Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Rencana

Pelaksanaan Pembelajaran

Kelas: XI Subjek:

Gabriel Payong,M.Pd Tanggal: 27 April 2022

Topik: Turunan Fungsi Aljabar Pelajaran : Matematika Umum

Fokus dan Sasaran Belajar:

Peserta didik mampu menentukan limit fungsi aljabar.

Alat tulis;

Spidol;

Bahan-Bahan yang Diperlukan:

1.

2.

Tujuan Pembelajaran:

Setelah menyelesaikan pembelajaran ini, peserta didik diharapkan mampu memahami sifat-sifat turunan fungsi aljabar

Guru menyampaikan tujuan pembelajaran;

Guru menyampaikan pengantar tentang turunan fungsi sebagai limit fungsi kemiringan garis singgung kurva;

Guru menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan memberikan contoh yang sesuai;

Guru memberikan latihan untuk memperdalam pemahaman peserta didik;

Guru membahas latihan soal bersama peserta didik;

Guru memberikan tugas;

Guru menyampaikan aktifitas untuk pembelajaran berikutnya Struktur/Aktivitas:

Aktivitas dalam pembelajaran ini merupakan implementasi dari metode pembelajaran Direct Instruction dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Penilaian:

Selesaikan Uji Pemahaman 3 dari handout halaman 13

MATERI AJAR

BARISAN DAN DERET BILANGAN, LIMIT FUNGSI ALJABAR, TURUNAN FUNGSI ALJABAR

BAHAN PEMBELAJARAN

KELAS XI

SMA SANTO ANTONIUS PADUA DISUSUN OLEH : GABRIEL PAYONG,M.Pd

i

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan atas rahmat-Nya sehingga materi ajar ini dapat diselesaikan. Sesungguhnya materi ajar ini merupakan upaya penulis untuk membantu peserta didik memahami matematika. Karena bertujuan untuk membangun minat peserta didik untuk mempelajari matematika, maka materi-materi yang disusun diupayakan mengakomodir kemampuan matematis peserta didik.

Tentu saja, pemahaman penulis belum luas dalam menyusun materi ajar yang sesuai. Oleh karena itu, kritik, saran dan masukkan sangat diharapkan.

Sentani, 2022 Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

BAB I BARISAN DAN DERET BILANGAN ... 1

A. POLA BILANGAN ... 1

B. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET ... 1

C. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI ... 2

2.1 Barisan Aritmetika ... 2

2.2 Barisan Geometri ... 2

D. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI ... 3

3.1 Deret Aritmatika ... 3

3.2 Deret Geometri ... 3

Latihan I : ... 4

Tes Pemahaman 1 ... 5

BAB II LIMIT FUNGSI ALJABAR ... 6

A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI ... 6

B. LIMIT FUNGSI ALJABAR ... 6

2.1 Menentukan Limit Fungsi Aljabar Benbentuk lim𝑥 → 𝑎𝑓𝑥. ... 6

2.2 Menentukkan limit fungsi aljabar berbentuk lim𝑥 → ∞𝑓(𝑥) ... 7

C. TEOREMA LIMIT ... 8

Latihan 2 ... 9

TES PEMAHAMAN 2 ... 10

BAB III TURUNAN FUNGSI ALJABAR ... 11

A. PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI ALJABAR ... 11

B. RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR ... 11

Latihan 3 ... 12

TES PEMAHAMAN 3 ... 13

BAB IV PENGUNAAN TURUNAN FUNGSI... 14

A. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA ... 14

B. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN ... 15

C. TITIK STASIONER SUATU FUNGSI DAN JENIS-JENIS EKSTREM ... 15

D. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi ... 16

Latihan 4 ... 18

TES PEMAHAMAN 4 ... 19

DAFTAR PUSTAKA ... 20

1

BAB I

BARISAN DAN DERET BILANGAN

A. POLA BILANGAN

Pola bilangan sering kali dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda-benda (diwakili dengan lambang noktah ∎). Sebagaimana dijelaskan dengan paparan berikut ini.

B. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

Barisan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu atura tertentu. Tiap barisan itu disebut suku-suku barisan. Secara umum barisan dapat ditulis dengan :

𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, … , 𝑈_𝑛 = {𝑈_𝑛} Contoh :

a) 2,4,6,8,10, … ,2𝑛 = {2𝑛}

𝑈₁= 2; 𝑈₂= 4; 𝑈₃ = 6, … , 𝑈_𝑛 = 2𝑛 b) 2, 4, 8, 16, 32, … , 2^𝑛= {2^𝑛}

𝑈₁= 2; 𝑈₂= 4; 𝑈₃ = 8; … ; 𝑈_𝑛 = 2^𝑛

2

C. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI

2.1 Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika atau barisan hitung adalah barisan dengan sifat selisih suatu suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Selisih tersebut di sebut beda (b). Misal suku-suku barisannya adalah:

𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, … , 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛

maka 𝑈2− 𝑈₁= 𝑈₃− 𝑈₂= 𝑈₄− 𝑈₃= ⋯ = 𝑈_𝑛− 𝑈_𝑛−1= 𝑏 (beda) Jika 𝑈1 = 𝑎 maka 𝑈₂− 𝑎 = 𝑏 atau 𝑈₂= 𝑎 + 𝑏

𝑈₃− 𝑈₂= 𝑏 → 𝑈₃= 𝑈₂+ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏 𝑈₄− 𝑈₃= 𝑏 → 𝑈₄= 𝑈₃+ 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 3𝑏 .

. .

𝑈_𝑛− 𝑈_𝑛−1= 𝑏 → 𝑈_𝑛= 𝑈_𝑛−1+ 𝑏 = 𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Jadi suku ke-n dari barisan aritmatika adalah

𝑈_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

dengan a adalah suku awal/pertama dan b adalah beda.

Contoh :

Tentukanlah suku ke-20 dari barisan 4,2,0, −2, … Jawab :

Barisannya adalah barisan aritmatika dengan 𝑎 = 4; 𝑏 = 𝑈₂− 𝑈₁= 2 − 4 = −2.

𝑈₂₀= 𝑎 + (20 − 1)𝑏 = 𝑎 + 19𝑏 = 4 + 19(−2) = −34 Perhatikan bahwa di dalam barisan aritmatika,

𝑈₁₀= 𝑎 + 9𝑏

= 𝑎 + 6𝑏 + 3𝑏

= 𝑈₇+ 3𝑏

𝑈₁₀ = 𝑎 + 9𝑏

= 𝑎 + 7𝑏 + 2𝑏

= 𝑈₈+ 2𝑏

𝑈₁₀= 𝑎 + 9𝑏

= 𝑎 + 2𝑏 + 7𝑏

= 𝑈₃+ 7𝑏 Contoh :

Jika suatu barisan aritmatika mempunyai suku ke-4 sama dengan 20 dan suku ke-10 sama dengan 68, tentukanlah beda barisan tersebut serta suku ke-15 nya.

Jawab :

Barisan aritmatika : 𝑈₄ = 20; 𝑈₁₀= 68

𝑈₁₀= 𝑈₄+ 6𝑏 → 68 = 20 + 6𝑏

6𝑏 = 68 − 20 → 𝑏 =⁴⁸

6 = 8

2 𝑈₁₅= 𝑈₁₀+ 5𝑏 = 68 + 5(8) = 108

2.2 Barisan Geometri

Barisan geometri atau barisan ukur adalah barisan yang hasil bagi setiap suku dengan suku sebelumnya tetap. Hasil bagi tersebut disebut rasio (r ). Misal suku-suku barisannya adalah:

𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, 𝑈₄, … , 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛 maka: ^𝑈_𝑈²

1=^𝑈_𝑈³

2=^𝑈_𝑈⁴

3= ⋯ =_𝑈^𝑈𝑛

𝑛−1= 𝑟 (𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜).

Jika 𝑈₁= 𝑎 maka ^𝑈2

𝑎 = 𝑟 atau 𝑈₂ = 𝑎𝑟

𝑈₃

𝑈₂= 𝑟 → 𝑈3 = 𝑈2. 𝑟 = 𝑎𝑟. 𝑟 = 𝑎𝑟²

𝑈₄

𝑈₃= 𝑟 → 𝑈₄ = 𝑈₃. 𝑟 = 𝑎𝑟². 𝑟 = 𝑎𝑟³ .

. .

𝑈_𝑛

𝑈_𝑛−1= 𝑟 → 𝑈_𝑛 = 𝑈_𝑛−1. 𝑟 = 𝑎𝑟^𝑛−2. 𝑟 = 𝑎𝑟^𝑛−1 Jadi suku ke-n barisan geometri adalah

𝑈_𝑛= 𝑎𝑟^𝑛−1

dengan a = suku awal dan r = rasio.

Contoh :

Tentukanlah suku ke-10 barisan geometri ¹₈.¹₄,¹₂, 1, … Jawab :

Barisan geometri ¹

8,¹

4,¹

2, 1, … 𝑎 =¹

8; 𝑟 =

1 41 8

= 2 𝑈₁₀= 𝑎𝑟⁹=¹

8. 2⁹= ¹

2³. 2⁹= 2⁶= 64

Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan dengan menggunakan sukuk e-k, misalnya:

𝑈₁₀= 𝑎𝑟⁹= 𝑎𝑟⁴. 𝑟⁵= 𝑈₅. 𝑟⁵ 𝑈₁₀= 𝑎𝑟⁹= 𝑎𝑟⁵. 𝑟⁴= 𝑈₆. 𝑟⁴ 𝑈₁₀= 𝑎𝑟⁹= 𝑎𝑟⁶. 𝑟³= 𝑈₇. 𝑟³ Contoh :

Tentukan rasio barisan geometri jika suku ke-5 = 72 dan suku ke-8 = 9.

Barisan geometri

𝑈₈ = 𝑈₅. 𝑟³→ 9 = 72. 𝑟³

3

→ 𝑟³= ⁹

72=¹

8→ 𝑟 √¹

8

3 =¹

2

D. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI

3.1 Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku barisan aritmatika. Jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah:

𝑆_𝑛 = 𝑈₁+ 𝑈₂+ 𝑈₃+ ⋯ + 𝑈_𝑛−1+ 𝑈_𝑛

𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏) + (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆_𝑛= (𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + (𝑎 + (𝑛 − 2)𝑏) + ⋯ + (𝑎 + 𝑏) + 𝑎 +

2𝑆_𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) + ⋯ + (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2𝑆_𝑛 = 𝑛[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]

𝑆_𝑛 =𝑛

2[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]

Jadi, jumlah n suku pertama barisan/deret aritmatika adalah:

𝑆_𝑛=^𝑛

2[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) atau 𝑆_𝑛=^𝑛

2[𝑎 + 𝑈_𝑛] Contoh :

Tentukan jumlah 16 suku pertama deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ Jawab :

Deret aritmatika: 2 + 4 + 5 + 8 + ⋯ 𝑎 = 2; 𝑏 = 4 − 2 = 2

𝑆₁₆ =16

2 [2𝑎 + (16 − 1)𝑏]

𝑆₁₆= 8[2.2 + 15.2]

= 8[4 + 30]

𝑆₁₆= 27

3.2 Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku barisan geometri.

Secara aljabar, jumlah n suku pertama barisan/deret geometri adalah:

𝑆_𝑛 = 𝑈₁+ 𝑈₂+ 𝑈₃+ ⋯ + 𝑈_𝑛−1+ 𝑈_𝑛

𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟²+ 𝑎𝑟³+ ⋯ + 𝑎𝑟^𝑛−2+ 𝑎𝑟^𝑛−1

𝑟𝑆_𝑛= 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟²+ 𝑎𝑟³+ 𝑎𝑟⁴+ ⋯ + 𝑎𝑟^𝑛−1+ 𝑎𝑟^𝑛 -

𝑆_𝑛− 𝑟𝑆_𝑛= 𝑎 + 0 + 0 + 0 + + ⋯ + 0 + 0 + 0 − 𝑎𝑟^𝑛

4 𝑆_𝑛(1 − 𝑟) = 𝑎(1 − 𝑟^𝑛)

𝑆_𝑛 =𝑎(1 − 𝑟^𝑛) 1 − 𝑟

Jadi, jumlah n suku pertama barisan/deret geometri adalah:

𝑆_𝑛=^{𝑎(1−𝑟𝑛)}

1−𝑟

dengan a = suku awal dan r = rasio.

Contoh :

Tentukan jumlah 8 suku pertama deret geometri 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ Jawab :

Deret geometri 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 𝑎 = 1; 𝑟 =²

1= 2 𝑆₈=^{𝑎(1−𝑟8)}

1−𝑟 =^1(1−28)

1−2 =¹⁻²⁵⁶

−1 = 255

Latihan I :

1. Tentukan suku pertama, suku ke dua puluh, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut ini.

a) 2,5,8, … b) 4,3¹₂, 3, … c) 12,7,2, … d) 100,90,80, …

2. Suku ke – 3 dari suatu barisan aritmetika sama dengan 9, sedangkan suku ke – 8 sama dengan 4.

a) Carilah suku pertama dan beda barisan ini;

b) Carilah suku ke – 15 dan suku ke-20.

3. Tentukanlah suku pertama, suku kedelapan, rasio, dan rumus umum suku ke-n pada barisan- barisan geometri berikut ini.

a) 4,12,36,108, … b) 1,¹₃,¹

9, ¹

27, …

4. Suku ke tiga dan suku ke enam dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 32 dan 2.048

a) Tentukanlah suku pertama dan rasio deret geometri itu;

b) Tentukan suku ke sepuluh barisan tersebut.

5

Tes Pemahaman 1

1. Suku ke sepuluh dari barisan 3,5,7,9, … adalah….

a. 11 b. 15 c. 19 d. 21 e. 27

2. Diketahui barisan aritmetika 5,8,11, … ,125,128,131. Suku tengahnya adalah….

a. 21 b. 22 c. 42 d. 43 e. 68

3. Rumus suku ke-n dari barisan 2,6,12,20, … adalah 𝑈_𝑛= ⋯.

a. 2𝑛 b. 3𝑛 − 1 c. 2𝑛² d. 𝑛(𝑛 + 1) e. 𝑛²+ 1

4. Dari suatu barisan geometri diketahui suku kedua adalah ⁴₃ dan suku kelima adalah 36.

Suku keenam barisan tersebut adalah….

a. 108 b. 54 c. 48 d. 45 e. 40

5. Pertambahan penduduk tiap tahun suatu desa mengikuti deret geometri.

Pertambahan penduduk pada tahun 2001 sebesar 24 orang, tahun 2003 sebesar 96 orang, pertambahan penduduk tahun 2008 adalah….

a. 168 b. 192 c. 384 d. 526 e. 768

6. Dari deret aritmatika diketahui 𝑈6+ 𝑈₉+ 𝑈₁₂+ 𝑈₁₅= 20, maka 𝑆₁₀= ⋯

a. 50 b. 80 c. 100 d. 200 e. 400

7. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3,18,33, … disisipkan 4 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah tujuh suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah….

a. 78 b. 81 c. 84 d. 87 e. 91

8. Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 25 dan suku ke Sembilan adalah 6.400. suku kelima dari barisan ini adalah….

a. 100 b. 200 c. 400 d. 1.600 e. 2.500 9. Deret ¹₄+¹

4√2 + 2 + 4√2 + ⋯ adalah….

a. Deret aritmatika dengan beda 2√2 b. Deret aritmatika dengan beda 1 + √2 c. Deret geometri dengan rasio ¹₂√2 d. Deret geometri dengan rasio 2√2 e. Bukan deret geometri maupun

aritmatika

10. Suku pertama dan rasio suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 3.

Jika jumlah n suku pertama deret tersebut

= 80, banyak suku dari barisan itu adalah….

a. 2 b. 4 c. 9 d. 16 e. 27

6

BAB II

LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Limit suatu fungsi 𝑓(𝑥) untuk x mendekati suatu bilangan a adalah pendekatan fungsi 𝑓(𝑥)bilamana x mendekati a. Misal lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿, ini berarti bahwa nilai fungsi 𝑓(𝑥) akan mendekati L jika x mendekati a.

Contoh :

Tentukanlah lim

𝑥→1 (4𝑥²+ 1) Jawab :

Untuk 𝑥 mendekati 1 maka (4𝑥²+ 1)akan medekati 4(1)²+ 1 = 5. Sehingga lim

𝑥→𝑎(4𝑥²+ 1) = 5

B. LIMIT FUNGSI ALJABAR

Cara yang diperlihatkan pada contoh sebelumnya, merupakan cara substitusi. Kita hanya perlu memasukkan nilai yang didekati x untuk mengetahui nilai yang didekati oleh 𝑓(𝑥). Berikut beberapa bentuk fungsi yang memiliki cara penyelesaiannya yang sedikit unik.

2.1 Menentukan Limit Fungsi Aljabar Benbentuk lim

𝑥→𝑎

𝑓

(

𝑥

)

.

Nilai limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 → 𝑎 atau ditulis lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥), dapat diperoleh dengan menggantikan langsung nilai x=a ke dalam fungsi 𝑓(𝑥), sehingga,

𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini, a) lim

𝑥→2(2𝑥²− 1) b) lim

𝑥→−1 𝑥²+1

𝑥−1 c) lim

𝑥→4 √3𝑥 + 4 Penyelesaian :

a) lim

𝑥→2 (2𝑥²− 1) = 2(2)²− 1 = 7 b) lim

𝑥→−1 𝑥²+1

𝑥−1 =^(−1)2+1

(−1)−1 = ²

−2= −1 c) lim

𝑥→4 √3𝑥 + 4 = √3(4) + 4 = √16 = 4 Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Faktorisasi

Dalam metode ini, perhitungan limit dilakukan dengan cara mencari factor yang sama (faktor persekutuan) antara pembilang dan penyebut. Perhatikan kasus berikut,

𝑥→2lim 𝑥²− 4

𝑥 − 2

Jika bentuk ini diselesaikan dengan metode substitusi, maka akan menimbulkan bentuk tak terdefenisi yaitu,

lim𝑥→2

𝑥²− 4

𝑥 − 2 =2²− 4 2 − 2 =0

0= 𝑡𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖

7

Untuk menghindari penyebut nol maka bentuk di atas dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi sebagai berikut,

𝑥→2lim 𝑥²− 4

𝑥 − 2 = lim

𝑥→2

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

𝑥 − 2 = lim

𝑥→2 𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4 Dari ulasan kasus tersebut, maka disimpulkan

Jika fungsi polinom 𝐹(𝑥) dan 𝐺(𝑥) bernilai nol untuk 𝑥 = 𝑎, maka

𝑥→𝑎lim 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

(𝑥 − 𝑎)𝑓(𝑥) (𝑥 − 𝑎)𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=𝑓(𝑎) 𝑔(𝑎) (𝑥 − 𝑎) pada pembilang dan penyebut dapat disederhanakan atau ^{(𝑥−𝑎)}

(𝑥−𝑎)= 1, sebab x hanya mendekati a, sehingga (𝑥 − 𝑎) ≠ 0 atau 𝑥 ≠ 𝑎

2.2 Menentukkan limit fungsi aljabar berbentuk lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) 1) Bentuk yang lebih umum ditemukan ialah,

𝑥→∞lim 1 𝑥= 0 2) Untuk bentuk polinom lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), maka penyelesaiannya dapat dilakukan dengan trik seperti berikut,

a) Jika derajat 𝑓(𝑥) = derajat 𝑔(𝑥), maka,

𝑥→∞lim 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓(𝑥) 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑔(𝑥)

b) Jika derajat 𝑓(𝑥) > derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi 𝑓(𝑥)bernilai positif, maka

𝑥→∞lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= ∞

c) Jika derajat 𝑓(𝑥) > derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi 𝑓(𝑥) bernilai negatif, maka

𝑥→∞lim 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= −∞

d) Jika derajat 𝑓(𝑥) < derajat 𝑓(𝑥) maka,

𝑥→∞lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= 0 3) Limit fungsi berbentuk lim

𝑥→∞{√𝑓(𝑥) − √𝑔(𝑥)} dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu √𝑓(𝑥)+√𝑔(𝑥)

√𝑓(𝑥)+√𝑔(𝑥)

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

a) lim

𝑥→∞

6𝑥³−4𝑥²+𝑥+3

−2𝑥²+3𝑥²+4𝑥+8

b) lim

𝑥→∞

2𝑥²+3𝑥−1 𝑥+2

c) lim

𝑥→∞

4−3𝑥+2𝑥²−4𝑥³ 𝑥²+4𝑥−2

d) lim

𝑥→∞

𝑥³−3𝑥²+4𝑥+1 𝑥⁴−𝑥²+3𝑥+5

8 Jawab :

a) Derajat 𝑓(𝑥) = derajat 𝑔(𝑥), maka

𝑥→∞lim

6𝑥³− 4𝑥²+ 𝑥 + 3

−2𝑥³+ 3𝑥²+ 4𝑥 + 8= 6

−2= −3

b) Derajat 𝑓(𝑥) > derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi 𝑓(𝑥) adalah 2 (bernilai positif), maka

𝑥→∞lim

2𝑥²+ 3𝑥 − 1 𝑥 + 2 = ∞

c) Derajat 𝑓(𝑥) > derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi 𝑓(𝑥) adalah -4 (bernilai negatif), maka

𝑥→∞lim

4 − 3𝑥 + 2𝑥²− 4𝑥³

𝑥²+ 4𝑥 − 2 = −∞

d) Derajat 𝑓(𝑥) < derajat 𝑔(𝑥), maka

𝑥→∞lim

𝑥³− 3𝑥²+ 4𝑥 + 1 𝑥⁴− 𝑥²+ 3𝑥 + 5 = 0 Contoh :

Hitunglah lim

𝑥→∞{√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5}

Jawab :

𝑥→∞lim{√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5} = lim

𝑥→∞{√2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 5} ×{√2𝑥 − 1 + √3𝑥 + 5}

{√2𝑥 − 1 + √3𝑥 + 5}

𝑥→∞lim

(2𝑥 − 1) − (3𝑥 + 5)

{√2𝑥 − 1 + √3𝑥 + 5}= lim

𝑥→∞

−𝑥 − 6

{√2𝑥 − 1 + √3𝑥 + 5}= −∞

C. TEOREMA LIMIT

Sifat-sifat limit fungsi dapat dirangkum dalam Teorema Limit sebagai berikut.

1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 maka lim

𝑥→𝑎𝑘 (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).

2. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 maka lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎 (untuk setiap a bilangan real).

3. lim

𝑥→𝑎{𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)} = lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) 4. Jika k suatu konstanta maka lim

𝑥→𝑎𝑘 . 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) 5. lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = {lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)} . {lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥)}

6. lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=^{𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥)}

𝑥→𝑎lim𝑔(𝑥), dengan lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0 7. lim

𝑥→𝑎{𝑓(𝑥)}^𝑛= {lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)}^𝑛 8. lim

𝑥→𝑎^𝑛√𝑓(𝑥)= √lim^𝑛 _𝑥→𝑎𝑓(𝑥) , dengan lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk n genap.

Contoh :

Hitunglah nilai dari lim

𝑥→1(3𝑥²− 2𝑥 + 5) Jawab :

𝑥→1lim(3𝑥²− 2𝑥 + 5)

9

= lim

𝑥→13𝑥²− lim

𝑥→12𝑥 + lim

𝑥→15

= 3. {lim

𝑥→1𝑥}²− 2 {lim

𝑥→1𝑥} + lim

𝑥→15

= 3(1) − 2.1 + 5 = 6 Jadi lim

𝑥→𝑎(3𝑥²− 2𝑥 + 5) = 6

Latihan 2

1. Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

a) lim

𝑥→2(3𝑥 + 1) b) lim

𝑥→2 𝑥+2 2𝑥+3

c) lim

𝑥→4

𝑥²−2𝑥−8 𝑥−4

d) lim

𝑥→2

2𝑥²+3𝑥−2 𝑥+2

e) lim

𝑥→2

𝑥²−5𝑥+6 𝑥²−𝑥−2

f) lim

𝑥→5 𝑥²−5𝑥 𝑥²−25

g) lim

𝑥→3 𝑥³−27

𝑥−3

2. Tentukanlah hasil dari : a) lim

𝑥→∞

2𝑥+5 9𝑥+7

b) lim

𝑥→∞

6𝑥²+2𝑥+3 2𝑥²−7𝑥+8

c) lim

𝑥→∞

3𝑥²+𝑥−5 𝑥³−1

d) lim

𝑥→∞(√𝑥 + 2 − √𝑥) e) lim

𝑥→∞(√𝑥²+ 𝑥 − √𝑥²− 𝑥)

10

TES PEMAHAMAN 2

1. lim

𝑥→2 𝑥²−4

𝑥³+1 sama dengan….

a. 0 b. 1 c. ¹

4

d. ²₃ e. ∞ 2. lim

𝑥→2

𝑥²+2𝑥−8 𝑥²−𝑥−2 = ⋯ . a. 3

b. 2 c. 0 d. -2 e. -3 3. lim

𝑥→0 6𝑥⁵−4𝑥

2𝑥²+𝑥 = ⋯ . a. -4

b. -2 c. 0 d. 2 e. 4 4. lim

𝑥→1

2𝑥²−𝑥−1 3𝑥²−𝑥−2= ⋯ . a. 1²₃

b. ³

4

c. ²₃ d. ³₅ e. ²₅ 5. lim

𝑥→2 𝑥³−8 𝑥²−2𝑥= ⋯ . a. 0

b. 2 c. 4 d. 6 e. ∞

6. lim

𝑥→0 3𝑥²−4𝑥

𝑥 = ⋯ . a. −4

b. −1 c. 0 d. ⁴₃ e. ∞ 7. Nilai dari lim

𝑥→0

𝑥²+3𝑥−10

𝑥+5 adalah….

a. −2 b. −⁷₅ c. 0 d. ⁷₅ e. 2 8. Nilai dari lim

𝑥→∞

4𝑥²+5𝑥−10 𝑥²+7𝑥+2 = ⋯ . a. 4

b. 3 c. 2 d. 1 e. ∞ 9. lim

𝑥→∞

3𝑥−5

2𝑥²+4𝑥+5= ⋯ . a. 0

b. ₁₁⁸ c. ³

4

d. 1 e. 6 10. lim

𝑥→∞{√𝑥²+ 4𝑥 + 5 − √𝑥²− 2𝑥 + 3} = ⋯ . a. 0

b. ³₂ c. ¹₂ d. 2 e. 3

11

BAB III

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

A. PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Misalkan y adalah fungsi dari x atau 𝑦 = 𝑓(𝑥). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 atau y’ atau 𝑓^′(𝑥), dan didefenisikan sebagai:

𝑑𝑦 𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥 Misal ∆𝑥 = ℎ, maka defenisi di atas dapat ditulis,

𝑓^′(𝑥) =𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

Contoh :

Tentukanlah dengan menggunakan limit fungsi, turunan dari a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥³+ 5

b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 Jawab :

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥³+ 5 𝑓^′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

• Langkah pertama ialah menentukkan 𝑓(𝑥 + ℎ) ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) = 2(𝑥 + ℎ)³+ 5

= 2(𝑥³+ 3𝑥²ℎ + 3𝑥ℎ²+ ℎ³) + 5

= 2𝑥³+ 6𝑥²ℎ + 6𝑥ℎ²+ 2ℎ³+ 5

• lim

ℎ→0

2𝑥³+6𝑥²ℎ+6𝑥ℎ²+2ℎ³+5−2𝑥³−5 ℎ

• lim

ℎ→0

ℎ(6𝑥²+6𝑥ℎ)

ℎ = lim

ℎ→06𝑥²+ 6𝑥ℎ = 6𝑥² b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥

𝑓^′(𝑥) =𝑑𝑦 𝑑𝑥= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

• Langkah pertama ialah menentukkan 𝑓(𝑥 + ℎ) ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) = 3(𝑥 + ℎ)

= 3𝑥 + 3ℎ

• lim

ℎ→0

3𝑥+3ℎ−3𝑥 ℎ

• lim

ℎ→0 3ℎ

ℎ = lim

ℎ→03 = 3

B. RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diturunkan sejumlah rumus tentang turunan, yaitu:

1. Jika 𝑦 = 𝑐𝑥^𝑛 dengan 𝑐 dan n konstanta real, maka : ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑐𝑛 𝑥^𝑛−1 Contoh :

𝑦 = 6𝑥⁷→𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 6.7 𝑥⁷⁻¹= 42𝑥⁶

12 2. Jika 𝑦 = 0 dengan 𝑐 ∈ 𝑅, maka ^𝑑𝑦_𝑑𝑥= 0

Contoh : 𝑦 = 2 →𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

3. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓^′(𝑥) + 𝑔^′(𝑥) Contoh :

𝑦 = 𝑥³+ 3𝑥²→𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3𝑥²+ 6𝑥 4. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓^′(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑔^′(𝑥). 𝑓(𝑥) Contoh :

𝑦 = 𝑥²(𝑥²+ 2)

𝑓(𝑥) = 𝑥²→ 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 2 → 𝑔^′(𝑥) = 2𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2𝑥. (𝑥²+ 2) + 2𝑥(𝑥²) = 4𝑥³+ 4𝑥 5. Jika 𝑦 =^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥=^{𝑓′(𝑥).𝑔(𝑥)−𝑔′(𝑥).𝑓(𝑥)}

𝑔²(𝑥)

Contoh :

𝑦 = 𝑥

𝑥²+ 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 → 𝑓^′(𝑥) = 1 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 1 → 𝑔^′(𝑥) = 2𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑥²+ 1 − 2𝑥²

𝑥⁴+ 2𝑥²+ 1= 1 − 𝑥² 𝑥⁴+ 2𝑥²+ 1 6. Jika 𝑦 = [𝑓(𝑥)]^𝑛 maka ^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛[𝑓(𝑥)]^𝑛−1. 𝑓^′(𝑥) Contoh :

𝑦 = √𝑥²+ 1

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 1 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑦 = √𝑥²+ 1 = (𝑥²+ 1)¹² 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =1

2(𝑥²+ 1)¹²⁻¹(2𝑥) = 𝑥[𝑥²+ 1]⁻¹²= 𝑥

√𝑥²+ 1

Latihan 3

1. Tentukanlah turunan dari tiap fungsi 𝑓(𝑥) berikut ini.

a) 𝑓(𝑥) = 6 b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 c) 𝑓(𝑥) = −5𝑥² d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥¹⁰

e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 3𝑥 + 4 f) 𝑓(𝑥) = 3𝑥⁴− 4𝑥²+ 7 g) 𝑓(𝑥) =^𝑥2_𝑥⁻³₂

h) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) i) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)²

13

TES PEMAHAMAN 3

1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 1, maka

𝑝→0lim

𝑓(𝑥+𝑝)−𝑓(𝑥)

𝑝 sama dengan….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 2x e. 𝑥³

2. Diketahui 𝑓(𝑥) = 5𝑥²+ 4𝑥 − 3, maka

ℎ→0lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ = ⋯ . a. 4𝑥 + 3

b. 4𝑥 − 3 c. 3𝑥 + 4 d. 3𝑥 − 4 e. −4𝑥 − 3

3. 𝑓(𝑥) = 4𝑥³², maka 𝑓^′(¹₉) = ⋯.

a. 2 b. 4 c. 6 d. 12 e. 18

4. Diketahui 𝑓(𝑥) = 5𝑥²+ 4𝑥 − 3, maka 𝑓^′(2) = ⋯.

a. 24 b. 25 c. 27 d. 28 e. 30

5. Diketahui 𝑓(𝑥) = 4𝑥³− 2𝑥²+ 3𝑥 + 7, jika 𝑓^′(𝑥) merupakan turunan pertama dari 𝑓(𝑥), maka nilai dari 𝑓′(3) adalah….

a. 99 b. 97 c. 91 d. 63 e. 36

6. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) =_𝑥³₂−¹

𝑥

adalah….

a. 𝑓^′(𝑥) = − ⁶

𝑥³+_𝑥¹₂ b. 𝑓^′(𝑥) = − ⁶

𝑥³− ¹

𝑥²

c. 𝑓^′(𝑥) = ⁶

𝑥³+ ¹

𝑥⁻²

d. 𝑓^′(𝑥) = ⁶

𝑥³+ ¹

𝑥⁻²

e. 𝑓^′(𝑥) = −⁶

𝑥

7. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 2√𝑥 adalah….

a. 𝑓^′(𝑥) = 3𝑥 − ¹

√𝑥

b. 𝑓^′(𝑥) = 3𝑥 + ¹

√𝑥

c. 𝑓^′(𝑥) = 3𝑥²− ¹

√𝑥

d. 𝑓^′(𝑥) = 3𝑥²+ ²

√𝑥

e. 𝑓^′(𝑥) = 3𝑥²− √𝑥

8. Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan 𝑓(𝑥) =^𝑥−5_𝑥+5 adalah….

a. 𝑓^′(𝑥) = − ¹⁰

(𝑥+5)²

b. 𝑓^′(𝑥) = ⁵

(𝑥+5)²

c. 𝑓^′(𝑥) =_(𝑥+5)¹⁰ ₂ d. 𝑓^′(𝑥) =_(𝑥−5)⁵ ₂ e. 𝑓^′(𝑥) = ¹⁰

(𝑥−5)²

9. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) =^3𝑥−4

𝑥+2

adalah….

a. _(𝑥+2)^6𝑥+2₂ b. _(𝑥+2)⁻⁶₂ c. _(𝑥+2)² ₂ d. _(𝑥+2)¹⁰ ₂ e. 3

10. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = (2 − 6𝑥)³ adalah….

a. −18(2 − 6𝑥)² b. −¹₂(2 − 6𝑥)² c. 3(2 − 6𝑥)² d. 18(2 − 6𝑥)² e. ¹₂(2 − 6𝑥)²

14

BAB IV

PENGUNAAN TURUNAN FUNGSI

A. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

Turunan pertama fungsi merupakan gradien garis singgung di titik (𝑥, 𝑦). Dengan demikian gradien garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik (𝑥₁, 𝑦₁) adalah 𝑚 = 𝑓^′(𝑥₁) atau 𝑚 = (^𝑑𝑦

𝑑𝑥)

𝑥=𝑥₁. Persamaan garis singgung kurva dapat dibagi menjadi tiga kasus, yakni persamaan garis singgung di titik (𝑥₁, 𝑦₁) pada kurva, persamaan garis singgung dengan gradien m, dan persamaan garis singgung di titik (𝑎, 𝑏) di luar kurva.

1. Persamaan garis singgung di titik (𝑥1, 𝑦₁) pada kurva.

𝑦 − 𝑦₁= 𝑓^′(𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₁) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 𝑥 − 5 dititik (2,1).

Jawab :

𝑦 = 𝑥²+ 𝑥 − 5 → 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑚 = 𝑓^′(𝑥₁) = 𝑓^′(2) = 2(2) + 1 = 5

Karena m = 5, persamaan garis singgungnya adalah, 𝑦 − 1 = 5(𝑥 − 2)

𝑦 = 5𝑥 − 9 2. Persamaan garis singgung bergradien m.

𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang bergradien 2 dan menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 4𝑥 + 3.

Jawab :

Mencari titik singgung (𝑥1, 𝑦₁) 𝑥₁ = 𝑓^′−1(𝑚) → 2 = 2𝑥₁+ 4 𝑥₁ = −1

𝑦1 = 𝑓(𝑥1) = (−1)²+ 4(−1) + 3

= 1 − 4 + 3

= 0

Titik singgung (𝑥1, 𝑦₁) = (−1,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 − 0 = 2(𝑥 + 1)

𝑦 = 2𝑥 + 2

Jadi persamaan garis singgugnnya adalah 𝑦 = 2𝑥 + 2 3. Persamaan garis singgung melalui titik (𝑎, 𝑏) di luar kurva.

𝑚 =𝑓(𝑎) − 𝑦₁

𝑎 − 𝑥₁ = 𝑓^′(𝑎) Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0,-1) dan menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 3𝑥.

Penyelesaian :

Titik (0, −1) disubsitusikan ke persamaan 𝑦 = 𝑥²+ 3𝑥, diperoleh :

−1 ≠ 0²+ 3(0), maka titik (0,-1) berada diluar kurva. Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥, maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 3.

Mencari nilai a.

Apabila titik singgung kurva adalah (𝑎, 𝑓(𝑎)), maka

15 𝑓(𝑎) − 𝑦₁

𝑎 − 𝑥₁ = 𝑓^′(𝑎) 𝑎²+ 3𝑎 − (−1)

𝑎 − 0 = 2𝑎 + 3 𝑎²+ 3𝑎 + 1 = 2𝑎²+ 3𝑎 𝑎²= 1, maka 𝑎 = ±1 Untuk 𝑎 = 1

𝑚 = 𝑓^′(1) = 2.1 + 3 = 5 Persamaan garis singgungnya:

𝑦 − (−1) = 5(𝑥 − 0) 𝑦 = 5𝑥 − 1

Untuk 𝑎 = −1

𝑚 = 𝑓^′(−1) = 2(−1) + 3 = 1 Persmaan garis singgung:

𝑦 − 𝑦₁= 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) 𝑦 − (−1) = 1(𝑥 − 0) 𝑦 = 𝑥 − 1

Jadi persamaan garis singgung adalah 𝑦 = 5𝑥 − 1 dan 𝑦 = 𝑥 − 1

B. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Misalkan fungsi f dirumuskan oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam interval I dan 𝑓(𝑥) diferensiabel pada setiap 𝑥 dalam interval itu.

1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 maka fungsi 𝑓(𝑥) naik pada 𝐼 2. Jika 𝑓^′(𝑥) < 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 maka fungsi 𝑓(𝑥) turun pada 𝐼 3. Jika 𝑓^′(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 maka fungsi 𝑓(𝑥) stasioner pada 𝐼 Contoh :

Sebuah kurva parabola dinyatakan dengan rumus 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 3. Tentukan interval- interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) merupakan;

(i) Fungsi naik (ii) fungsi turun Penyelesaian :

Dari 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 3, didapat 𝑓^′(𝑥) = −2𝑥 + 2 (i) Supaya 𝑓(𝑥) fungsi naik maka 𝑓^′(𝑥) > 0

−2𝑥 + 2 > 0 → 𝑥 < 1

Jadi fungsi 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 3 naik dalam interval 𝑥 < 1 (ii) Supaya 𝑓(𝑥) fungsi turun maka 𝑓^′(𝑥) < 0

−2𝑥 + 2 < 0 → 𝑥 > 1

Jadi fungsi 𝑓(𝑥) = −2𝑥²+ 2𝑥 + 3 turun dalam interval 𝑥 > 1

C. TITIK STASIONER SUATU FUNGSI DAN JENIS-JENIS EKSTREM

Jika suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) diferensiabel di 𝑥 = 𝑎 dengan 𝑓^′(𝑎) = 0 maka 𝑓(𝑎) adalah stasioner dari fungsi 𝑓(𝑥) di 𝑥 = 𝑎.

Contoh :

Tentukan nilai-nilai stasioner dan koordinat titik stasioner dari 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4 Jawab :

Nilai x yang menyebabkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) stasioner ditentukan oleh hubungan 𝑓^′(𝑎) = 0 Turunan pertama 𝑦 = 𝑥²− 4 adalah 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥

16 𝑓^′(𝑎) = 0 → 2𝑎 = 0 → 𝑎 = 0

Untuk 𝑥 = 0, diperoleh 𝑓(0) = 0²− 4 = −4

Jadi fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4 memiliki nilai stasioner 𝑓(0) = −4 dan koordinat titik stasionernya adalah (0, −4).

Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik stasioner merupakan bakal calon titik ekstrim. Untuk mengetahui bahwa titik stasioner merupakan titik ekstrim, kita menggunakan uji turunan pertama sebagai berikut:

Misalkan 𝑓(𝑥) merupakan fungsi yang diferensial pada 𝑥 = 𝑎 dan mencapai nilai stasioner pada titik itu dengan nilai stasioner 𝑓(𝑎).

1. Jika

𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑛𝑎𝑖𝑘

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

Maka 𝑓(𝑥) mencapai nilai balik maksimum pada 𝑥 = 𝑎 Nilai balik maksimum itu sama dengan 𝑓(𝑎).

2. Jika

𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑛𝑎𝑖𝑘

Maka 𝑓(𝑥) mencapai nilai balik maksimum pada 𝑥 = 𝑎. Nilai balik minimum itu sama dengan 𝑓(𝑎)

3. Jika

𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑛𝑎𝑖𝑘

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑛𝑎𝑖𝑘

Atau

𝑓^′(𝑎) < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

𝑓^′(𝑎) = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑎 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥)𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓^′(𝑎) > 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑓(𝑥) 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛

Maka 𝑓(𝑎) bukan nilai ekstrim.

D. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi

Misalkan fungsi 𝑓(𝑥) kontinu dan diferensiabel pada nilai-nilai x dalam daerah interval tertutup 𝐷𝑓

dan 𝑎 ∈ 𝐷𝑓.

1. Jika 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 maka 𝑓(𝑎) disebut nilai maksimum fungsi 𝒇(𝒙) 2. Jika 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 maka 𝑓(𝑎) disebut nilai minimum fungsi 𝒇(𝒙) Contoh :

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 dalam interval −2 ≤ 𝑥 ≤ 0 Jawab :

Turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 adalah 𝑓^′(𝑥) = 2𝑥 − 4 Nilai stasioner 𝑓(𝑥)diperoleh dari 𝑓^′(𝑥) = 0

17 Sehingga 2𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥 = 2

Nilai stasioner 𝑓(2) = 2²− 4(2) = −4. Dengan uji turunan pertama dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa 𝑓(2) = −4 merupakan nilai balik minimum fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 dalam interval −2 < 𝑥 < 0 dapat ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1

Dalam interval −2 < 𝑥 < 0 tidak ada nilai balik minimum, sebab nilai balik minimum terjadi pada 𝑥 = 2

Langkah 2

Nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 pada ujung-ujung interval

• 𝑓(−2) = (−2)²− 4(−2) = 12; 𝑓(0) = 0²− 4(0) = 0 Dari perhitungan pada Langkah 2 diketahui nilai maksimum 𝑓(𝑥) = 12 pada 𝑥 = −2 dan nilai minimum 𝑓(𝑥) = 0 pada 𝑥 = 0

18

Latihan 4

1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 3𝑥 + 1 di titik (1,5) 2. Tentukan persamaan garis yang bergradien 5 dan menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥²− 3𝑥 + 2 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,4) dan menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥²− 𝑥 + 3 4. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun pada 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4𝑥 + 5

5. Tentukanlah titik stasioner dan jenis nilai stasioner dari 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 3𝑥²+ 2

19

TES PEMAHAMAN 4

1. Persamaan garis singgung fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³ di titik (2,8) adalah….

a. 𝑦 + 12𝑥 − 16 = 0 b. 𝑦 − 12𝑥 + 24 = 0 c. 𝑦 − 12𝑥 + 16 = 0 d. 𝑦 − 12𝑥 − 16 = 0 e. 𝑦 + 12𝑥 + 16 = 0

2. Persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑥²− 6𝑥 + 1 di titik 𝑃(1, −4) adalah….

a. 4𝑥 − 𝑦 = 0 b. 4𝑥 + 𝑦 = 0 c. 4𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 d. 4𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 e. 4𝑥 − 𝑦 + 8 = 0

3. Persamaan garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥²+ 2√𝑥 − 1 di titik yang berabsis 1 adalah….

a. 4𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 b. 4𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 c. 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 d. 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 e. 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

4. Garis singgung pada kurva 𝑦 =

−2𝑥²+ 6𝑥 + 7 yang terletak tegak lurus 𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0 adalah….

a. 2𝑥 + 𝑦 + 15 = 0 b. 2𝑥 + 7𝑦 − 15 = 0 c. 2𝑥 + 𝑦 − 15 = 0 d. 4𝑥 − 2𝑦 + 29 = 0 e. 4𝑥 + 2𝑦 − 29 = 0

5. Persamaan garis singgung grafik 𝑦 = 𝑥²− 4𝑥 + 3 yang sejajar dengan garis 𝑦 = 2𝑥 + 3 adalah….

a. 𝑦 − 2𝑥 − 10 = 0 b. 𝑦 − 2𝑥 + 6 = 0 c. 𝑦 − 2𝑥 + 2 = 0 d. 𝑦 − 2𝑥 + 8 = 0 e. 𝑦 − 2𝑥 + 12 = 0

6. Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 3𝑥²+ 5 menurun untuk nilai-nilai….

a. 𝑥 < −2 atau 𝑥 > 2 b. 0 < 𝑥 < 2

c. −2 < 𝑥 < 0 d. 𝑥 < 0 e. 1 < 𝑥 < 2

7. Grafik dari fungsi 𝑓(𝑥) =¹₃𝑥³+ 𝑥²− 15𝑥 + 1 naik untuk….

a. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 b. 𝑥 < −3 atau 𝑥 > 5 c. 𝑥 < −5 atau 𝑥 > 3 d. −5 < 𝑥 < 3 e. −3 < 𝑥 < 5 8. Fungsi 𝑓(𝑥) =^𝑥2+3

𝑥−1 turun untuk nilai 𝑥 yang memenuhi….

a. −3 < 𝑥 < −1

b. −3 < 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 1 c. −1 < 𝑥 < 1 atau 1 < 𝑥 < 3 d. 𝑥 < −3 atau 𝑥 > 1

e. 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 4 9. Nilai minimum fungsi f yang

dirumuskan dengan 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 4 dalam interval −4 ≤ 𝑥 ≤ 3 adalah….

a. -3 b. -2 c. 6 d. 9 e. 48

10. Nilai minimum fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 3𝑥²− 24𝑥 + 7 adalah….

a. -151 b. -137 c. -55 d. -41 e. -7

20

DAFTAR PUSTAKA

Hasbi, A. R. (2010). Lulus Ujian Matematika Ringkasan, rumus-rumus, soal latihan, persiapan UNAS &

Ujian Masuk Perguruan Tinggi. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Kurnianingsih, S., Kuntarti, & Sulistiyono. (2007). Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semseter 2. Jakarta: Esis.

Purcell, E. J., & Varberg, D. (1990). Kalkulus dan Geometri Analitik. Jakarta: Erlangga.

Sembiring, S., Purba, B., Cunayah, C., & Irawan, E. I. (2012). Matematika-Pendidikan Berkarakter Bangsa untuk SMA Kelas XI IPS/Bahasa. Bandung: Yrama Widya.

Simangunsong, W. (1997). Soal dan Penyelesaian UMPTN Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.

Tampomas, H. (1999). Seribu Pena-Matematika SMU Kelas 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Wirodikromo, S. (2001). Matematika untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Wirodikromo, S. (2007). Matematika untuk SMA Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.