. ˆ # ‰ (himpunan bilangan bulat (integer)), atau himpunan bagiannya. 2. ˆ # 5 (himpunan bilangan nyata (real)),

atau himpunan bagiannya.

Suatu proses stokastik 2 disebut proses stokastik dengan waktu diskret (discrete time stochastic process) jika himpunan indeks ‡ adalah himpunan tercacah (countable set), sedangkan 2 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu (continuous time stochastic process) jika ‡ adalah suatu interval.

Definisi 25 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik 62 † , † S 0: disebut proses pencacahan (counting process) jika

2 † menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu †.

[Ross, 1996]

Kadangkala proses pencacahan 62 † ,

† S 0: ditulis 2 0, †" , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu 0, †".

Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak

overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu hanya bergantung dari panjang selang tersebut.

Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu.

Definisi 26 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan 62 † , † S 0: disebut proses Poisson dengan laju , M 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut

1. 2 0 # 0.

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang

interval waktu dengan panjang †, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan †. merupakan konstanta untuk semua waktu † disebut proses Poisson homogen

(homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu †, † , maka disebut proses Poisson tak-homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, † disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas † harus memenuhi syarat

† S 0, untuk semua †.

Misalkan 2 adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika 2 adalah proses Poisson homogen, maka

(14)

dengan | | adalah panjang , serta 2 menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang .

Jika 2 adalah proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas † , maka

^ # ” 2 " # C † E† •

.

Dengan kata lain, jika 2 adalah proses Poisson tak-homogen maka 2 memiliki sifat 1. Ρ 2 # j #– •_‘!•—G– •,

merupakan peubah acak yang saling bebas.

Peubah acak yang merupakan jumlah dari dua atau lebih peubah acak Poisson yang saling bebas mempunyai sebaran Poisson juga. Hal ini dapat ditunjukkan oleh lema berikut.

Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut D dan b. Maka 2 e ; memiliki sebaran Poisson dengan parameterD e b.

Bukti: lihat Lampiran 3.

Definisi 27 (Terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas ™ kita memiliki

^ ™ # V_™ „ E„˜∞.

[Dudley, 1989]

Definisi 28 (Titik Lebesgue)

Titik „ disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi jika berlaku

[Wheeden dan Zygmund, 1977]

Definisi 29 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen 2 dengan fungsi intensitas pada titik „ 5 adalah „ , yaitu nilai fungsi di

„.

[Cressie, 1993]

Definisi 30 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

„ e j # „ ,

untuk setiap „ 5 dan j ‰ . Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan diatas disebut periode dari fungsi tersebut.

[Browder, 1996]

Definisi 31 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

[Mangku, 2001]

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 32 (p • dan r • )

[Purcell dan Verberg, 1998]

Definisi 33 (Momen kedua terbatas)

Peubah acak 2 dikatakan mempunyai momen kedua terbatas jika dipenuhi c 2 terbatas.

[Helms, 1996]

Lema 5 (Ketaksamaan Markov)

Jika 2 adalah peubah acak dengan c 2 terbatas, maka untuk setiap † M 0 berlaku

Ρ |2| S † 8Ÿ |@|_• .

[Helms, 1996]

Bukti: Lihat Lampiran 4.

Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika 2 adalah peubah acak dengan nilai harapan ^ dan ragam terbatas , maka

Ρ |2 R ^| S 8 , untuk setiap M 0.

[Helms, 1996]

Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka

c62;: 8 c 2" c ;" ,

dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika ¡ 2 # 0 # 1 atau ¡ ; # [2 #

1 untuk suatu konstanta [.

[Helms, 1996]

(15)

Lema 8 (Ketaksamaan segitiga)

|2 e ;| 8 |2| e |;|.

[Helms, 1996]

Lema 9 (Teorema Fubini)

Jika B S 0 atau V |B| E^ ˜∞ maka

V V B 9, =_@ _{_} ^ E= ^ E9 # V B_{@¢_} E^ # V V B 9, =_{_} _@ ^ E9 ^ E= .

[Durret, 1996]

Bukti: Lihat Durret, 1996.

Lema 10 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan m memiliki turunan ke- K yang berhingga pada suatu titik 9, maka

m = # m 9 e Xm‘_j!9 = R 9 ‘ I

‘ e a |= R 9|I _,

untuk = 4 9.

[Serfling, 1980]

(16)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Perumusan Penduga

Misalkan x adalah proses Poisson non homogen pada interval 0, ∞ dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas 2 komponen, yaitu komponen periodikatau komponen siklik _£ dengan periode M 0 dan sebuah tren linear yang tidak diketahui pula. Dengan demikian, untuk sebarang titik „ 0, ∞ , fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut

„ # £ „ e [„, (1) dan tidak boleh negatif. Karena alasan serupa, kajian hanya dibatasi untuk [ M 0.

Misalkan untuk suatu 7 Ω, terdapat sebuah realisasi tunggal x 7 dari proses Poisson x yang terdefinisi dalam ruang peluang Ω, , Ρ dengan fungsi intensitas pada persamaan (1) dan diamati pada interval

0, K".

Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu ‡_U untuk kejadian ke-T dari proses Poisson x sejak awal pengamatan (waktu 0 , dengan menggunakan realisasi tunggal x 7 dari proses Poisson x yang diamati pada interval 0, K" .

Untuk mendapatkan fungsi sebaran dari

‡U, dapat diperhatikan bahwa untuk setiap

Fungsi kepekatan peluang dari ‡_U yaitu B¦§ > # £ > e [> —G© ª *© ª +

§‹-UG ! . (5)

Pada pembahasan ini, diformulasikan penduga fungsi sebaran ?_¦_§ > dan penduga fungsi kepekatan peluang B_¦_§ > . Untuk penyusunan penduga di atas diperlukan juga penduga bagi [, penduga bagi n, penduga

Penduga bagi [ diberikan oleh

(17)

Penduga bagi Λ_´ >_¯ diberikan oleh dimana œ_I adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju 0,

œIÈ 0, (13) untuk K ∞.

Sekarang diuraikan ide tentang pembentukan penduga bagi [. Untuk menjelaskan hal ini

Bukti: Lihat Damiri (2003).

Perhatikan bahwa persamaan diatas. Berdasarkan Lema 11, maka

C „

I

›

E É nK.

Suku kedua dari persamaan diatas, yaitu

C [„ dibagi dengan K , sehingga

x 0, K"

K ÉnK e[2 Ë2x 0, K"K R2K n É [

Jika K 4 ∞,maka _In 4 0.Akhirnya diperoleh bahwa

[ºI#2x 0, K"_K .

Sekarang, diuraikan ide tentang pembentukan penduga ½_£,I „ dari _£ „ . Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson x yang tersedia, kita harus menggabungkan informasi tentang nilai „ yang belum diketahui dari tempat yang berbeda pada interval0, K". Misalkan

ÌI# X1_{j I „ e j} 0, K" Y

‘

.

Untuk sebarang titik „ dan j ‰, maka menurut persamaan (2), kita dapatkan

£ „ # £ „ e j persamaan (14) dapat ditulis sebagai berikut

(18)

# 1

stokastiknya, sehingga persamaan (15) menjadi

Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Maka

E [ºI # [ e _Iƒe s «_I¼®, (17)

Berdasarkan (8), E [º_I dapat dihitung sebagai berikut

Berdasarkan persamaan (18) dan (20), maka

vˆc [ºI #4n e 2[_K e s Æ_K1_ÙÇ,

untuk n 4 ∞.

Kekonsistenan dari _,

Lema 13 (Kekonsistenan _, )

Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (13)

Untuk membuktikan kekonsistenan dari

(19)

Lema 14

Misalkan fungsi intensitas diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (13)

Untuk membuktikan persamaan (22), akan dibuktikan bahwa

limI4YE ½£,I „ # £ „ . (24)

Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (24) dapat dinyatakan sebagai berikut

E ½£,I „

Suku pertama dari (25)

# 1

Dari (27) dan (28), kita peroleh suku pertama dari (26) yaitu

# «1 e s _{Â· I/±} ® λ´ s e a 1

# λ´ s e a 1 (29)

untuk n 4 ∞.

(20)

e Ð_2œ[„

Perhatikan suku ketiga ruas kanan persamaan (30). Nilai ∑Y_Þ I 9 e „ e j 0, K" dapat

Dengan menggabungkan hasil ketiga suku dari (30), maka suku kedua persamaan (26)

Sehingga ruas kanan persamaan (26) menjadi

# *λ´ s e a 1 + e á[„ e_Â·«ÊIÃ

Ä®e s ÁÂ·«ÃÄ®Åâ

(31) untuk K 4 ∞.

Dengan mensubstitusikan persamaan (17) dan (31) ke persamaan (25) maka diperoleh

E ½£,I „ # *λ´ s e a 1 + e

Bukti persamaan (23). Kita tahu bahwa

½_£,I _„

(21)

e [

Sehingga suku pertama persamaan (37) menjadi

Dengan menggabungkan persamaan (38) dan (39), kita peroleh suku pertama persamaan (36) adalah

Dengan menggabungkan persamaan (40) dan (41), kita peroleh suku pertama dari persamaan (34) adalah

# _š Ê±

ÃÂ·«Ã_Ä®e s ÁšÃ«Â·«Ã_Ä®®¼Å,

(42)

untuk K 4 ∞.

Selanjutnya, kita hitung suku kedua persamaan (34)

Dengan mensubstitusikan persamaan (18), persamaan di atas menjadi

# Á„ e_Â·«IÃ Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku ketiga persamaan (34) tidak lebih dari

(22)

# s á

Dengan menggabungkan persamaan (42), (43) dan (44), kita peroleh

Z[\ « ½£,I „ ® # _šÊ±

Untuk membuktikan persamaan (21), berdasarkan Definisi 12 akan diperlihatkan bahwa untuk yL M 0,

lim

I4YP*è ½£,I „ R £ „ è M L+ # 0.

(46) Berdasarkan ketaksamaan segitiga, kita peroleh

Dengan ketaksamaan Chebyshev, diperoleh

P «è ½£,I „ R E ½£,I „ è Mw® 8Ó éÊ¯«Žµ_w¼ê,ÃÏ ®.

Jadi, tinggal membuktikan bahwa

Ó éÊ¯«Žµê,ÃÏ ®

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Maka

nI4 nJ , (51) perlu membuktikan persamaan (52) karena persamaan (51) merupakan bentuk khusus dari persamaan (52) jika z_¹# . Untuk membuktikan persamaan (52), kita perlu membuktikan

EΛµ£,I >¯ 4 Λ´ z¹ (53) dan

Z[\ «EΛµ£,I >¯ ® 4 0 (54)

untuk K 4 ∞.

Untuk membuktikan persamaan (53) akan dibuktikan bahwa

limI4YEΛµ£,I >¯ # Λ´ z¹ . (55)

Berdasarkan Teorema Fubini, nilai harapan di ruas kiri (55) dapat dinyatakan sebagai berikut

EΛµ£,I >¯ # 1

Suku pertama dari (56)

(23)

e [

Dari (58) dan (59), kita peroleh suku pertama ruas kanan (57) yaitu

# *Λ£ >¯ + Á1 e s «_{Â· I/±}®Å pada ruas kanan persamaan (57) yaitu

# Ê±ª³

Dengan mensubstitusikan (17), maka suku kedua dari (56) menjadi

Áª³¼_e Iª³

(24)

Sehingga

Z[\ «Λµ£,I >¯ ® # Z[\ e Z[\ R 2`ab , .

(68)

Suku pertama dari ruas kanan (68) adalah

Z[\ ã 1 pada ruas kanan (69) yaitu

#

Berdasarkan (72), (73) dan (74), suku pertama pada ruas kanan (68) yaitu

Z[\ # s Á

«Â·«Ã_Ä®®¼Å (75)

untuk K 4 ∞.

Dengan mensubstitusikan (18), maka suku kedua pada ruas kanan (68) yaitu

(25)

Dengan ketaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa suku ketiga pada ruas kanan (68) tidak lebih dari

# s Á_Â·«Ã

Dengan menggabungkan persamaan (75), (76) dan (77), kita peroleh

Z[\ «Λµd,K >\ ® #_{K ln}2[>_«K®\ e s Á_{I Â·«}Ã

Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang .

Teorema 1 (Kekonsistenan Penduga Fungsi Sebaran )

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Untuk setiap z M 0

Dengan menggunakan deret Taylor dan Akibat 1, maka pada ruas kanan persamaan (81) yaitu

(26)

# aJ 1 (87) untuk K 4 ∞.

Dari (85) dan (87), diperoleh suku kedua pada ruas kanan persamaan (81) yaitu

8 1 «aJ 1 ®

# aJ 1 (88)

untuk K 4 ∞.

Berdasarkan persamaan (84) dan (88), maka ruas kanan persamaan (81) adalah a_J 1 , sehingga Teorema 1 terbukti.

Teorema 2 (Kekonsistenan Penduga Fungsi Kepekatan Peluang )

Misalkan fungsi intensitas λ diberikan pada (1) dan terintegralkan lokal. Jika œ_IÈ 0 ,

Berdasarkan persamaan (5) dan (9) didapatkan

B½¦§,I > R B¦§ > pada ruas kanan persamaan (90) yaitu

# aJ 1 (93)

Dari (93) dan (96), diperoleh suku kedua pada ruas kanan persamaan (90) yaitu

# sJ 1 «aJ 1 ®

# aJ 1 (97)

untuk K 4 ∞.

(27)

SIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji masalah kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear.

Fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu ‡_U adalah sebagai berikut

dan

¾‹-UG !

dengan > M 0 dan T M 0.

Sedangkan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu dengan menggunakan realisasi yang diamati

pada interval 0, K" dirumuskan sebagai berikut

©µ¶ª

§‹-UG ! ®

dan

µ_¶ª ® ¾‹-UG !

Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa

1. ?_¦_§_,I > adalah penduga konsisten bagi

?¦§ > ,untuk n 4∞.

2. B½_¦_§_,I > adalah penduga konsisten bagi

(28)

DAFTAR PUSTAKA

Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer. New York.

Casella, G. dan RL. Berger. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove. California.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. John Wiley & Sons. New York.

Damiri, S.D. 2003. Metode Untuk Menduga Fungsi Intensitas Global pada Proses Poisson Periodik. [Skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor.

Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California.

Durret R. 1996. Probability: Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press. New York.

Grimmett GR. dan DR. Stirzaker. 1992.

Probability and Random Process. Ed. Ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary Application. W. H. Freeman & Company. New York.

Hogg RV, AT. Craig, dan JW. McKean. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph. D. Thesis). University of Amsterdam. Amsterdam.

Mangku IW. 2010. Consistent Estimation of the Distribution Function and The Density of Waiting Time of a Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Far East Journal of Theoretical Statistics.

Purcell EJ dan D. Verberg. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. Ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed. Ke-2. John Wiley & Sons. New York.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John Wiley & Sons. New York.

Taylor HM. dan S. Karlin. 1984. An Introduction to Stochastic Modelling. Academic Press Inc. Orlando, Florida.

Wheeden RL. dan A. Zygmund. 1977.

(29)

(30)

Lampiran 1 (Pembuktian Lema 2)

Lema 2

Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula d dan E adalah dua buah konstanta sebarang, maka

Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; e 2dE`ab 2, ; .

Jika 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas, maka

Z[\ d2 e E; # d Z[\ 2 e E Z[\ ; .

Bukti:

Nilai harapan dari d2 e E; yaitu

c d2 e E; # dc 2 e Ec ; # d^@e E^_.

Sehingga

Z[\ d2 e E; # c d2 e E; R d^@e E^_ " # c d 2 R ^@ e E ; R ^_ "

# c d 2 R ^@ e E ; R ^_ e 2dE 2 R ^@ ; R ^_ " # Z[\ 2 e E Z[\ ; e 2dE `ab 2, ; .

(31)

Lema 3

Jika 2 adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta d dan E, berlaku

Z[\ d2 e E # d Z[\ 9 .

Bukti:

Dari definisi ragam, diketahui bahwa

Z[\ d2 e E # c d2 e E R c d2 e E " # c d2 e E R dc2 e E " # c d2 R dc2"

# d c 2 R c2" # d Z[\ 2 .

(32)

Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut D dan b, maka 2 e ; memiliki sebaran Poisson dengan parameter D e b.

Bukti:

Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat ninyatakan

P 2 e ; # K # X P 2 # j, ; # K R j Y

‘ ›

.

Karena peubah acak 2 dan ; saling bebas, maka

# X P 2 # j P ; # K R j Y

‘ ›

# X ÁD‘_{j! Å}—Gð Y

‘ ›

Áb_{K R j !Å}IG‘—Gñ

#—G ðWñ_{K! X}_{j! K R j ! D}K! ‘ I

‘ ›

bIG‘_.

Perhatikan, dengan perluasan binomial kita dapat menyatakan, untuk setiap integer positif n,

D e b I

# X «Kj®D‘_bIG‘ IY

‘ ›

# X_{j! K R j ! D}K! ‘_bIG‘ I

‘ ›

.

Sehingga diperoleh

P 2 e ; # K #—G ðWñ_K! D e b I_{, K # 0,1,2, …}

(33)

Lema 5 (Ketaksamaan Markov)

Jika 2 adalah peubah acak dengan c 2 terbatas maka untuk setiap † M 0, berlaku Ρ |2| S † 8c |2|

† .

[Helms, 1996]

Bukti:

Misalkan # 6|2| S †: maka |2| S †I_ò. Dengan IA adalah fungsi indikator dari , yaitu

Iò # i1, jika |2| S †_{0, jika |2| ˜ †}l.

Jika ditentukan nilai harapannya, maka akan diperoleh

E|2| S E †Iò # †EIh # †P |2| S † .

Ë P |2| S † 8E|2|_{† .}

(34)

Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika 2 adalah peubah acak dengan nilai harapan ^ dan ragam terbatas , maka Ρ |2 R ^| S 8 ,

untuk setiap M 0.

[Helms, 1996]

Bukti:

Perhatikan bahwa |2 R ^| adalah peubah acak positif, maka

P |2 R ^| S # P 2 R ^ S .

Berdasarkan ketaksamaan Markov

P 2 R ^ S 8E 2 R ^ .

Atau bisa ditulis

Ρ |2 R ^| S 8

untuk setiap M 0.

(35)

Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

E62;: 8 E 2" E ;" ,

dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika Ρ 2 # 0 # 1 atau Ρ ; # [2 # 1 untuk suatu konstanta [.

[Helms, 1996]

Bukti:

Pilihlah salah satu dari Ρ 2 # 0 # 1 atau Ρ 2 # 0 ˜ 1.

Pada kasus pertama, persamaan akan terpenuhi karena kedua ruas mempunyai nilai nol, sehingga kita bisa mengasumsikan Ρ 2 # 0 ˜ 1, yang berarti bahwa 2 mempunyai satu nilai 9_›' 0 dengan peluang positif, sehingga

E 2" # X 9%B@*9%+ %

M 0.

Definisikan fungsi kuadrat

m # E ; R 2 " # c ; " R 2 E 2;" e E 2 ".

Fungsi kuadrat di atas akan bernilai minimum pada saat

›#E 2;"_{E 2 ".}

Sehingga

0 ˜ E ; R ›2 " 8 E ; R 2 ".

untuk y yang real. Ganti _› dengan ô @_"_{ô @}_¼_",

E ; R ›2 " # c ; " R 2 ›E 2;" e › E 2 " # c ; " R 2 E 2;"_{E 2 " e} E 2;"_{E 2 "}

# c ; " R E 2;"_{E 2 " .}

Sehingga

0 ˜ E ; R ›2 " # c ; " R E 2;"_{E 2 " 8 E ; R 2 ".}

Di satu sisi, hal ini berimplikasi bahwa

E 2;" 8 c 2" c ;" .

Dan di sisi lain jika sama akan

E ; R ›2 " # 0.

Jika ; R _›2 menempati nilai yang tidak nol dengan peluang yang positif, akan didapatkan

E ; R ›2 " M 0.

Hal ini mengakibatkan kontradiksi, maka haruslah P ; R _›2 # 0 # 1.

(36)

Lema 8 (Ketaksamaan segitiga)

|2 e ;| 8 |2| e |;|.

[Helms, 1996]

Bukti:

|2 e ;| # 2 e ; # 2 e ; e 22;.(98)

Kita tahu bahwa

2; 8 |2;| # |2||;|.

Maka, ruas kanan dari (98) tidak lebih dari

2 e ; e 22; 8 2 e ; e 2|2||;| # |2| e |;| e 2|2||;| # |2| e |;| .

Sehingga (95) dapat dituliskan seperti berikut

|2 e ;| 8 |2| e |;| .

Karena |2 e ;| dan |2| e |;| adalah non-negatif, maka diperoleh

|2 e ;| 8 |2| e |;|.