Penulis dilahirkan di Sragen pada tanggal 22 November 1974 dari ayah Wagimin Prapto Suwito dan ibu Tuginem. Penulis merupakan putra kedua dari lima bersaudara.
Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Gondang, Sragen dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor lewat jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Di IPB Bogor, penulis memilih Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, lulus pada tahun 2001.
Tahun 2001 penulis diterima sebagai staf pengasuhan SMA Madania
Boarding School, Parung Bogor. Tahun 2003 diterima sebagai staf pengajar di SMA Labschool Cinere, Depok. Tahun 2001 sampai sekarang menjadi pengajar MA Darussalam, Pondok Pesantren Darussalam, Cilangkap, Cimanggis Depok.
Melalui beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia, pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (Program Magister), dengan mengambil Mayor Matematika Terapan dan lulus tahun 2009.
©
Hak Cipta milik IPB, tahun 2009
Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Kupersembahkan tesis ini untuk
Orangtuaku terkasih, istriku tercinta Ayu Rusmiati,
dan anakku tersayang Alya Paradisa dan Bidari Nayla Azmi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... vi DAFTAR GAMBAR ... vii DAFTAR LAMPIRAN ... viii PENDAHULUAN
Latar Belakang ... 1 Tujuan Penelitian ... 2
TINJAUAN PUSTAKA
Diagram Kotak Garis ... 3 Dekomposisi Nilai Singular Biasa ... 4 Dekomposisi Nilai Singular Kekar ... 5 Analisis Biplot ... 7 Ukuran Kesuaian Biplot ... 11 DATA DAN METODE PENELITIAN
Data Penelitian ... 12 Peubah dan Objek Penelitian ... 12 Metode penelitian ... 14 HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Eksplorasi Data ... 15 Gambaran Umum Prestasi Provinsi ... 18 Analisis Biplot dengan DNS Biasa dan Kekar ... 19 Eksplorasi Data Ekstrim ... 26 Analisis Biplot Data Ekstrim dengan DNS Biasa dan Kekar ... 27
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan ... 31 Saran ... 32 DAFTAR PUSTAKA ... 33 DAFTAR LAMPIRAN ... 34
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Nama peubah ... 12 2 Nama objek pengamatan (provinsi) ... 13 3 Klasifikasi nilai mutu ... 13 4 Tebaran pencilan ... 16 5 Matriks korelasi Pearson data asal ... 17 6 Ukuran kesuaian biplot data asal ... 20 7 Matriks korelasi Pearson data ekstrim ... 27 8 Ukuran kesuaian biplot data ekstrim ... 28
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Diagram kotak garis ... 3 2 Diagram kotak garis data prestasi mahasiswa IPB ... 15 3 Peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK ... 18 4 Biplot biasa data asal ... 19 5 Biplot kekar data asal ... 19 6 Diagram kotak garis data ekstrim ... 26 7 Biplot biasa data ekstrim ... 28 8 Biplot kekar data ekstrim ... 28
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK ... 35 2 Matriks korelasiPearson data asal ... 36 3 Matriks korelasi Pearson data ekstrim ... 37 4 Tabel nilai rata-rata mata kuliah dan IPK TPB IPB 2007/2008 ... 38 5 Tabel nilai rata-rata mata kuliah dan IPK TPB IPB 2007/2009 dengan
data ekstrim ... 39 6 Statistik deskriptif data asal dan data ekstrim ... 40 7 Biplot biasa data asal ... 41 8 Biplot kekar data asal ... 42 9 Biplot biasa data ekstrim ... 43 10 Biplot kekar data ekstrim ... 44 11 Koordinat biplot biasa data asal ... 45 12 Koordinat biplot kekar data asal ... 46 13 Koordinat biplot biasa data ekstrim ... 47 14 Koordinat biplot kekar data ekstrim ... 48
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis Peubah Ganda (APG) merupakan bentuk lain dari aljabar linear terapan dalam matematika. Misalkan, suatu matriks X berukuran nxp dapat menjelaskan dengan adanya n objek dan masing-masing objek tersebut diamati p
peubah. Analisis ini diharapkan dapat memberikan keterangan dengan memanipulasi data, meringkas, dan memperagakan sehingga lebih mudah memahami dan mengenal adanya hubungan atau pola tidak acak dalam data serta kemungkinan penyimpangannya. Salah satu analisis yang didasarkan pada dekomposisi nilai singular (DNS) adalah analisis biplot. Pada dasarnya, analisis ini merupakan suatu alat statistika yang menyajikan posisi relatif n objek dengan p
peubah secara simultan dalam dua dimensi. Analisis ini dapat mengkaji hubungan antara objek pengamatan dan peubah. Selain itu dapat dilihat juga ciri-ciri masing- masing objek dan peubahnya.
Analisis biplot dapat dikonstruksi dengan pendekatan DNS biasa dan kekar. Pendekatan DNS biasa memerlukan matriks data tanpa pencilan atau data ekstrim. Jika dalam suatu matriks data terdapat data pencilan maka penghitungan terhadap matriks tersebut tidak memberikan hasil yang mencerminkan data sebenarnya. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS biasa mempunyai sifat meminimalkan jarak antara matriks data dengan matriks dugaannya dengan norma
Euclid atau norma L2. DNS biasa akan memberikan biplot yang
memvisualisasikan dari segugus objek dan peubah dalam bentuk grafik bidang datar sehingga ciri-ciri peubah dan objek pengamatan serta posisi relatif antar objek dengan peubah dapat dianalisis.
Permasalahan yang muncul, apabila dalam suatu penelitian ditemukan data pencilan, biplot dengan DNS biasa belum menjamin gambaran pemetaan antara objek pengamatan dan peubah oleh sebab itu diberikan sebuah pendekatan DNS secara iteratif yang disebut pendekatan DNS kekar. Pendekatan ini digunakan untuk menduga sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan sehingga hasil dugaan tersebut tahan terhadap pencilan. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS kekar mempunyai sifat meminimalkan jarak antara matriks
data dengan matriks dugaannya dengan jarak blok kota (city block) atau norma
L1, dan implementasinya norma ini sebagai alternating L1 regression. Analisis
biplot yang didasarkan pendekatan DNS kekar dapat memberikan gambaran objek pengamatan dan peubah yang tahan terhadap pencilan.
Institut Pertanian Bogor (IPB) sebagai salah satu perguruan tinggi negeri yang dipercaya untuk mendidik mahasiswa dari seluruh provinsi di Indonesia. Mahasiswa IPB hampir mewakili seluruh provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi dan pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Indikator prestasi mahasiswa biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi nilai mutu tiap mata kuliah yang diambil dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK)nya. Pencapaian prestasi tersebut salah satunya dipengaruhi oleh mutu masukan, dimana seleksi penerimaan mahasiswa baru IPB dapat melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), jalur ujian tertulis atau dikenal Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN), dan jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD). Hasil seleksi tersebut menunjukan mahasiswa yang menuntut ilmu di IPB sangat beragam latar belakang kualitas pendidikan antar sekolah dan antar provinsinya.
Mutu masukan dari BUD dan non BUD memungkinkan terdapat pencilan, sehingga untuk mendapatkan pemetaan provinsi berdasarkan peubah mata kuliah dan IPK mendorong untuk membandingkan analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar.
Tujuan Penelitian:
1 Membandingkan analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar untuk pemetaan provinsi berdasarkan prestasi mahasiswa (studi kasus mahasiswa TPB IPB tahun akademik 2007/2008).
2 Memperoleh gambaran bahwa pendekatan DNS kekar lebih tahan
terhadap data pencilan ekstrim dibanding pendekatan DNS biasa.
TINJAUAN PUSTAKA
Diagram Kotak Garis
Metodediagram kotak garis atau boxplot merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran dan kemiringan pola sebaran serta dapat digunakan untuk mengidentifikasi adanya pencilan.
Gambar 1 Diagram kotak garis
Selisih Q3 dan Q1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data. Jika selisihnya semakin besar maka data semakin beragam, dan sebaliknya jika selisihnya semakin kecil maka data semakin kurang beragam. Data yang terletak di antara data terkecil dan Q1 atau terletak di antara Q3 dan data terbesar bisa terdapat pencilan.
Pencilan (outlier) didefinisikan sebagai suatu pengamatan yang tampak bertentangan atau tidak konsisten terhadap pengamatan yang lain. Pencilan antara lain dapat dideteksi jika pengamatan lebih besar dari Q3 + k(Q3 - Q1) atau lebih kecil dari Q1 – k (Q3 - Q1). Umumnya k≥ 1.5, makin besar nilai k, makin ekstrim pencilan yang dihasilkan (Tukey, 1979).
• nilai maksimum • • Q3 = kuartil ke-3 Q2= median Q1 = kuartil ke-1 • • • nilai minimum
Dekomposisi Nilai Singular Biasa
Dekomposisi Nilai Singular (DNS) dari matriks data adalah suatu alat yang dapat digunakan untuk memahami struktur data. Beberapa metode yang didasarkan pada DNS ialah Analisis Komponen Utama (AKU), Analisis Biplot, dan Analisis Korespondensi. Misalkan X adalah matriks data peubah ganda dengan n objek pengamatan dan p peubah yang terkoreksi terhadap rata-ratanya. Jika matriks X berpangkat r dengan r ≤ min {n,p}, maka dengan menggunakan DNS biasa diperoleh:
nXp = nUrLrA′p (2.1)
Matriks U dan A merupakan matriks ortonormal kolom, di mana U′U = A′A = Ir.
Matriks A adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri atas eigenvektor ai yang
berpadanan dengan eigennilai λi dari matriks X′X. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang berpadanan dengan eigennilai-eigennilai dari matriks XX′,
U = , , , ,
sedangkan matriks L adalah matriks diagonal yang unsur-unsur diagonalnya merupakan akar kuadrat dari eigennilai-eigennilai tak nol matriks X′X atau matriks XX′, yaitu L = diag( , , …, ), di mana nilai-nilai dari λi memenuhi sifat ≥ ≥…≥ > 0 dan disebut nilai singular. Selain itu DNS biasa juga dapat ditulis dalam bentuk:
X = ∑ λ ′ (2.2)
Bila r > 2 dan matriks data X ingin digambarkan pada ruang berdimensi s dengan
s < r, dapat dilakukan suatu pendekatan terbaik dengan suatu matriks Y
berpangkat s, sehingga diperoleh jarak minimum matriks Y ke matriks X yaitu:
min = min ∑ ∑ (2.3)
Matriks Y tersebut dapat ditulis dalam bentuk DNS biasa:
Y = nUsLsA′p (2.4)
dengan U dan A matriks ortonormal kolom yang berukuran nxs dan pxs, L adalah matriks diagonal dengan nilai singular: λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ ….≥ λs > 0 (Johnson & Wichern, 2002).
Dekomposisi Nilai Singular Kekar
Misalkan X* adalah matriks data asal yang di dalamnya terdapat data
pencilan dengan ukuran nxp yang menggambarkan n objek pengamatan dan p
peubah. Pembangkitan eigenvektor dan eigennilai tergantung jenis data asal yang digunakan, apabila data yang digunakan memiliki ragam yang relatif sama maka digunakan matriks koragam. Sebaliknya jika data yang digunakan memiliki ragam yang relatif tidak sama, maka digunakan matriks korelasi.
Pada metode DNS kekar, eigenvektor dapat dibangkitkan dari matriks koragam. Misalkan X matriks data yang terpusatkan terhadap median.
nXp = n - (n11median X*.j)) (2.5)
di mana n11 adalah vektor yang semua unsurnya bernilai 1 dan X*.j = ,
, , ′ adalah vektor kolom ke-j dari matriks X* untuk j =1, 2, . . ., p. Matriks koragam S dari matriks X adalah:
pSp = X′X, (2.6)
sedangkan matriks korelasi R dari matriks X adalah:
pRp = D-1/2SD-1/2 (2.7)
di mana D-1/2 = diag
√ _ ,√ _ ,…, _ adalah matriks diagonal
dengan MADN(X*.j) = Median{ median . }/0.6745. MADN
(Median Obsolute Deviation Normalized) adalah salah satu alternatif mencari simpangan baku yang kekar (Moronna et al., 2006).
Untuk mengetahui bagaimana mencari jarak, terdapat fungsi jarak yang dikenal sebagai fungsi jarak Minkowski. Norma vektor ke-p pada suatu vektor
v = (v1,. . ., vm)’ didefinisikan sebagai berikut:
p= ( ∑ | |p )1/p , untuk p≥ 1 (2.8) Jarak Minkowski antara dua vektor v = (v1,. . ., vm)’ dan u = (u1,. . ., um)’ didefinisikan sebagai berikut:
p= ( ∑ | |p )1/p (2.9)
Ruang vektor yang berhubungan dengan fungsi tersebut dikenal sebagai ruang
Minkowski dan dinotasikan dengan Lp. Untuk p = 1 maka persamaan (2.9)
1= ∑ | | (2.10) Konsep (2.10) dikenal sebagai norma L1.
Untuk p = 2 maka persamaan (2.9) didefinisikan sebagai berikut:
2= ( ∑ | |2 )1/2 (2.11)
Konsep (2.11) dikenal sebagai norma L2.
Kesesuaian antara matriks yang merupakan pendekatan terbaik bagi
matriks data X menggunakan norma L1 adalah meminimalkan fungsi:
min ∑ ∑ (2.12)
dengan . Prosedur mendapatkan sejumlah
eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan secara iteratif pada persamaan (2.12) dikenal dengan metode DNS kekar pada L1, dan implementasinya norma ini
sebagai alternating L1 regression. Metode ini digunakan untuk menduga
sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan sehingga hasil dugaan tersebut tahan terhadap pencilan.
Algoritma DNS kekar
a) Dimulai dengan menentukan dugaan awal eigenvektor kiri u1 dari XX′.
b) Masing-masing kolom j matriks X, dengan j =1,2,…,p, ditentukan cj
sebagai koefisien regresi L1dengan meminimumkan ∑
c) Menghitung hasil perkiraan eigenvektor kanan yaitu a1 = dengan .
adalah lambang norma Euclid.
d) Menggunakan hasil perkiraan eigenvektor kanan untuk memperhalus
perkiraan eigenvektor kiri. Masing-masing baris i matriks X, dengan
i=1,2,3,…,n, ditentukan di sebagai koefisien regresi L1 dengan
meminimumkan ∑ .
e) Menghitung hasil perkiraan eigenvektor kiri yaitu u1= .
f) Ulangi hasil langkah (e) dari (b) sampai (e) kembali hingga diperoleh dugaan eigenvektor kiri u1 dan eigenvektor kanan a1yang konvergen.
Proses ini memberikan pasangan eigenvektor pertama yaitu eigenvektor kiri dan eigenvektor kanan. Setelah kreteria nilai tersebut konvergen, eigennilai λ1 pada L1dapat diperoleh dengan meminimumkan:
∑ ∑ λ (2.13) Untuk yang kedua dan selanjutnya DNS menempatkan X kembali dengan matriks turunan yang berlaku dengan mengurangi bentuk yang baru.
X←X - λ ′ (2.14)
Analisis Biplot
Analisis Biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data X dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor yang berada dalam ruang berdimensi tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah (dua atau tiga) sekaligus yang mewakili vektor-vektor baris X sebagai gambaran objek dengan vektor-vektor yang mewakili kolom matriks X sebagai gambaran peubah. Dari peragaan ini diharapkan akan diperoleh gambaran tentang ciri-ciri peubah dan objek pengamatan serta posisi relatif antar objek pengamatan dengan peubah dapat dianalisis (Jollife, 2002).
Dari tampilan biplot tersebut, ada beberapa informasi yang dapat diperoleh, di antaranya ialah:
1 Kedekatan antar objek atau kedekatan letak posisi dua objek diinterpretasikan sebagai kemiripan sifat dua objek. Semakin dekat letak dua buah objek maka sifat yang ditunjukan oleh nilai-nilai peubahnya semakin mirip.
2 Panjang vektor peubah sebanding dengan keragaman peubah tersebut.
Semakin panjang vektor peubah maka keragamannya semakin tinggi.
3 Nilai sudut antara dua vektor peubah menggambarkan korelasi kedua peubah. Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua peubah maka semakin tinggi korelasinya. Jika sudut yang dibuat tegak lurus maka kedua peubah tersebut tidak saling berkorelasi. Sedangkan jika sudutnya tumpul yaitu berlawanan arah maka korelasinya negatif.
4 Nilai peubah pada suatu objek dapat menginformasikan keunggulan dari setiap objek. Objek yang terletak searah dengan arah dari suatu peubah maka nilai objek tersebut di atas nilai rata-rata, jika berlawanan berarti objek tersebut nilanya di bawah rata-rata, dan jika hampir tegak lurus berarti nilainya mendekati rata-rata.
Analisis biplot didasarkan pada DNS biasa dari matriks data yang sudah terkoreksi terhadap rata-ratanya. Misalkan n adalah matriks data peubah ganda
yang terdiri n objek pengamatan dan p peubah. Selanjutnya matriks n
dilakukan tranformasi terhadap nilai rata-ratanya sehingga diperoleh matriks nXp
nXp = n - (n1n ) (2.15)
di mana n1n adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 1.
Matriks koragam S dari matriks X adalah:
pSp = X′X, (2.16)
sedangkan matriks korelasi R dari matriks X adalah:
pRp = D-1/2SD-1/2 (2.17)
di mana D-1/2 = diag
√ ,√ ,…, adalah matriks diagonal dengan unsur
diagonal utama ; i = 1, 2, . . ., p. Unsur matriks korelasi rij juga merupakan cosinus sudut antara peubah ke-i dan ke-j:
cos( ) = rij (2.18)
Misalkan matriks X berpangkat r dengan r≤ min {n,p}. Dengan DNS biasa akan diperoleh seperti persamaan (2.1), yaitu:
nXp = nUrLrA′p. (2.19)
Dalam Jollife (2002), didefinisikan Lα untuk 0 ≤ α ≤ 1, adalah matriks diagonal dengan elemen-elemen , , …, , definisi sama untuk L1-α
dengan elemen-elemennya , , …, dan jika G = ULα dan
′ ′,maka persamaan (2.19) dapat ditulis menjadi
nXp = nUrLrA′p
=nUr A′p
= nGrH′p (2.20)
Untuk menggambarkan matriks X pada ruang berdimensi k < r, dapat didekati menggunakan matriks berpangkat k,
(k) = G(k)H′(k)
Biasanya digunakan k = 2, sehingga koordinat-koordinat G dan H dapat digambarkan dalam ruang berdimensi 2 (Lipkovich & Smith, 2002). Pengambilan nilai α dapat digunakan pada kisaran [0,1], untuk nilai α tertentu berimplikasi dalam interpretasi biplot.
a) Jika α = 0, maka pada (2.19) diperoleh G = U dan H′=LA′akibatnya:
X′X = (GH′)’ (GH′) = HG′G H′ = HU′UH′ = HH′ = (n-1)S (2.22) diperoleh:
9 ′ = (n-1)sij, di mana sij adalah koragam peubah ke-i dan ke-j .
Artinya, penggandaan titik antara vektor hi dan hj akan memberikan
gambaran koragam antara peubah ke-i dengan peubah ke-j. 9 Panjang vektor =√ 1si dengan si = √ .
Artinya, panjang vektor tersebut akan memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang vektor hi dibandingkan dengan
vektor hjmaka makin besar keragaman peubah hi dibanding peubah hj.
9 Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh cosinus sudut antara
hi dan hj, yaitu: cos = ′
= rij, yang artinya:
Bila sudut antara kedua peubah tersebut mendekati 0 maka makin besar korelasi positif antara kedua peubah tersebut dan korelasinya sama dengan 1 diperoleh jika = 0. Bila sudut antara kedua peubah tersebut mendekati maka makin besar korelasi negatif kedua peubah tersebut dan korelasinya sama dengan -1 jika = . Bila sudut makin dekat terhadap
, maka makin kecil korelasi kedua peubah tersebut dan korelasinya sama dengan 0 atau tidak ada korelasi jika sudut = π.
9 Jika X berpangkat p, maka (xi – xj)’S-1(xi – xj) = (n-1)(gi - gj)’(gi - gj)
Artinya, kuadrat jarak Mahalanobis antara xi dengan xj akan sebanding
b) Jika α = 1, maka pada (2.19) diperoleh G=UL dan H′ = A′, atau H = A dengan H′ = A′A = I, akibatnya: XX′= (GH′ ′ ′ = GH′ ′ = GA′ ′ = GG′ (2.23) diperoleh: 9 (xi – xj) (xi – xj) = (gi - gj) (gi - gj) (2.24)
Artinya, jarak Euclid antara xi dengan xj akan sama dengan jarak Euclid
antara vektor-vektor yang merepresentasikan gi dan gj.
9 Posisi gi dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan
menggunakan r komponen utama pertama.
9 Vektor lajur hjsama dengan vektor aj yang merupakan koefisien untuk
komponen utama ke-j.
Untuk α ∈ (0,1), maka interpretasi pada korelasi serta jarak Euclid dan
Mahalanobis tidak berlaku, sedangkan posisi relatif gi dan hj masih
mencerminkan besaran objek ke-i pada peubah ke-j, xij= ′ .
Baris matriks G berisi koordinat titik-titik yang menggambarkan n objek pada biplot, hasil plot terhadap n titik disebut g-plot. Sedangkan kolom matriks H
berisi koordinat titik-titik p peubah yang digambarkan sebagai vektor p peubah pada biplot, hasil plot terhadap vektor p disebut h-plot. Biplot adalah upaya menggabungkan antara h-plot dan g-plot dalam ruang berdimensi rendah.
Analisis biplot yang didasarkan pada DNS kekar, mengambil pendekatan matriks X berpangkat dua yaitu :
X L (2.26)
dengan L dan R adalah matriks yang terdiri dua eigenvektor kiri dan eigenvektor kanan pertama pada X (Hawkins et al., 2001). Kemudian, matriks L dan R
digunakan sebagai matriks G dan H yang masing-masing merupakan gambaran vektor-vektor baris dan kolom matriks X.
Ukuran Kesuaian Biplot
Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data
X dengan menggunakan matriks GH′, tetapi juga koragam dan korelasi antar peubah, serta bentuk dan kemiripan antar objek. Hasil perkalian HH′ sebagai pendekatan dari matriks X′X yang berkaitan dengan ragam-koragam dan korelasi antar peubah, sedangkan matriks GG′ sebagai pendekatan bagi XX′ yang berkaitan dengan ukuran kemiripan antar objek. Selanjutnya Gabriel mengemukakan ukuran kesuaian biplot (Goodness of Fit of Biplots) sebagai ukuran pendekatan dalam bentuk sebagai berikut:
1) Kesuaian data: GF(X, GH′) = ′ ′ ′ ′ ′ (2.27) 2) Kesuaian peubah: GF(X'X,HH′) = ′ ′ ′ ′ ′ ′ (2.28) 3) Kesuaian objek: GF(XX', GG′) = ′ ′ ′ ′ ′ ′ (2.29)
DATA DAN METODE PENELITIAN
Data Penelitian
Penelitian ini menggunakan data sekunder dari nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB Bogor tahun akademik 2007/2008. Pelaksanaan penelitian ini melibatkan semua mahasiswa TPB yang terdiri 3001 mahasiswa yang dikelompokkan berdasarkan provinsi dan seleksi masuk IPB, yaitu melalui jalur BUD atau non BUD. Hasil matriks data peubah ganda berukuran 54x15 yang menunjukkan 24 provinsi asal daerah mahasiswa BUD dan 30 provinsi mahasiswa non BUD. Dari setiap provinsi dan jalur masuk IPB, diamati rata-rata nilai mutu 14 mata kuliah dan nilai IPK mahasiswanya.
Sebagai gambaran bahwa biplot dengan DNS kekar lebih tahan terhadap data pencilan, diberikan data ekstrim pada peubah mata kuliah Biologi dari objek provinsi NAD (non BUD) dan peubah mata kuliah Pengantar Matematika dari objek provinsi PAPUA (non BUD) yang masing-masing sebesar 7.50 dan 10.50. Hasil biplot kemudian dibandingkan hasil biplot dengan metode biasa.
Peubah dan Objek Penelitian
Peubah yang digunakan dalam penelitian ini merupakan mata kuliah selama di TPB IPB yang disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nama peubah
No Peubah Kode
1 Agama AGM
2 Biologi BIO
3 Ekonomi Umum EKU
4 Fisika FIS
5 Bahasa Indonesia IND
6 Bahasa Inggris ING
7 Kalkulus KAL
8 Kimia KIM
9 Pengantar Kewirausahaan KWR
10 Pengantar Matematika MTK
11 Olah Raga dan Seni ORS
12 Pengantar Ilmu Pertanian PIP 13 Pengantar Kewarganegaraan PKN
14 Sosiologi Umum SOU
Nilai peubah AGM, BIO, EKU, FIS, IND, ING, KAL, KIM, KWR, MTK, ORS, PIP, PKN, SOU dan IPK merupakan rata-rata nilai mutu mata kuliah dan IPK mahasiswa.
Objek pengamatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah provinsi asal mahasiswa jalur BUD dan non BUD yang disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nama objek pengamatan (provinsi)
Provinsi Seleksi Kode Provinsi Seleksi Kode
NAD 1 Non BUD 1 JATIM 1 Non BUD 28
NAD 2 BUD 2 JATIM 2 BUD 29
SUMUT 1 Non BUD 3 BALI Non BUD 30
SUMUT 2 BUD 4 NTB Non BUD 31
SUMBAR 1 Non BUD 5 NTT 1 Non BUD 32
SUMBAR 2 BUD 6 NTT 2 BUD 33
RIAU 1 Non BUD 7 KALBAR Non BUD 34
RIAU 2 BUD 8 KALTENG 1 Non BUD 35
JAMBI 1 Non BUD 9 KALTENG 2 BUD 36
JAMBI 2 BUD 10 KALSEL 1 Non BUD 37
SUMSEL 1 Non BUD 11 KALSEL 2 BUD 38
SUMSEL 2 BUD 12 KALTIM 1 Non BUD 39
BENGKULU Non BUD 13 KALTIM 2 BUD 40
LAMPUNG 1 Non BUD 14 SULUT Non BUD 41
LAMPUNG 2 BUD 15 SULSEL 1 Non BUD 42
KEP.BABEL. 1 Non BUD 16 SULSEL 2 BUD 43
KEP.BABAL. 2 BUD 17 SULTRA 1 Non BUD 44
DKI JAKARTA 1 Non BUD 18 SULTRA 2 BUD 45
DKI JAKARTA 2 BUD 19 SULTENG 1 Non BUD 46
JABAR 1 Non BUD 20 SULTENG 2 BUD 47
JABAR 2 BUD 21 GORONTALO Non BUD 48
BANTEN 1 Non BUD 22 MALUKU 1 Non BUD 49
BANTEN 2 BUD 23 MALUKU 2 BUD 50
JATENG 1 Non BUD 24 MALUT 1 Non BUD 51
JATENG 2 BUD 25 MALUT 2 BUD 52
DIY 1 Non BUD 26 PAPUA 1 Non BUD 53
DIY 2 BUD 27 PAPUA 2 BUD 54
Klasifikasi nilai mutu berdasarkan aturan akademik di IPB disajikan pada Tabel 3. Tabel 3 Klasifikasi nilai mutu
No Huruf Mutu Nilai Mutu
1 A 4
2 B 3
3 C 2
4 D 1
Metode Penelitian
Diagram kotak garis digunakan untuk memperoleh gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran, kemiringan pola sebaran dan pencilan. Matriks korelasi Pearson yang menggambarkan tingkat keeratan hubungan linear antar peubah diperoleh dengan software Minitab 14.
Data dianalisis dengan dua pendekatan. Pendekatan I digunakan untuk memperoleh biplot dengan DNS biasa (menggunakan paket Biplot versi 3.2, Ardana (2008) software Mathematica 6.0). Pendekatan II digunakan untuk
memperoleh biplot dengan DNS kekar (menggunakan paket RobustBiplotPack
Versi 1.1, Ardana (2009) software Mathematica 6.0).
Pendekatan I dengan DNS biasa.
1. Transformasi matriks data ke bentuk matriks koragam yang terstandarisasi terhadap rata-rata.
2. Analisis dengan menggunakan paket Biplot versi 3.2, Ardana (2008)
software Mathematica 6.0 dengan memilih nilai α = 0.
3. Menelusuri ketepatan biplot dengan menggunakan ukuran kesuaian dari Gabriel (2002).
Pendekatan II dengan DNS kekar.