Teorema 4. Secara acak ξ(t) di bawah kebijakan JLW akhirnya menampilkan struktur hirarki minimax. Secara khusus yang dinilai secara acak wξ(t) pada
4. Multi channel, multi phase
2.5 Proses Poisson
Jika waktu interarrival IID dan distribusi eksponensial tercapai, jumlah ke-datangan dari n berlangsung dalam interval (t, t + x) berarti memiliki distribusi Poisson, dan oleh karena itu proses kedatangan diarahkan pada proses Poisson atau aliran Poisson. Aliran Poisson sangat populer dalam teori antrian karena kedatangan biasanya memoryless sebagai waktu interarrival terdistribusi secara eksponensial. Sebagai tambahan aliran Poisson memiliki properti:
a. Menggabungkan k aliran Poisson dengan mean rate λi hasil dalam aliran Poisson dengan mean rate λ diberikan dengan:
λ = Xk
i=1
λi (2.14)
b. Jika aliran Poisson dibagi ke dalam k sub-aliran maka probabilitas job (kerja) yang bergabung pada i sub-aliran adalah pi, Setiap sub-aliran juga Poisson dengan mean rate piλ.
c. Jika kedatangan pada suatu server tunggal dengan waktu layanan yang eks-ponensial adalah Poisson dengan mean rate λ, Keberangkatan yang terjadi juga Poisson dengan rate yang sama λ. Menyediakan rate kedatangan λ lebih kecil dibandingkan rate pelayanan µ.
19
d. Jika kedatangan pada fasilitas layanan dengan m pusat layanan adalah Pos-sion dengan mean rate λ, Keberangkatan juga merupakan aliran Poisson dengan rate yang sama λ, Menyediakan rate kedatangan λ lebih kecil dari tingkat total layanan. Ini adalah asumsi pada server, untuk memiliki dis-tribusi eksponensial waktu layanan.
Model Antrian M[H ]/G/1
Model antrian M[H ]/G/1 membahas tentang kedatangan dari paket-paket dalam suatu sistem komunikasi terjadi secara berkelompok (dengan jumlah paket dalam tiap kelompok merupakan suatu variabel acak, H) dan mengikuti proses Poisson (dinotasikan dengan M[H ]). Waktu pelayanan (transmisi) dari paket-paket ini memiliki distribusi general (dinotasikan dengan G) dan pemrosesan paket-paket itu hanya dilayani oleh satu unit layanan (dinotasikan dengan 1). Model ini banyak ditemui dalam sistem komunikasi dimana paket-paket yang harus ditransmisikan yang berasal dari entitas protokol yang lebih tinggi dimana paket yang berorientasi pada pengguna (user-oriented packet) telah dipisah-pisah ke dalam bentuk paket-paket kecil yang sesuai dengan ukuran paket-paket yang digunakan pada protokol yang lebih rendah [1]. Dalam hal waktu pelayanan berdistribusi deterministik, maka model di atas menjadi M[H ]/D/1 (D untuk deterministik); jika waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, model menjadi M[H ]/M/1 (M untuk eksponensial) se-dangkan jika waktu pelayanan berdistribusi Erlang dengan parameter (2, µ) maka model menjadi M[H ]/E2, µ/1(E2, untuk Erlang(2, µ)). Dalam menganalisis model M[H ]/G/1 ini akan dilihat rata-rata waktu tunggu sebarang paket sebagai krite-ria performansi, untuk berbagai nilai p, utilitas sistem dan jenis distribusi waktu pelayanan.
Notasi-notasi yang akan digunakan adalah:
ρ : Utilitas sistem / fraksi waktu dimana unit layanan (server)sibuk λ : Tingkat kedatangan
µ : Tingkat pelayanan
Q¯ : Rata-rata panjang antrian
N¯ : Rata-rata jumlah paket di dalam sistem
R¯ : Rata-rata waktu respon (waktu tunggu ditambah waktu pelayanan)
20
S : Variabel acak waktu pelayanan
E(S) : Rata-rata waktu pelayanan /momen pertama dari S E(S2) : Momen kedua dari S
E(Wp) : Rata-rata waktu tunggu dari sebarang paket.
H : Variabel acak jumlah paket dalam satu kelompok; dalam hal H berdistri busi geometrik dengan parameter p, berlaku P [H = k] = p(1 − p)k−1, k = 1, 2, 3, . . .
Dalam bagian ini akan diturunkan rumusrumus yang berkenaan dengan model M[H ]/G/1. Suatu kelompok yang berisikan sejumlah acak H paket dikarakterisa-sikan dengan suatu peluang diskret hk, k = 1, 2, 3, . . . sehingga ekspektasi jumlah paket di dalam suatu kelompok dan momen faktorial keduanya masingmasing di-berikan oleh :
Dari formula Little diperoleh utilitas sistem (pada unit layanan), rata-rata panjang antrian (pada antrian) dan ratarata jumlah paket (pada sistem) sebagai berikut [2]:
Formula Little pada dasarnya menghubungkan antara jumlah paket di dalam an-trian dengan jumlah kedatangan per unit waktu dan rata-rata waktu yang di-habiskan dalam antrian. Hubungan ini selalu valid dan tidak bergantung pada
21
distribusi yang terlibat di dalam model. Dari PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) untuk kedatangan secara kelompok, diperoleh formulasi untuk rata-rata waktu tunggu untuk sebarang paket sebagai berikut:
PASTA merupakan hasil yang terkenal dari teori antrian yang menyatakan bahwa distribusi dari paket pada suatu antrian pada saat suatu paket yang baru tiba (mengikuti proses kedatangan Poisson) sama dengan distribusi paket dalam jangka panjang (long run or steady state). Suku pertama pada persamaan terakhir me-nyatakan rata-rata waktu tunggu paket dalam model M/G/1 yang biasa dimana paket datang dengan ukuran rata-rata E(H)E(S) dan momen kedua E(H)E(S2).
Suku kedua menyatakan waktu tunggu ekstra dimana paket itu tidak berada dalam urutan pertama dalam kelompoknya.
Dalam bagian ini diberikan contoh perhitungan untuk beberapa nilai utilitas sis-tem ρ (sissis-tem dikatakan stabil jika nilai ρ < 1), p dan beberapa jenis distribusi waktu layanan dengan ekspektasi waktu layanan diambil 0,02 detik (dengan tingkat µ= 50 paket/detik). Diasumsikan bahwa jumlah paket di dalam satu kelompok (H) merupakan variabel acak yang berdistribusi geometri. Distribusi waktu pe-layanan dipilih deterministik, eksponensial dan Erlang (2, µ). Perhitungan E(H) dan E(H(H − 1)) untuk beberapa nilai p dilakukan dengan menggunakan rumus pada bagian 2 dan menggunakan hubungan berikut :
X∞
Hasil perhitungan rata-rata waktu tunggu diberikan pada tabel 4.1. Dari tabel 4.1. terlihat bahwa rata-rata waktu tunggu akan semakin lama jika p makin kecil dan ρ semakin besar, serta distribusi waktu pelayanan eksponensial memberikan rata-rata waktu tunggu paling lama dibandingkan dengan distribusi waktu tunggu deterministik ataupun Erlang. Hasil yang diperoleh ini memberikan kecenderu-ngan yang sama dekecenderu-ngan ekspektasi waktu respon untuk model antrian M/G/1[3].
Dari pembahasan model antrian M[H ]/G/1 di atas berikut contoh perhitungan numeriknya yaitu :
22
1. Jika nilai p makin besar (untuk nilai ρ yang sama), maka rata-rata waktu tunggu akan semakin lama, karena nilai ρ yang besar menyatakan bahwa utilitas sistem tinggi atau unit layanan menjadi lebih sibuk.
2. Jika nilai p makin besar (untuk nilai ρ yang sama), maka rata-rata waktu tunggu akan semakin cepat, karena nilai p yang besar akan mengakibatkan rata-rata jumlah paket di dalam kelompok yang semakin kecil.
3. Distribusi eksponensial pada waktu pelayanan memberikan rata-rata waktu tunggu yang paling lama sedangkan distribusi deterministik memberikan rata-rata waktu tunggu yang paling cepat.
Model di atas dapat dikembangkan lebih lanjut misalnya unit layanan akan beri-stirahat sejenak jika sedang menganggur, model-model antrian dengan waktu pe-layanan secara berkelompok seperti M/G[H ]/1 ataupun model antrian yang meli-batkan lebih dari 1 unit layanan.
Tabel 2.1 Rata-rata waktu tunggu untuk berbagai nilai p, dan ρ dan distribusi waktu pelayanan
BAB 3
STRUKTUR RANTAI MARKOV DALAM TEORI ANTIRAN PADA