:

1. Tentukan suku pertama, suku ke dua puluh, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut ini.

a) 2,5,8, … b) 4,3¹₂, 3, … c) 12,7,2, … d) 100,90,80, …

2. Suku ke – 3 dari suatu barisan aritmetika sama dengan 9, sedangkan suku ke – 8 sama dengan 4.

a) Carilah suku pertama dan beda barisan ini;

b) Carilah suku ke – 15 dan suku ke-20.

3. Tentukanlah suku pertama, suku kedelapan, rasio, dan rumus umum suku ke-n pada barisan-barisan geometri berikut ini.

a) 4,12,36,108, … b) 1,¹₃,¹

9, ¹

27, …

4. Suku ke tiga dan suku ke enam dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 32 dan 2.048

a) Tentukanlah suku pertama dan rasio deret geometri itu;

b) Tentukan suku ke sepuluh barisan tersebut.

5

Tes Pemahaman 1

1. Suku ke sepuluh dari barisan 3,5,7,9, …

2. Diketahui barisan aritmetika 5,8,11, … ,125,128,131. Suku tengahnya adalah….

3. Rumus suku ke-n dari barisan 2,6,12,20, … adalah 𝑈_𝑛= ⋯.

4. Dari suatu barisan geometri diketahui suku kedua adalah ⁴₃ dan suku kelima adalah 36.

Suku keenam barisan tersebut adalah….

a. 108 desa mengikuti deret geometri.

Pertambahan penduduk pada tahun 2001 sebesar 24 orang, tahun 2003 sebesar 96 orang, pertambahan penduduk tahun 2008 adalah…. sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah tujuh suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah….

a. 78 b. 81 c. 84 d. 87 e. 91

8. Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 25 dan suku ke Sembilan adalah

a. Deret aritmatika dengan beda 2√2 b. Deret aritmatika dengan beda 1 + √2 c. Deret geometri dengan rasio ¹₂√2 d. Deret geometri dengan rasio 2√2 e. Bukan deret geometri maupun

aritmatika

10. Suku pertama dan rasio suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 3.

Jika jumlah n suku pertama deret tersebut

= 80, banyak suku dari barisan itu adalah….

a. 2 b. 4 c. 9 d. 16 e. 27

6

BAB II

LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Limit suatu fungsi 𝑓(𝑥) untuk x mendekati suatu bilangan a adalah pendekatan fungsi 𝑓(𝑥)bilamana x mendekati a. Misal lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿, ini berarti bahwa nilai fungsi 𝑓(𝑥) akan mendekati L jika x mendekati a.

Contoh :

Tentukanlah lim

𝑥→1 (4𝑥²+ 1) Jawab :

Untuk 𝑥 mendekati 1 maka (4𝑥²+ 1)akan medekati 4(1)²+ 1 = 5. Sehingga lim

𝑥→𝑎(4𝑥²+ 1) = 5

B. LIMIT FUNGSI ALJABAR

Cara yang diperlihatkan pada contoh sebelumnya, merupakan cara substitusi. Kita hanya perlu memasukkan nilai yang didekati x untuk mengetahui nilai yang didekati oleh 𝑓(𝑥). Berikut beberapa bentuk fungsi yang memiliki cara penyelesaiannya yang sedikit unik.

2.1 Menentukan Limit Fungsi Aljabar Benbentuk lim

𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

)

.

Nilai limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 → 𝑎 atau ditulis lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥), dapat diperoleh dengan menggantikan langsung nilai x=a ke dalam fungsi 𝑓(𝑥), sehingga,

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini, a) lim

𝑥→2(2𝑥²− 1) b) lim

𝑥→−1 𝑥²+1

𝑥−1 c) lim

𝑥→4 √3𝑥 + 4 Penyelesaian :

a) lim

𝑥→2 (2𝑥²− 1) = 2(2)²− 1 = 7 b) lim

𝑥→−1 𝑥²+1

𝑥−1 =^(−1)2+1

(−1)−1 = ²

−2= −1 c) lim

𝑥→4 √3𝑥 + 4 = √3(4) + 4 = √16 = 4 Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Faktorisasi

Dalam metode ini, perhitungan limit dilakukan dengan cara mencari factor yang sama (faktor persekutuan) antara pembilang dan penyebut. Perhatikan kasus berikut,

𝑥→2lim 𝑥²− 4

𝑥 − 2

Jika bentuk ini diselesaikan dengan metode substitusi, maka akan menimbulkan bentuk tak terdefenisi yaitu,

lim𝑥→2

𝑥²− 4

𝑥 − 2 =2²− 4 2 − 2 =0

0= 𝑡𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖

7

Untuk menghindari penyebut nol maka bentuk di atas dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi sebagai berikut,

𝑥→2lim Dari ulasan kasus tersebut, maka disimpulkan

Jika fungsi polinom 𝐹(𝑥) dan 𝐺(𝑥) bernilai nol untuk 𝑥 = 𝑎, maka (𝑥 − 𝑎) pada pembilang dan penyebut dapat disederhanakan atau ^{(𝑥−𝑎)}

(𝑥−𝑎)= 1, sebab x hanya mendekati a, sehingga (𝑥 − 𝑎) ≠ 0 atau 𝑥 ≠ 𝑎

2.2 Menentukkan limit fungsi aljabar berbentuk lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) 1) Bentuk yang lebih umum ditemukan ialah,

𝑥→∞lim 1 𝑥= 0 2) Untuk bentuk polinom lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), maka penyelesaiannya dapat dilakukan dengan trik seperti berikut, 3) Limit fungsi berbentuk lim

𝑥→∞{√𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥)} dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu √𝑓(𝑥)+√𝑔(𝑥)

√𝑓(𝑥)+√𝑔(𝑥)

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

a) lim

8

Sifat-sifat limit fungsi dapat dirangkum dalam Teorema Limit sebagai berikut.

1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 maka lim 4. Jika k suatu konstanta maka lim

𝑥→𝑎𝑘 . 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim

Hitunglah nilai dari lim

𝑥→1(3𝑥²− 2𝑥 + 5) Jawab :

𝑥→1lim(3𝑥²− 2𝑥 + 5)

9

1. Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

a) lim

10

TES PEMAHAMAN 2

1. lim

11

BAB III

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

A. PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Misalkan y adalah fungsi dari x atau 𝑦 = 𝑓(𝑥). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 atau y’ atau 𝑓^′(𝑥), dan didefenisikan sebagai:

Tentukanlah dengan menggunakan limit fungsi, turunan dari a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥³+ 5

B. RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diturunkan sejumlah rumus tentang turunan, yaitu:

12 2. Jika 𝑦 = 0 dengan 𝑐 ∈ 𝑅, maka ^𝑑𝑦_𝑑𝑥= 0

Contoh : 𝑦 = 2 →𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

3. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓^′(𝑥) + 𝑔^′(𝑥) Contoh :

𝑦 = 𝑥³+ 3𝑥²→𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑥²+ 6𝑥 4. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓^′(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑔^′(𝑥). 𝑓(𝑥) Contoh :

𝑦 = 𝑥²(𝑥²+ 2)

𝑓(𝑥) = 𝑥²→ 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 2 → 𝑔^′(𝑥) = 2𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2𝑥. (𝑥²+ 2) + 2𝑥(𝑥²) = 4𝑥³+ 4𝑥 5. Jika 𝑦 =^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥=^{𝑓′(𝑥).𝑔(𝑥)−𝑔′(𝑥).𝑓(𝑥)}

𝑔²(𝑥)

Contoh :

𝑦 = 𝑥

𝑥²+ 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 → 𝑓^′(𝑥) = 1 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 1 → 𝑔^′(𝑥) = 2𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑥²+ 1 − 2𝑥²

𝑥⁴+ 2𝑥²+ 1= 1 − 𝑥² 𝑥⁴+ 2𝑥²+ 1 6. Jika 𝑦 = [𝑓(𝑥)]^𝑛 maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛[𝑓(𝑥)]^𝑛−1. 𝑓^′(𝑥) Contoh :

𝑦 = √𝑥²+ 1

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 1 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑦 = √𝑥²+ 1 = (𝑥²+ 1)¹² 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =1

2(𝑥²+ 1)¹²⁻¹(2𝑥) = 𝑥[𝑥²+ 1]⁻¹²= 𝑥

√𝑥²+ 1

Latihan 3

1. Tentukanlah turunan dari tiap fungsi 𝑓(𝑥) berikut ini.

a) 𝑓(𝑥) = 6 b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 c) 𝑓(𝑥) = −5𝑥² d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥¹⁰

e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 3𝑥 + 4 f) 𝑓(𝑥) = 3𝑥⁴− 4𝑥²+ 7 g) 𝑓(𝑥) =^𝑥2_𝑥⁻³₂

h) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) i) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)²

13

TES PEMAHAMAN 3

1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 1, maka dari 𝑓(𝑥), maka nilai dari 𝑓′(3) adalah….

a. 99

14

BAB IV

PENGUNAAN TURUNAN FUNGSI

A. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

Turunan pertama fungsi merupakan gradien garis singgung di titik (𝑥, 𝑦). Dengan demikian gradien garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik (𝑥₁, 𝑦₁) adalah 𝑚 = 𝑓^′(𝑥₁) atau 𝑚 = (^𝑑𝑦

𝑑𝑥)

𝑥=𝑥₁. Persamaan garis singgung kurva dapat dibagi menjadi tiga kasus, yakni persamaan garis singgung di titik (𝑥₁, 𝑦₁) pada kurva, persamaan garis singgung dengan gradien m, dan persamaan garis singgung di titik (𝑎, 𝑏) di luar kurva.

1. Persamaan garis singgung di titik (𝑥1, 𝑦₁) pada kurva.

𝑦 − 𝑦₁= 𝑓^′(𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₁) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 𝑥 − 5 dititik (2,1).

Jawab :

𝑦 = 𝑥²+ 𝑥 − 5 → 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑚 = 𝑓^′(𝑥₁) = 𝑓^′(2) = 2(2) + 1 = 5

Karena m = 5, persamaan garis singgungnya adalah, 𝑦 − 1 = 5(𝑥 − 2)

𝑦 = 5𝑥 − 9 2. Persamaan garis singgung bergradien m.

𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang bergradien 2 dan menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 4𝑥 + 3.

Jawab :

Mencari titik singgung (𝑥1, 𝑦₁) 𝑥₁ = 𝑓^′−1(𝑚) → 2 = 2𝑥₁+ 4 𝑥₁ = −1

𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = (−1)²+ 4(−1) + 3

= 1 − 4 + 3

= 0

Titik singgung (𝑥1, 𝑦₁) = (−1,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 − 0 = 2(𝑥 + 1)

𝑦 = 2𝑥 + 2

Jadi persamaan garis singgugnnya adalah 𝑦 = 2𝑥 + 2 3. Persamaan garis singgung melalui titik (𝑎, 𝑏) di luar kurva.

𝑚 =𝑓(𝑎) − 𝑦₁

𝑎 − 𝑥₁ = 𝑓^′(𝑎) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0,-1) dan menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 3𝑥.

Penyelesaian :

Titik (0, −1) disubsitusikan ke persamaan 𝑦 = 𝑥²+ 3𝑥, diperoleh :

−1 ≠ 0²+ 3(0), maka titik (0,-1) berada diluar kurva. Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥, maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 3.

Mencari nilai a.

Apabila titik singgung kurva adalah (𝑎, 𝑓(𝑎)), maka

15 𝑓(𝑎) − 𝑦₁

𝑎 − 𝑥₁ = 𝑓^′(𝑎) 𝑎²+ 3𝑎 − (−1)

𝑎 − 0 = 2𝑎 + 3 𝑎²+ 3𝑎 + 1 = 2𝑎²+ 3𝑎 𝑎²= 1, maka 𝑎 = ±1 Untuk 𝑎 = 1

𝑚 = 𝑓^′(1) = 2.1 + 3 = 5 Persamaan garis singgungnya:

𝑦 − (−1) = 5(𝑥 − 0) 𝑦 = 5𝑥 − 1

Untuk 𝑎 = −1

𝑚 = 𝑓^′(−1) = 2(−1) + 3 = 1 Persmaan garis singgung:

𝑦 − 𝑦₁= 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) 𝑦 − (−1) = 1(𝑥 − 0) 𝑦 = 𝑥 − 1

Jadi persamaan garis singgung adalah 𝑦 = 5𝑥 − 1 dan 𝑦 = 𝑥 − 1

B. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Misalkan fungsi f dirumuskan oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam interval I dan 𝑓(𝑥) diferensiabel pada setiap 𝑥 dalam interval itu.

1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 maka fungsi 𝑓(𝑥) naik pada 𝐼 2. Jika 𝑓^′(𝑥) < 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 maka fungsi 𝑓(𝑥) turun pada 𝐼 3. Jika 𝑓^′(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 maka fungsi 𝑓(𝑥) stasioner pada 𝐼 Contoh :

Sebuah kurva parabola dinyatakan dengan rumus 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 3. Tentukan interval-interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) merupakan;

(i) Fungsi naik (ii) fungsi turun Penyelesaian :

Dari 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 3, didapat 𝑓^′(𝑥) = −2𝑥 + 2 (i) Supaya 𝑓(𝑥) fungsi naik maka 𝑓^′(𝑥) > 0

−2𝑥 + 2 > 0 → 𝑥 < 1

Jadi fungsi 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 3 naik dalam interval 𝑥 < 1 (ii) Supaya 𝑓(𝑥) fungsi turun maka 𝑓^′(𝑥) < 0

−2𝑥 + 2 < 0 → 𝑥 > 1

Jadi fungsi 𝑓(𝑥) = −2𝑥²+ 2𝑥 + 3 turun dalam interval 𝑥 > 1

C. TITIK STASIONER SUATU FUNGSI DAN JENIS-JENIS EKSTREM

Jika suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) diferensiabel di 𝑥 = 𝑎 dengan 𝑓^′(𝑎) = 0 maka 𝑓(𝑎) adalah stasioner dari fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎.

Contoh :

Tentukan nilai-nilai stasioner dan koordinat titik stasioner dari 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4 Jawab :

Nilai x yang menyebabkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) stasioner ditentukan oleh hubungan 𝑓^′(𝑎) = 0 Turunan pertama 𝑦 = 𝑥²− 4 adalah 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥

16 𝑓^′(𝑎) = 0 → 2𝑎 = 0 → 𝑎 = 0

Untuk 𝑥 = 0, diperoleh 𝑓(0) = 0²− 4 = −4

Jadi fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4 memiliki nilai stasioner 𝑓(0) = −4 dan koordinat titik stasionernya adalah (0, −4).

Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik stasioner merupakan bakal calon titik ekstrim. Untuk mengetahui bahwa titik stasioner merupakan titik ekstrim, kita menggunakan uji turunan pertama sebagai berikut:

Misalkan 𝑓(𝑥) merupakan fungsi yang diferensial pada 𝑥 = 𝑎 dan mencapai nilai stasioner pada titik itu dengan nilai stasioner 𝑓(𝑎).

1. Jika

𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑛𝑎𝑖𝑘

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

Maka 𝑓(𝑥) mencapai nilai balik maksimum pada 𝑥 = 𝑎 Nilai balik maksimum itu sama dengan 𝑓(𝑎).

2. Jika

𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑛𝑎𝑖𝑘

Maka 𝑓(𝑥) mencapai nilai balik maksimum pada 𝑥 = 𝑎. Nilai balik minimum itu sama dengan 𝑓(𝑎)

3. Jika

𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑛𝑎𝑖𝑘

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑛𝑎𝑖𝑘

Atau

𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

Maka 𝑓(𝑎) bukan nilai ekstrim.

D. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi

Misalkan fungsi 𝑓(𝑥) kontinu dan diferensiabel pada nilai-nilai x dalam daerah interval tertutup 𝐷𝑓

dan 𝑎 ∈ 𝐷𝑓.

1. Jika 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 maka 𝑓(𝑎) disebut nilai maksimum fungsi 𝒇(𝒙) 2. Jika 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 maka 𝑓(𝑎) disebut nilai minimum fungsi 𝒇(𝒙) Contoh :

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 dalam interval −2 ≤ 𝑥 ≤ 0 Jawab :

Turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 adalah 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 − 4 Nilai stasioner 𝑓(𝑥)diperoleh dari 𝑓^′(𝑥) = 0

17 Sehingga 2𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥 = 2

Nilai stasioner 𝑓(2) = 2²− 4(2) = −4. Dengan uji turunan pertama dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa 𝑓(2) = −4 merupakan nilai balik minimum fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 dalam interval −2 < 𝑥 < 0 dapat ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1

Dalam interval −2 < 𝑥 < 0 tidak ada nilai balik minimum, sebab nilai balik minimum terjadi pada 𝑥 = 2

Langkah 2

Nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 pada ujung-ujung interval

• 𝑓(−2) = (−2)²− 4(−2) = 12; 𝑓(0) = 0²− 4(0) = 0 Dari perhitungan pada Langkah 2 diketahui nilai maksimum 𝑓(𝑥) = 12 pada 𝑥 = −2 dan nilai minimum 𝑓(𝑥) = 0 pada 𝑥 = 0

18

Latihan 4

1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 3𝑥 + 1 di titik (1,5) 2. Tentukan persamaan garis yang bergradien 5 dan menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥²− 3𝑥 + 2 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,4) dan menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²− 𝑥 + 3 4. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun pada 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 + 5

5. Tentukanlah titik stasioner dan jenis nilai stasioner dari 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 3𝑥²+ 2

19

TES PEMAHAMAN 4

1. Persamaan garis singgung fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³ di titik (2,8) adalah….

2. Persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑥²− 6𝑥 + 1 di titik 𝑃(1, −4)

3. Persamaan garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 2√𝑥 − 1 di titik yang berabsis 1

5. Persamaan garis singgung grafik 𝑦 = 𝑥²− 4𝑥 + 3 yang sejajar dengan garis menurun untuk nilai-nilai….

a. 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 2 𝑥 yang memenuhi….

a. −3 < 𝑥 < −1

b. −3 < 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 1 c. −1 < 𝑥 < 1 atau 1 < 𝑥 < 3 d. 𝑥 < −3 atau 𝑥 > 1

e. 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 4 9. Nilai minimum fungsi f yang

dirumuskan dengan 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 4

10. Nilai minimum fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 3𝑥²− 24𝑥 + 7 adalah….

20

DAFTAR PUSTAKA

Hasbi, A. R. (2010). Lulus Ujian Matematika Ringkasan, rumus-rumus, soal latihan, persiapan UNAS &

Ujian Masuk Perguruan Tinggi. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Kurnianingsih, S., Kuntarti, & Sulistiyono. (2007). Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semseter 2. Jakarta: Esis.

Purcell, E. J., & Varberg, D. (1990). Kalkulus dan Geometri Analitik. Jakarta: Erlangga.

Sembiring, S., Purba, B., Cunayah, C., & Irawan, E. I. (2012). Matematika-Pendidikan Berkarakter Bangsa untuk SMA Kelas XI IPS/Bahasa. Bandung: Yrama Widya.

Simangunsong, W. (1997). Soal dan Penyelesaian UMPTN Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.

Tampomas, H. (1999). Seribu Pena-Matematika SMU Kelas 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Wirodikromo, S. (2001). Matematika untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Wirodikromo, S. (2007). Matematika untuk SMA Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.