ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Yosep Cahyo Ardi
NIM : 131414029
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Yosep Cahyo Ardi
NIM : 131414029
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
SKRIPSI
ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA
Oleh :
Yosep Cahyo Ardi
Telah disetujui oleh :
Pembimbing
iii
SKRIPSI
ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA
Dipersiapkan dan ditulis oleh :
Yosep Cahyo Ardi
NIM : 131414029
Telah dipertahankan di depan panitia penguji
pada tanggal 15 Juni 2017
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ...
Sekretaris : Dr. Hongki Julie, M.Si. ...
Anggota I : Beni Utomo, M.Sc. ...
Anggota II : Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. ...
Anggota III : Febi Sanjaya, M.Sc. ...
Yogyakarta, 15 Juni 2017
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Energi Mengikuti Imajinasi
(Albert Einstein)
... Janganlah kuatir akan hidupmu, akan apa yang hendak kamu makan, dan
janganlah kuatir pula akan tubuhmu, akan apa yang hendak kamu pakai.
(Lukas, 12 : 22)
Kupersembahkan untuk :
Tuhan Yesus
Bunda Maria
Ibuku Tarmi dan bapakku Haryono
Almamaterku : Universitas Sanata Dharma
v
PERNYATAAN KEASILAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 15 Juni 2017
Penulis
vi
ABSTRAK
Yosep Cahyo Ardi, 2017. Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.
Garis pantai memiliki bentuk yang tidak beraturan, karena tetidakteraturannya sulit untuk menentukan panjang garis pantai secara tepat. Garis pantai mempunyai pola-pola yang mirip dengan bangun- bangun fraktal. Garis pantai yang utuh dapat didekati dengan mengulangi pola-pola dasar sehingga mendekati bentuk garis pantai aslinya. Berdasarkan sifat kemiripan yang sesuai dengan sifat fraktal yaitu self similarity, maka penelitian ini menggunakan pendekatan fraktal. Metode yang digunakan adalah pengolahan citra satelit yang diambil dari Google Maps. Gambar garis pantai Yogyakarta terlebih dahulu dipotong-potong sesuai dengan karakteristiknya. Kemudian, dicari dimensi fraktalnya untuk tiap-tiap bagian menurut metode Dimensi Kotak ( )
dengan beberapa nilai Penghitungan dilakukan dengan bantuan
software MATLAB. Hasil dimensi fraktal inilah yang akan digunakan untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.
Hasil penelitian menunjukkan prediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah 134 . Panjang garis pantai berdasarkan pengukuran langsung menggunakan Google Maps adalah 127 yang artinya selisih 7 atau dengan nilai galat 5,51%. Menurut Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa Yogyakarta (BLH DIY) panjang garis pantai Yogyakarta adalah 113 , yang berarti bahwa selisih 21 atau dengan nilai galat 18,58%. Prediksi dengan pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta lebih panjang 5,51% dari pengukuran langsung dengan Google Maps, dan lebih panjang 18,58% dari data panjang garis pantai Yogyakarta berdasarkan BLH DIY.
vii
ABSTRACT
Yosep Cahyo Ardi, 2017. Fractal Analysis of Coastline in Yogyakarta. Thesis Mathematics Education Study Program, Mathematics and Sciene Education Department, Faculty of Teacher Training and Education. Sanata Dharma University.
The coastline has irregular shape, since it is difficult to determine the exact length of the coastline. The coastline has patterns that are similar to fractal builds. The intact coastline can be approached by repeating the basic patterns so as to approximate the shape of the original coastline. Based on the similarity characteristic in accordance with fractal characteristic is self similarity, this research uses fractal approach. The method used is the processing of satellite images taken from Google Maps. The image of Yogyakarta’s coastline first cut into pieces according to their characteristics. Then, looking for the fractal dimension for each section according to the Box Dimension method ( )
with multiple values . The calculation is done by using
MATLAB software. The result of this fractal dimension will be used to determine the predicted value of coastline length in Yogyakarta.
The result shows that the predicted length of Yogyakarta’s coastline is 134 . The length of the coastline based on the direct measurement using Google Maps is 127 which means the difference of 7 or with the error rate of 5,51 %. According to Yogyakarta’s Environment Agency (BLH DIY) the length of Yogyakarta’s coastline is 113 , which means that the difference is 21 with an error rate of 18,58 %. The prediction with this fractal approach gives the mean that the long of Yogyakarta’s coastline is 5,51% longer than the direct measurement with Google Maps, and 18,58% longer than the long coastline data of Yogyakarta based on BLH DIY.
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :
Nama : Yosep Cahyo Ardi
NIM : 131414029
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul :
ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata
Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa
meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap
mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Yogyakarta, 15 Juni 2017
Yang menyatakan
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang
telah melimpahkan berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul “Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta” ini dengan
baik dan tepat waktu. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Sarjana Pendidikan.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis menemui banyak masalah yang
menghambat penulisan. Penulis menyadari skripsi ini tidak akan selesai dengan
baik tanpa dukungan dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
3. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku dosen pembimbing skripsi yang juga
sekaligus dosen pembimbing akademik yang telah bersedia meluangkan
waktu, tenaga, dan masukan selama penulisan skripsi dan selama penulis
menjalani kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta.
4. Bapak dan ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas
Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama kuliah di Pendidikan
x
5. Seluruh staf sekretariat JPMIPA Universitas Sanata Dharma yang telah
membantu dalam hal administrasi.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah menyediakan buku-buku
yang menunjang perkuliahan selama kuliah di Program Studi Pendidikan
Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
7. Kedua orang tua penulis Ibu Tarmi dan Bapak Haryono yang telah
membiayai kuliah, mendukung, memberi semangat, dan berdoa untuk
kesuksesan penulis.
8. Van Deventer-maas Stichting yang telah membantu membiayai kuliah dalam
bentuk beasiswa.
9. Kakek penulis Mbah Mitro dan keluarga besar Mbah Mitro yang telah
mendukung, dan berdoa untuk penulis.
10. Saudara sepupu penulis Nidia yang telah meminjamkan laptop selama penulis
menulis skripsi.
11. Teman-teman seperjuangan Dhevin, Dora, Emi, Tri, Ipo, Dina, Gerar, dan
Ardian yang telah memberi dukungan, semangat, dan motivasi.
12. Teman-teman Pendidikan Matematika Kelas A yang telah berdinamika
berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah.
13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang telah berdinamika
berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah.
14. Teman-teman UKM Seni Karawitan yang telah berbagi pengetahuan tentang
xi
15. Teman-teman PPL yang telah memberikan semangat dan dukungan Ines,
Shella, Ana, Clara, Agnes, Stephani, dan Br. Anton.
16. Semua pihak yang telah bermurah hati membantu penulis selama kuliah dan
selama menulis skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Yogyakarta, 15 Juni 2017
Penulis
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASILAN KARYA ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... viii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xiv
DAFTAR GAMBAR ... xv DAFTAR LAMPIRAN ... xx BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Rumusan Masalah ... 5 C. Batasan Masalah... 5 D. Tujuan Penelitian ... 5 E. Manfaat Penelitian ... 6 F. Metode Penelitian... 6 G. Sistematika Penulisan ... 8
xiii
A. Ruang Metrik ... 10
B. Ruang Fraktal ... 33
C. Transformasi ... 37
D. Sistem Fungsi Iterasi ... 41
BAB III ANALISIS FRAKTAL ... 49
A. Regresi Linear ... 49
B. Dimensi Fraktal ... 52
BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA... 73
A. Dimensi Fraktal Garis Pantai Yogyakarta... 74
B. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta ... 88
BAB V PENUTUP ... 91
A. Kesimpulan ... 91
B. Saran ... 92
DAFTAR PUSTAKA ... 94
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian ... 51
Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh hasil penelitian... 51
Tabel 3.3 Perolehan jumlah selimut- untuk Citra Lena ... 71
Tabel 3.4 Nilai residual masing-masing untuk Citra Lena ... 72
Tabel 4.1 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian I ... 75
Tabel 4.2 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian II ... 77
Tabel 4.3 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian III ... 79
Tabel 4.4 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian IV ... 81
Tabel 4.5 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian V ... 83
Tabel 4.6 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VI ... 85
Tabel 4.7 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VII ... 87
Tabel 4.8 Prediksi panjang garis pantai untuk tiap-tiap bagian ... 89
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski ... 4
Gambar 1.1 (b) Kurva Koch... 4
Gambar 2.1 Contoh afinitas ... 39
Gambar 2.2 Contoh similaritas ... 40
Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma Deterministik untuk Segitiga Sierpinski... 47
Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga Sierpinski ... 47
Gambar 3.1 Himpunan Cantor ... 59
Gambar 3.2 Segitiga Sierpinski ... 61
Gambar 3.3 Kurva Von Koch ... 63
Gambar 3.4 Karpet Sierpinski ... 66
Gambar 3.5 (a) Citra Asli Lena ... 69
Gambar 3.5 (b) Citra Biner Lena dengan deteksi tepi Canny ... 69
Gambar 3.6 Diagram Alir pencacahan selimut ... 69
Gambar 3.7 List program pencacahan selimut untuk Citra Lena... 70
Gambar 3.8 Garis Regresi untuk dimensi citra Lena ... 71
Gambar 3.9 Nilai residual untuk citra Lena ... 72
Gambar 4.1 (a) Garis pantai Yogyakarta via google maps ... 74
Gambar 4.1 (b) Pemotongan garis pantai menjadi 7 bagian ... 74
Gambar 4.2 (a) Garis Pantai bagian I setelah diedit dengan Photo Scape ... 75
Gambar 4.2 (b) Citra biner garis pantai bagian I dengan deteksi tepi Canny ... 75
xvi
Gambar 4.4 Nilai residual untuk garis pantai bagian I ... 76
Gambar 4.5 (a) Garis Pantai bagian II setelah diedit dengan Photo Scape ... 77
Gambar 4.5 (b) Citra Biner garis pantai bagian II dengan deteksi tepi Canny .... 77
Gambar 4.6 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian II ... 78
Gambar 4.7 Nilai residual untuk garis pantai bagian II ... 78
Gambar 4.8 (a) Garis pantai bagian III setelah diedit dengan Photo Scape ... 79
Gambar 4.8 (b) Citra biner garis pantai bagian III dengan deteksi tepi Canny ... 79
Gambar 4.9 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian III ... 80
Gambar 4.10 Nilai residual log untuk garis pantai bagian III ... 80
Gambar 4.11(a) Garis pantai bagian IV setelah diedit dengan Photo Scape ... 81
Gambar 4.11(b) Citra biner garis pantai bagian IV dengan deteksi tepi Canny ... 81
Gambar 4.12 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV ... 82
Gambar 4.13 Nilai residual untuk garis pantai bagian IV ... 82
Gambar 4.14(a) Garis pantai bagian V setelah diedit dengan Photo Scape ... 83
Gambar 4.14(b) Citra biner garis pantai bagian V dengan deteksi tepi Canny ... 83
Gambar 4.15 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian V ... 84
Gambar 4.16 Nilai residual untuk garis pantai bagian V ... 84
Gambar 4.17(a) Garis Pantai bagian VI setelah diedit dengan Photo Scape ... 85
Gambar 4.17(b) Citra Biner garis pantai bagian VI dengan deteksi tepi Canny ... 85
Gambar 4.18 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI ... 86
Gambar 4.19 Nilai residual untuk garis pantai bagian VI ... 86
Gambar 4.20(a) Garis pantai bagian VII setelah diedit dengan Photo Scape ... 87
xvii
Gambar 4.21 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VII ... 88 Gambar 4.22 Nilai residual untuk garis pantai bagian VII ... 88
xviii
DAFTAR SIMBOL
: Himpunan semua bilangan real
: Himpunan semua bilangan asli
( ) : Jarak titik ke titik
: Untuk semua
: Elemen
: Tidak sama dengan
: Tak hingga
: Ruang dimensi atas bilangan real
* + : Barisan
* ( )+ : Barisan pemetaan-pemetaan kontraksi
( ) : Bola terbuka di dengan jari-jari , berpusat di
̅( ) : Bola tertutup di dengan jari-jari , berpusat di
: Himpunan bagian
: Himpunan bagian sejati
: Gabungan
: Irisan
: Himpunan kosong
( ) : * ( ) untuk suatu +, Himpunan semua titik
interior
: yang memenuhi ( ( ) * +) ⋂ himpunan semua titik
limit
xix : Bukan elemen
̅ : Himpunan titik closure
( ) : * kompak+, keluarga himpunan bagian tak kosong
yang kompak dari
( ) : * ( ) ( )+ jarak Hausdorff antara titik dan di
( )
: Skalar bernilai real
( ) : Dimensi Hausdorff-Besicovitch
: Nilai pendekatan
: Implikasi kiri ke kanan
: Implikasi kanan ke kiri
: Dimensi Kotak bawah
: Dimensi Kotak atas
( ) : Jumlah minimum selimut berukuran yang dapat menyelimuti
xx
DAFTAR LAMPIRAN
List Program Tampilan GUI (Graphical User Interface) MATLAB ... 96 Hasil Eksekusi Program dengan Tampilan GUI ... 104
1
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Yogyakarta adalah salah satu tempat destinasi wisata populer di
Indonesia. Yogyakarta memiliki keindahan panorama pantai yang indah.
Secara umum pantai di Yogyakarta terbagi menjadi 3 wilayah pantai yaitu :
Kulon Progo, Bantul, dan Gunung Kidul. Berdasarkan yogyalagi.com Kulon
Progo memiliki 4 pantai, Bantul memiliki 8 pantai, sedangkan Gunung Kidul
berdasarkan noyvesto.net memiliki 70 pantai. Kulon Progo dan Bantul
tersusun oleh dataran Aluvial, sedangkan di Gunung Kidul berupa kawasan
perbukitan Batu Gamping.
Garis Pantai adalah pertemuan antara daratan dengan lautan yang
dipengaruhi oleh pasang surut air laut (UU No 4 Tahun 2011). Garis pantai
memiliki bentuk yang tak beraturan. Pembentukan garis pantai ini
dipengaruhi oleh faktor abrasi dan struktur batuan. Panjang garis pantai
dahulu dengan panjang garis pantai pada masa sekarang mungkin berbeda.
Hai ini dikerenakan faktor abrasi dan struktur batuan dari pantai tersebut.
Sulit untuk ditentukan panjang garis pantai secara tepat. Berbeda cara
pengukuran dimungkinkan akan menghasilkan hasil yang berbeda. Menurut
Dodi Sukmayadi dalam www.bakosurtanal.go.id terdapat beberapa metode
dalam menentukan dan mengukur garis pantai diantaranya : survei terestris
(dilaksanakan langsung ke lapangan), interpretasi foto udara, interpretasi citra
memiliki kelebihan dan kekurangan. Interpretasi foto udara memberikan hasil
yang akurat namum membutuhkan biaya yang mahal, foto citra satelit
membutuhkan biaya yang lebih murah namun hasilnya kurang akurat,
sedangkan dengan metode survei terestris menghasilkan hasil yang cukup
akura namun kurang efektif karena hanya dapat dilakukan untuk
daerah-daerah yang mudah dijangkau.
Matematika adalah ilmu yang dipelajari untuk membantu menyelesaikan
permasalahan yang dihadapi manusia. Secara sadar ataupun tidak sadar kita
mengetahui bahwa alam berkaitan erat dengan matematika. Matematika dapat
ditemukan di alam. Salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan
alam adalah geometri. Geometri berasal dari dua kata bahasa Yunani yang
berarti bumi, dan ukuran, tampak bahwa Geometri muncul untuk kebutuhan
pengukuran tanah (bumi) (Burton, 2011:53). Pada mulanya geometri
digunakan oleh bangsa Mesir untuk menentukan batas-batas tanah yang
hilang karena banjir di sungai Nil. Salah satu pelopor geometri adalah
Euclides (325-265 SM) yang kini karyanya disebut sebagai Geometri Euclid.
Geometri Euclid banyak diterapkan dalam bidang teknik seperti : Arsitektur,
gambar-gambar perspektif, maupun gambar-gambar teknik lain. Geometri
Euclid juga dapat ditemui disekitar kita. Benda-benda yang menyerupai
segitiga, persegi panjang, trapesium, balok, kerucut, dan tabung dapat kita
temukan di sekitar kita.
Benda-benda alam disekitar kita mungkin secara umum menyerupai
fenomena alam yang tidak dapat dikaji dengan geometri Euclid. Geometri
Euclid terlalu umum untuk mempresentasikan benda-benda alam. Seorang
matematikawan mengatakan bahwa Clouds are not spheres, mountains are
not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nur does lighting trevel in a straight line. More generally, I claim that many patterns of nature are so irregular and fragmented Mandelbrot (1983:1). Secara tidak langsung Mandelbrot mengatakan bahwa dengan Geometri Euclid saja alam
tidak dapat dikaji dengan baik. Awan tidak dapat digambarkan hanya dengan
gambar bulatan saja, gunung tidak dapat digambarkan hanya dengan sebuah
kerucut, garis pantai tidak dapat digambarkan hanya dengan lingkaran, dan
permukaan kulit kayu tidaklah halus. Secara umum Mandelbrot mengatakan
bahwa alam terdiri dari pola-pola tidak beraturan dan terpecah-pecah.
Seiring berkembangnya geometri muncullah gagasan-gagasan lain yang
bertentangan dengan geometri Euclid yang disebut sebagai Geometri
Non-Euclid. Salah satu Geometri Non-Euclid adalah Geometri Fraktal. Istilah
Fraktal pertama kali dipakai Beniot Mandelbrot pada tahun 1975. Fraktal atau
fractal dalam bahasa Inggris berasal dari bahasa latin frangere yang berarti “rusak” kata ini untuk mendeskripsikan bentuk yang tidak beraturan
(Mandelbrot, 1983:4). Tokoh matematikawan lain yang berperan dalam
perkembangan Geometri Fraktal adalah Waclaw Sierpinski yang dikenal
dengan temuannya yaitu Segitiga Sierpinski, Helge von Koch yang dikenal
(Sumber : http://wiki.eanswers.com/id/Fraktal) (Sumber : Falconer, 2003)
Cantor dengan himpunan Cantor. Temuan-temuan itulah yang menjadi dasar
berkembangnya Fraktal.
Fraktal dikenal dengan kemampunannya dalam menyajikan alam. Alam
yang “rumit” dapat direpresentasikan dengan cukup baik oleh geometri
fraktal. Garis Pantai adalah salah satu bentuk alam yang tak teratur. Garis
Pantai memiliki lekukan-lekukan yang berbeda-beda di sepanjang garis
pantai. Namun demikian, lekukan ini mirip satu sama lain. Kemiripan adalah
sifat utama Fraktal, sebab bangun Fraktal bisa dihasilkan dengan mengulang
pola-pola sehingga membentuk suatu bangun yang mirip dengan bangun
aslinya. Ketika suatu bangun fraktal dipotong kemudian diperbesar akan
terlihat bangun itu mirip dengan bangun sebelumnya. Secara terus-menerus
dengan pemotongan di tak hingga dan diperbesar tetap mirip dengan bangun
sebelumnya sifat ini disebut self-similarity.
Berbeda dengan Geometri Euclid, Geometri Euclid mempunyai dimensi
bulat misalnya berdimensi : 0, 1, 2, atau 3. Titik mempunyai dimensi 0, garis
mempunyai dimensi 1, bidang mempunyai dimensi 2, dan benda pejal
mempunyai dimensi 3. Bangun Fraktal mempunyai dimensi yang berbeda
Gambar 1.1 (b) Kurva Koch Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski
dengan dimensi Geometri Euclid. Dimensi ini bisa tidak bulat tetapi pecahan.
Bangun fraktal bisa memiliki dimensi antara 0 dan 2, atau antara 2 dan 3.
Pegunungan, awan, pohon, dan bunga semua mempunyai dimensi antara 2
dan 3 (Oliver, 1997:32). Dimensi pecahan pada geometri fraktal ini lebih
dikenal dengan nama Dimensi Fraktal.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana cara mencari dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta?
2. Bagaimana cara menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di
Yogyakarta?
3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat yang tinggal di daerah
pesisir pantai Yogyakarta?
C. Batasan Masalah
Penulisan ini membahas mengenai geometri fraktal sebagai dasar
penelitian. Penelitian mengabaikan faktor susunan batuan Pantai di
Yogyakarta. Peneliti hanya fokus kepada bentuk gambar citra satelit oleh
Google Maps. Peneliti juga mempercayai keakuratan Google Maps sebab Google Maps telah menjadi salah satu aplikasi maps terpopuler di dunia.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah :
1. Mengetahui dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta.
3. Mengetahui relevansi penelitian bagi masyarakat di daerah pesisir
pantai.
E. Manfaat Penelitian
a. Bagi Penulis
Penulis mendapatkan pengetahuan baru tentang Geometri Fraktal.
Disamping itu penulis juga dapat mengetahui penerapan geometri
Fraktal untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di
Yogyakarta.
b. Bagi Pembaca
Pembaca dapat mengetahui geometri lain selain geometri Euclides.
Pembaca juga dapat mengetahui cara mencari dimensi fraktal dan
dapat mengetahui penerapan ilmu pengetahuan khususnya penerapan
Geometri Fraktal untuk menemukan panjang garis pantai di
Yogyakarta. Penelitian ini juga bermanfaat bagi pembaca yang ingin
mengetahui metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan
panjang garis pantai.
F. Metode Penelitian
a. Jenis Penelitian
Berdasarkan tujuan penelitian, penelitian ini termasuk ke dalam
Penelitian Terapan. Penelitian menggunakan teori matematika
khususnya Geometri Fraktal untuk diterapkan dalam konteks dunia
jenis data yang digunakan dalam penelitian, maka penelitian ini
termasuk dalam penelitian Kuantitatif. Data yang diperoleh berupa
data numerik yang diperoleh dari pengolahan objek yang digunakan.
b. Metode Penelitian
Metode penelitian yang dilakukan adalah studi pustaka, yaitu
dengan mempelajari buku, e-book, karya ilmiah, dan jurnal yang
berkaitan dengan topik skripsi.
c. Objek Penelitian
Objek penelitian ini berupa citra digital yaitu representasi suatu
objek yang dapat diolah dengan komputer. Objek berupa representasi
garis pantai Yogyakarta dalam bentuk citra digital berformat jpg.
d. Metode Pengumpulan Data
Metode pengumpulan data dilakukan dengan cara dokumentasi.
Data diperoleh dari pengolahan objek yang diunduh dari Google Maps.
e. Instrumen Pengumpulan Data
Instrumen yang digunakan untuk pengumpulan data adalah Google
Maps dan MATLAB. Google Maps digunakan untuk memperoleh objek berupa citra digital representasi garis pantai Yogyakarta.
Sedangkan MATLAB, digunakan untuk memperoleh data yang akan
digunakan untuk menentukan dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta.
f. Analisis Data
Berdasarkan tujuannya, analisis data dibedakan menjadi dua
analisis data untuk memperoleh prediksi panjang garis pantai. Untuk
memperoleh dimensi garis pantai Yogyakarta analisis data dilakukan
dengan menggunakan MATLAB. Sedangkan untuk memperoleh
prediksi panjang garis pantai Yogyakarta, digunakan suatu rumus.
g. Langkah-langkah Penelitian
Secara umum, penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Menentukan topik skripsi.
2. Membaca referensi-referensi yang berkaitan dengan topik skripsi
dari buku, e-book, skripsi, maupun jurnal.
3. Mengambil gambar objek citra satelit melalui Google Maps.
4. Membagi objek menjadi beberapa bagian.
5. Mencari dimensi fraktal masing-masing bagian dengan membuat
program terlebih dahulu pada software MATLAB.
6. Mencari nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.
7. Menyusun hasil penelitian.
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN a. Latar Belakang b. Rumusan Masalah c. Pembatasan Masalah d. Tujuan Penelitian e. Manfaat Penelitian
f. Metode Penelitian
g. Sistematika Peneltian
BAB II LANDASAN TEORI
a. Ruang Metrik
b. Ruang Fraktal
c. Transformasi
d. Sistem Fungsi Iterasi
BAB III ANALISIS FRAKTAL
a. Regresi Linear
b. Dimensi Fraktal
BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA
a. Dimensi Fraktal Garis Pantai
b. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta
BAB V PENUTUP
a. Kesimpulan
b. Saran
DAFTAR PUSTAKA
10
BAB II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas berbagai teori yang mendasari geometri fraktal.
Teori yang dibahas diantaranya : ruang metrik, ruang fraktal, afinitas, similaritas,
dan Sistem Fungsi Iterasi. Ruang metrik mendasari ruang fraktal, sedangkan
afinitas dan similaritas adalah sifat utama fraktal. Sistem Fungsi Iterasi adalah
suatu sistem yang membentuk bangun fraktal atau mengkonstruksi fraktal.
A. Ruang Metrik
Ruang metrik penting untuk dibahas di awal, karena teori-teori tentang
fraktal didasarkan pada ruang metrik seperti halnya barisan dan ruang fraktal.
Secara umum pada pembahasan ini didasarkan pada ruang Euclid dimensi
atau . Ketika maka yang berarti himpunan semua bilangan
real. Ketika maka akan menjadi bidang datar. Titik pada
dinotasikan dengan ( ) Jika suatu himpunan bagian dari
dengan suatu fungsi jarak yang bekerja padanya dengan beberapa aksioma
yang berlaku maka disebut sebagai ruang metrik. Berikut ini adalah syarat yang
harus dipenuhi dari suatu ruang metrik yang disajikan dalam definisi ruang
metrik.
Definisi 2.1.1 (Barnsley, 1988:11)
Misalkan adalah himpunan tak kosong. Metrik pada adalah fungsi bernilai
real yang memenuhi aksioma berikut.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Metrik juga disebut sebagai fungsi jarak. Himpunan tak kosong yang
dilengkapi dengan metrik pada disebut sebagai ruang metrik, dituliskan
dengan ( ).
Contoh 2.1.1
Misalkan fungsi didefinisikan ( ) | | buktikan
bahwa ( ) adalah metrik di .
Penyelesaian :
Untuk membuktikan bahwa ( ) merupakan metrik, maka perlu dibuktikan
( ) memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1.
( ) ( ) | |
| |
( )
( ) Nilai mutlak bilangan real adalah tak negatif. Untuk
berlaku | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | |
| |
(| | | |)
| | | |
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) adalah metrik di .
Contoh 2.1.2
Misalkan didefinisikan ( ) jarak Euclides dengan ( )
√( ) ( ) ( ) dan ( )
buktikanlah bahwa ( ) adalah metrik di .
Penyelesaian :
( ) ( ) √( ) ( )
√( ) ( )
( )
( ) Akar dari suatu bilangan real adalah tak negatif. Untuk
berarti bahwa atau sehingga berlaku
√( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √( ) ( ) √ ( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) ( ) ( )
dengan ( ), (menurut ketaksamaan
segitiga)
√( ) ( ) √( ) ( )
Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) adalah metrik di .
Setelah mengetahui tentang ruang metrik, selanjutnya melihat hubungan
antar metrik. Dua metrik yang berbeda pada bisa memiliki keterkaitan satu
sama lain. Keterkaitan ini misalnya, metrik yang satu bisa dibangun oleh
metrik yang lain dengan mengalikan terhadap suatu konstanta. Dua metrik
yang demikian disebut dua metrik yang ekuivalen. Secara umum dua metrik
yang ekuivalen dicirikan oleh definisi 2.1.2 berikut ini.
Definisi 2.1.2 (Barnsley, 1988:12)
Dua metrik dan pada ruang dikatakan ekuivalen jika terdapat dan
konstan dengan sedemikian sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) .
Contoh 2.1.3
Misalkan metrik ( ) | | | | dan ( ) | | | |, metrik
( ) dan ( ) adalah dua metrik yang ekuivalen.
Bukti :
Akan dibuktikan bahwa metrik ( ) dan ( ) dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) ( ) dengan dan konstan.
| | | | | | | |
Dengan maka diperoleh
| | | | | | | | (| | | |) | | | |
yang artinya bahwa ( ) ( ) ( ) ( )
dengan demikian ( ) dan ( ) adalah dua metrik yang ekuivalen.
Definisi 2.1.3 (Barnsley, 1988:13)
Dua ruang metrik ( ) dan ( ) adalah ekuivalen jika terdapat fungsi
dengan fungsi bijektif sedemikian sehingga metrik ̃ pada
dengan definisi ̃ ( ) ( ( ) ( )) ekuivalen dengan .
Contoh 2.1.4
Misalkan , -, , - dan fungsi . Didefinisikan
sebagai metrik Euclides dan | |. Buktikanlah bahwa ( ) dan ( ) adalah dua ruang metrik yang ekuivalen.
Bukti :
Terdapat ( ) . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
̃ ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) . Menurut definisi 2.1.3
berlaku bahwa
̃ ( ) ( ( ) ( ))
| ( ) ( )|
Berdasarkan yang diketahui ( ) | | .
| ( ) ( )| | |
Dengan diperoleh
| ( ) ( )| | | | ( ) ( )|
̃ ( ) ( ) ̃ ( ) ( )
Selanjutnya, akan dibahas tentang kekontinuan suatu fungsi di dalam
ruang metrik. Fungsi yang kontinu di titik pasti mempunyai limit di tetapi
tidak sebaliknya. Berikut ini adalah definisi dari fungsi yang kontinu.
Definisi 2.1.4 (Barnsley, 1988:14)
Misalkan suatu fungsi adalah pemetaan dari ruang metrik ( )
ke ruang metrik ( ). Fungsi dikatakan kontinu jika, untuk setiap
dan terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ( ) ( )) .
Contoh 2.1.5
Misalkan diberikan ( ) dan ( ) adalah ruang metrik. Tunjukkanlah
bahwa fungsi konstan kontinu.
Bukti :
Diberikan sebarang , untuk sebarang dengan fungsi konstan
( ) berlaku ( ( ) ( )) ( )
Contoh 2.1.6
Diketahui ruang metrik di dengan metrik Euclides. Diberikan fungsi dengan definisi ( ) untuk setiap . Tunjukkanlah
bahwa kontinu.
Bukti :
Diberikan untuk sebarang . Harus dicari sedemikian
sehingga untuk setiap yang memenuhi | | berlaku | ( )
( )|
Dipilih maka | |
| ( ) ( )| | ( )| | |
dengan demikian terbukti kontinu.
Suatu barisan dalam ruang metrik dapat dibedakan menjadi dua macam
barisan, yaitu barisan konvergen dan barisan divergen. Kedua macam barisan
tersebut mempengaruhi kelengkapan dari suatu ruang metrik. Ruang metrik
dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen ke suatu
titik di ruang metriknya. Berikut ini adalah definisi dari barisan Cauchy yang
dilanjutkan dengan definisi barisan konvergen.
Definisi 2.1.5 (Barnsley, 1988:17)
Barisan * + dalam ruang metrik ( ) disebut barisan Cauchy jika
untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga ( )
Suku-suku pada suatu barisan jika diperhatikan untuk nilai suku ke- yang
semakin besar, dapat dibedakan menjadi barisan divergen dan barisan konvergen. Barisan yang menunjukkan sifat suku ke- yang semakin besar
mendekati suatu nilai tertentu disebut barisan konvergen. Sebaliknya, jika untuk nilai suku ke- yang semakin besar dari suatu barisan tidak
menunjukkan semakin dekat dengan nilai tertentu disebut sebagai barisan
divergen. Berikut ini definisi 2.1.6 mendefinisikan secara matematis suatu
barisan konvergen.
Definisi 2.1.6 (Barnsley, 1988:17)
Barisan * + dalam ruang metrik ( ) dikatakan konvergen ke
jika untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga ( ) . Titik konvergensi adalah limit dari barisan * + dinotasikan
dengan . Titik yang merupakan konvergensi dari barisan * + memenuhi ̅( ) * ( ) + atau bola tertutup dengan jari-jari dan berpusat di .
Kekonvergenan suatu barisan tidak lepas dengan adanya titik konvergensi.
Ketika suatu barisan diketahui konvergen, pastilah barisan tersebut mempunyai
titik konvergensi. Berikut ini adalah suatu teorema (2.1.1) yang menyatakan
bahwa titik konvergensi dari suatu barisan adalah tunggal. Selanjutnya melalui
teorema 2.1.2 ditunjukkan bahwa barisan yang konvergen merupakan barisan
Cauchy. Mengutip dari buku Metric Spaces (Shirali dan Vasudeva, 2006) pada
bagian (subbarisan). Pada definisi 2.1.7 tersebut dikatakan bahwa, jika suatu
barisan konvergen ke suatu titik maka subbarisannya juga konvergen ke titik
yang sama. Hal ini berlaku juga untuk subbarisan dari suatu barisan yang
konvergen ke suatu titik, barisannya juga akan konvergen ke titik yang sama
dengan subbarisannya. Sebagai akibat dari definisi 2.1.7 pada proposisi 2.1.1
keterkaitan antar barisan dan subbarisan ini juga berlaku untuk barisan Cauchy.
Teorema 2.1.1 (Searcoid, 2007:86)
Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik, barisan * + di yang konvergen
akan konvergen ke tepat satu titik di .
Bukti :
Diberikan barisan * + yang konvergen. Misalkan * + konvergen ke titik
dan titik yang berbeda. Ambil sebarang . Maka ada
sedemikian sehingga ( ) dan ( ) .
Dipilih * + sehingga untuk menurut ketaksamaan
segitiga
( ) ( ) ( )
Jadi ( ) berarti bahwa . Terbukti bahwa barisan * +
konvergen ke satu titik.
Teorema 2.1.2 (Barnsley, 1988:18)
Jika barisan * + pada ruang metrik ( ) konvergen ke maka
barisan * + merupakan barisan Cauchy.
Diberikan ruang metrik ( ) dan barisan * + di ( ) yang konvergen ke .
Menurut definisi 2.1.6 untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif
dan sehingga ( ) . Demikian juga untuk setiap
berlaku ( ) . Menurut ketaksamaan segitiga ( ) ( )
( ) untuk setiap * +. Diperoleh ( )
sehingga * + barisan Cauchy.
Contoh 2.1.7
Diketahui barisan * + =
di ruang metrik ( ) dengan dan
adalah metrik Euclides. Buktikanlah bahwa barisan * + adalah barisan
Cauchy dan konvergen ke 0.
Bukti :
Diberikan sebarang , maka terdapat sehingga . Untuk
dan misalkan berlaku
( ) (
) | |
Selanjutnya jelas bahwa ( )
Diperoleh ( ) dan ( ) maka terbukti bahwa barisan * +
barisan Cauchy dan konvergen ke 0.
Definisi 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)
Misalkan barisan * + dalam ruang metrik ( ) dan barisan bilangan
dikatakan subbarisan dari * + . Jika { } konvergen, limitnya
merupakan limit dari * + . Jelas bahwa barisan * + di
konvergen ke jika dan hanya jika setiap subbarisannya konvergen ke .
Proposisi 2.1.1 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)
Jika barisan Cauchy dalam metrik ( ) memuat sub barisan yang konvergen
maka barisan itu konvergen ke limit yang sama dengan limit sub barisannya.
Bukti :
Diberikan barisan Cauchy * + di ( ) maka untuk setiap terdapat
bilangan bulat ( ) sehingga ( ) dengan ( ). Barisan
{ } sub barisan dari * + konvergen, misal konvergen ke . Diperhatikan
bahwa * + barisan bilangan bulat positif yang naik maka ( )
untuk ( ). Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ( )
( ) ( ) ( ) untuk ( ). Jika ,
maka ( ) . Sehingga ( ) yang artinya bahwa * +
konvergen ke
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang : ruang metrik,
barisan Cauchy, dan barisan konvergen. Selanjutnya, pada definisi berikut ini
menunjukkan hubungan ketiganya yaitu tentang ruang metrik lengkap.
Definisi 2.1.8 (Barnsley, 1988:18)
Ruang metrik ( ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy * + di mempunyai limit , dengan kata lain konvergen ke suatu titik di .
Contoh 2.1.8
Ruang metrik ( ) dengan merupakan jarak Euclides adalah ruang metrik
lengkap.
Bukti :
( ) √( ) ( ) dengan ( ) dan
( ) . Misalkan diberikan barisan * + untuk ,
( ) didefinisikan barisan Cauchy di sehingga ( )
untuk . Kemudian untuk terdapat bilangan bulat ( )
sedemikian sehingga ( ) √( ) ( ) untuk setiap ( ). Menggunakan prinsip kekonvergenan * + akan konvergen ke suatu titik katakanlah . Berlaku untuk setiap ( ) * + akan konvergen ke suatu titik ( ) .
Contoh 2.1.9
Diketahui ruang metrik ( ) dengan metrik Euclides dan ( ). Ruang
metrik ( ) merupakan ruang metrik tidak lengkap.
Bukti :
Terdapat barisan * + , akan dibuktikan barisan * + barisan Cauchy.
Diberikan maka terdapat sehingga . Untuk setiap
berlaku , . Barisan * + adalah barisan Cauchy namun barisan * + konvergen ke sehingga ( ) bukan ruang metrik lengkap.
Sistem bilangan real mempunyai dua tipe sifat. Sifat yang pertama adalah
aljabar dengan penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Sifat yang kedua
adalah topologi yang ada kaitannya dengan jarak antar bilangan dan konsep
limit (Shirali dan Vasudeva, 2006:64). Pembahasan selanjutnya yaitu tentang
topologi dalam ruang metrik khususnya himpunan terbuka dan himpunan
tertutup. Sebelum membahas tentang dua hal tersebut perlu diketahui terlebih
dahulu tentang : persekitaran, titik interior, dan titik limit.
Definisi 2.1.9 (Shirali dan Vasudeva, 2006:64)
Misalkan ruang metrik ( ) himpunan ( ) * ( ) + di
mana dan , disebut bola buka dengan jari-jari dan pusat .
Himpunan ̅( ) * ( ) + di mana dan , disebut bola tertutup dengan jari-jari dan pusat .
Contoh 2.1.10
Bola buka ( ) di garis real adalah selang terbuka ( ). Contoh
bola tertutup ̅( ) di garis real adalah selang tertutup , -.
Definisi 2.1.10 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)
Diberikan ruang metrik ( ) persekitaran di adalah sebarang bola buka di ( ) dengan pusat di .
Definisi 2.1.11 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)
Himpunan bagian dari ruang metrik ( ) dikatakan terbuka jika untuk sebarang , terdapat sehingga ( ) .
Berikut ini adalah suatu teorema 2.1.3 yang menyatakan bahwa setiap bola
buka merupakan himpunan terbuka. Terorema 2.1.4 menunjukkan keterkaitan
antar himpunan-himpunan terbuka dimana gabungan himpunan-himpunan
terbuka merupakan himpunan terbuka, demikian juga untuk irisan
himpunan-himpunan terbuka juga merupakan himpunan-himpunan terbuka.
Teorema 2.1.3 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)
Dalam sebarang ruang metrik ( ), setiap bola buka adalah himpunan
terbuka.
Bukti :
Misalkan ( ) adalah bola buka tak kosong maka ( ). Ambil
sebarang titik ( ) maka ( ) . Misalkan ( ) .
Akan dibuktikan ( ) ( ). Untuk sebarang ( ) berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) , berarti bahwa ( ).
Dengan demikian ( ) ( ) dan merupakan bola buka. Sehingga ( ) adalah himpunan terbuka di
Teorema 2.1.4 (Shirali dan Vasudeva, 2006:67)
Diberikan ruang metrik ( ), maka
( ) dan adalah himpunan terbuka di ( ).
( ) Gabungan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah
himpunan terbuka.
Bukti :
( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa setiap
titik di adalah titik pusat bola buka otomatis terpenuhi yaitu himpunan
kosong juga. Selanjutnya, ruang terbuka karena setiap titik pusat bola
buka ada di .
( ) Diberikan sebarang himpunan dan * : + yang merupakan
keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan ⋃ . Jika
maka jelas bahwa terbuka menurut ( ) Asumsikan bahwa ,
ambil sebarang maka terdapat sedemikian sehingga
. adalah himpunan terbuka maka terdapat sehingga
( ) . Jadi terdapat sehingga ( ) .
terbuka.
( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan terbuka di
dan ⋂ Akan dibuktikan terbuka. Jika maka jelas
bahwa terbuka menurut ( ). Asumsikan bahwa , ambil sebarang
maka terdapat , - sedemikian sehingga . adalah
himpunan terbuka, maka terdapat sedemikian sehingga ( )
. Dipilih * + maka ( ) ( ) dengan
. Dengan demikian ( ) ⋂ ( ) .
Titik interior dari suatu himpunan akan dibahas pada definisi 2.1.12. Dari
definisi 2.1.12 diturunkan teorema 2.1.5 yang menunjukkan keterkaitan antara
titik interior dengan himpunan terbuka.
Definisi 2.1.12 (Shirali dan Vasudeva, 2006:69)
Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik ( ). Titik disebut titik
interior jika terdapat bola buka dengan pusat di sedemikian sehingga
( ) untuk suatu Himpunan semua titik interior
dinotasikan ( ) * ( ) untuk suatu +.
Contoh 2.1.11
Diketahui *( ) +, ( ) dengan dan didefinisikan ( ) | | | | | | dengan
( ) ( ) . Titik ( ) adalah titik
interior .
Bukti :
Jelas bahwa ( ) sebab . Menurut definisi
( ) ( ) dengan dipilih maka ( ) | |
| | | | dengan ( ). Akan dibuktikan . /
. Ambil sebarang ( ) . / perhatikan bahwa
| | | | | | | |
| |
, dengan cara yang sama diperoleh dan . Kemudian
yang berarti ( ) . Dengan demikian . /
Teorema 2.1.5 (Shirali dan Vasudeva, 2006:69)
Diberikan himpunan bagian dari ruang metrik ( ).
( ) adalah himpunan bagian terbuka dari yang memuat setiap
himpunan bagian terbuka dari .
( ) terbuka jika dan hanya jika .
Bukti :
( ) Diberikan sebarang . Menurut definisi terdapat bola buka ( )
. Berdasarkan teorema 2.1.3 ( ) adalah himpunan terbuka, setiap titik
di ( ) merupakan titik pusat dari bola buka dalam ( ) dan juga di
dalam . Oleh karena itu setiap titik dalam ( ) adalah titik interior maka ( ) . Dengan demikian adalah titik pusat bola buka dalam
. Karena dan ( ) berarti bahwa terbuka. Misalkan
dan adalah himpunan terbuka. Ambil sebarang maka
terdapat bola buka ( ) . Jadi menurut definisi 2.1.12 . Berarti bahwa dengan kata lain .
( )
Diketahui terbuka. Berdasarkan ( ) diperoleh bahwa dan
yang berarti bahwa .
Diketahui , seperti halnya pada ( ) diperoleh bahwa terbuka
yang artinya juga terbuka.
Suatu titik di disebut sebagai titik limit jika memenuhi definisi 2.1.13.
Jika setiap titik limit dari suatu himpunan adalah himpunan bagian dari
himpunan tersebut, maka himpunan itu dikatakan himpunan tertutup. Lebih
jelasnya himpunan tertutup didefinisikan pada definisi 2.1.14. Teorema 2.1.6
mengatakan hubungan antar himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Melalui
teorema 2.1.6 ini dapat diketahui bahwa jika suatu himpunan adalah tertutup
maka komplemennya terbuka, demikian pula jika komplemen suatu himpunan
adalah terbuka maka himpunannya tertutup. Dengan kata lain berlaku
biimplikasi antara himpunan dan komplemen himpunannya.
Definisi 2.1.13 (Shirali dan Vasudeva, 2006:70)
Diberikan ruang metrik dan . Titik disebut titik limit jika
setiap bola buka dengan titik pusat memuat setidaknya satu titik yang
berbeda dengan di , dengan kata lain ( ( ) * +) ⋂ . Himpunan
Definisi 2.1.14 (Shirali dan Vasudeva, 2006:71)
Himpunan bagian dari ruang metrik ( ) dikatakan tertutup jika memuat
setiap titik limitnya dengan kata lain .
Teorema 2.1.6 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74)
Diberikan ruang metrik ( ) dan . tertutup di jika dan hanya jika terbuka di .
Bukti :
Andaikan tertutup di , akan dibuktikan terbuka di . Jika maka dan merupakan himpunan terbuka menurut teorema 2.1.4. Asumsikan
bahwa . Ambil sebarang maka . Karena tertutup
dan maka bukan titik limit sehingga terdapat sedemikian
sehingga ( ) . Oleh karena itu ( ) yang berarti bahwa
terbuka.
Sebaliknya, andaikan terbuka akan dibuktikan tertutup. Ambil dan
titik limit . Andaikan bahwa maka . Karena terbuka maka
terdapat sehingga ( ) yang berarti ( ) . Akibatnya
bukan titik limit , kontradiksi dengan titik limit . Sehingga haruslah
.
Seperti halnya pada himpunan terbuka. Pada terorema 2.1.7 di bawah ini
menunjukkan keterkaitan antar himpunan-himpunan tertutup dimana gabungan
himpunan-himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup, demikian juga
Gabungan himpunan dengan himpunan titik limitnya disebut sebagai closure
(penutup). Lebih jelasnya, pada definisi 2.1.15 didefinisikan closure dari suatu
himpunan.
Teorema 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74)
Diberikan ruang metrik ( ) maka
( ) dan adalah himpunan tertutup
( ) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
( ) Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup
Bukti :
( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa himpunan
tertutup memuat semua titik limitnya terpenuhi oleh himpunan kosong.
Sebarang ruang memuat semua titik, berarti bahwa memuat semua titik
limitnya.
( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan tertutup di dan ⋂ .
Menurut teorema 2.1.6, tertutup jika terbuka. Dengan hukum De
Morgan
(⋂ ) ⋃
Diketahui tertutup, menurut teorema 2.1.6 adalah himpunan
terbuka. Dengan teorema 2.1.4 ( ) ⋃ adalah himpunan terbuka sehingga terbuka.
( )Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup
* + dan misalkan ⋃ . Menurut teorema 2.1.6 tertutup jika terbuka. Dengan hukum De Morgan diperoleh
(⋃
) ⋂
Diketahui untuk setiap adalah tertutup maka menurut
teorema 2.1.6 untuk setiap adalah terbuka. Dengan
menggunakan teorema 2.1.4 ( ) ⋂ adalah himpunan terbuka. Karena ⋂ maka terbuka sehingga tertutup.
Definisi 2.1.15 (Shirali dan Vasudeva, 2006:72)
Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik ( ). Himpunan
disebut closure (penutup) dari dan dinotasikan dengan ̅.
Contoh 2.1.12
Diberikan ruang metrik ( ) adalah jarak Euclides di dan himpunan
dengan 2 3. Titik limit adalah 2, maka ̅ * +.
Sebelum mempelajari tentang ruang metrik yang kompak perlu diketahui
terlebih dahulu tentang selimut. Pada definisi 2.1.16 didefinisikan suatu selimut
terbuka dari ruang metrik.
Definisi 2.1.16 (Shirali dan Vasudeva, 2006:84)
Diberikan ruang metrik ( ) dan adalah keluarga himpunan terbuka di .
, maka disebut selimut terbuka dari . Keluarga bagian dari yang
merupakan selimut terbuka dari disebut selimut bagian.
Contoh 2.1.13
Gabungan keluarga interval-interval terbuka pada * ( ) ( ) ( ) ( ) + adalah selimut terbuka di .
Definisi 2.1.17 (Shirali dan Vasudeva, 2006:171)
Ruang metrik ( ) dikatakan kompak jika setiap selimut terbuka dari
mempunyai suatu selimut bagian berhingga yaitu keluarga bagian berhingga * + sedemikian sehingga ⋃ .
Contoh 2.1.14
Diberikan himpunan bagian terbatas dari ruang metrik ( ). adalah
himpunan kompak
Bukti :
Misalkan * + dan selimut terbuka dari dengan * + maka ⋃ . Untuk ada , sedemikian sehingga
. Demikian juga untuk ada , sedemikian sehingga .
Berlaku seterusnya hingga untuk ada sedemikian sehingga
. Dengan demikian diperoleh keluarga bagian dari yaitu
{ }. Kerena memuat selimut bagian berhingga maka
Definisi 2.1.18 (Shirali dan Vasudeva, 2006:76)
Diberikan ruang metrik ( ) dan himpunan bagian tak kosong dari .
dikatakan terbatas jika terdapat sedemikian sehingga ( )
.
Definisi 2.1.18 mendefinisikan tentang keterbatasan suatu himpunan.
Himpunan yang terbatas adalah himpunan yang memiliki nilai maksimum
untuk setiap titik-titik pada himpunannya. Nilai maksimum jarak dalam definisi
2.1.18 ditandakan dengan suatu konstantan real . Selanjutnya, melalui
teorema 2.1.8 ditunjukkan bahwa himpunan kompak dari suatu ruang metrik
adalah tertutup dan terbatas. Melalui teorema 2.1.8 ini secara tidak langsung
menunjukkan bahwa adanya keterkaitan antara kekompakan, ketertutupan, dan
keterbatasan dari suatu himpunan.
Teorema 2.1.8 (Shirali dan Vasudeva, 2006:172)
Diberikan ruang metrik ( ) dan . Jika himpunan kompak dari ( ) maka tertutup dan terbatas.
Bukti :
Diberikan himpunan bagian kompak dari ruang metrik ( ) dan ,
. Untuk suatu bilangan real positif ( ) dipilih ( ) ( ) maka
terdapat bola buka ( ( )) dan ( ( )) sedemikian sehingga
( ( )) ( ( )) . Jelas bahwa ⋃ ( ( )). adalah himpunan kompak maka terdapat sedemikian sehingga ⋃ ( ( )). Untuk setiap bola buka ( ( ))
memenuhi ( ( )) ( ( )) . Misalkan ⋂ ( ( )) maka himpunan bagian terbuka dari yang memuat . Selanjutnya
dibuktikan bahwa . Jika maka ( ( )) untuk
suatu dalam * + dan ( ( )). Akibatnya ( ( ))
( ( )) maka kontradiksi dengan ( ( )) ( ( ))
sehingga tidak ada titik di yang dapat menjadi titik limit di . Akibatnya
semua titik di titik limit , sehingga tertutup.
Selanjutnya akan dibuktikan terbatas. Jika tidak terbatas maka
terdapat dan di sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan positif , ( ) . Mengingat kembali untuk titik pusat bola buka di , untuk
jelas bahwa ⋃ ( ). Karena kompak maka terdapat sedemikian sehingga ⋃ ( ). Misalkan { ( ) }. Terdapat dan di sedemikian sehingga ( ) .
Karena maka terdapat dan sedemikian sehingga ( ) dan
( ). Menurut ketaksamaan segitiga diperoleh ( ) ( )
( ) ( ) . Kontradiksi dengan ( ) , sehingga
terbatas.
B. Ruang Fraktal
Pembahasan sebelumnya mempelajari ruang metrik dengan
himpunan-himpunan di yang dilengkapi dengan metrik , dan dengan beberapa
gabungan dari himpunan-himpunan kompak yang membentuk suatu ruang.
Ruang tersebut dilengkapi dengan metrik yang dinamakan metrik/jarak
Hausdorff. Ruang yang terbentuk dengan gabungan himpunan-himpunan
kompak yang dilengkapi dengan metrik Hausdorff tersebut dinamakan ruang
Fraktal. Pada definisi 2.2.1 berikut ini didefinisikan ( ) yang merupakan
ruang yang titik-titiknya (elemen-elemennya) merupakan himpunan bagian tak
kosong yang kompak.
Pada definisi 2.1.1 telah didefinisikan sebagai metrik pada . Pada
ruang fraktal himpunan yang dipakai bukan lagi tetapi ( ) yang telah
disinggung sebelumnya. Konsep jarak/metrik pada ( ) berbeda dengan jarak
pada . Definisi 2.2.2, 2.2.3, dan 2.2.4 mendefinisikan tentang pengertian jarak
pada ( ). Dari definisi-definisi jarak pada ( ) ini, diturunkanlah suatu
teorema yang menyatakan adalah suatu metrik pada ( ). Sehingga, jika
dalam ada sebagai metrik maka di dalam ( ) ada sebagai metriknya.
Definisi 2.2.1 (Barnsley, 1988:30)
Misalkan ( ) adalah ruang metrik lengkap. Kemudian ( ) didefinisikan
sebagai ruang yang titik-titiknya adalah himpunan bagian yang kompak dari
yang tak kosong.
Definisi 2.2.2 (Barnsley, 1988:30)
Diberikan ruang metrik lengkap ( ), dan ( ) didefinisikan
( ) * ( ) + kemudian ( ) disebut jarak dari titik ke
Definisi 2.2.3 (Barnsley, 1988:31)
Diberikan ruang metrik lengkap dan ( ) didefinisikan ( ) * ( ) +. ( ) adalah jarak dari himpunan ( ) ke
himpunan ( ).
Contoh 2.2.1
Tentukan ( ) jika ( ) adalah ( ) dengan jarak Euclides, dan
2 ( )
3 ⋃ * +
Penyelesaian :
Infimum dari dicapai ketika yaitu . Jadi ( )
.
Contoh 2.2.2
Diketahui ( ) ruang metrik lengkap. Buktikan bahwa jika ( )
maka ( ) ( ) ( ) Bukti : ( ) * ( ) + * ( ) + * ( ) + ( ) ( ) Definisi 2.2.4 (Barnsley, 1988:34)
Diberikan ruang metrik lengkap ( ). Jarak Hausdorff antara titik dan di
( ) didefinisikan oleh
Teorema 2.2.1 (Edgar, 2008:72)
Diberikan ruang metrik . Fungsi Hausdorff adalah metrik pada ( ).
Bukti :
metrik jika memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1. Maka akan
dibuktikan memenuhi aksioma-aksioma tersebut.
( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )+ ( )
( ) Untuk maka terdapat sehingga dan . Jadi jelas bahwa
( ) . ( ) * ( ) + maka ( ) . Karena
( ) * ( ) ( )+ dan ( ) maka ( )
( ) ( ) * ( ) ( )+ ( ) * ( ) +
( ) Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa ( ) ( ) ( )
Ambil sebarang maka
( ) * ( ) + * ( ) ( ) + * ( ) + * ( ) + ( ) ( ) * ( ) + * ( ) + ( ) ( )
Jadi ( ) ( ) ( ) dengan cara yang sama akan diperoleh
juga bahwa ( ) ( ) ( )
Selanjutnya akan dibuktikan ( ) ( ) ( )
( ) * ( ) ( )+
* ( ) ( )+ * ( ) ( )+
( ) ( )
Berdasar ( ) ( ) ( ) dan ( ) terbukti bahwa metrik di ( ).
Himpunan ( ) yang dilengkapi dengan metrik atau dinotasikan
dengan ( ( ) ) ini disebut sebagai ruang fraktal.
C. Transformasi
Transformasi menjadi salah satu bagian yang penting dari Geometri
Fraktal. Secara khusus geometri fraktal dicirikan dengan transformasi Afin.
Pada bagian ini juga akan dibahas tentang similaritas. Similaritas dan Afin
menjadi sifat utama dari fraktal. Bangun fraktal seperti : Segitiga Sierpinski
dan Kurva Salju Von Koch dapat dibentuk melalui dua sifat ini. Sifat inilah
yang menyebabkan suatu bangun fraktal mempunyai kemiripan diri di setiap
skala.
a. Transformasi Afin
Transformasi Afin di diperoleh dengan menerapkan transformasi
linear dan diikuti dengan translasi. Transformasi Afin melibatkan beberapa
macam transformasi diantaranya : rotasi, translasi, dilatasi dan refleksi.
Gabungan dari transformasi tersebut membentuk transformasi baru yang
disebut dengan transformasi Afin. Sebelum membahas tentang transformsi
Afin, pada definisi 2.3.1 didefinisikan suatu transformasi dari ke .
Definisi 2.3.2 mendefinisikan suatu translasi yang perlu untuk diketahui
Definisi 2.3.1 (Crownover, 1995:62)
Suatu transformasi dari ke adalah suatu pemetaan yang memenuhi ( ) ( ) ( ) untuk setiap dan skalar
Contoh 2.3.1
Sebuah contoh transformasi linear di bidang
( ) ( ) ,
Jika disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
.0 1/ 0
1 0 1
Definisi 2.3.2 (Crownover, 1995:64)
Translasi pada adalah pemetaan dengan bentuk ( ) ,
dengan adalah ketetapan atau vektor konstan.
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, setiap transformasi Afin
pada dapat direpresentasikan dengan matriks vektor sebagai berikut
( ) ,
Dalam menjadi
.0 1/ [ ] 0 1 0 1
Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan ilustrasi transformasi
Gambar 2.1 Contoh Afinitas
b. Similaritas
Ciri khas lain dari Geometri Fraktal selain Afin diri adalah similaritas
atau kesebangunan. Sebelum membahas tentang similaritas terlebih dahulu
perlu diketahui tentang pengertian Isometri. Similaritas lekat kaitannya
dengan isometri. Kemiripan (similaritas) penting untuk mengkonstruksi
bangun fraktal.
Definisi 2.3.3 (Crownover, 1995:65)
Transformasi disebut isometri jika memenuhi | ( )
( )| | |, .
Definisi 2.3.4 (Crownover, 1995:67)
Suatu transformasi disebut similar dengan rasio similaritas
jika memenuhi syarat berikut
| ( ) ( )| | |
Berikut ini adalah definisi similar untuk suatu transformasi di .
Definisi 2.3.5 (Barnsley, 1988:54)
Suatu transformasi disebut similar jika transformasi afin
yang mempunyai salah satu dari bentuk
0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0
1 0 1 0 1
Untuk translasi ( ) , bilangan real , dan sudut dengan
. disebut rotasi sudut sedangkan adalah skala. Transformasi
linear
0 1 0 1 0 1 adalah suatu rotasi. Transformasi linear
0 1 0
1 0 1 adalah suatu pencerminan.
Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan transformasi dan
similaritas yang dapat dilakukan untuk suatu gambar
(Sumber : Barnsley, 1988)
D. Sistem Fungsi Iterasi
Konstruksi bangun fraktal tidak cukup dilakukan hanya dengan satu
fungsi. Pembentukan (konstruksi) bangun fraktal membutuhkan banyak
fungsi. Kumpulan fungsi-fungsi yang membentuk suatu bangun fraktal inilah
yang disebut dengan Iterated Function System (IFS) atau Sistem Fungsi
Iterasi. Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI terdiri dari himpunan
berhingga pemetaan-pemetaan kontraksi. Berikut ini pada definisi 2.4.1
didefinisikan terlebih dahulu tentang invarian (titik tetap). Suatu titik dalam
ruang metrik yang jika ditransformasikan menghasilkan titik itu sendiri
disebut titik tetap. Selanjutnya pada definisi 2.4.2 menjelaskan tentang
pemetaan kontraksi secara umum. Pemetaan kontraksi inilah yang akan
membentuk Sistem Fungsi Iterasi.
Definisi 2.4.1 (Barnsley, 1988:73)
Misalkan merupakan transformasi pada ruang metrik. Titik
sedemikian sehingga ( ) disebut titik tetap.
Contoh 2.4.1
Diketahui suatu pemetaan dengan dan ( ) . Carilah
titik tetap ( ).
Jawab :
Misalkan titik tetap dari ( ) adalah maka berlaku ( ) .