BAB V PENUTUP
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
10
BAB II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas berbagai teori yang mendasari geometri fraktal.
Teori yang dibahas diantaranya : ruang metrik, ruang fraktal, afinitas, similaritas,
dan Sistem Fungsi Iterasi. Ruang metrik mendasari ruang fraktal, sedangkan
afinitas dan similaritas adalah sifat utama fraktal. Sistem Fungsi Iterasi adalah
suatu sistem yang membentuk bangun fraktal atau mengkonstruksi fraktal.
A. Ruang Metrik
Ruang metrik penting untuk dibahas di awal, karena teori-teori tentang
fraktal didasarkan pada ruang metrik seperti halnya barisan dan ruang fraktal.
Secara umum pada pembahasan ini didasarkan pada ruang Euclid dimensi
atau . Ketika maka yang berarti himpunan semua bilangan
real. Ketika maka akan menjadi bidang datar. Titik pada
dinotasikan dengan ( ) Jika suatu himpunan bagian dari
dengan suatu fungsi jarak yang bekerja padanya dengan beberapa aksioma
yang berlaku maka disebut sebagai ruang metrik. Berikut ini adalah syarat yang
harus dipenuhi dari suatu ruang metrik yang disajikan dalam definisi ruang
metrik.
Definisi 2.1.1 (Barnsley, 1988:11)
Misalkan adalah himpunan tak kosong. Metrik pada adalah fungsi bernilai
real yang memenuhi aksioma berikut.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Metrik juga disebut sebagai fungsi jarak. Himpunan tak kosong yang
dilengkapi dengan metrik pada disebut sebagai ruang metrik, dituliskan
dengan ( ).
Contoh 2.1.1
Misalkan fungsi didefinisikan ( ) | | buktikan
bahwa ( ) adalah metrik di .
Penyelesaian :
Untuk membuktikan bahwa ( ) merupakan metrik, maka perlu dibuktikan
( ) memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1.
( ) ( ) | |
| |
( )
( ) Nilai mutlak bilangan real adalah tak negatif. Untuk
berlaku | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | |
| |
(| | | |)
| | | |
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) adalah metrik di .
Contoh 2.1.2
Misalkan didefinisikan ( ) jarak Euclides dengan ( )
√( ) ( ) ( ) dan ( )
buktikanlah bahwa ( ) adalah metrik di .
Penyelesaian :
( ) ( ) √( ) ( )
√( ) ( )
( )
( ) Akar dari suatu bilangan real adalah tak negatif. Untuk
berarti bahwa atau sehingga berlaku
√( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √( ) ( ) √ ( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) ( ) ( )
dengan ( ), (menurut ketaksamaan
segitiga)
√( ) ( ) √( ) ( )
Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) adalah metrik di .
Setelah mengetahui tentang ruang metrik, selanjutnya melihat hubungan
antar metrik. Dua metrik yang berbeda pada bisa memiliki keterkaitan satu
sama lain. Keterkaitan ini misalnya, metrik yang satu bisa dibangun oleh
metrik yang lain dengan mengalikan terhadap suatu konstanta. Dua metrik
yang demikian disebut dua metrik yang ekuivalen. Secara umum dua metrik
yang ekuivalen dicirikan oleh definisi 2.1.2 berikut ini.
Definisi 2.1.2 (Barnsley, 1988:12)
Dua metrik dan pada ruang dikatakan ekuivalen jika terdapat dan
konstan dengan sedemikian sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) .
Contoh 2.1.3
Misalkan metrik ( ) | | | | dan ( ) | | | |, metrik
( ) dan ( ) adalah dua metrik yang ekuivalen.
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa metrik ( ) dan ( ) dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) ( ) dengan dan konstan.
| | | | | | | |
Dengan maka diperoleh
| | | | | | | | (| | | |) | | | |
yang artinya bahwa ( ) ( ) ( ) ( )
dengan demikian ( ) dan ( ) adalah dua metrik yang ekuivalen.
Definisi 2.1.3 (Barnsley, 1988:13)
Dua ruang metrik ( ) dan ( ) adalah ekuivalen jika terdapat fungsi
dengan fungsi bijektif sedemikian sehingga metrik ̃ pada
dengan definisi ̃ ( ) ( ( ) ( )) ekuivalen dengan .
Contoh 2.1.4
Misalkan , -, , - dan fungsi . Didefinisikan
sebagai metrik Euclides dan | |. Buktikanlah bahwa ( ) dan ( ) adalah dua ruang metrik yang ekuivalen.
Bukti :
Terdapat ( ) . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
̃ ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) . Menurut definisi 2.1.3
berlaku bahwa
̃ ( ) ( ( ) ( ))
| ( ) ( )|
Berdasarkan yang diketahui ( ) | | .
| ( ) ( )| | |
Dengan diperoleh
| ( ) ( )| | | | ( ) ( )|
̃ ( ) ( ) ̃ ( ) ( )
Selanjutnya, akan dibahas tentang kekontinuan suatu fungsi di dalam
ruang metrik. Fungsi yang kontinu di titik pasti mempunyai limit di tetapi
tidak sebaliknya. Berikut ini adalah definisi dari fungsi yang kontinu.
Definisi 2.1.4 (Barnsley, 1988:14)
Misalkan suatu fungsi adalah pemetaan dari ruang metrik ( )
ke ruang metrik ( ). Fungsi dikatakan kontinu jika, untuk setiap
dan terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ( ) ( )) .
Contoh 2.1.5
Misalkan diberikan ( ) dan ( ) adalah ruang metrik. Tunjukkanlah
bahwa fungsi konstan kontinu.
Bukti :
Diberikan sebarang , untuk sebarang dengan fungsi konstan
( ) berlaku ( ( ) ( )) ( )
Contoh 2.1.6
Diketahui ruang metrik di dengan metrik Euclides. Diberikan fungsi dengan definisi ( ) untuk setiap . Tunjukkanlah
bahwa kontinu.
Bukti :
Diberikan untuk sebarang . Harus dicari sedemikian
sehingga untuk setiap yang memenuhi | | berlaku | ( )
( )|
Dipilih maka | |
| ( ) ( )| | ( )| | |
dengan demikian terbukti kontinu.
Suatu barisan dalam ruang metrik dapat dibedakan menjadi dua macam
barisan, yaitu barisan konvergen dan barisan divergen. Kedua macam barisan
tersebut mempengaruhi kelengkapan dari suatu ruang metrik. Ruang metrik
dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen ke suatu
titik di ruang metriknya. Berikut ini adalah definisi dari barisan Cauchy yang
dilanjutkan dengan definisi barisan konvergen.
Definisi 2.1.5 (Barnsley, 1988:17)
Barisan * + dalam ruang metrik ( ) disebut barisan Cauchy jika
untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga ( )
Suku-suku pada suatu barisan jika diperhatikan untuk nilai suku ke- yang
semakin besar, dapat dibedakan menjadi barisan divergen dan barisan konvergen. Barisan yang menunjukkan sifat suku ke- yang semakin besar
mendekati suatu nilai tertentu disebut barisan konvergen. Sebaliknya, jika untuk nilai suku ke- yang semakin besar dari suatu barisan tidak
menunjukkan semakin dekat dengan nilai tertentu disebut sebagai barisan
divergen. Berikut ini definisi 2.1.6 mendefinisikan secara matematis suatu
barisan konvergen.
Definisi 2.1.6 (Barnsley, 1988:17)
Barisan * + dalam ruang metrik ( ) dikatakan konvergen ke
jika untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga ( ) . Titik konvergensi adalah limit dari barisan * + dinotasikan
dengan . Titik yang merupakan konvergensi dari barisan * + memenuhi ̅( ) * ( ) + atau bola tertutup dengan jari-jari dan berpusat di .
Kekonvergenan suatu barisan tidak lepas dengan adanya titik konvergensi.
Ketika suatu barisan diketahui konvergen, pastilah barisan tersebut mempunyai
titik konvergensi. Berikut ini adalah suatu teorema (2.1.1) yang menyatakan
bahwa titik konvergensi dari suatu barisan adalah tunggal. Selanjutnya melalui
teorema 2.1.2 ditunjukkan bahwa barisan yang konvergen merupakan barisan
Cauchy. Mengutip dari buku Metric Spaces (Shirali dan Vasudeva, 2006) pada
bagian (subbarisan). Pada definisi 2.1.7 tersebut dikatakan bahwa, jika suatu
barisan konvergen ke suatu titik maka subbarisannya juga konvergen ke titik
yang sama. Hal ini berlaku juga untuk subbarisan dari suatu barisan yang
konvergen ke suatu titik, barisannya juga akan konvergen ke titik yang sama
dengan subbarisannya. Sebagai akibat dari definisi 2.1.7 pada proposisi 2.1.1
keterkaitan antar barisan dan subbarisan ini juga berlaku untuk barisan Cauchy.
Teorema 2.1.1 (Searcoid, 2007:86)
Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik, barisan * + di yang konvergen
akan konvergen ke tepat satu titik di .
Bukti :
Diberikan barisan * + yang konvergen. Misalkan * + konvergen ke titik
dan titik yang berbeda. Ambil sebarang . Maka ada
sedemikian sehingga ( ) dan ( ) .
Dipilih * + sehingga untuk menurut ketaksamaan
segitiga
( ) ( ) ( )
Jadi ( ) berarti bahwa . Terbukti bahwa barisan * +
konvergen ke satu titik.
Teorema 2.1.2 (Barnsley, 1988:18)
Jika barisan * + pada ruang metrik ( ) konvergen ke maka
barisan * + merupakan barisan Cauchy.
Diberikan ruang metrik ( ) dan barisan * + di ( ) yang konvergen ke .
Menurut definisi 2.1.6 untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif
dan sehingga ( ) . Demikian juga untuk setiap
berlaku ( ) . Menurut ketaksamaan segitiga ( ) ( )
( ) untuk setiap * +. Diperoleh ( )
sehingga * + barisan Cauchy.
Contoh 2.1.7
Diketahui barisan * + =
di ruang metrik ( ) dengan dan adalah metrik Euclides. Buktikanlah bahwa barisan * + adalah barisan
Cauchy dan konvergen ke 0.
Bukti :
Diberikan sebarang , maka terdapat sehingga . Untuk
dan misalkan berlaku
( ) (
) | |
Selanjutnya jelas bahwa ( )
Diperoleh ( ) dan ( ) maka terbukti bahwa barisan * +
barisan Cauchy dan konvergen ke 0.
Definisi 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)
Misalkan barisan * + dalam ruang metrik ( ) dan barisan bilangan
dikatakan subbarisan dari * + . Jika { } konvergen, limitnya
merupakan limit dari * + . Jelas bahwa barisan * + di
konvergen ke jika dan hanya jika setiap subbarisannya konvergen ke .
Proposisi 2.1.1 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)
Jika barisan Cauchy dalam metrik ( ) memuat sub barisan yang konvergen
maka barisan itu konvergen ke limit yang sama dengan limit sub barisannya.
Bukti :
Diberikan barisan Cauchy * + di ( ) maka untuk setiap terdapat
bilangan bulat ( ) sehingga ( ) dengan ( ). Barisan
{ } sub barisan dari * + konvergen, misal konvergen ke . Diperhatikan
bahwa * + barisan bilangan bulat positif yang naik maka ( )
untuk ( ). Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ( )
( ) ( ) ( ) untuk ( ). Jika ,
maka ( ) . Sehingga ( ) yang artinya bahwa * +
konvergen ke
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang : ruang metrik,
barisan Cauchy, dan barisan konvergen. Selanjutnya, pada definisi berikut ini
menunjukkan hubungan ketiganya yaitu tentang ruang metrik lengkap.
Definisi 2.1.8 (Barnsley, 1988:18)
Ruang metrik ( ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy * + di mempunyai limit , dengan kata lain konvergen ke suatu titik di .
Contoh 2.1.8
Ruang metrik ( ) dengan merupakan jarak Euclides adalah ruang metrik
lengkap.
Bukti :
( ) √( ) ( ) dengan ( ) dan
( ) . Misalkan diberikan barisan * + untuk ,
( ) didefinisikan barisan Cauchy di sehingga ( ) untuk . Kemudian untuk terdapat bilangan bulat ( )
sedemikian sehingga ( ) √( ) ( ) untuk setiap ( ). Menggunakan prinsip kekonvergenan * + akan konvergen ke suatu titik katakanlah . Berlaku untuk setiap ( ) * + akan konvergen ke suatu titik ( ) .
Contoh 2.1.9
Diketahui ruang metrik ( ) dengan metrik Euclides dan ( ). Ruang
metrik ( ) merupakan ruang metrik tidak lengkap.
Bukti :
Terdapat barisan * + , akan dibuktikan barisan * + barisan Cauchy.
Diberikan maka terdapat sehingga . Untuk setiap
berlaku , . Barisan * + adalah barisan Cauchy namun barisan * + konvergen ke sehingga ( ) bukan ruang metrik lengkap.
Sistem bilangan real mempunyai dua tipe sifat. Sifat yang pertama adalah
aljabar dengan penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Sifat yang kedua
adalah topologi yang ada kaitannya dengan jarak antar bilangan dan konsep
limit (Shirali dan Vasudeva, 2006:64). Pembahasan selanjutnya yaitu tentang
topologi dalam ruang metrik khususnya himpunan terbuka dan himpunan
tertutup. Sebelum membahas tentang dua hal tersebut perlu diketahui terlebih
dahulu tentang : persekitaran, titik interior, dan titik limit.
Definisi 2.1.9 (Shirali dan Vasudeva, 2006:64)
Misalkan ruang metrik ( ) himpunan ( ) * ( ) + di
mana dan , disebut bola buka dengan jari-jari dan pusat .
Himpunan ̅( ) * ( ) + di mana dan , disebut bola tertutup dengan jari-jari dan pusat .
Contoh 2.1.10
Bola buka ( ) di garis real adalah selang terbuka ( ). Contoh
bola tertutup ̅( ) di garis real adalah selang tertutup , -.
Definisi 2.1.10 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)
Diberikan ruang metrik ( ) persekitaran di adalah sebarang bola buka di ( ) dengan pusat di .
Definisi 2.1.11 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)
Himpunan bagian dari ruang metrik ( ) dikatakan terbuka jika untuk sebarang , terdapat sehingga ( ) .
Berikut ini adalah suatu teorema 2.1.3 yang menyatakan bahwa setiap bola
buka merupakan himpunan terbuka. Terorema 2.1.4 menunjukkan keterkaitan
antar himpunan-himpunan terbuka dimana gabungan himpunan-himpunan
terbuka merupakan himpunan terbuka, demikian juga untuk irisan
himpunan-himpunan terbuka juga merupakan himpunan-himpunan terbuka.
Teorema 2.1.3 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)
Dalam sebarang ruang metrik ( ), setiap bola buka adalah himpunan
terbuka.
Bukti :
Misalkan ( ) adalah bola buka tak kosong maka ( ). Ambil
sebarang titik ( ) maka ( ) . Misalkan ( ) .
Akan dibuktikan ( ) ( ). Untuk sebarang ( ) berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) , berarti bahwa ( ).
Dengan demikian ( ) ( ) dan merupakan bola buka. Sehingga ( ) adalah himpunan terbuka di
Teorema 2.1.4 (Shirali dan Vasudeva, 2006:67)
Diberikan ruang metrik ( ), maka
( ) dan adalah himpunan terbuka di ( ).
( ) Gabungan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah
himpunan terbuka.
Bukti :
( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa setiap
titik di adalah titik pusat bola buka otomatis terpenuhi yaitu himpunan
kosong juga. Selanjutnya, ruang terbuka karena setiap titik pusat bola
buka ada di .
( ) Diberikan sebarang himpunan dan * : + yang merupakan
keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan ⋃ . Jika maka jelas bahwa terbuka menurut ( ) Asumsikan bahwa ,
ambil sebarang maka terdapat sedemikian sehingga
. adalah himpunan terbuka maka terdapat sehingga
( ) . Jadi terdapat sehingga ( ) .
terbuka.
( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan terbuka di
dan ⋂ Akan dibuktikan terbuka. Jika maka jelas bahwa terbuka menurut ( ). Asumsikan bahwa , ambil sebarang
maka terdapat , - sedemikian sehingga . adalah
himpunan terbuka, maka terdapat sedemikian sehingga ( )
. Dipilih * + maka ( ) ( ) dengan
. Dengan demikian ( ) ⋂ ( ) .
Titik interior dari suatu himpunan akan dibahas pada definisi 2.1.12. Dari
definisi 2.1.12 diturunkan teorema 2.1.5 yang menunjukkan keterkaitan antara
titik interior dengan himpunan terbuka.
Definisi 2.1.12 (Shirali dan Vasudeva, 2006:69)
Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik ( ). Titik disebut titik
interior jika terdapat bola buka dengan pusat di sedemikian sehingga
( ) untuk suatu Himpunan semua titik interior
dinotasikan ( ) * ( ) untuk suatu +.
Contoh 2.1.11
Diketahui *( ) +, ( ) dengan dan didefinisikan ( ) | | | | | | dengan
( ) ( ) . Titik ( ) adalah titik
interior .
Bukti :
Jelas bahwa ( ) sebab . Menurut definisi
( ) ( ) dengan dipilih maka ( ) | |
| | | | dengan ( ). Akan dibuktikan . /
. Ambil sebarang ( ) . / perhatikan bahwa
| | | | | | | |
| |
, dengan cara yang sama diperoleh dan . Kemudian
yang berarti ( ) . Dengan demikian . /
Teorema 2.1.5 (Shirali dan Vasudeva, 2006:69)
Diberikan himpunan bagian dari ruang metrik ( ).
( ) adalah himpunan bagian terbuka dari yang memuat setiap
himpunan bagian terbuka dari .
( ) terbuka jika dan hanya jika .
Bukti :
( ) Diberikan sebarang . Menurut definisi terdapat bola buka ( )
. Berdasarkan teorema 2.1.3 ( ) adalah himpunan terbuka, setiap titik
di ( ) merupakan titik pusat dari bola buka dalam ( ) dan juga di
dalam . Oleh karena itu setiap titik dalam ( ) adalah titik interior maka ( ) . Dengan demikian adalah titik pusat bola buka dalam
. Karena dan ( ) berarti bahwa terbuka. Misalkan
dan adalah himpunan terbuka. Ambil sebarang maka
terdapat bola buka ( ) . Jadi menurut definisi 2.1.12 . Berarti bahwa dengan kata lain .
( )
Diketahui terbuka. Berdasarkan ( ) diperoleh bahwa dan
yang berarti bahwa .
Diketahui , seperti halnya pada ( ) diperoleh bahwa terbuka
yang artinya juga terbuka.
Suatu titik di disebut sebagai titik limit jika memenuhi definisi 2.1.13.
Jika setiap titik limit dari suatu himpunan adalah himpunan bagian dari
himpunan tersebut, maka himpunan itu dikatakan himpunan tertutup. Lebih
jelasnya himpunan tertutup didefinisikan pada definisi 2.1.14. Teorema 2.1.6
mengatakan hubungan antar himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Melalui
teorema 2.1.6 ini dapat diketahui bahwa jika suatu himpunan adalah tertutup
maka komplemennya terbuka, demikian pula jika komplemen suatu himpunan
adalah terbuka maka himpunannya tertutup. Dengan kata lain berlaku
biimplikasi antara himpunan dan komplemen himpunannya.
Definisi 2.1.13 (Shirali dan Vasudeva, 2006:70)
Diberikan ruang metrik dan . Titik disebut titik limit jika
setiap bola buka dengan titik pusat memuat setidaknya satu titik yang
berbeda dengan di , dengan kata lain ( ( ) * +) ⋂ . Himpunan
Definisi 2.1.14 (Shirali dan Vasudeva, 2006:71)
Himpunan bagian dari ruang metrik ( ) dikatakan tertutup jika memuat
setiap titik limitnya dengan kata lain .
Teorema 2.1.6 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74)
Diberikan ruang metrik ( ) dan . tertutup di jika dan hanya jika terbuka di .
Bukti :
Andaikan tertutup di , akan dibuktikan terbuka di . Jika maka dan merupakan himpunan terbuka menurut teorema 2.1.4. Asumsikan
bahwa . Ambil sebarang maka . Karena tertutup
dan maka bukan titik limit sehingga terdapat sedemikian
sehingga ( ) . Oleh karena itu ( ) yang berarti bahwa
terbuka.
Sebaliknya, andaikan terbuka akan dibuktikan tertutup. Ambil dan
titik limit . Andaikan bahwa maka . Karena terbuka maka
terdapat sehingga ( ) yang berarti ( ) . Akibatnya
bukan titik limit , kontradiksi dengan titik limit . Sehingga haruslah
.
Seperti halnya pada himpunan terbuka. Pada terorema 2.1.7 di bawah ini
menunjukkan keterkaitan antar himpunan-himpunan tertutup dimana gabungan
himpunan-himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup, demikian juga
Gabungan himpunan dengan himpunan titik limitnya disebut sebagai closure
(penutup). Lebih jelasnya, pada definisi 2.1.15 didefinisikan closure dari suatu
himpunan.
Teorema 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74)
Diberikan ruang metrik ( ) maka
( ) dan adalah himpunan tertutup
( ) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
( ) Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti :
( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa himpunan
tertutup memuat semua titik limitnya terpenuhi oleh himpunan kosong.
Sebarang ruang memuat semua titik, berarti bahwa memuat semua titik
limitnya.
( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan tertutup di dan ⋂ .
Menurut teorema 2.1.6, tertutup jika terbuka. Dengan hukum De
Morgan
(⋂ ) ⋃
Diketahui tertutup, menurut teorema 2.1.6 adalah himpunan
terbuka. Dengan teorema 2.1.4 ( ) ⋃ adalah himpunan terbuka sehingga terbuka.
( )Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup
* + dan misalkan ⋃ . Menurut teorema 2.1.6 tertutup jika terbuka. Dengan hukum De Morgan diperoleh
(⋃
) ⋂
Diketahui untuk setiap adalah tertutup maka menurut
teorema 2.1.6 untuk setiap adalah terbuka. Dengan
menggunakan teorema 2.1.4 ( ) ⋂ adalah himpunan terbuka. Karena ⋂ maka terbuka sehingga tertutup.
Definisi 2.1.15 (Shirali dan Vasudeva, 2006:72)
Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik ( ). Himpunan
disebut closure (penutup) dari dan dinotasikan dengan ̅.
Contoh 2.1.12
Diberikan ruang metrik ( ) adalah jarak Euclides di dan himpunan
dengan 2 3. Titik limit adalah 2, maka ̅ * +.
Sebelum mempelajari tentang ruang metrik yang kompak perlu diketahui
terlebih dahulu tentang selimut. Pada definisi 2.1.16 didefinisikan suatu selimut
terbuka dari ruang metrik.
Definisi 2.1.16 (Shirali dan Vasudeva, 2006:84)
Diberikan ruang metrik ( ) dan adalah keluarga himpunan terbuka di .
, maka disebut selimut terbuka dari . Keluarga bagian dari yang
merupakan selimut terbuka dari disebut selimut bagian.
Contoh 2.1.13
Gabungan keluarga interval-interval terbuka pada * ( ) ( ) ( ) ( ) + adalah selimut terbuka di .
Definisi 2.1.17 (Shirali dan Vasudeva, 2006:171)
Ruang metrik ( ) dikatakan kompak jika setiap selimut terbuka dari
mempunyai suatu selimut bagian berhingga yaitu keluarga bagian berhingga * + sedemikian sehingga ⋃ .
Contoh 2.1.14
Diberikan himpunan bagian terbatas dari ruang metrik ( ). adalah
himpunan kompak
Bukti :
Misalkan * + dan selimut terbuka dari dengan * + maka ⋃ . Untuk ada , sedemikian sehingga
. Demikian juga untuk ada , sedemikian sehingga .
Berlaku seterusnya hingga untuk ada sedemikian sehingga
. Dengan demikian diperoleh keluarga bagian dari yaitu
{ }. Kerena memuat selimut bagian berhingga maka
Definisi 2.1.18 (Shirali dan Vasudeva, 2006:76)
Diberikan ruang metrik ( ) dan himpunan bagian tak kosong dari .
dikatakan terbatas jika terdapat sedemikian sehingga ( )
.
Definisi 2.1.18 mendefinisikan tentang keterbatasan suatu himpunan.
Himpunan yang terbatas adalah himpunan yang memiliki nilai maksimum
untuk setiap titik-titik pada himpunannya. Nilai maksimum jarak dalam definisi
2.1.18 ditandakan dengan suatu konstantan real . Selanjutnya, melalui
teorema 2.1.8 ditunjukkan bahwa himpunan kompak dari suatu ruang metrik
adalah tertutup dan terbatas. Melalui teorema 2.1.8 ini secara tidak langsung
menunjukkan bahwa adanya keterkaitan antara kekompakan, ketertutupan, dan
keterbatasan dari suatu himpunan.
Teorema 2.1.8 (Shirali dan Vasudeva, 2006:172)
Diberikan ruang metrik ( ) dan . Jika himpunan kompak dari ( ) maka tertutup dan terbatas.
Bukti :
Diberikan himpunan bagian kompak dari ruang metrik ( ) dan ,
. Untuk suatu bilangan real positif ( ) dipilih ( ) ( ) maka
terdapat bola buka ( ( )) dan ( ( )) sedemikian sehingga
( ( )) ( ( )) . Jelas bahwa ⋃ ( ( )). adalah himpunan kompak maka terdapat sedemikian sehingga ⋃ ( ( )). Untuk setiap bola buka ( ( ))
memenuhi ( ( )) ( ( )) . Misalkan ⋂ ( ( )) maka himpunan bagian terbuka dari yang memuat . Selanjutnya
dibuktikan bahwa . Jika maka ( ( )) untuk
suatu dalam * + dan ( ( )). Akibatnya ( ( ))
( ( )) maka kontradiksi dengan ( ( )) ( ( ))
sehingga tidak ada titik di yang dapat menjadi titik limit di . Akibatnya
semua titik di titik limit , sehingga tertutup.
Selanjutnya akan dibuktikan terbatas. Jika tidak terbatas maka
terdapat dan di sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan positif , ( ) . Mengingat kembali untuk titik pusat bola buka di , untuk
jelas bahwa ⋃ ( ). Karena kompak maka terdapat sedemikian sehingga ⋃ ( ). Misalkan { ( ) }. Terdapat dan di sedemikian sehingga ( ) .
Karena maka terdapat dan sedemikian sehingga ( ) dan
( ). Menurut ketaksamaan segitiga diperoleh ( ) ( )
( ) ( ) . Kontradiksi dengan ( ) , sehingga
terbatas.
B. Ruang Fraktal
Pembahasan sebelumnya mempelajari ruang metrik dengan
himpunan-himpunan di yang dilengkapi dengan metrik , dan dengan beberapa
gabungan dari himpunan-himpunan kompak yang membentuk suatu ruang.
Ruang tersebut dilengkapi dengan metrik yang dinamakan metrik/jarak
Hausdorff. Ruang yang terbentuk dengan gabungan himpunan-himpunan
kompak yang dilengkapi dengan metrik Hausdorff tersebut dinamakan ruang
Fraktal. Pada definisi 2.2.1 berikut ini didefinisikan ( ) yang merupakan
ruang yang titik-titiknya (elemen-elemennya) merupakan himpunan bagian tak
kosong yang kompak.
Pada definisi 2.1.1 telah didefinisikan sebagai metrik pada . Pada
ruang fraktal himpunan yang dipakai bukan lagi tetapi ( ) yang telah
disinggung sebelumnya. Konsep jarak/metrik pada ( ) berbeda dengan jarak
pada . Definisi 2.2.2, 2.2.3, dan 2.2.4 mendefinisikan tentang pengertian jarak
pada ( ). Dari definisi-definisi jarak pada ( ) ini, diturunkanlah suatu
teorema yang menyatakan adalah suatu metrik pada ( ). Sehingga, jika
dalam ada sebagai metrik maka di dalam ( ) ada sebagai metriknya.
Definisi 2.2.1 (Barnsley, 1988:30)
Misalkan ( ) adalah ruang metrik lengkap. Kemudian ( ) didefinisikan
sebagai ruang yang titik-titiknya adalah himpunan bagian yang kompak dari
yang tak kosong.
Definisi 2.2.2 (Barnsley, 1988:30)
Diberikan ruang metrik lengkap ( ), dan ( ) didefinisikan
( ) * ( ) + kemudian ( ) disebut jarak dari titik ke
Definisi 2.2.3 (Barnsley, 1988:31)
Diberikan ruang metrik lengkap dan ( ) didefinisikan ( ) * ( ) +. ( ) adalah jarak dari himpunan ( ) ke
himpunan ( ).
Contoh 2.2.1
Tentukan ( ) jika ( ) adalah ( ) dengan jarak Euclides, dan
2 ( )
3 ⋃ * + Penyelesaian :
Infimum dari dicapai ketika yaitu . Jadi ( )
.
Contoh 2.2.2
Diketahui ( ) ruang metrik lengkap. Buktikan bahwa jika ( )
maka ( ) ( ) ( ) Bukti : ( ) * ( ) + * ( ) + * ( ) + ( ) ( ) Definisi 2.2.4 (Barnsley, 1988:34)
Diberikan ruang metrik lengkap ( ). Jarak Hausdorff antara titik dan di
( ) didefinisikan oleh
Teorema 2.2.1 (Edgar, 2008:72)
Diberikan ruang metrik . Fungsi Hausdorff adalah metrik pada ( ).
Bukti :
metrik jika memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1. Maka akan
dibuktikan memenuhi aksioma-aksioma tersebut.
( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( )
( ) Untuk maka terdapat sehingga dan . Jadi jelas bahwa
( ) . ( ) * ( ) + maka ( ) . Karena
( ) * ( ) ( )+ dan ( ) maka ( )
( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ) * ( ) +
( ) Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa ( ) ( ) ( )
Ambil sebarang maka
( ) * ( ) + * ( ) ( ) + * ( ) + * ( ) + ( ) ( ) * ( ) + * ( ) + ( ) ( )
Jadi ( ) ( ) ( ) dengan cara yang sama akan diperoleh
juga bahwa ( ) ( ) ( )
Selanjutnya akan dibuktikan ( ) ( ) ( )
( ) * ( ) ( )+
* ( ) ( )+ * ( ) ( )+
( ) ( )
Berdasar ( ) ( ) ( ) dan ( ) terbukti bahwa metrik di ( ).
Himpunan ( ) yang dilengkapi dengan metrik atau dinotasikan
dengan ( ( ) ) ini disebut sebagai ruang fraktal.
C. Transformasi
Transformasi menjadi salah satu bagian yang penting dari Geometri
Fraktal. Secara khusus geometri fraktal dicirikan dengan transformasi Afin.
Pada bagian ini juga akan dibahas tentang similaritas. Similaritas dan Afin
menjadi sifat utama dari fraktal. Bangun fraktal seperti : Segitiga Sierpinski
dan Kurva Salju Von Koch dapat dibentuk melalui dua sifat ini. Sifat inilah
yang menyebabkan suatu bangun fraktal mempunyai kemiripan diri di setiap
skala.
a. Transformasi Afin
Transformasi Afin di diperoleh dengan menerapkan transformasi
linear dan diikuti dengan translasi. Transformasi Afin melibatkan beberapa
macam transformasi diantaranya : rotasi, translasi, dilatasi dan refleksi.
Gabungan dari transformasi tersebut membentuk transformasi baru yang
disebut dengan transformasi Afin. Sebelum membahas tentang transformsi
Afin, pada definisi 2.3.1 didefinisikan suatu transformasi dari ke .
Definisi 2.3.2 mendefinisikan suatu translasi yang perlu untuk diketahui
Definisi 2.3.1 (Crownover, 1995:62)
Suatu transformasi dari ke adalah suatu pemetaan yang memenuhi ( ) ( ) ( ) untuk setiap dan skalar
Contoh 2.3.1
Sebuah contoh transformasi linear di bidang
( ) ( ) ,
Jika disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
.0 1/ 0
1 0 1
Definisi 2.3.2 (Crownover, 1995:64)
Translasi pada adalah pemetaan dengan bentuk ( ) ,
dengan adalah ketetapan atau vektor konstan.
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, setiap transformasi Afin
pada dapat direpresentasikan dengan matriks vektor sebagai berikut
( ) ,
Dalam menjadi
.0 1/ [ ] 0 1 0 1
Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan ilustrasi transformasi
Gambar 2.1 Contoh Afinitas
b. Similaritas
Ciri khas lain dari Geometri Fraktal selain Afin diri adalah similaritas
atau kesebangunan. Sebelum membahas tentang similaritas terlebih dahulu
perlu diketahui tentang pengertian Isometri. Similaritas lekat kaitannya
dengan isometri. Kemiripan (similaritas) penting untuk mengkonstruksi
bangun fraktal.
Definisi 2.3.3 (Crownover, 1995:65)
Transformasi disebut isometri jika memenuhi | ( )
( )| | |, .
Definisi 2.3.4 (Crownover, 1995:67)
Suatu transformasi disebut similar dengan rasio similaritas
jika memenuhi syarat berikut
| ( ) ( )| | |
Berikut ini adalah definisi similar untuk suatu transformasi di .
Definisi 2.3.5 (Barnsley, 1988:54)
Suatu transformasi disebut similar jika transformasi afin
yang mempunyai salah satu dari bentuk
0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0
1 0 1 0 1
Untuk translasi ( ) , bilangan real , dan sudut dengan