1.6 Sistematika Penulisan Skripsi
2.1.6 Materi Dimensi Tiga
2.1.6.3 Proyeksi pada Bangun Ruang .1 Proyeksi TItik pada Garis
A’
A
g
Gambar 2.11 Proyeksi titik pada garis
Titik A diproyeksikan pada garis g yakni titik A’. Titik A’ adalah proyeksi titik A pada garis g.
2.1.6.3.2 Proyeksi Garis pada Garis A
A’
B
B’
g
Gambar 2.12 Proyeksi garis pada garis lain
′ ′
adalah proyeksi pada garis g. 2.1.6.3.3 Proyeksi Titik pada Bidang
Gambar 2.13 Proyeksi titik terhadap bidang A’
Proyeksi titik A pada bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari A pada bidang (Titik A’ adalah hasil proyeksi titik A).
A’= proyeksi A pada bidang = bidang proyeksi
2.1.6.3.4 Proyeksi Garis pada Bidang (1) Jika garis sejajar bidang
Gambar 2.14 Proyeksi sebuah garis yang sejajar bidang
′ ′
merupakan proyeksi pada bidang . (2) Jika garis tegak lurus bidang
Gambar 2.15 Proyeksi sebuah garis yang tegak lurus bidang
Garis g tegak lurus bidang . Proyeksi garis g pada bidang merupakan sebuah titik yaitu titik B. Jadi, titik B adalah proyeksi garis g pada bidang .
α A’ B’ A B g B
(3) Jika garis memotong bidang
Gambar 2.16 Proyeksi sebuah garis yang memotong bidang
menembus bidang di B. Proyeksi pada bidang adalah ′ . 2.1.6.4 Jarak pada Bangun Ruang
2.1.6.4.1 Jarak antara Dua Titik
Jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis terpendek yang dibentuk oleh kedua titik tersebut. Misalkan jarak antara titik A dan B merupakan panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik A dan B.
2.1.6.4.2 Jarak Titik ke Garis
Jika sebuah titik A dan sebuah garis l terletak pada satu bidang maka jarak antara titik A dan garis l dapat ditunjukkan dengan langkah-langkah berikut: (1) Buat garis melalui A sehingga ⊥ .
(2) Menetukan titik perpotongan garis dan misal di titik B. (3) AB adalah jarak titik A ke garis .
A ’ A B g U A B
A m B l
Jika garis l terletak pada bidang dan titik A tidak terletak pada bidang maka jarak antara titik A dan garis l dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut: (1) Buat ruas garis AA 1 ⊥ .
(2) Melalui titik A1 buatlah ruas garis tegak lurus l sehingga memotong l di titik A2.
(3) Jarak titik A ke garis l adalah AA 2 . A
A1 l
A2
2.1.6.4.3 Jarak Titik ke Bidang
Jika sebuah titik P terletak pada bidang maka jarak antara titik P dengan bidang adalah 0. Sedangkan jika titik P tidak terletak pada bidang maka jaraknya dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
P
Q m
k l
Gambar 2.18 Jarak titik ke garis yang terletak pada satu bidang
Gambar 2.19 Jarak titik ke garis yang tidak terletak pada satu bidang
(1) Buat garis melalui , ⊥ .
(2) Menetukan titik perpotongan garis dan bidang misal di Q. (3) Jarak titik P ke bidang adalah PQ .
2.1.6.4.4 Jarak antara Dua Garis Sejajar
Jika ada dua buah garis, maka hubungan antara keduanya meliputi saling berpotongan, sejajar, berimpit, dan bersilangan. Jarak dua garis yang saling berpotongan atau berimpit adalah 0. Jarak antara dua garis yang saling sejajar akan dibahas di sini. Sedangkan jarak dua garis yang bersilangan akan dijelaskan pada pembahasan yang berbeda.
Jika terdapat sebuah bidang , garis l dan k terletak pada bidang sehingga ∥ , maka jarak keduanya dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
(1) Buat garis y pada bidang , ⊥ , ⊥ .
(2) Misalkan y berpotongan dengan k di D dan l berpotongan dengan y di E. (3) Jarak dan adalah panjang DE .
l
k
D
E
y
2.1.6.4.5 Jarak Garis ke Bidang
Jika sebuah garis terletak atau memotong suatu bidang maka jarak antara garis tersebut dengan bidang adalah 0. Jadi, hanya garis sejajar bidang saja yang mempunyai jarak.
m P
U
P’
Langkah-langkah untuk menentukan jarak garis bidang U, m sejajar bidang U: (1) Tentukan satu titik sebarang pada garis m, misalkan titik P.
(2) Melalui titik P, lukislah garis tegak lurus m dan bidang U.
(3) Misalkan P’ adalah titik tembus garis tersebut pada bidang U.
(4) Jarak garis m ke bidang U adalah panjang ruas garis PP’ . 2.1.6.4.6 Jarak antara Dua Bidang
Dua bidang yang saling berpotongan mempunyai jarak 0. Jadi, jarak antara dua bidang hanya dapat dicari jika keduanya sejajar.
m
V U
E D
Gambar 2.22 Jarak antara garis ke bidang yang sejajar
Langkah-langkah untuk menentukan dua bidang yang sejajar U dan V: (1) Buat garis m, ⊥U, ⊥V.
(2) Misalkan D adalah titik tembus garis m pada bidang U, E titik tembus garis m pada bidang V.
(3) Jarak antara bidang U dan V adalah panjang ruas garis DE. 2.1.6.4.7 Jarak Dua Garis yang Bersilangan
Dua garis dikatakan bersilangan satu sama lain jika keduanya tidak sejajar, tidak berpotongan dan tidak terletak pada satu bidang. Untuk menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan dapat digunakan langkah-langkah berikut: Cara 1:
Misalkan garis g dan h saling bersilangan satu sama lain. (1) Lukis garis ,∥ dan , berpotongan dengan . (2) Buat bidang yang memuat , dan .
(3) Tentukan satu titik sebarang pada , misalkan titik X.
(4) Proyeksikan titik X pada sehingga diperoleh titik X1. Akibatnya XX 1 ⊥ g dan XX 1 ⊥ .
(5) Buat garis ,, ∥ , melalui titik X1. Misalkan ,, berpotongan dengan di titik P.
(6) Tarik garis ∥XX 1 melalui titik P sehingga memotong di titik Q. (7) jarak garis dan .
g g" g' h X X1 Q P Cara 2:
Jika garis g dan h bersilangan secara tegak lurus, maka jarak antara keduanya dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
(1) Lukislah bidang yang memuat garis g, ⊥ . (2) Misalkan ⊥ di P.
(3) Buat garis ⊥ melalui titik P, misalkan garis tersebut memotong di titik Q. (4) Jarak garis dan adalah .
g h
P
Q
Cara 3:
Misalkan garis g dan h saling bersilangan satu sama lain, maka jarak antara garis g dan h adalah sebagai berikut:
(1) Lukis garis , ∥ , , berpotongan dengan dan , ∥ , , berpotongan dengan .
(2) Buat bidang yang memuat , dan . Buat bidang yang memuat , dan . Akibatnya ∥ .
Gambar 2.24 Jarak antara dua garis saling bersilangan cara 1
(3) Jarak garis dan = jarak bidang dan .
(4) Tentukan satu titik sebarang pada , misalkan titik X. Proyeksikan titik X pada sehingga diperoleh titik X1. Akibatnya XX 1 ⊥ dan XX 1 ⊥ .
(5) Buat garis ,, ∥ ,melalui titik X1 dan ,, berpotongan dengan . Misalkan ,,berpotongan dengan di titik P.
(6) Tarik garis ∥ XX 1 melalui titik P sehingga memotong di titik Q. (7) adalah jarak garis dan .