LEMBAR KEGIATAN SISWA 4
BAB 5. RELASI DAN FUNGSI
Dx =
|
… … … …|
x = … … Dy =|
… … … …|
y = …… SOALAni membeli 2 buah pensil dan 1 buku tulis seharga Rp 5750. Sedangkan Iwan membeli 1 buah pensil dan 2 buku tulis seharga Rp 5500
Tentukan harga pensil dan buku tulis dengan invers matriks dan aturan Cramer!
BAB 5. RELASI DAN FUNGSI
LEMBAR KERJA SISWA 1
Topik :Relasi dan Fungsi MATERI
Pengertian Produk Cartesius
Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x A dan y B dan ditulis AxB = {(x,y) | x A dan y B}.
Contoh :
Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan : a. A x B c. A x A b. B x A d. B x B Jawab:
A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)} B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)} B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
Relasi Misal :
A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.
Pada relasi R = {(x,y)| x A dan x B} dapat disebutkan bahwa :
a. Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal (domain).
b. Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).
c. Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y B disebut daerah hasil (range) relasi R.
Suatu relasi R = {(x,y) | x A dan x B} dapat ditulis dengan menggunakan : a. Diagram panah
1 2 3 4 0 1 2 3 1 2 3 4 1 0 2 3
b. Grafik pada bidang Cartesius Contoh :
Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) | y = x-1, x A, y B}.
Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :
Domain : Df : {1,2,3,4} Kodomain : Kf : {0,1,2,3,4} Range : Rf : {0,1,2,3}
Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :
Fungsi atau Pemetaan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B. f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A B
Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 33 Relasi f
B
A jika x A dan y B, sehingga (x,y) f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
y = f (x) : rumus untuk fungsi f x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas Contoh :
Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1. Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R} a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius. c. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab : a. f (x) = 2x – 1, maka : f (0) = -1 f (1) = 1 f (2) = 3 f (3) = 5 f (4) = 7 b. Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 y = f (x) = 2x – 1 Daerah asal
c. Daerah hasil fungsi f Rf = {y | -1 y 7, y R} f : x y = f (x)
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal dari fungsi berikut : 1. f (x) = 4 x+1 Jawab : f (x) = 4
x+1 , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1 Jadi Df : {x | x R, dan x -1}
2. g (x) =
√4−x
2Jawab :
g (x) =
√4−x
2 , supaya g (x) bernilai real maka :4 – x2 0 x2 – 4 0
(x-2) (x+2) 0 -2 x 2 Jadi Dg = {x | -2 x 2, x R} Kerjakan Soal berikut
1. Perhatikan himpunan A dan B berikut ini
A = {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit} B = {Indonesia, India, Thailand, Malaysia} Dapatkah Anda melihat adanya hubungan antara himpunan A dan B?
Jelaskan :
...
...
...
2. Perhatikan empat himpunan berikut ini C={Jakarta, London, Cairo, Beijing} , D={Indonesia, Inggris, Mesir, China} E={Indonesia, Brazil, Nigeria, Swiss},F={Asia,Amerika,Afrika,Eropa} Tentukan pasangan himpunan yang dapat mempunyai hubungan dan jelaskan hubungannya Jawab: ... ... ... ... 3. Isilah diagram Venn A dengan anggota himpunan A dan diagram venn B dengan
anggota himpunan B dai soal no 1
A B
A B
Selanjutnya buatlah hubungan anggota himpunan A dengan menggunakan dengan anggota himpunan B
4. Ulangi kembali seperti no 3 dengan himpunan-himpunan pada soal no 2
Jawab : A B
5. Tentukan titik titik pada kordinat kartesius berikut sehingga memperlihatkan hubungan pada jawaban soal no 3
Malaysia Thailand India Indonesia
Rupiah Rupee Bath Ringgit
6. Buatlah Himpunan pasangan berurutan dari”Koordinat kartesius” pada jawaban soal no 5 Jawab : ... ... ... ... ... ... 7. Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain bola
basket. Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.
a. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka : Tunjukkanlah relasi di atas dengan diagram panah!
b. Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan Jawab:
A x B = {(Ria, ... ), (Budi, ...), (... , Bulu tangkis), (... , ...), (... , ...),
(... , ...)}
8. Tuliskan” hubungan” dari setiap diagram panah berikut ini
9. Buatlah kesimpulan bagaimana dapat terjadinya hubungan antara 2 himpunan!
... ... ... 10. Perhatikan diagram panah
a. Tentukan hubungan dari setiap diagram panah berikut!
b. Diagram panah mana yang semua anggotanya mendapat pasangan anggota himpunan B?
... Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 37
11. Diagram panah yang setiap anggota himpunan A mendapat pasangan tepat satu pada anggota himpunan B dinamakan fungsi atau dengan simbol f . Manakah diagram panah pada soal no 9 yang merupakan fungsi , berikan alasannya
Jawab :
...
...
...
12. Dalam fungsi himpunan A dinamakan Domain , himpunan B dinamakan kodomain , himpunan anggota himpunan B yang mendapat pasangan dinamakan range Tentukan Domain, Kodomain dan range dari setiap fungsi pada soal no 10 Jawab: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
13. Sebuah fungsi aljabar dapat dinyatakan dengan
f(x) =√x
atauy =√x
a. Isilah tabel berikut untuk fungsif(x) =√x
x 9 8 7 f(x) 3 b. Berapa nilai x yang berakibat nilai y atau f(x) tidak dapat ditentukan Jawab : ......
Dalam fungsi aljabar himpunan setiap nilai x yang yang menghasilkan nilai y yang merupakan bilangan riil merupakan daerah asal atau Domain dari fungsi dan himpunan nilai y yang merupakan bilangan riil dinamakan daerah hasil atau Range dari fungsi. 14. Perhatikan diagram berikut. (a) (b) (c) Diagram manakah yang mendefinisikan fungsi? Jelaskan. ...
...
...
...
...
...
...
...
15. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan aturanx2 - 4x + 3, dengan x ∈ A. Jika diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, tentukan: a. Himpunan pasangan berurutan dalam f b. Daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range) dari f Jawab: x 1 2 3 4 f(x ) Df = ... Kf = ... Rf = ...
16. Tentukan domain dan range dari soal no 12 Jawab : ...
...
17. Diketahui fungsi f =
√
2x−1 tentukan domain dan range fungsi tersebut agar fungsi mempunyai nilai (peta). Jawab: Agar f(x) bernilai real maka 2x – 1 ≥ 0 2x ≥ ...x ≥ ...
Jadi, D = {x │ ...}
R = {x │ ...}
18. Diketahui fungsi f = 3x+6 2x−5 tentukan domain dan range fungsi tersebut agar fungsi mempunyai nilai (peta). Jawab: Agar f(x) bernilai real maka penyebut dari pecahan tersebut ≠ 0 ... ≠ 0
x ≠ ...
Jadi, D = {x │ ...}
R = {x │ ...}
19. Diberikan fungsi f memetakan x ke y dengan rumus y =
2x−1
x+3 , x - 3. Tuliskan rumus fungsi g yang memetakan y ke x.
Jawab:
y =
2x−1
x+3
0 X Y Y X 0 y (x + 3) = ... xy + ... = ... xy - ... = -3y – 1 x (... - ...) = ... x = … … … …… … … … , y ≠ ...
20. Diketahui fungsi f(x)=3x−2 , hitunglah : a. f(2) b. f(-2) c. f(x+1) d. f(2x+5) Jawab : a. f(2) = 3 (....) – 2 = .... - .... = ... b. f(-2) = 3 (....) – 2 = .... - .... = ... c. f(x + 1) = 3 (...) – 2 = ... - .... = ... d. f(2x + 5) = 3 (...) – 2 = ... - .... = ...
21. Diketahui f(2x – 3) = 4x – 7. Hitunglah nilai dari f(7). Jawab: 2x – 3 = .... 2x = .... + 3 = .... x = .... f(7) = 4 (...) – 7 = ... Latihan
1. Relasi-relasi himpunan A : {a,b,c,d} ke himpunan B : {1,2,3,4} berikut ini manakah yang merupakan fungsi / pemetaan (gambarkan terlebih dulu diagram panahnya).
a. f = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)} b. g = {(a,2), (b,2), (c,3), (d,3)} c. h = {(a,4), (b,1), (b,3), (c,2), (d,4)}
d. i = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4)} e. j = {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)}
2. Relasi-relasi yang disajikan dalam bentuk grafik kartesius manakah yang merupakan pemetaan atau fungsi ?
Y
0 X X
Y
0
c. d.
3. Diketahui fungsi f : R R dinyatakan dengan rumus f (x) = x2 – 1. Jika daerah asal f adalah Df : {x | -3 x 3, x R} a. Tentukan f (-3), f (-2), f (0), f (1), f (2), f (3).
b. Gambarkan grafik fungsi f (x) = x2 – 1 dalam bidang kartesius. c. Tentukan daerah hasil fungsi f.
d. Tentukan nilai a jika diketahui f (a) = 3. 4. Tentukan daerah asal alami pada fungsi berikut !
a. f (x) =
