DINAMIKA MODEL SUPERMARKET
TESIS
Oleh
SITI RUQAIYAH SIMAMORA 097021070/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2011
DINAMIKA MODEL SUPERMARKET
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SITI RUQAIYAH SIMAMORA 097021070/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2011
Judul Tesis : DINAMIKA MODEL SUPERMARKET Nama Mahasiswa : Siti Ruqaiyah Simamora
Nomor Pokok : 097021070
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 14 Juni 2011
Telah diuji pada Tanggal 14 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Dra. Mardiningsih, M.Si
PERNYATAAN
DINAMIKA MODEL SUPERMARKET
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, Juni 2011 Penulis,
Siti Ruqaiyah Simamora
i
ABSTRAK
Metode dalam tesis adalah menganalisa tentang teori antrian dalam dinamika model supermarket dengan proses Markov. Dinamika model supermarket adalah suatu pola atau ragam perubahan, baik secara besar-besaran atau kecil maupun perubahan yang secara cepat atau lambat, dan merupakan suatu kenyataan yang berhubungan dengan suatu keadaan pada tempat pembelanjaan yang menawarkan berbagai macam kebutuhan. Antrian umumnya terjadi disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan.
ProsesMarkov merupakan proses stokastik masa lalu yang tidak mempunyai pe- ngaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui. Probabilitas transisi dalam suatu model mengandung sejumlah perubahan dari suatu keadaan ke keadaan lain selama priode tertentu. Terdapat empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh system antrian, yaitu : 1. Single Channel, Single Phase, 2. Single Channel, Multi Phase, 3. Multi channel, Single Phase, 4.
Multi Channel, Multi Server. Dalam model antrian M [H]/G/1 dimana paket-paket datang secara berkelompok mengikuti proses Poisson dengan tingkat λ. Suatu kelompok paket berisi sejumlah acak paket H yang memiliki distribusi geometrik dengan parameter p. Untuk beberapa nilai p dan berbagai distribusi dari waktu pelayanan, maka akan ditentukan rata-rata waktu tunggu dari sebarang paket se- bagai ukuran performansi dari model ini.
Kata kunci : Dinamika, Antrian, Rantai Markov
ii
ABSTRACT
Method in this thesis is analyzing the queue theory in dynamic of supermarket model with Markov chain. The dynamic of this supermarket model is a pattern or avariety changes both in largeor small-scale and rapidor slow changes and it is the fact that relates to a situation in the shopping place which of fersa variety ofneeds.
Commonly, Queue happened due to the necessary place of service which is more than the ability (capacity) of service or facility it self. The markov chain is a past stocastic process which doesn’t have any influence for the future eventhough it is know today. Transition probability in a model contains some changes of a situation to another situation for a certain periode of time. There is four models structure of basic queue that happen commonly in whole queue system, 1. Single Channel, Single Phase, 2. Single Channel, Multi Phase, 3. Multi channel, Single Phase, 4. Multi Channel, Multi Server. In the consider an M [H]/G/1 queueing system where packets arrive in batches according to Poisson process at rate λ. A batch consists of a random number of packets H, having a geometric distribution with a parameter p. For various values of p and distribution of service time, so will be determine the mean waiting time of an arbitrary packet as a performance measure for this model.
Keywords : Dynamics, Queue, Markov Chain.
iii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala puji dan syukur kehadirat Allah swt atas segala ridho- Nya sehingga penulisan tesis ini dapat selesai dengan lancar. Tesis ini berjudul
”Dinamika Model Supermarket” yang ditulis sebagai salah satu syarat un- tuk memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister pada Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara.
Keberhasilan penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan, dorongan, dan saran berbagai pihak, maka saya ucapkan ribuan terima kasih terutama ditujukan kepada Pembimbing I Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. dan Pembimbing II Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. Di samping itu terima kasih juga kepada Ke- tua Program Studi Magister Matematika Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Sekretaris Program Studi Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc., Dekan FMIPA USU Ba- pak Dr. Sutarman, M.Sc. serta Bapak Rektor USU. Kemudian terima kasih juga kepada seluruh dosen dan pegawai tata usaha di lingkungan FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada pihak Pemerintah Kota Tanjung- balai Badan Kepagawaian Daerah (BKD), Dinas Pendidikan Tanjungbalai yang telah memberikan bantuan motivasi dan semangat terutama ditujukan kepada Bapak Drs. H. Hamlet Sinambela, M.Pd.sebagai Kepala Dinas Pen- didikan Kota Tanjungbalai, tidak ketinggalan teman-teman dari Pasca Sarjana dan teman-teman sesama guru.
Akhirnya ucapan terima kasih dan doa teristimewa disampaikan kepada aya- handa tercinta alm. Amin Hilal Simamora dan ibunda Hj. Hasaniah Panjaitan yang senantiasa memberikan doa dan semaPngat ruh ayah kepada saya, begitu juga terima kasih dan hormat saya kepada suami tercinta abangda Muhammad Arief AM dan anak-anakku tersayang Abdillah Fauzan Arief (FT MesinUNIMED), Abdillah Farhan Arief (SMA N 1 Plus Matauli Pandan), Siti Fikriyah Bungsu Arief (SMP N 1 Tanjungbalai) serta abangda/abah Ahmad Taufiq Simamora, adinda Muslim Abid Simamaora, Muham- mad Fathi Simamora, S.Pd., Siti Ahil Simamora, Ahmad Ramdhani Simamora, S.IP., para ipar dan seluruh keponakan, para sepupu terutama adinda Duma Sari
iv
Siregar, S.Pd., Hidayat Simamora, S.Pd.,dan anak-anak angkatku Muhammad Rafif Hamonangan, Muhammad Fathur Haposan Simamora.
Saya menyadari penulisan tesis ini tidak terlepas dari kekurangan dan kelema- han, untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan tesis ini sangat diharapkan. Mudah-mudahan tulisan ini bermanfaat bagi kita pembaca.
Medan, 14 Juni 2011 Penulis,
Siti Ruqaiyah Simamora
v
RIWAYAT HIDUP
Siti Ruqaiyah Simamora lahir di Tanjungbalai pada tanggal 19 April 1966 anak ke dua dari 6 (enam) bersaudara dari orang tua Amin Hilal Simamora (alm) dan Hj. Hasaniah Panjaitan. Menamatkan sekolah dasar pada SD N 132404 Tan- jungbalai pada tahun 1979 kemudian melanjutkan sekolah ke SMP N 1 Tanjung- balai, selanjutnya ke SMA N 1 Tanjungbalai yang lulus tahun 1985. Pada tahun yang sama berhasil masuk kuliah ke Universitas Sumatera Utara di FMIPA jurusan Matematika program Diploma III/Akta III dan lulus tahun 1988. Pada tahun yang sama menerima SK Pengangkatan CPNS di SMA N 2 Kisaran.Selanjutnya mutasi ke SMA N 3 Tanjungbalai pada tahun 1993, dan pada tahun 1997 menyelesaikan program S1 jurusan Matematika FPMIPA IKIP Medan. Tekad yang bulat untuk mencerdaskan anak bangsa tetap digelutinya sehingga pada tahun 1998 terpilih se- bagai Guru Teladan I Jenjang SMU Tingkat Provinsi Sumatera Utara.
Kemudian pada tahun 2004 kembali terpilih sebagai Guru SLTA Berprestasi I Kota Tanjungbalai, tahun 2007 mendapat penghargaan sebagai Juara I Mata Pelajaran Matematika pada Olimpiade Guru tkt. SMA. Tahun 2003 mutasi ke SMA N 1 Tanjungbalai dan pada tahun 2006 kembali mutasi ke SMA N 3 Tanjungbalai sampai sekarang. Di samping itu penulis juga bertugas sebagai staf pengajar Prodi matematika di FKIP Universitas Asahan Kisaran se- jak tahun 2006 sampai sekarang. Dan akhirnya pada September 2009 diterima menjadi Mahasiswa Program Studi Magister Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR GAMBAR x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metodologi Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Dinamika Model Supermarket 8
2.2 Model-model Antrian 11
2.3 Proses Markov 15
2.4 Proses Birth-Death 17
vii
2.5 Proses Poisson 18 BAB 3 STRUKTUR RANTAI MARKOV DALAM TEORI ANTIRAN PADA
DINAMIKA MODEL SUPERMARKET 23
3.1 Estimasi Parameter Probabilitas Transisi Rantai Markov 27
BAB 4 KESIMPULAN 30
DAFTAR PUSTAKA 31
viii
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
2.1 Rata-rata waktu tunggu untuk berbagai nilai p, dan ρ dan distribusi
waktu pelayanan 22
ix
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Visualisasi sebuah system 13
2.2 Single channel, single phase 14
2.3 Single channel, multi phase 14
2.4 Single channel, multi phase 15
2.5 Multi Channel, Multi Server 15
3.1 Transisi-state rantai Markov 24
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persaingan bisnis menjadi sangat tajam dalam era globalisasi saat ini. Untuk memenangkan persaingan, maka perusahaan harus dapat memberikan kepuasan kepada para pembelinya. Salah satu metode yang sekarang sering digunakan adalah dengan meningkatkan kualitas pelayanan dari perusahaan tersebut. Dalam hal ini caranya adalah dengan memberikan pelayanan yang lebih cepat, sehingga diha- rapkan dapat menekan waktu menunggu ataupun waktu antri yang terlalu lama.
Jika konsumen merasa puas, maka besar kemungkinan konsumen akan memilih perusahaan tersebut di masa mendatang, sehingga pada akhirnya jumlah pem- belipun akan semakin meningkat (http://digilib.its.ac.id/public/ITS-NonDegree- 10303-1398030043-Chapter1).
Menunggu dalam suatu antrian adalah fenomena yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Banyak orang mengalami ketidaknyamanan dalam mengan- tri. Hal ini disebabkan oleh kebutuhan akan layanan yang melebihi kemampuan atau kapasitas pelayanan sehingga seorang pembeli tidak akan mendapatkan pela- yanan dengan segera disebabkan oleh karena sibuknya pelayanan. Kondisi seperti ini juga sering terjadi pada supermarket-supermarket di seluruh Indonesia.
Dalam berbagai dinamika model supermarket, menunggu pada umumnya ter- jadi disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pe- layanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tamba- han fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi waktu menunggu yang cukup lama. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima.
Sehingga pada saat ini teori antrian banyak diterapkan dalam bidang bisnis seperti supermarket. Tujuan penggunaan teori antiran adalah untuk merancang
1
2
fasilitas pelayanan untuk mengatasi permintaan pelayanan yang berfluktuatif se- cara random dan menjaga keseimbangan antara biaya (waktu anggur) pelayanan dan biaya (waktu) yang diperlukan selama antri. Analisis antrian dalam ben- tuk panjang antrian, rata-rata waktu menunggu, dan faktor lain membantu untuk memahami sistem jasa seperti kasir di supermarket.
Suatu antrian merupakan suatu garis tunggu dari pelanggan (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi ma- tematika dari kesediaan garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan la- yanan, sehingga pelanggan yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan dise- babkan kesibukan layanan. Setiap masalah antrian dapat diuraikan dalam tiga karakteristik, yaitu: kedatangan, antrian, dan pelayanan.
Salah satu model yang berkembang saat ini tentang teori antrian adalah model matematika, yaitu proses stokastik X(t) yang merupakan aturan untuk menentukan fungsi X(t, ξ) untuk setiap ξ. Pada tahun 1906, A.A. Markov se- orang ahli matematika dari Rusia mengemukakan teori ketergantungan variabel atau proses acak yang dikenal dengan proses Markov. Proses Markov merupakan proses stokastik masa lalu yang tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui. Pertimbangan persyaratan ciri-ciri dari rantai Markov ξ(t) berdasarkan teori antrian dalam model supermarket yaitu adanya se- jumlah stasiun pada tiap-tiap proses yang bekerja secara antrian, setelah pelayanan lengkap, dan sistem ditinggalkan.
MacPhee et al., (2010) telah melakukan penelitian tentang dinamika model supermarket yang menganggap perilaku jangka panjang dari rantai Markov (t) berdasarkan model supermarket pada teori antiran. Arah kebijakan yang berbeda untuk model supermarket memberikan berbagai perbedaan rantai Markov. Seba- gai korelasi hasil utama penelitian tersebut diperoleh klasifikasi stabilitas model supermarket dengan kebijakan join the least weighted queue (JLW) dan secara eks- plisit dapat menghitung Ck dan Vk untuk setiap contoh dari model dan spesifik kebijakan JLW.
3
Penelitian ini mengkaji lebih dalam bagaimana suatu rantai Markov dapat menjelaskan teori antrian pada dinamika model supermarket.
1.2 Rumusan Masalah
Antrian merupakan suatu fenomena atau kejadian yang biasa dalam kehidu- pan sehari-hari yang timbul karena ketidakseimbangan antara yang dilayani de- ngan pelayanannya. Model yang berkembang saat ini tentang teori antrian adalah model matematika yang dikenal dengan proses Markov. Rantai Markov merupakan proses stokastik masa lalu yang tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui. Proses stokastik X(t) adalah aturan untuk menentukan fungsi X(t, ξ) untuk setiap ξ.
Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mengestimasi rantai Markov dalam masalah antrian dan memperlihatkan bagaimana suatu rantai Mar- kov sederhana menjelaskan model antrian pada dinamika model supermarket.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan model-model yang tepat pada dinamika model supermarket.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan bermanfaat bagi para pengambil keputusan dalam bidang manajemen pelayanan pada perusahaan supermarket, khususnya untuk mendapatkan dinamika model supermarket berdasarkan proses rantai Markov.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi- informasi dari berbagai buku dan jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
4
1. Memperkenalkan model rantai Markov sederhana dan menjelaskan bagaimana parameter-parameternya dapat diestimasi untuk menentukan model yang tepat pada dinamika model supermarket.
2. Menguraikan permasalahan dinamika model supermarket.
Mengembangkan suatu struktur rantai Markov untuk mengestimasi probabi- litas dinamika model supermarket.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Penelitian tentang rantai Markov dan penerapannya dalam dinamika model antrian pada Supermarket telah dilakukan oleh MacPhee et al.,(2010) yang meng- anggap perilaku jangka panjang dari rantai Markov ξ(t) didasarkan teori antrian model supermarket dimana terdapat sejumlah stasiun, dari masing-masing proses pekerjaan yang ada antriannya.
Detail Model dan Notasi
Semua pekerjaan dari jenis tunggal tetapi layanan memiliki tingkat yang berbeda. Diasumsikan bahwa waktu pelayanan pada setiap stasiun j eksponen- sial didistribusikan dengan tingkat µj dan bebas dari kedatangan dan waktu pela- yanan lainnya. Stasiun yang mendukung struktur lingkungan di tempat yang tidak kosong dari stasiun Si ∈ P (C0), koleksi dari subset C0 =, {1, 2, . . . , N }. Pekerjaan yang tiba di lingkungan sebagai proses Poisson Independent dengan tingkat λi ≥ 0 pada Si untuk setiap i = 12, . . . memperbolehkan beberapa λi = 0 dan dinyata- kan N (C0)Si pada lingkungan dengan λi > 0. Secara sederhana biasanya ditulis i ∈ N (C − 0) ketika dimaksud Si ∈ N (C0). Untuk menghilangkan beberapa situ- asi yang kurang berarti dianggap bagian grafik G, dengan tanda N (C0) ∪ C0 dan sisi-sisi E = {(Si, j) : j ∈ Si}, tersambung yang memastikan bahwa model tidak dapat secara mudah didekomposisi menjadi komponen-komponen bebas.
Pada perilaku antrian panjang proses X(t) pada keadaan ruang NN(N me- nunjukkan bilangan bulat positif) dan proses terkait berjalan secara acak ξ(t) de- ngan tingkat kenaikan sama seperti X pada states positif tetapi tidak tercermin pada 0 dan karenanya dengan state ruang ZN.
Rincian yang tepat dari tarif kenaikan tergantung pada arah kebijakan. Setibanya di lingkungan Si pekerjaan diarahkan ke stasiun j ∈ Si dimana j dipilih oleh be- berapa arah kebijakan.
5
6
∆0 = n
p ∈ [0, 1]N.X
jPj = 1 o
untuk setiap i = 1, . . . , |N (C0)| (2.1)
∆i = {p ∈ ∆0 : Pj = 0untuk j /∈ Si} (2.2)
menandakan unit sederhana pada koordinat j ∈ Si.
Defenisi 1. Keseimbangan arah kebijakan Markov adalah sebuah pemetaan
π : ZN × {1, 2, . . . , |N (C0)|} → ∆0dimana π (x, i) ∈ ∆i (2.3) Dibawah kebijakan π suatu pekerjaan yang tiba di lingkungan Siketika proses state diarahkan ke stasiun j ∈ Si dengan probabilitas (x, i) dan ruang arah kebijakan dinyatakan olehQ
.
Jika π tidak tergantung pada x dikatakan itu adalah statis, ditulis π(i) untuk distribusi arah kedatangan di Si dan dinyatakan ruang arah kebijakan statis dengan Q
stat.
Defenisi 2. (Arah Kebijakan Lokal).
Memperbaiki satu set dari bobot positif {wj : j ∈ C0, wj > 0}. Untuk x ∈ ZN memberi wxi = min1∈Siw1,x1 dan diberikan Bi(x) = {j ∈ si : wjxj = wxi} me- nunjukkan tempat dari stasiun di Si dengan keadaan bobot nilai minimal. Arah kebijakan Join the least weighted queue (JLW) didefinisikan dengan:
π (x, i) =
( 1/ |Bi(x)| jika
0 sebaliknya (2.4)
Arah kebijakan π dengan tingkat kecenderungan V dari ξj(t) di setiap keadaan x dan Xj(t) pada x dengan xj > 0 memenuhi.
V (j; x, π) = X
i∈N (C0)
λiπ (x, i)j − µj (2.5)
7
dengan menyederhakan V (j; x, π) = P
i∈N (C0)
λiπ (x, i)j− µj untuk kebijakan statis.
Mengacu pada setiap koleksi tidak nol dari stasiun C ⊆ C0 sebagai sebuah kelom- pok untuk memisahkan dari asosiasi dengan aliran kedatangan tertentu. Untuk setiap kelompok C dan setiap kelas kebijakan statis Π0Πstat, menjelaskan:
V
C; w, Π0
= min
π∈Π0
maxj∈C wjV (j, π) (2.6)
dengan kata lain minimum (kebijakan lebih dari Π0) dari tingkat penyimpangan maksimum yang menguntungkan pekerjaan lebih dari stasiun pada C.
Teorema 1. Menunjukkan V1 = v (C0; w, Πstat)
Keadaan dari station dapat diuraikan ke dalam kelompok hirarki dengan sifat-sifat sebagai berikut:
(i). C1 adalah kelompok unik dari C sehingga V1 = v (C0; w, Πstat) = v1 dan |C|
adalah minimal.
(ii.) Jika C1 6= C0 maka untuk tahap k = 2, . . . menunjukkan:
v (C; w, Πk−1) = vk
Vk = v C0\[k−1
1 Cn; w,Y
k−1
!
dimana Πk−1adalah keadaan kebijakan statis yang mencapai Vndalam kelom- pok Cn untuk n = 1, . . . , k − 1. Ck ⊆ C0\Sk−1
1 Cn adalah kelompok unik yang memenuhi v (C; w, Πk−1) = vk dengan nilai minimal dari | C |. Dengan tiap k memiliki Vk < Vk−1.
Untuk beberapa dan dekomposisi hirarki minal adalah lengkap.
(iii.) Πk adalah bukan nol. Untuk beberapa π ∈ Πk dan tiap j ∈ Ck, k = 1, . . . K.
Teorema 2. Memilih suatu keadaan bobot positif w. Jika V1 > 0 maka proses panjang antrian X(t) bersifat sementara dalam setiap kebijakan. Jika V − 1 < 0
8
maka proses panjang antrian X(t) positif secara berulang di bawak kebijakan JLW dengan bobot w dan dengan beberapa π ∈ Πk.
Teorema 3. V1(w) menunjukkan arah penyimpangan maksimal yang diperoleh dari dekomposisi hirarki minimax dengan bobot w. Jika V1(w) < 0 untuk beberapa w positif maka V1(w‘) < 0 untuk semua bobot w‘positif. Jadi jika X stabil dengan beberapa kebijakan JLW adalah stabil di bawah semua kebijakan tersebut.
Teorema 4. Secara acak ξ(t) di bawah kebijakan JLW akhirnya menampilkan struktur hirarki minimax. Secara khusus yang dinilai secara acak wξ(t) pada tingkat penyimpangan Vk dalam tiap kelompok Ck, yaitu cukup kecil ε > 0 dan beberapa konfigurasi awal hingga ξ(0) = x0 terdapat suatu waktu acak t(ε) seperti untuk tiap kelompok Ck dan untuk stiap t > t(ε).
wjξj(t) t − Vk
< tε f or each j ∈ Ck (2.7) Teorema 5. Di bawah kebijakan JLW dengan bobot w yang dinilai secara acak wξ(t) adalah dalam kondisi berulang pada setiap ikan sub-kelompok dari Ck, k = 1, . . . K.
Pembatasan untuk ikatan kelompok diperlukan seperti pada umumnya suatu kelompok dapat dibagi menjadi dua atau lebih bagian independen dengan tingkat penyimpangan yang sama.
Perilaku kekelompokan yang dijelaskan disini mungkin juga dijelaskan oleh model supermarket dengan aliran kedatangan yang umum waktu layanan non- eksponensial dengan mencari untuk fungsi Lyapunov yang memungkinkan untuk memperpanjang argumen-argumen pada titik-titik yang diperlukan. Ada kemung- kinan bahwa perilaku serupa akan bertahan dalam sistem serupa yang memiliki umpan balik gaya Jackson meskipun ada banyak komplikasi.
2.1 Dinamika Model Supermarket
Supermarket dapat dijumpai hampir di setiap kota, yang dahulu hanya terda- pat di kota-kota besar sekarang sudah merata sampai pada kota-kota kecil. Apabila
9
diartikan menurut kata supermarket terdiri atas dua kata yaitu super dan market.
Super artinya lebih sedangkan market adalah pasar yaitu tempat bertemunya an- tara penjual dan pembeli. Berdasarkan arti per kata, dapat dipahami bahwa super- market merupakan pasar besar yang merupakan tempat pertemuan antara penjual dan pembeli yang mempunyai kesamaan kepentingan. Supermarket menjual be- raneka ragam makanan, pakaian, produk rumah tangga serta produk-produk lain.
Dilihat dari fungsi supermarket sama seperti pasar dimana juga menyediakan be- raneka ragam kebutuhan mulai dari kebutuhan pokok sampai dengan perlengkapan rumah tangga.
Pada dasarnya supermarket merupakan tempat pembelanjaan yang mena- warkan berbagai macam kebutuhan. Supermarket juga merupakan sebuah toko yang menjual segala kebutuhan sehari-hari. Kata yang secara harfiah yang di- ambil dari bahasa Inggris ini artinya adalah pasar yang besar. Berbagai bentuk problema yang terdapat dalam supermarket antara lain masalah barang yang di- jual, penyesuaian kebutuhan pembeli, harga, suasana kenyamanan supermarket, terlebih-lebih pelayanan terhadap pembeli sehingga tidak terjadi antrian.
Model adalah pola (contoh, acuan, ragam) dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan. Model juga dapat diartikan abstraksi dari sistem sebenarnya, dalam gambaran yang lebih sederhana serta mempunyai tingkat prosentase yang bersifat menyeluruh, atau model adalah abstraksi dari realitas dengan hanya memusatkan perhatian pada beberapa sifat dari kehidupan sebenarnya. Menurut referensi waktu model dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu:
1. Model statis, yaitu model yang tidak memasukkan faktor waktu dalam pe- rumusannya.
2. Model Dinamis, yaitu suatu model yang mempunyai unsur waktu dalam pe- rumusannya.
Dinamis atau dinamika adalah sesuatu yang mengandung arti tenaga keku- atan, selalu bergerak, berkembang dan dapat menyesuaikan diri secara memadai terhadap keadaan. Dinamika juga berarti adanya interaksi dan interdependensi antara anggota kelompok dengan kelompok secara keseluruhan.
10
Sebagaimana Soelaiman Joesoef, memberikan batasan bahwa ”Perubahan secara besar maupun secara kecil atau perubahan secara cepat atau lambat itu sesungguhnya adalah suatu dinamika, artinya suatu kenyataan yang berhubungan dengan perubahan keadaan” Dari uraian tersebut, maka jelaslah bahwa yang di- maksud dengan dinamika adalah suatu perubahan, baik secara besar-besaran atau kecil maupun perubahan yang secara cepat atau lambat, sehingga merupakan perkembangan dari suatu kenyataan yang berhubungan dengan suatu keadaan.
Suatu model dinamika dibentuk karena adanya hubungan sebab - akibat (causal) yang mempengaruhi struktur di dalamnya baik secara langsung antar dua struktur, maupun akibat dari berbagai hubungan yang terjadi pada sejumlah struktur, hingga membentuk umpan-balik (causal loop). Struktur umpan-balik ini merupakan blok pembentuk model yang diungkapkan melalui lingkaran-lingkaran hubungan sebab-akibat dari variabel-variabel yang melingkar secara tertutup.
Menurut Sterman (1981) prinsip-prinsip untuk membuat model dinamik adalah sebagai berikut:
1. Keadaan yang diinginkan dan keadaan yang sebenarnya terjadi harus dibedakan di dalam model;
2. Adanya struktur stok dan aliran dalam kehidupan nyata harus dapat direp- resentasikan di dalam model;
3. Aliran-aliran yang berbeda secara konseptual, di dalam model harus dibedakan;
4. Hanya informasi yang benar-benar tersedia bagi aktor-aktor di dalam sistem yang harus digunakan dalam pemodelan keputusannya;
5. Struktur kaidah pembuatan keputusan di dalam model haruslah sesuai (co- cok) dengan praktek-praktek manajerial; dan
6. Model haruslah robust (kokoh) dalam kondisi-kondisi ekstrim.
Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa dinamika model su- permarket adalah suatu pola atau ragam perubahan, baik secara besar-besaran atau kecil maupun perubahan yang secara cepat atau lambat, sehingga merupakan
11
perkembangan suatu kenyataan yang berhubungan dengan suatu keadaan pada tempat pembelanjaan yang menawarkan berbagai macam kebutuhan atau super- market.
2.2 Model-model Antrian
Seperti yang diuraikan di atas, menunggu dalam antrian umumnya terjadi disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pela- yanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, ke- datangan pelangan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui, pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu.
Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah berkai- tan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai dis- tribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution)
Faktor faktor penting dalam pengembangan model antrian:
1. Cara memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan 2. Berkaitan dengan rancangan sarana dan pelaksanaan pelayanan
3. Berkaitan dengan rancangan sarana tersebut dan pelaksanaan pelayanan.
4. Berkaitan dengan ukuran antrian yang diijinkan.
5. Berkaitan dengan sifat sumber yang meminta pelayanan.
12
Unsur-unsur dasar model antrian bergantung pada faktor :
1. Distribusi kedatangan (kedatangan tunggal atau kelompok) 2. Distribusi waktu pelayanan (pelayanan tunggal atau kelompok) 3. Rancangan sarana pelayanan (stasiun serial, paralel atau jaringan) 4. Peraturan pelayanan dan prioritas utama.
5. Ukuran antrian (terhingga atau tidak hingga).
6. Sumber pemanggilan (terhingga atau tidak terhingga).
7. Perilaku manusia (perpindahan, penolakan atau pembatalan).
Setiap pelanggan memerlukan waktu server (pemberi layanan) dalam jum- lah tertentu. Jumlah waktu layanan bervariasi menurut setiap pelanggan tersebut (misalnya seorang pelanggan seorang pelanggan memenuhi kereta belanjanya de- ngan barang-barang belanjaan, sedangkan pelanggan berikutnya hanya memberli 1 bungkus kecil roti). Untuk menganalisa sistem atrian, maka harus diketahui fungsi kepadatan probabilitas waktu layanan. Di samping itu disiplin antrian juga meru- pakan hal penting, apalagi di dalam supermarket. Disiplin antrian mendeskripsikan urutan pengambilan pelanggan dari antrian tersebut. Maka supermarket mener- apkan cara yang datang pertama yang akan dilayani lebih dahulu.
Situasi antrian dimana kedatangan dan keberangkatan (kejadian) yang timbul selama interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut:
Kondisi 1 : Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan atau keberangkatan) yang timbul antara t dan t + s bergantung hanya pada panjang s, yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang tim- bul selama periode waktu (0, t).
Kondisi 2 : Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h adalah positif tapi kurang dari satu.
13
Kondisi 3 : Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang sangat kecil h.
Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses jumlah kejadian selama satu interval waktu yang diberikan adalah Poisson, dan karena itu interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah eksponensial.
Dalam pendekatan sistem ada 4 fktor yang dominan, yaitu: 1. Batas sistem, 2. Batas input, 3. Proses, dan 4. Out put.
Model antrian perlu ditentukan batasnya agar jelas parameter-parameter yang yang terlibat dalam masalah yang sedang diobservasi .
Batas sistem ini akan memudahkan untuk mengetahui apakah mereka sudah berada digaris tunggu kemudian keluar masih diobservasi. Demikin pula sejauh mana batasan proses pelayanan di mana fasilitas pelayanan telah selesai dengan aktivitasnya.
Input pada model antrian adalah meraka yang menghendaki pelayanan dari sebuah fasilitas yang menawarkan jenis pelayanan. Misalnya: pelanggan supermar- ket, pelanggan salon, pasien klinik, nasabah bank, perbaikan mesin dan lain-lain.
Prosess adalah kegiatan tertentu untuk melayani permintaan pelanggan. Out put adalah pelanggan yang telah selesai dilayani didalam fasilitas pelayan. Sedang- kan proses input adalah yang membutuhkan pelayanan proses dimana terbentuk garis tunggu untuk memperoleh pelayanan. Maka inputnya adalah yang berada digaris tunggu.
Gambar 2.1 Visualisasi sebuah system
Bedasarkan sistem penelitiannya dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pela- yanan dalam susunan saluran dan phase yang akan membentuk suatu struktur an-
14
trian yang berbeda-beda. Istilah saluran menunjukkan jumlah jalur untuk mema- suki sistem pelayanan. Sedangkan istilah phase berarti jumlah stasiun-stasiun pe- layanan. Dimana para pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap.
Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh system antrian:
1. Single channel, single phase
Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu jenis layanan yang dibe- rikan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar dari sistem antrian. Jadi seseorang yang sudah dapat pelayanan pembayaran be- lanja disegala market tidak akan baris lagi dalam antrian.
Sistem antrian:
Gambar 2.2 Single channel, single phase
2. Single Channel, Multi Phase
Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda(single channel multi phase) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan. Sistem layanan:
Gambar 2.3 Single channel, multi phase
15
3. Multi channel single phase
sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single phase) adalah terdapat ssatu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut. Namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan.
Gambar 2.4 Single channel, multi phase
4. Multi channel, multi phase
Sistem antrian jalur berganda dengan tahapan berganda (multi channel multi phase) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam seriap jenis layanan.
Setiap sistem pelayanan ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.
Sistem antrian
Gambar 2.5 Multi Channel, Multi Server
2.3 Proses Markov
Menurut Papoulis (1992), proses stokastik X(t) adalah aturan untuk menen- tukan fungsi X(t, ξ) untuk setiap ξ. Jadi proses stokastik adalah keluaran fungsi waktu yang tergantung pada parameter ξ atau secara ekivalen fungsi t dan ξ.X(t) adalah proses keadaan diskret bila harga-harganya bulat. Bila tidak demikian X(t)
16
adalah proses kontinu. Pada tahun 1906, A.A. Markov seorang ahli matematika dari Rusia mengemukakan teori ketergantungan variabel atau proses acak yang dikenal dengan proses Markov.
Jika keadaan (state) pada masa yang akan datang dari suatu proses tidak tergantung pada masa yang telah lalu dan hanya tergantung pada masa sekarang saja, proses ini disebut Proses Markov. Pengetahuan state proses pada masa sekarang ini harus memadai. Proses discrete state Markov disebut rantai Mar- kov. Untuk memprediksi proses Markov selanjutnya yang ada di masa datang diperlukan pengetahuan state yang sedang berlangsung saat ini. Tidak dibutuhkan pengetahuan berapa lama proses terjadi di masa sekarang ini. Hal ini memungkin- kan jika waktu state menggunakan distrtibusi eksponensial (memoryless). Ini akan membatasi aplikabilitas proses Markov.
Menurut Papoulis (1992) proses Markov merupakan proses stokastik masa lalu yang tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui.
Bila tn−1< tn maka:
P {X (tn) 6 Xn|X (t) , t 6 tn−1} = P {X (tn) 6 Xn| X (tn−1)} (2.8)
Bila t1 < . . . < tn maka:
P {X (tn) 6 Xn|X (tn−1) , ...X (t1) } = P {X (tn) 6 Xn| X (tn−1)} (2.9)
Menurut Rabiner (1989), definisi di atas berlaku juga untuk waktu diskret bila X(tn) diganti Xn.
Rantai Markov ξ(t) didasarkan pada X(t) tetapi penurunan persyaratan bahwa proses tersebut adalah tidak negatif karena ξ(t) tetap pada ZN. Hal ini memungkinkan untuk menunjukkan perilaku dari proses yang hanya akan terli- hat pada model antrian X(t) dalam situasi penyimpangan yang besar. Sedangkan asumsi yang kuat dari rantai Markov memperbolehkan struktur lingkungan secara umum, tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan sehingga menghasilkan tentang perilaku jangka panjang dari sistem yang terbatas, bukan sistem probabilitas yang besar.
17
Sifat umum dari proses Markov menurut Papoulis (1992) adalah:
1. f (Xn|Xn−1, ..., X1) = f (Xn|Xn−1) (2.10)
2. E (Xn|Xn−1, ..., X1) = E (Xn|Xn−1) (2.11)
3. Proses markov bila waktu dibalik
f (Xn|Xn−1, ..., X1) = f (Xn|Xn−1) (2.12) 4. Bila keadaan sekarang diketahui, masa lalu independen dengan masa akan
datang, bila k < m < n maka:
f (Xn, Xk|Xm) = f (Xn|Xm) f (Xk|Xm) (2.13)
2.4 Proses Birth-Death
Area diskrit proses Markov dimana transisi jadi terlarang bagi state lain di seke- lilingnya, disebut proses birth death. Proses ini memungkinkan untuk merepresen- tasikan state dengan suatu integer dimana proses pada state n dapat berubah hanya ke state n + 1 atau n − 1. Sebagai contoh adalah jumlah pekerjaan dalam antrian.
Kedatangan kerjaan dalam antrian (birth) menyebabkan state berubah menjadi +1 (plus satu), dan keberangkatan dari antrian karena telah sampai waktunya men- dapatkan layanan (death) menyebabkan state berubah menjadi −1 (minus satu).
Proses birth-death adalah kasus khusus dari proses Markov dimana transisi dari su- atu state state Sndiizinkan hanya untuk state disekelilingnya, yaitu Sn+1, Sn, Sn−1. Ini adalah pembatasan yang amat tegas yang mengizinkan untuk datang pada so- lusi dengan form tertutup. Oleh karena itu, dengan memberikan state Sn pada waktu t, state pada (t + dt) jatuh ke dalam suatu kasus:
1. Tidak ada kesempatan yang dapat terjadi 2. Dari state Sn−1 ke Sn, suatu kejadian birth 3. Dari state Sn+1 ke Sn, suatu kejadian death
18
Berikan:
1. λn sebagai rata-rata birth rate 2. µn sebagai rata-rata death rate
Dalam mode ini, asumsi dua nilai tidak pada perbedaan waktu, nilai tersebut hanya didefinisikan oleh besarnya populasi n. Model ini disebut Waktu kontinyu rantai Markov homogen dari tipe birth-death.
Nilai ini menilai perubahan pada state: λ = qn,n+1 µ = qn,n−1
2.5 Proses Poisson
Jika waktu interarrival IID dan distribusi eksponensial tercapai, jumlah ke- datangan dari n berlangsung dalam interval (t, t + x) berarti memiliki distribusi Poisson, dan oleh karena itu proses kedatangan diarahkan pada proses Poisson atau aliran Poisson. Aliran Poisson sangat populer dalam teori antrian karena kedatangan biasanya memoryless sebagai waktu interarrival terdistribusi secara eksponensial. Sebagai tambahan aliran Poisson memiliki properti:
a. Menggabungkan k aliran Poisson dengan mean rate λi hasil dalam aliran Poisson dengan mean rate λ diberikan dengan:
λ = Xk
i=1
λi (2.14)
b. Jika aliran Poisson dibagi ke dalam k sub-aliran maka probabilitas job (kerja) yang bergabung pada i sub-aliran adalah pi, Setiap sub-aliran juga Poisson dengan mean rate piλ.
c. Jika kedatangan pada suatu server tunggal dengan waktu layanan yang eks- ponensial adalah Poisson dengan mean rate λ, Keberangkatan yang terjadi juga Poisson dengan rate yang sama λ. Menyediakan rate kedatangan λ lebih kecil dibandingkan rate pelayanan µ.
19
d. Jika kedatangan pada fasilitas layanan dengan m pusat layanan adalah Pos- sion dengan mean rate λ, Keberangkatan juga merupakan aliran Poisson dengan rate yang sama λ, Menyediakan rate kedatangan λ lebih kecil dari tingkat total layanan. Ini adalah asumsi pada server, untuk memiliki dis- tribusi eksponensial waktu layanan.
Model Antrian M[H ]/G/1
Model antrian M[H ]/G/1 membahas tentang kedatangan dari paket-paket dalam suatu sistem komunikasi terjadi secara berkelompok (dengan jumlah paket dalam tiap kelompok merupakan suatu variabel acak, H) dan mengikuti proses Poisson (dinotasikan dengan M[H ]). Waktu pelayanan (transmisi) dari paket-paket ini memiliki distribusi general (dinotasikan dengan G) dan pemrosesan paket-paket itu hanya dilayani oleh satu unit layanan (dinotasikan dengan 1). Model ini banyak ditemui dalam sistem komunikasi dimana paket-paket yang harus ditransmisikan yang berasal dari entitas protokol yang lebih tinggi dimana paket yang berorientasi pada pengguna (user-oriented packet) telah dipisah-pisah ke dalam bentuk paket- paket kecil yang sesuai dengan ukuran paket yang digunakan pada protokol yang lebih rendah [1]. Dalam hal waktu pelayanan berdistribusi deterministik, maka model di atas menjadi M[H ]/D/1 (D untuk deterministik); jika waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, model menjadi M[H ]/M/1 (M untuk eksponensial) se- dangkan jika waktu pelayanan berdistribusi Erlang dengan parameter (2, µ) maka model menjadi M[H ]/E2, µ/1(E2, untuk Erlang(2, µ)). Dalam menganalisis model M[H ]/G/1 ini akan dilihat rata-rata waktu tunggu sebarang paket sebagai krite- ria performansi, untuk berbagai nilai p, utilitas sistem dan jenis distribusi waktu pelayanan.
Notasi-notasi yang akan digunakan adalah:
ρ : Utilitas sistem / fraksi waktu dimana unit layanan (server)sibuk λ : Tingkat kedatangan
µ : Tingkat pelayanan
Q¯ : Rata-rata panjang antrian
N¯ : Rata-rata jumlah paket di dalam sistem
R¯ : Rata-rata waktu respon (waktu tunggu ditambah waktu pelayanan)
20
S : Variabel acak waktu pelayanan
E(S) : Rata-rata waktu pelayanan /momen pertama dari S E(S2) : Momen kedua dari S
E(Wp) : Rata-rata waktu tunggu dari sebarang paket.
H : Variabel acak jumlah paket dalam satu kelompok; dalam hal H berdistri busi geometrik dengan parameter p, berlaku P [H = k] = p(1 − p)k−1, k = 1, 2, 3, . . .
Dalam bagian ini akan diturunkan rumusrumus yang berkenaan dengan model M[H ]/G/1. Suatu kelompok yang berisikan sejumlah acak H paket dikarakterisa- sikan dengan suatu peluang diskret hk, k = 1, 2, 3, . . . sehingga ekspektasi jumlah paket di dalam suatu kelompok dan momen faktorial keduanya masingmasing di- berikan oleh :
E (H) = X∞ k=1
khk (2.15)
E (H (H − 1)) = X∞ k=1
k (k − 1) hk (2.16)
Dari formula Little diperoleh utilitas sistem (pada unit layanan), rata-rata panjang antrian (pada antrian) dan ratarata jumlah paket (pada sistem) sebagai berikut [2]:
ρ = λE (H) E (S) (2.17)
Q = λE (H) E (W¯ p) (2.18)
N = λE (H) ¯¯ R (2.19)
E (Wp) = ρE (S2)
2E (S) + ¯QE (S) + E (H (H − 1))
2E (H) E (S) (2.20) E (Wp) = ρE (S2)
2E (S) + λE (H) E (S) + E (H (H − 1))
2E (H) E (S) (2.21) E (Wp) = E (S2)
2E (S) ρ
1 − ρ+ E (H (H − 1)) 2E (H)
E (S)
1 − ρ (2.22)
Formula Little pada dasarnya menghubungkan antara jumlah paket di dalam an- trian dengan jumlah kedatangan per unit waktu dan rata-rata waktu yang di- habiskan dalam antrian. Hubungan ini selalu valid dan tidak bergantung pada
21
distribusi yang terlibat di dalam model. Dari PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) untuk kedatangan secara kelompok, diperoleh formulasi untuk rata-rata waktu tunggu untuk sebarang paket sebagai berikut:
PASTA merupakan hasil yang terkenal dari teori antrian yang menyatakan bahwa distribusi dari paket pada suatu antrian pada saat suatu paket yang baru tiba (mengikuti proses kedatangan Poisson) sama dengan distribusi paket dalam jangka panjang (long run or steady state). Suku pertama pada persamaan terakhir me- nyatakan rata-rata waktu tunggu paket dalam model M/G/1 yang biasa dimana paket datang dengan ukuran rata-rata E(H)E(S) dan momen kedua E(H)E(S2).
Suku kedua menyatakan waktu tunggu ekstra dimana paket itu tidak berada dalam urutan pertama dalam kelompoknya.
Dalam bagian ini diberikan contoh perhitungan untuk beberapa nilai utilitas sis- tem ρ (sistem dikatakan stabil jika nilai ρ < 1), p dan beberapa jenis distribusi waktu layanan dengan ekspektasi waktu layanan diambil 0,02 detik (dengan tingkat µ= 50 paket/detik). Diasumsikan bahwa jumlah paket di dalam satu kelompok (H) merupakan variabel acak yang berdistribusi geometri. Distribusi waktu pe- layanan dipilih deterministik, eksponensial dan Erlang (2, µ). Perhitungan E(H) dan E(H(H − 1)) untuk beberapa nilai p dilakukan dengan menggunakan rumus pada bagian 2 dan menggunakan hubungan berikut :
X∞ k=0
pk = 1 1 − p,
X∞ k=0
kpk−1 = 1
(1 − p)2, |p| < 1 (2.23)
Hasil perhitungan rata-rata waktu tunggu diberikan pada tabel 4.1. Dari tabel 4.1. terlihat bahwa rata-rata waktu tunggu akan semakin lama jika p makin kecil dan ρ semakin besar, serta distribusi waktu pelayanan eksponensial memberikan rata-rata waktu tunggu paling lama dibandingkan dengan distribusi waktu tunggu deterministik ataupun Erlang. Hasil yang diperoleh ini memberikan kecenderu- ngan yang sama dengan ekspektasi waktu respon untuk model antrian M/G/1[3].
Dari pembahasan model antrian M[H ]/G/1 di atas berikut contoh perhitungan numeriknya yaitu :
22
1. Jika nilai p makin besar (untuk nilai ρ yang sama), maka rata-rata waktu tunggu akan semakin lama, karena nilai ρ yang besar menyatakan bahwa utilitas sistem tinggi atau unit layanan menjadi lebih sibuk.
2. Jika nilai p makin besar (untuk nilai ρ yang sama), maka rata-rata waktu tunggu akan semakin cepat, karena nilai p yang besar akan mengakibatkan rata-rata jumlah paket di dalam kelompok yang semakin kecil.
3. Distribusi eksponensial pada waktu pelayanan memberikan rata-rata waktu tunggu yang paling lama sedangkan distribusi deterministik memberikan rata- rata waktu tunggu yang paling cepat.
Model di atas dapat dikembangkan lebih lanjut misalnya unit layanan akan beri- stirahat sejenak jika sedang menganggur, model-model antrian dengan waktu pe- layanan secara berkelompok seperti M/G[H ]/1 ataupun model antrian yang meli- batkan lebih dari 1 unit layanan.
Tabel 2.1 Rata-rata waktu tunggu untuk berbagai nilai p, dan ρ dan distribusi waktu pelayanan
Distribusi Waktu P ρ
Pelayanan ρ = 0.1 ρ = 0.2 ρ = 0.5 ρ = 0.9
1/3 4, 56.10−2 5, 25.10−2 9.10−2 4, 9.10−1 Deterministik 1/2 2, 33.10−2 2, 75.10−2 5.10−2 2, 9.10−1 2/3 1, 22.10−2 1, 5.10−2 3.10−2 2, 9.10−1 3/4 8, 52.10−3 1, 08.10−2 2, 33.10−2 1, 57.10−1 1/3 4, 67.10−2 5, 5.10−2 10−2 5, 8.10−1 Eksponensial 1/2 2, 44.10−2 3.10−2 6.10−2 3, 8.10−1 2/3 1, 33.10−2 1, 75.10−2 4.10−2 2, 8.10−1 3/4 9, 63.10−3 1, 33.10−2 3, 33.10−2 2, 47.10−1 1/3 4, 61.10−2 5, 38.10−2 9, 5.10−2 5, 35.10−1 Erlang(2µ) 1/2 2, 39.10−2 2, 88.10−2 5, 5.10−2 3, 35.10−1 2/3 1, 28.10−2 1, 63.10−2 3, 5.10−2 2, 35.10−1 3/4 9, 07.10−3 1, 21.10−2 2, 83.10−2 2, 02.10−1
BAB 3
STRUKTUR RANTAI MARKOV DALAM TEORI ANTIRAN PADA DINAMIKA MODEL SUPERMARKET
Rantai Markov, merupakan state diskrit proses Markov, yaitu proses stochas- tic X(t) dengan state S0, S1, . . . dan lagi probabilitas pada waktu, tk+1 pada state Si hanya tergantung pada waktu state tk untuk setiap rangkaian waktu instan t1, t2, . . . , tk+1 dimana t1< t2 < . . . < tk+1.
Dapat dinyatakan proses dalam state Shi pada waktu t1 jika X(t1) = hi, hi menjadi integer yang tidak negatif. Kemudian definisi di atas dapat ditulis:
Pr [X (tk+1) = j |X (t1) = h1, X (t2) = h2, ..., X (tk) = hk]
= Pr [X (tk+1) = j |X (tk) = hk] (3.1) Hubungan ini dikenal dengan nama waktu kontinu properti Markov dan mene- tapkan waktu-kontinu rantai Markov. Istilah waktu kontinu mengacu pada fakta transisi state yang diperbolehkan untuk mengambil tempat pada setiap poin waktu. Jika dibatasi transisi untuk terjadi hanya pada waktu diskrit instan, akan menunjukkan oleh tanda waktu 1, 2, . . . k, . . . kemudian dapat mendefinisikan waktu kontinyu properti Markov untuk proses stochastic Xk sebagai:
Pr [X (tk+1) = j |Xt1 = h1, X2 = h2, ..., Xk = hk]
= Pr [Xk+1 = j |Xk = hk] (3.2) Menurut Rabiner (1980) rangkaian stochastic yang akan memenuhi properti waktu dikrit. Untuk semua integer positif k dan semua kemungkinan state-nya disebut waktu diskrit rantai Markov.
Pada rantai tersebut probabilitas dari transisi dari state Si ke state Sj pada waktu k dapat ditulis sebagai:
Pij = Pr [Xk+1 = j |Xk = i] (3.3) 23
24
Properti Markov membuat hal tersebut menjadi mungkin untuk dapat mem- buat spesifikasi hubungan statistik antar state dalam matriks P (k), yaitu ma- triks transisi probabilitas. Jika probabilitas transisi tidak tergantung waktu, kita dapat mengindikasikannya dengan pij, dan rantai tersebut dikatakan rantai ho- mogen. State network didefinisikan sebagai jumlah transaksi yang sedang berada di dalam jaringan dan didesain sebagai Sn untuk state jaringan dengan populasi n. Urutan perubahan state jaringan ini disebut rantai Markovian, misalnya state (S1, S2, S3, . . . , Sn) rantai Markovian.
Gambar 3.1 Transisi-state rantai Markov
Diagram Transisi-state rantai Markov adalah graf berarah dimana bagian ver- tikalnya menunjukkan suatu state dan tanda panah menunjukkan transisi state.
Label tanda panah menjelaskan probabilitas transisi yang berhubungan tersebut.
Untuk rantai yang homogen labelnya menjelaskan waktu invariant. Rantai terse- but ditentukan oleh diagram transisi state dan oleh insisasi state. Diagram dapat dilihat dalam bentuk grafik yang ekuivalen dengan matriks probabilitas-transisi P.
Ketika membuat sistem model dengan menggunakan rantai Markov, diharap- kan dengan menggunakan model tersebut dapat menjawab beberapa pertanyaan yang berhubungan dengan kinerja. Sebagai contoh, untuk menentukan bagaimana suatu state itu akan di datangi ulang di waktu yang berbeda, berapa banyak waktu yang akan disediakan oleh sistem tersebut dan berapa lama interval antara rata- rata kunjungan. Jika pendekatan Markov dapat menjawab kondisi yang ditentukan tersebut secara analitik, maka itu adalah langkah maju.
Rantai Markov tidak mengurangi keadaan suatu state, jika setiap state dapat dicapai dari state yang lain (dalam diagram transisi-state ditunjukkan oleh arah path dari state Sike state Sj untuk semua i dan j). state akan berulang jika proba- bilitas pada saat itu terjadi kunjungan ulang setelah suatu kunjungan mengambil tempat 1. Mean Waktu Keadaan yang tidak berkurang (recurrence)¯trj dari state Sj
25
yang tidak berkurang adalah mean waktu antara kunjungan yang berulang pada Sj. Jika kunjungan pada Sj tidak periodik, berarti waktu reccureance trj tidak sama, Sj disebut a-periodik.
Hal ini menunjukkan bahwa dengan pj(k), probabilitas pada rantai Mar- kov yang terdapat pada state Sj pada waktu k. Catat bahwa pj adalah proba- bilitas state, dimana pi,j didefinisikan sebagai probabilitas-transisi state. Inisial probabilitas-state ditunjukkan dengan pj(0).
Terdapat dua hasil yang diperoleh dapat memberikan jawaban dari per- tanyaan yang di sampaikan di atas. Pertama, jika rantai Markov homogen, tidak mengalami penurunan (irreducible), dan tidak periodik (a-periodik), maka proba- bilitis state harus dibatasi dengan:
pj = lim
k→∞pj(k) (j = 0, 1, . . .) (3.4) keberadaannya dan tidak tergantung dari pj(0).
Kedua, jika setiap state pada rantai Markov re-current dan mean waktu recurrence adalah terbatas, pj0s menjadi distribusi probabilitas yang tidak berubah dan dapat ditentukan dengan hasil dari persamaan:
pj =X
i
pjpij (j = 0, 1, ....) (3.5)
dan X
i
pj = 1 (3.6)
Distribusi probabilitas state dinyatakan tidak berubah dalam konteks ini, ketika dipilih sebagai distribusi inisial, rantai Markov pada distribusi probabilitas ini akan bertepatan kedatangannya pada setiap waktu yang ada. Dan jika ini untuk semua j kita berikan pj(0) = pj, maka kita mendapatkan pj(k) = pi untuk semua k.
Solusi dari persamaan (3.5) dan (3.6) dinamakan probabilitas state equilib- rium, yaitu sejak tidak tergantung lagi pada state probabilitas inisial. Dalam ke- seimbangan, besaran waktu yang dikirim ke state Sj proporsional pada pj. Begitu
26
pula mean waktu antara kunjungan ke Sj, dimana mean reccurence Sj, dapat dihi- tung dengan mengeksploitasi hasil bermanfaat lainnya, dengan mempertahankan- nya dalam kondisi yang sama sebagai hasil kedua yang dinyatakan:
trj = 1
pi (3.7)
Jadi apakah distribusi durasi dari waktu interval ti yang dikirim ke dalam state Si? Pada setiap instan waktu-diskrit, jika rantai Markov di dalam Sj, be- rarti memiliki probabilitas pij yang tetap dalam Sj dan probabilitas 1 − pji dari pembuatan transisi ke state yang berbeda. Dengan mengacu pada properti Mar- kov (persamaan 3.7) probabilitas ini tidak pernah mengalami perubahan. Tidak peduli berapa banyak waktu yang dapat dikirim pada Sj. Ketidak tergantungan ini membuat kita dapat menghitung probabilitas durasi ti yang sama dengan n waktu instan sebagai suatu hasil untuk semua probabilitas yang berulang, ditunjukkan dengan cara:
Pr (tj = n) = (1 − pij) pn−1jj n − (1, 2, ....) (3.8) Persamaan tersebut menunjukkan durasi state dalam distribusi geometri de- ngan mean 1/(1 − pjj). Ini sangat penting bahwa dalam distribusi geometri hanya distribusi diskrit yang memiliki properti memoryless. Jika interval waktu antara beberapa even terdistribusi secara geometri, pada setiap waktu instan menuju even selanjutnya secara statistik tidak tergantung dengan waktu yang telah berlalu sejak even terakhir. Fakta bahwa distribusi durasi state pada waktu-diskrit rantai Mar- kov yang memiliki properti memoryless adalah konsekuensi langsung dari properti Markov (persamaan 3.2). Kesamaan ini dapat ditunjukkan pada waktu-kontinyu rantai Markov, durasi state didistribusi secara eksponensial dan distribusi eks- ponensial adalah hanya satu-satunya distribusi-kontinyu untuk mempertahankan properti (memoryless property).
Dapat disimpulkan bahwa dalam model Markov untuk durasi state sangat mem- butuhkan distribusi geometri dan eksponensial. Ini adalah situasi asumsi yang tidak nyata, walaupun merupakan fasilitas yang paling baik untuk solusi analisis suatu model. Batasan yang terjadi dihilangkan dalam model semi-Markov, yang membolehkan durasi suatu state memiliki distribusi yang berubah-ubah. Pada waktu terjadinya transisi state pada model menunjukkan reaksi seoalh-oleh model
27
Markov. Ini adalah salah satu alas an mengapa model semi-Markov dikatakan seba- gai pelengkap untuk proses Markov, yang didefinisikan dalam transisi state instan.
Tentu saja himpunan Markov adalah subset dari himpunan proses semi-Markov.
3.1 Estimasi Parameter Probabilitas Transisi Rantai Markov
Spesifikasi yang populer dilakukan model rantai markov sederhana dengan waktu homogen. Dengan spesifikasi ini. Proses stokastik dapat dispesifikasikan se- cara lengkap didalam unsur-unsur probabilitas transisi pada rantai markov seder- hana dapat diselesaikan secara langsung dengan menghitung jumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain yang terjadi selama periode sampel ter- tentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan rantai sederhana dua tahap dimana keadaan kualitas kredit ditandai dengan resiko rendah dan resiko tinggi.
Matriks transisi periode tunggal adalah sebagai berikut:
p = p11 1 − p11
1 − p22 p22
!
(3.9)
Probabilitas transisi dalam suatu rantai markov sederhana mengandung sejumlah perubahan dari suatu keadaan ke keadaan yang lain yang terjadi selama periode sampel tertentu sehingga digunakan fungsi log likelihood untuk mengestimasinya.
Andaikan nij adalah jumlah waktu pada suatu sampel berukuran N . Dimana terdapat perpindahan dari keadaan i ke keadaan j. Fungsi log-likelihood untuk data yang diasumsikan markov diberikan oleh :
LnL (P |1 − periode data) = n11ln p11+n12ln (1 − p11+ n21ln (1 − p22) + n22ln p22
(3.10) Pemaksimuman fungsi ini dengan harapan parameter dan dalam kasus ini. Diesti- masi dengan maksimum oleh likelihood estimator. Estimasi ini diberikan oleh:
p11 = n11
(n11+ n22) (3.11)
p22 = n22
(n22+ n21) (3.12)
Estimator-estimator ini dan generalisasinya dengan kasus K keadaan adalah sesuai dengan pengamatan transisi satu langkah.
28
Andaikan terdapat data pada transisi periode kedua, maka p11dan p22 akan di- estimasi. Probabilitas transisi suatu periode dalam rantai markov waktu ho- mogen. Pertama. Tandai probabilitas transisi periode kedua. Yaitu p11(2) dan p22(2). Setiap fungsi dari probabilitas transisi periode pertama memiliki hubungan P (2) = P2. Secara spesifik
p2 = p11(2) 1 − p11(2) 1 − p22(2) p22(2)
!
=
"
p211− (1 − p11)(1 − p22) 1 − . . .
1 − . . . p222(1 − p11)(1 − p22)
#
(3.13)
Misalkan p11(2) adalah jumlah pengamatan pada keadaan 1 untuk dua periode,n12
jumlah perpindahan dari keadaan 1 ke keadaan 2, log likelihood. Untuk mengesti- masi p11 dan p22 dari data transisi dua periode adalah :
LnL (P |2 − P eriode data )
= n11(2) ln p11(2)
+n12(2) ln (1 − p11(2)) + n21(2) ln (1 − p22(2))
+n22(2) ln p22(2) (3.14)
Dimana p(2) didefenisikan dalam bentuk pij. Ketika satu periode dan dua periode data tersedia. Likelihood total adalah jumlah dari log likelihood
LnL (P |1&2 − P eriode data)
= n11ln p11
+n12ln (1 − p11) + n21ln (1 − p22) + n22ln p22
+n11(2) ln p11(2)
+n12(2) ln (1 − p11(2)) + n21(2) ln (1 − p22(2))
+n22(2) ln p22(2) (3.15)
Yang dimaksimumkan berkenaan dengan pij. Parameter dasar dari kasus ini adalah pemisahan matriks transisi satu periode P1 sampai P1PT ketergantungan ini sangat
29
sulit, ketika data transisi t langkah nij(t) bergantung pada t langkah matriks tran- sisi. Yaitu P1P2.P (3) = P1P2P3. . .. log likelihood untuk pemaksimuman parameter baru ini adalah:
Pcij = (t) = nij(t) PK
k=1nik(t) (3.16)
Nilai maksimum dari log likelihood teridentifikasi dengan jelas. Pada saat parame- terisasi kedalam bentuk P (t) atau Pt.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pengetahuan tentang state saat ini sangat dibutuhkan untuk memprediksi proses Markov selanjutnya.
BAB 4 KESIMPULAN
Penelitian ini telah menghadirkan suatu metode untuk model antrian dengan menggunakan pendekatan rantai Markov untuk mengestimasi dinamika model su- permarket. Teori antrian adalah sebuah teori yang menganalisis sebuah sistem antrian, beserta elemen di dalamnya yaitu pengunjung, fasilitas pelayanan dan antrian itu sendiri secara matematis. Model rantai Markov merupakan proses stokastik yang sering digunakan dalam model-model antrian terutama waktu kon- tinyu rantai Markov. Model ini diketahui dengan baik, dimana model ini adalah suatu model yang mengacu pada fakta transisi keadaan (state) yang diperbolehkan untuk mengambil tempat pada setiap poin waktu.
Probabilitas transisi dalam suatu model waktu kontinyu rantai Markov me- ngandung sejumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan lain yang terjadi selama periode tertentu. Model Markov untuk durasi state sangat membutuhkan distribusi geometri dan eksponensial. Ini adalah situasi asumsi yang tidak nyata, walaupun merupakan fasilitas yang paling baik untuk solusi analisis suatu model antrian.
Setiap masalah antrian diuraikan dalam tiga karaktristik yaitu kedatangan, antrian dan pelayanan. Dari ketiga karaktristik tersebut secara umum terdapat empat model struktur antrian dasar yaitu 1. Single Channel, Single Phase, 2.
Single Channel, Multi Phase, 3. Multi Channel, Single Phase, 4. Multi Channel, Multi Server.
Model antrian M[H ]/G/1 membahas tentang kedatangan dari paket-paket dalam suatu sistem komunikasi terjadi secara berkelompok (dengan jumlah paket dalam tiap kelompok merupakan suatu variabel acak, H) dan mengikuti proses Poisson (dinotasikan dengan M[H ]). Waktu pelayanan (transmisi) dari paket-paket ini memiliki distribusi general (dinotasikan dengan G) dan pemrosesan paket-paket itu hanya dilayani oleh satu unit layanan (dinotasikan dengan 1).
30
DAFTAR PUSTAKA
Averill M. L., dan Kelton W. D ., Simulation Modeling and Analysis, 1991, McGraw- Hill,Inc
Bhattacharyn, N. Rabidan Wugnire, C.Edward, Stochastic Processes with applica- tion, John Wiley and Sons, Singapura, 1990
MacPhee, Menshikov, M.V., and Vachkovskaia. M 2010. Dinamics of the Supermar- ket Model. Submited. Available at arvix.1002.4570v1 [math.PR].
Nelson, R., Probability, Stochastic Processes and Queueing Theory, Springer-Verlag, New York, 1995.
Papoulis, A. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik, edisi ke-2, Gadjah Mada University Press, Yogyakarta(Terjemahan).
Rabiner, R.L. 1989 A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition, IEEE, Vol. 77, No. 2, Februari, 1989.
Ross, Sheldon M. 1983. Stochastic Processes, Wiley Series in Probability and Math- ematical Statistics, New York.
Schroeder, Roger G. 1997. Operations Management. McGrawHill, Inc. New Jersey.
Sterman, Jhon D Dissertation MIT Sloan School of Management, 1981
31
