Ruang Fungsi

BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

A. Ruang Fungsi

Pertama-tama akan dibahas mengenai grup, ring, dan lapangan.

Definisi 3.1.1

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tidak kosong, maka produk Cartesian 𝐴×𝐵 dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan (𝑎,𝑏) dari 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵, yaitu :

𝐴×𝐵= 𝑎,𝑏 |𝑎 ∈ 𝐴,𝑏 ∈ 𝐵

Contoh 3.1.1

Jika 𝐴= 1,2,3 dan 𝐵= 2,6 , maka

𝐴×𝐵= 1,2 , 1,6 , 2,2 , 2,6 , 3,2 , 3,6 𝐵×𝐴 = 2,1 , 2,2 , 2,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3

Definisi 3.1.2

Misalkan 𝑆 adalah himpunan tidak kosong, maka operasi biner ∗ pada 𝑆

adalah pemetaan ∗:𝑆×𝑆 → 𝑆 dimana untuk setiap (𝑎,𝑏) ∈ 𝑆×𝑆 terdapat tunggal 𝑐 ∈ 𝑆 sehingga ∗ 𝑎,𝑏 = 𝑐 , atau dapat ditulis 𝑎 ∗ 𝑏=𝑐 ∈ 𝑆.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:

1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan (𝑎,𝑏)dalam 𝑆×𝑆 dikawankan dengan tepat satu nilai 𝑎 ∗ 𝑏.

2. 𝑆 tertutup di terhadap operasi ∗ , yaitu untuk setiap pasangan berurutan (𝑎,𝑏)dalam 𝑆×𝑆maka 𝑎 ∗ 𝑏masih dalam 𝑆.

Contoh 3.1.2

Diketahui 𝑍 himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan ∗ dengan aturan

𝑥 ∗ 𝑦= 𝑥+𝑦 (operasi penjumlahan pada bilangan bulat). Operasi penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup, ini didapat dari sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat. Operasi ∗ terdefinisikan dengan baik karena rumus 𝑥+𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑍×𝑍

(ini juga menurut sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). Oleh karena itu, operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah suatu operasi biner.

Definisi 3.1.3

Suatu grup (𝐺,∗) terdiri dari himpunan tidak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ yang didefinisikan pada G dan memenuhi sifat-sifat berikut :

1. Operasi biner ∗ bersifat tertutup, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺.

2. Operasi biner ∗ bersifat asosiatif, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧, untuk semua 𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝐺.

3. Terdapat 𝑒 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑒= 𝑒 ∗ 𝑥=𝑥, untuk semua

𝑥 ∈ 𝐺.

𝑒 disebut elemen identitas dari 𝐺.

4. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺, terdapat 𝑥−1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑥−1 =

𝑥−1∗ 𝑥 =𝑒.

𝑥−1 disebut invers dari 𝑥.

Contoh 3.1.3

1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan + didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥+𝑦, merupakan suatu grup.

Operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat penjumlahan bilangan real. Rumus 𝑥+𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑅×𝑅. Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat : operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat

asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 0 sehingga 𝑥+ 0 = 0 +𝑥=𝑥

untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 terdapat invers yaitu – 𝑥

sedemikian sehingga 𝑥+ −𝑥 = −𝑥 +𝑥= 0. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (𝑅, +) adalah grup.

2. (𝑅 − 0 ,∙) merupakan suatu grup, dengan 𝑅 −{0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus 𝑥 ∙ 𝑦.

Operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat perkalian bilangan real. Rumus 𝑥 ∙ 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥,𝑦) dalam 𝑅×𝑅. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat : operasi perkalian pada bilangan real bersifat asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙1 = 1∙ 𝑥= 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu ¹

𝑥 ^{sedemikian sehingga}

𝑥 ∙¹_𝑥 =¹

𝑥∙ 𝑥= 1. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (𝑅 − 0 ,∙) adalah grup.

Definisi 3.1.4

Diberikan suatu grup (𝐺,∗). Grup (𝐺,∗) disebut grup komutatif atau Grup Abelian jika untuk semua 𝑥,𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦=𝑦 ∗ 𝑥.

Contoh 3.1.4

1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan + didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥+𝑦, merupakan suatu grup abelian.

(𝑅, +) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3 Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat bahwa penjumlahan pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +) merupakan grup abelian.

2. (𝑅 −{0},∙), dengan 𝑅 −{0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus

𝑥 ∙ 𝑦, merupakan suatu grup abelian.

(𝑅 −{0},∙) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3 Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa perkalian pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅 −{0},∙) merupakan grup abelian.

Definisi 3.1.5

Suatu ring (𝑅, +,∙) adalah himpunan tidak kosong 𝑅yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) , dan perkalian (∙) sedemikian sehingga memenuhi sifat-sifat berikut :

1. (𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, yang juga disebut elemen 0 dalam 𝑅.

2. Terhadap operasi perkalian (∙) :

a. Bersifat tertutup, yaitu untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 maka 𝑥.𝑦 ∈ 𝑅

b. Bersifat asosiatif, yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua

𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝑅

c. Bersifat distributif kanan (operasi (∙) bersifat distributif kanan terhadap operasi (+)), yaitu 𝑥 ∙ 𝑦+𝑧 =𝑥 ∙ 𝑦+𝑥 ∙ 𝑧, untuk semua 𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝑅

d. Bersifat distributif kiri (operasi (. ) bersifat distributif kiri terhadap operasi (+)), yaitu 𝑥+𝑦 ∙ 𝑧=𝑥 ∙ 𝑧+𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua

𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝑅

Untuk selanjutnya 𝑥 ∙ 𝑦 akan ditulis sebagai 𝑥𝑦.

Contoh 3.1.5

(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring.

(𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.4. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, bersifat asosiatif,

dan bersifat distributif kiri maupun kanan. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah suatu ring.

Definisi 3.1.6

Ring (𝑅, +,∙) disebut ring komutatif jika dan hanya jika 𝑥𝑦= 𝑦𝑥 untuk semua

𝑥,𝑦 ∈ 𝑅.

Contoh 3.1.6

(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif.

(R, +,∙)adalah suatu ring, ini sudah dibuktikan pada contoh 3..1.6.

Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat komutatif yaitu 𝑥𝑦= 𝑦𝑥 untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah suatu ring komutatif.

Definisi 3.1.7

Diberikan suatu ring (𝐹, +,∙). Ring (𝐹, +,∙) disebut lapangan jika : 1. Ring (𝐹, +,∙) adalah ring komutatif.

2. Terdapat elemen satuan 1∈ 𝐹 sedemikian sehingga 1𝑥= 𝑥1 = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹.

3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹 yang tidak sama dengan 0 mempunyai invers yaitu

𝑥−1 sedemikian sehingga 𝑥−1𝑥=𝑥𝑥−1 = 1.

Contoh 3.1.7

(𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (. ) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu lapangan.

(𝑅, +,∙) adalah suatu ring komutatif, ini sudah dibuktikan dalam contoh 3.1.6. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real bilangan real didapat bahwa terdapat elemen identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙1 = 1∙ 𝑥 =𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅

sehingga 1 adalah elemen satuan dalam lapangan (𝑅, +,∙), dan untuk setiap

𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu ¹

𝑥 ^{sedemikian sehingga} 𝑥 ∙1

𝑥 ⁼

1

𝑥∙ 𝑥 = 1. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu lapangan.

Setelah dibahas mengenai tentang grup, ring, dan lapangan kali ini akan dibahas mengenai ruang linear, ruang metrik, dan ruang bernorma.

Definisi 3.1.8

Diberikan suatu himpunan ℛ dan lapangan real 𝑅. Suatu ruang linear atas lapangan real 𝑅 adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua buah operasi. Operasi yang pertama yaitu operasi penjumlahan (+) yang menghubungkan setiap elemen 𝑥,𝑦 ∈ ℛ dan dinotasikan 𝑥+𝑦. Operasi yang kedua adalah operasi perkalian skalar yang menghubungkan 𝑥 ∈ ℛ dan setiap

𝛼 ∈ 𝑅 dan dinotasikan 𝛼𝑥. Kedua operasi tersebut memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Jika x dan y adalah elemen-elemen dalam ℛ, maka 𝑥+𝑦 berada dalam

ℛ (tertutup terhadap penjumlahan)

2. Untuk sembarang bilangan real ∝, jika 𝑥 ∈ ℛ maka ∝ 𝑥 ∈ ℛ

3. 𝑥+𝑦= 𝑦+𝑥 ;

4. 𝑥+𝑦 +𝑧 =𝑥+ (𝑦+𝑧) ;

5. Terdapat suatu elemen 0 sedemikian sehingga 𝑥+ 0 =𝑥 untuk setiap

𝑥 ∈ ℛ ;

6. Untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga

𝑥+ (−𝑥) = 0 ; 7. 1∙ 𝑥 =𝑥 ;

8. 𝛼 𝛽𝑥 = 𝛼𝛽 𝑥 ; 9. 𝛼+𝛽 𝑥 =𝛼𝑥+𝛽𝑥 ; 10. 𝛼 𝑥+𝑦 = 𝛼𝑥+𝛼𝑦.

Contoh 3.1.8

Misal 𝐶 𝑎,𝑏 adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval

𝑎,𝑏 , dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+) adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan 𝑓+𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶 𝑎,𝑏 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Misal 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 , dan 𝑕 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶 𝑎,𝑏 . Misal 𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅.

1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎,𝑏], sehingga ) ( ) ( lim f x f c c x 

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].

𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎,𝑏], sehingga ) ( ) ( limg x g c c x 

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].



( ) ( )



lim ( ) lim ( ) lim f x g x f x g x c x c x c

x      (menurut hukum penjumlahan limit)



( ) ( )



( ) ( ) lim f x g x f c g c

c

x   

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. ) )( ( ) )( ( lim f g x f g c c x   

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi).

Oleh karena itu, 𝑓+𝑔 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎,𝑏]. Jadi, 𝐶[𝑎,𝑏] tertutup terhadap operasi penjumlahan.

) ( ) ( lim f x f c c x 

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].

𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.



( )



lim ( ) lim f x f x

c x c

x    (menurut hukum perkalian konstanta pada limit)



( )



( ) lim f x f c

c

x  

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].

 

( ) ( ( ))

lim f x f c c

x   

 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi)

Oleh karena itu, 𝛼𝑓 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎,𝑏]. Jadi, 𝛼𝑓 𝑥 =𝛼𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

3. 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 , dan 𝑕 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota

𝐶 𝑎,𝑏 . Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏] , 𝑓 𝑐 ,𝑔 𝑐 ,𝑕(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1).

𝑓 𝑐 +𝑔 𝑐 =𝑔 𝑐 +𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut sifat komutatif bilangan real).

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 =𝑔 𝑥 +𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

4. 𝑓 𝑐 +𝑔 𝑐 +𝑕 𝑐 =𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 +𝑕 𝑐 ), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 +𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 + (𝑔 𝑥 +𝑕 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)

Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏]. (diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada

𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada dalam 𝐶[𝑎,𝑏]). Oleh karena itu, didapat :

𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].

𝑓 𝑐 +𝑦 𝑐 =𝑓 𝑐 + 0 =𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 =𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶[𝑎,𝑏]. 6. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)

𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐 = 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (invers dalam penjumlahan bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎,𝑏].

7. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)

Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏]. (diketahui bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞,∞) sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada dalam 𝐶[𝑎,𝑏]).

Oleh karena itu, didapat :

𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].

𝑗 𝑐 .𝑓 𝑐 = 1∙ 𝑓 𝑐 =𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (elemen identitas dalam perkalian bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 1∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶[𝑎,𝑏]. 8. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)

𝛼,𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.

𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut sifat asosiatif perkalian bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎,𝑏].

9. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1)

𝛼+𝛽 𝑓 𝑐 =𝛼𝑓 𝑐 +𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼+𝛽 𝑓 𝑥 =𝛼𝑓 𝑥 +𝛽𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

10.𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎,𝑏]. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏], 𝑓 𝑐 ,𝑔(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)

𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.

𝛼 𝑓 𝑐 +𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 +𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]. (menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan bilangan real)

Oleh karena itu, dapat ditulis𝛼 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥) =𝛼𝑓 𝑥 +𝛼𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶 𝑎,𝑏 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Definisi 3.1.9

Suatu metrik dalam himpunan S adalah suatu fungsi 𝑑:𝑆×𝑆 → 𝑅 yang memenuhi sifat-sifat berikut :

a) 𝑑(𝑥,𝑦)≥ 0, untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑆

b) 𝑑 𝑥,𝑦 = 0, jika dan hanya jika 𝑥=𝑦

d) 𝑑 𝑥,𝑦 ≤ 𝑑 𝑥,𝑧 +𝑑(𝑧,𝑦), untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑆

Definisi 3.1.10

Suatu ruang metrik (𝑆,𝑑) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan suatu metrik 𝑑 pada himpunan 𝑆.

Contoh 3.1.9

1. (𝑅,𝑑) dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah jarak antara dua elemen pada 𝑅 yaitu 𝑑 𝑥,𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap

𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.

Buktinya adalah sebagai berikut :

a) 𝑥 − 𝑦 ≥0, untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅. (menurut definisi nilai mutlak bilangan real)

b) Jika diketahui 𝑥 − 𝑦 = 0, maka jika kita memisalkan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 akan didapat –(𝑥 − 𝑦) ≠0.

Oleh karena itu, 𝑥 − 𝑦 ≠0. Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu 𝑥 − 𝑦 = 0. Karena itu pemisalan 𝑥 − 𝑦 ≠0 adalah salah. Oleh karena itu,

𝑥 − 𝑦= 0

𝑥= 𝑦

Jadi, jika 𝑥 − 𝑦 = 0 maka 𝑥 =𝑦.

Oleh karena itu, didapat 𝑥 − 𝑦 = 0. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Jadi, jika 𝑥=𝑦 maka 𝑥 − 𝑦 = 0. c) 𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 , untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅.

d) 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 + (𝑧 − 𝑦) , untuk setiap 𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝑅.

≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝑅. (dari ketaksamaan segitiga)

Karena memenuhi keempat aksioma maka (𝑅,𝑑) dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah jarak antara dua elemen pada

𝑅 yaitu 𝑑 𝑥,𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.

2. (𝐶 𝑎,𝑏 ,𝑑) dengan 𝐶[𝑎,𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎,𝑏 dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada

𝐶[𝑎,𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] adalah ruang metrik.

Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang anggota 𝐶 𝑎,𝑏 .

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏], sehingga

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 (𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 𝑐 =𝑓 𝑐 − 𝑔(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎,𝑏 .

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥

dalam 𝑎,𝑏 .

a) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

b) Jika diketahui max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

Jika dimisalkan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam 𝑎,𝑏 , maka akan didapat –(𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥))≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥) ≠0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏], sehingga max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠0.

Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0 . Karena itu pemisalan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠0 adalah salah. Oleh karena itu,

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥)

Jadi, jika max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0 maka 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥).

Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏] maka

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Oleh karena itu, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

c) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap

𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

d) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)

Oleh karena itu, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) .

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶 𝑎,𝑏 ,𝑑) dengan

𝐶[𝑎,𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎,𝑏

dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada 𝐶[𝑎,𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] adalah ruang metrik.

Definisi 3.1.11

Andaikan (𝑆,𝑑) adalah suatu ruang metrik. Maka untuk 𝜀 > 0, persekitaran-𝜀

Definisi 3.1.12

Andaikan ℛ adalah ruang linear. Suatu pemetaan 𝑥 → 𝑥 dari ℛ ke 𝑅

disebut norma pada ℛ, jika untuk setiap elemen 𝑢 ∈ ℛ memenuhi sifat-sifat berikut : a) 𝑢 ≥0 b) 𝑢 = 0↔ 𝑢 = 0 c) 𝛼𝑢 = 𝛼 𝑢 d) 𝑢+𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 Definisi 3.1.13

Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Jika pada ℛ dapat didefinisikan suatu norma, maka ℛ disebut ruang linear bernorma.

Contoh 3.1.10

Misal 𝐶[𝑎,𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval [𝑎,𝑏].

Didefinisikan suatu norma 𝑢 = max_{𝑎≤𝑥≤b} 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. Maka 𝐶[𝑎,𝑏] adalah suatu ruang linear bernorma.

Misal 𝑢 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶[𝑎,𝑏].

𝑢(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑢(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎,𝑏 .

Karena itu, untuk setiap 𝑢(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏], 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎,𝑏 .

a) u = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢(𝑥) ≥0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

b) Jika diketahui u = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢(𝑥) = 0.

Jika dimisalkan 𝑢(𝑥)≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏], maka akan didapat –(𝑢(𝑥))≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Oleh karena itu, akan didapat 𝑢(𝑥) ≠0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏], sehingga max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢(𝑥) ≠0.

Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu u = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢(𝑥) = 0. Karena itu pemisalan 𝑢(𝑥) ≠0 adalah salah.

Oleh karena itu, 𝑢(𝑥) = 0

Jadi, jika u = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢(𝑥) = 0 maka 𝑢 𝑥 = 0.

Kemudian, jika 𝑢 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏] maka didapat

𝑢(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Oleh karena itu, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

Jadi, jika 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥) maka u = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0. c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real.

𝛼𝑢 = max_{𝑎≤𝑥≤b} ∝ 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. = 𝛼 max

𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari sifat-sifat nilai mutlak bilangan real)

= 𝛼 𝑢 , untuk setiap 𝑢(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

d) u + v = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢 𝑥 +𝑣(𝑥) ≤max_{𝑎≤𝑥≤𝑏}( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ), untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏}( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) )= max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑣(𝑥) , untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥)∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

Oleh karena itu,

u + v = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑢 𝑥 +𝑣(𝑥) ≤ max

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑣(𝑥) , untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. Oleh karena itu,

u + v ≤ u + v , untuk setiap 𝑢 𝑥 ,𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

Karena memenuhi keempat aksioma, maka 𝐶[𝑎,𝑏] dengan norma yang

𝑢 = max_{𝑎≤𝑥≤b} 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏], adalah suatu ruang linear bernorma.

Andaikan pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka dapat dibuktikan bahwa jarak tersebut adalah suatu metrik.

Buktinya adalah sebagai berikut :

Karena ℛ merupakan ruang linear bernorma, maka ℛ juga ruang linear sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga

𝑥+ (−𝑥) = 0. Oleh karena itu, untuk sembarang 𝑢,𝑣 ∈ ℛ didapat (𝑢+ (−𝑣))∈ ℛ, oleh karena itu didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ.

Karena ℛ adalah ruang linear bernorma maka didapat : 1. 𝑢 − 𝑣 ≥0

2. 𝑢 − 𝑣 = 0↔(𝑢 − 𝑣) = 0, sehingga dapat ditulis :

𝑢 − 𝑣 = 0↔ 𝑢 =𝑣

Karena (𝑢 − 𝑣)∈ ℛ maka terdapat − 𝑢 − 𝑣 = (𝑣 − 𝑢) sehingga

𝑢 − 𝑣 + 𝑣 − 𝑢 = 0.

𝑣 − 𝑢 = −(𝑢 − 𝑣) ≥0 maka 𝑢 − 𝑣 = 𝑣 − 𝑢

Untuk sembarang 𝑢,𝑣,𝑤 ∈ ℛ didapat (𝑢 − 𝑣)∈ ℛ, (𝑢 − 𝑤)∈ ℛ, (𝑤 − 𝑣) ∈ ℛ. Karena ℛ adalah ruang linear bernorma, maka didapat 𝑢 − 𝑣 ≥0,

𝑢 − 𝑤 ≥0, 𝑤 − 𝑣 ≥0.

Karena itu, akan berlaku kesamaan segitiga.

𝑢 − 𝑣 = 𝑢 − 𝑤 + (𝑤 − 𝑣) ≤ 𝑢 − 𝑤 + 𝑤 − 𝑣

Oleh karena itu, jika pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka jarak tersebut adalah suatu metrik.

Karena itu (ℛ,𝑑) juga meruipakan ruang metrik.

Definisi 3.1.14

Kelas 𝐶0 𝑎,𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥) yang terdefinisi dan kontinu di interval tertutup 𝑎,𝑏 .

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶0 𝑎,𝑏 didefinisikan sebagai nilai maksimum dari nilai mutlak 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, yakni

𝑦 0 = max

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥)

Dalam kelas 𝐶0 𝑎,𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai berikut : 𝑦 − 𝑧 0 = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) .

Dalam kelas 𝐶0 𝑎,𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧 𝑥 dekat satu sama lain, yakni

𝑧 𝑥 berada di persekitaran-𝜀 dari 𝑦 𝑥 sehingga 𝑦 − 𝑧 0 <𝜀, maka max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 𝜀.

Jika digambarkan dalam grafik, maka grafik dari 𝑧(𝑥) dalam daerah berlebar 2𝜀 (dari arah vertikal) yang membatasi grafik fungsi 𝑦(𝑥), dengan kata lain

𝑧(𝑥) berada dalam daerah yang dibatasi grafik 𝑦 𝑥 +𝜀 dan grafik 𝑦 𝑥 − 𝜀. Oleh karena itu,

𝑦 𝑥 − 𝜀 < 𝑧 𝑥 < 𝑦 𝑥 +𝜀 , untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

−𝜀< 𝑧 𝑥 − 𝑦 𝑥 <𝜀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑧 𝑥 − 𝑦(𝑥) < 𝜀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) <𝜀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.11

1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam

𝐶0[−3,8], karena fungsi polinom kontinu pada daerah asalnya yaitu

2. 𝑓 𝑥 = sin𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0≤ 𝑥 ≤2𝜋} termasuk dalam

𝐶0[0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu [0,2𝜋].

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam

𝐶0[0,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅}. Interval [0,10] termasuk dalam daerah asal {𝑥|𝑥 ≥

0,𝑥 ∈ 𝑅}.

Definisi 3.1.15

Kelas 𝐶1 𝑎,𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi yang terdefinisi di interval tertutup 𝑎,𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan pertama yang kontinu.

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶1 𝑎,𝑏 didefinisikan dengan rumus :

𝑦 1 = max

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) + max

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦′₍𝑥)

Dalam kelas 𝐶1 𝑎,𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai berikut:

𝑦 − 𝑧 1 = max

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) + max

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦′₍𝑥)− 𝑧′₍𝑥)

Dalam kelas 𝐶1 𝑎,𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥)) yakni 𝑦 − 𝑧 1 <𝜀, jika kedua fungsi itu sendiri dan turunan pertama dari kedua fungsi itu dekat satu sama lain. Ini berarti bahwa 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) <𝜀 , dan 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 𝜀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.12

1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam

𝐶1[−3,8], karena fungsi polinom terdifersialkan pada daerah asalnya yaitu 𝑅 = (−∞,∞). Fungsi polinom juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada daerah asalnya. Interval [3,8] berada dalam daerah asal 𝑅 = (−∞,∞).

2. 𝑓 𝑥 = sin𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0≤ 𝑥 ≤2𝜋} termasuk dalam

𝐶1[0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin𝑥 terdifirensialkan pada daerah asalnya yaitu [0,2𝜋]. 𝑓 𝑥 = sin𝑥 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada [0,2𝜋], yaitu 𝑓′ 𝑥 = cos𝑥.

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam

𝐶1[1,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 terdiferensialkan pada {𝑥|𝑥> 0,𝑥 ∈ 𝑅} .

𝑓 𝑥 = 𝑥 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada {𝑥|𝑥> 0,𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 = ¹

2 𝑥^{. Interval [1,10] berada dalam}

{𝑥|𝑥> 0,𝑥 ∈ 𝑅}.

4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk dalam 𝐶1[0,10], karena 𝑓′ 𝑥 = ¹

2 𝑥 ^{tidak terdefinisi pada} 𝑥= 0. Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} merupakan anggota dari 𝐶0[0,10], namun bukan anggota dari

5. 𝑓 𝑥 =²

3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam

𝐶1[0,10], karena 𝑓 𝑥 =²

3 𝑥3 terdiferensialakan pada {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅}.

𝑓 𝑥 =²

3 𝑥3 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 = 𝑥. Interval [0,10] berada dalam {𝑥|𝑥> 0,𝑥 ∈ 𝑅}.

Definisi 3.1.16

Kelas 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥) yang terdefinisi di interval tertutup 𝑎,𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai pada turunan

ke-𝑘, dengan 𝑘bilangan bulat tidak negatif.

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 didefinisikan dengan rumus :

𝑦 𝑘 ^{= 𝑘}_𝑖=0^max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 ^𝑖 (𝑥) ,

dimana 𝑦 ^𝑖 𝑥 = ^𝑑

𝑑𝑥 𝑖

𝑦(𝑥) dan 𝑦 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑦 𝑥 itu sendiri. Dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai berikut : 𝑦 − 𝑧 _𝑘 = ^𝑘_𝑖=0max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑦 𝑖 𝑥 − 𝑧 𝑖 ₍𝑥) .

Dalam kelas 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥)) ( yakni 𝑦 − 𝑧 𝑘 ^< 𝜀, jika fungsi-fungsi itu sendiri dan semua turunan-turunannya sampai turunan ke-k dekat satu sama lain. Ini berarti bahwa

𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 𝜀 , 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 𝜀 , 𝑦" 𝑥 − 𝑧"(𝑥) <𝜀 , …, dan

𝑦(𝑘) 𝑥 − 𝑧(𝑘)(𝑥) <𝜀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.13

1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞,∞) termasuk dalam

𝐶𝑘_[−3,8], dengan 𝑘bilangan bulat tidak negatif. Karena fungsi polinom terdifersialkan tak hingga kali pada daerah asalnya yaitu

𝑅 = (−∞,∞), sehingga turunan-turunan sampai turunan ke 𝑘 akan kontinu.

2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk dalam 𝐶𝑘_{[0,10] (untuk} 𝑘> 0). Ini karena 𝑓′ 𝑥 = ¹

2 𝑥 ^tidak

terdefinisi pada 𝑥= 0. Oleh karena itu, 𝑓′ 𝑥 = ¹

2 𝑥 ^{tidak dapat}

diturunkan. 3. 𝑓 𝑥 =²

3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥0,𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk dalam 𝐶𝑘_{[0,10] (untuk} 𝑘> 1). Ini karena 𝑓′′ 𝑥 = ¹

2 𝑥 ^tidak

terdefinisi pada 𝑥= 0. Sehingga 𝑓′′ 𝑥 = ¹

2 𝑥 ^{tidak dapat diturunkan.}

Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 =²

3 𝑥3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0,𝑥 ∈ 𝑅} merupakan anggota dari 𝐶1[0,10], namun bukan anggota dari

Contoh 3.1.14

𝑓 𝑥 = 𝑥_0,^{,𝑗𝑖𝑘𝑎}_{𝑗𝑖𝑘𝑎𝑥}^{𝑥 ≥}_{< 0}⁰

𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam 𝐶1[−6,6].

Untuk 𝑥< 0, 𝑓 𝑥 = 0 adalah fungsi kontinu yang terdifensialkan, dan turunannya yaitu 𝑓′₍𝑥) = 0 juga kontinu untuk 𝑥< 0.

Untuk 𝑥> 0, 𝑓 𝑥 =𝑥 adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan, dan turunannya yaitu 𝑓′₍𝑥) = 1 juga kontinu untuk 𝑥> 0.

Untuk 𝑥= 0 h f h f f h ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ' 0   

 , asalkan limit ini ada. (menurut definisi 2.4.1) Hitung limit kanan terlebih dahulu.

1 1 lim lim 0 ) 0 ( lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 0 0_ ^{ }  _ ^{ }  _  _      h h h h h h h h h f h f

Sekarang kita hitung limit kiri

0 0 lim 0 lim 0 0 lim ) 0 ( ) 0 ( lim 0 0 0 0_ ^{ }  _ ^  _  _      h h h h h h h f h f      h f h f h ) 0 ( ) 0 ( lim 0 h f h f h ) 0 ( ) 0 ( lim 0    

Oleh karena itu,

h f h f h ) 0 ( ) 0 ( lim 0  

 tidak ada. Maka dari itu, 𝑓 𝑥 tidak terdiferensialkan pada titik 𝑥= 0.

Untuk 𝑥= 0, maka 𝑓 0 = 0, sehingga 𝑓 0 terdefinisi. (0 berada pada daerah asal 𝑓(𝑥)) 0 lim ) ( lim 0 0_  _    f x x x x 0 0 lim ) ( lim 0 0_  _    x x f x ) 0 ( 0 ) ( lim ) ( lim 0 0 f x f x f x x _  _    

Oleh karena itu, ) 0 ( ) ( lim 0 f x f x  

Maka dari itu , 𝑓 𝑥 kontinu pada 𝑥= 0.

Karena itu, 𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶0[−6,6] tapi tidak termasuk dalam

𝐶1[−6,6].

Setiap anggota 𝐶1[𝑎,𝑏] merupakan anggota dari 𝐶0[𝑎,𝑏], karena setiap anggota dari 𝐶1[𝑎,𝑏] juga merupakan fungsi kontinu (dari teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 𝐶1[𝑎,𝑏]⊆𝐶0[𝑎,𝑏].

Ada anggota 𝐶1[𝑎,𝑏] yang bukan merupakan 𝐶0[𝑎,𝑏] ( dari contoh 3.1.12, dan 3.1.14). Oleh karena itu, 𝐶1[𝑎,𝑏]⊂ 𝐶0[𝑎,𝑏].

Setiap anggota 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏] (dengan 𝑘 > 1) merupakan anggota dari

𝐶1[𝑎,𝑏], karena setiap anggota dari 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏] (dengan 𝑘> 1) juga merupakan fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu (dari teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏]⊆𝐶1[𝑎,𝑏] (untuk 𝑘> 1).

Ada anggota 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏] (dengan 𝑘> 1) yang bukan merupakan 𝐶1[𝑎,𝑏] ( dari contoh 3.1.13). Oleh karena itu, 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏] ⊂ 𝐶1[𝑎,𝑏] (untuk 𝑘 > 1).

Maka dari itu, didapat : 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏]⊂ 𝐶1[𝑎,𝑏]⊂ 𝐶0[𝑎,𝑏] (untuk 𝑘 > 1). Sekarang, akan ditunjukkan bahwa kelas 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 (dengan 𝑘bilangan bulat tidak negatif) adalah ruang metrik. Untuk kelas 𝐶0[𝑎,𝑏] sudah dibuktikan pada contoh 3.1.9

Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶𝑘 𝑎,𝑏 ,𝑑) untuk

𝑘bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada

𝐶𝑘_[𝑎,𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 𝑘 ⁼ _𝑖^𝑘₌₀^max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥) , untuk

setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶𝑘_[𝑎,𝑏] adalah ruang metrik. (dimana 𝑓 𝑖 𝑥 = _𝑑𝑥^𝑑 𝑖

𝑓 𝑥 ,

𝑔 𝑖 𝑥 = _𝑑𝑥^𝑑 𝑖

𝑔 𝑥 , 𝑓 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri, dan 𝑔 0 (𝑥) adalah fungsi 𝑔 𝑥 itu sendiri)

Buktinya adalah sebagai berikut :

Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 (dengan 𝑘

bilangan bulat lebih dari 0).

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏], sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎,𝑏 .

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎,𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎,𝑏 .

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎,𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Oleh karena itu,

𝑓′(𝑥) dan 𝑔′(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏], sehingga 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎,𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑑 = 𝑓′ 𝑑 − 𝑔′(𝑑) pada suatu bilangan 𝑑

dalam 𝑎,𝑏 .

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)∈ 𝐶1[𝑎,𝑏], 𝑓 − 𝑔 ′ 𝑥 =𝑓′ 𝑥 − 𝑔′₍𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎,𝑏 . Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘.

a) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≥0, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘.

Oleh karena itu,

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥)

𝑘

𝑖=0 ≥0 , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

b) Jika diketahui ^𝑘_𝑖=0max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 ^𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥) = 0.

Karena itu, didapat max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′₍𝑥)− 𝑔′₍𝑥) +⋯+max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 ₍𝑥) = 0.

Padahal max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥0, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≥0,… max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 ₍𝑥) ≥ 0. (tidak mungkin negatif)

Karena max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′₍𝑥)− 𝑔′₍𝑥) +

⋯+max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 ₍𝑥) = 0. (ruas kanan sama dengan nol)

Maka dari itu, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′₍𝑥) =⋯= max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓(𝑘) 𝑥 − 𝑔 𝑘 ₍𝑥) = 0.

Karena itu, 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 =⋯ = (𝑓 𝑘 𝑥 − 𝑔 𝑘 ₍𝑥) = 0. (menurut contoh 3.1.10)

Jadi, jika ^𝑘_𝑖=0max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 ^𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥) = 0 maka 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

Jika ^𝑘_𝑖=0max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥) = 0 maka 𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥). Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏] maka

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏].

Karena itu, didapat 𝑓(𝑥)− 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

Oleh karena itu, didapat max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.

𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏] maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′(𝑥). Oleh karena itu, 𝑓′₍𝑥)− 𝑔′₍𝑥) = 𝑓+𝑔 ′₍𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥

Didapat 𝑓′(𝑥)− 𝑔′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎,𝑏] (dari definisi nilai mutlak bilangan real), sehingga max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = 0.

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu,

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥)

𝑘

𝑖=0 = 0.

Jadi, jika 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥) maka akan didapat max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥)

𝑘

𝑖=0 = 0.

c) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap

𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑔′ 𝑥 − 𝑓′(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘.

Oleh karena itu,

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘 𝑖=0 = 𝑘 max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑔 𝑖 𝑥 − 𝑖=0 𝑓 ^𝑖 𝑥 . d) max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 + (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)

Karena itu, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) .

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′ 𝑥 + (𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′ 𝑥 + (𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap

𝑓,𝑔,𝑕 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)

Karena itu, max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′(𝑥) + max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) .

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘.

Oleh karena itu,

max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 ^𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑘 𝑖=0 ≤ 𝑘 max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑓 ^𝑖 𝑥 − 𝑖=0 𝑕 𝑖 𝑥 + 𝑘 max_{𝑎≤𝑥≤𝑏} 𝑕 𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑖=0

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶𝑘 𝑎,𝑏 ,𝑑) untuk 𝑘

pada 𝐶[𝑎,𝑏] yaitu 𝑑 𝑓,𝑔 : 𝑓 − 𝑔 𝑘 ⁼ _𝑖^𝑘₌₀^max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 ^𝑖 𝑥 − 𝑔 𝑖 ₍𝑥) , untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] adalah ruang metrik.

Kali ini akan ditunjukkan bahwa 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 (dengan 𝑘 adalah bilangan bulat tidak negatif) adalah ruang linear bernorma. Oleh akan ditunjukkan bahwa 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 adalah ruang linear terlebih dahulu. Untuk kelas 𝐶0[𝑎,𝑏] merupakan ruang bernorma sudah dibuktikan pada contoh 3.1.10.

Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶𝑘 𝑎,𝑏 ,𝑑) untuk

𝑘bilangan bulat lebih dari 0, dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+) adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan

𝑓+𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 =𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 , untuk

𝑘bilangan bulat lebih dari 0 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Buktinya adalah sebagai berikut :

Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶𝑘 𝑎,𝑏 (dengan 𝑘

bilangan bulat lebih dari 0).

𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎,𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).

1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎,𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘

bilangan bulat lebih dari 0), sehingga

h c f h c f c f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0   

 ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏]

h c f h c f c f h ) ( ' ) ( ' lim ) ( ' ' 0   

 ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎,𝑏].