Saran - APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUC

BAB IV PENUTUP

B. Saran

= �−

(ii) Rumus nilai masa depan untuk lintasan suku bunga sesaat

, , . .. adalah �^∗ = +∑ ∏ + �− = �− =

3. Perbandingan nilai anuitas suku bunga aktual dengan nilai anuitas suku bunga stokastik dapat dilihat dari selisih nilai sekarang anuitas dan selisih nilai masa depan anuitas dengan kedua suku bunga. Diperoleh MAPE dan MSE untuk nilai sekarang anuitas sebesar 1,2147% dan 0,004358. Kemudian untuk nilai masa depan diperoleh MAPE sebesar 1,3655%dan MSE sebesar 0.007974.

B. Saran

Pembahasan pada skripsi ini masih memiliki beberapa kendala di antaranya adalah variasi tingkat suku bunga sesaat tidak dapat disesuaikan dengan tingkat suku bunga yang diinginkan karena model menyesuaikan dengan tingkat imbal

hasil obligasi. Kemudian kelemahan lain adalah fluktuasi kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil mempengaruhi pohon suku bunga sesaat sehingga perlu dilakukan penyesuaian masukan kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil demi mendapatkan pohon suku bunga sesaat yang ideal. Berdasarkan kelemahan yang telah disebutkan, penulis memberikan saran yang dapat dilakukan oleh penelitian selanjutnya:

1. Menggunakan model suku bunga sesaat yang lain.

2. Menerapkan model suku bunga stokastik ke jenis anuitas yang lebih spesifik.

3. Menggunakan data imbal hasil dari obligasi tanpa kupon di Indonesia seperti SPN dan ON tanpa kupon untuk melihat performa model di Indonesia.

APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS

(STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)

Skripsi

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

Chandra Nugroho Erlangga NIM 12305141035

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

PERSETUJUAN

Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK

WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN

FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS:

TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh

Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah disetujui oleh pembimbing untuk diujikan.

Yogyakarta, 20 Juni 2016 Dosen Pembimbing

PENGESAHAN

Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK

WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN

FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS:

TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh

Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 27 Juni 2016 dan dinyatakan lulus.

DEWAN PENGUJI

Nama Jabatan Tanda Tangan Tanggal

Rosita Kusumawati, M.Sc.

NIP.19800707 200501 2 001 ^{Ketua Penguji} ^... ^...

Nikenasih Binatari, M.Si.

NIP.19841019 200812 2 005

Sekretaris

Penguji ^... ^...

Mathilda Susanti, M.Si.

NIP.19640314 198901 2 001 Penguji I (Utama) ^... ^... Retno Subekti, M.Sc. NIP. 19811116 200501 2 002 Penguji II (Pendamping) ^... ^... Yogyakarta, Juli 2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta Dekan,

Dr. Hartono

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama : Chandra Nugroho Erlangga NIM : 12305141035

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Judul Skripsi : APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD- INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT), menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.

Apabila ternyata terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya, dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang berlaku.

Yogyakarta, 20 Juni 2016 Yang menyatakan

MOTTO

“Jesus answered and said unto him, What I do thou knowest not now; but thou shalt know hereafter”

(KJV Bible, John 13: 7)

“You cannot say to the sun ‘More sun’, or to the rain ‘Less rain’.” (Chiyo Sakamoto/Sayuri Nitta, Memoirs of a Geisha) “Things you take for granted someone else is praying for.”

(Marlan Rico Lee)

“If you do not value your own time, please value others’. You do not know how much time they have left.”

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

 Indonesia, atas kesempatan berkuliah yang amat berharga.

 Mama Ester Rini Lestari, Om Adhi, Papa Titus Erlinta dan Ibu serta Keluarga: Adik-adikku Indra, Michael, Jocelyn dan Harry, dan Eyang Kakung Petrus H. Sukamto.

 Sepuluh perempuan paling berharga dalam hidup: Mei, Arvi, Asnay, Devie, Fitri, Triyanti, Seli, Izza, Dela dan Chen Wanzhen.

 Heny Setyawan dan Rifki Chandra Utama.  Seluruh keluarga Matematika Subsidi 2012.

 Seluruh keluarga Tutor Bahasa Indonesia untuk Penutur Asing, kelas Guangdong University of Foreign Studies.

APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA

DI AMERIKA SERIKAT)

Oleh:

Chandra Nugroho Erlangga 12305141035

ABSTRAK

Anuitas merupakan salah satu jenis produk keuangan yang menjadi dasar berbagai instrumen keuangan. Variabel utama yang digunakan dalam penghitungan anuitas adalah tingkat suku bunga. Tingkat suku bunga besarnya berubah-ubah dan pergerakannya cepat sehingga pelaporannya dilakukan setiap hari. Pada kenyataannya penghitungan anuitas masih sering menggunakan tingkat suku bunga deterministik dibandingkan tingkat suku bunga stokastik. Anuitas dengan suku bunga stokastik yang dihitung dengan suku bunga sesaat model Black-Derman-Toy menggunakan metode forward-induction akan disusun.

Model Black-Derman-Toy merupakan model suku bunga stokastik waktu diskrit yang memanfaatkan tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil dari obligasi tanpa kupon untuk menyusun pohon suku bunga sesaat. Pembangunan model ini menerapkan teori-teori dari bidang teori peluang, proses stokastik, matematika keuangan dan finansial derivatif.

Data obligasi tanpa kupon yang digunakan di dalam skripsi ini adalah data United States Treasury Zero Coupon Yield Rate periode 1 Januari 2010 - 31 Desember 2010, yang terdiri dari tingkat imbal hasil untuk waktu jatuh tempo 1-5 tahun pada 252 hari kerja. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan ternyata tidak memenuhi sifat-sifat dasar pohon suku bunga sesaat yang seharusnya. Kemudian dicari rerata tingkat imbal hasil di semua waktu jatuh tempo. Hal yang sama dilakukan pada volatilitas imbal hasil, sehingga menghasilkan satu tingkat imbal hasil dan satu volatilitas imbal hasil untuk semua waktu jatuh tempo. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan dari tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil baru memenuhi kriteria yang disyaratkan di awal. Lintasan-lintasan dibuat untuk mengaplikasikan model suku bunga stokastik ke penghitungan anuitas. Selisih nilai anuitas dengan suku bunga stokastik dan suku bunga aktual menghasilkan nilai MAPE dan MSE sebesar 1,2147% dan 0,004358 untuk nilai sekarang anuitas dan 1,3655%dan 0.007974 untuk nilai masa depan anuitas.

KATA PENGANTAR

Ucapan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yesus Kristus, karena berkat anugerah dan kasih karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT

BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM

PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)”. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta. Penulisan skripsi ini dapat diselesaikan dengan bantuan berbagai pihak. Oleh karenanya, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan studi.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan kelancaran dalam pelayanan akademik untuk menyelesaikan studi.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan bimbingan, arahan juga kemudahan dalam urusan akademik.

4. Bapak Emut, M.Si selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan arahan dan bimbingan penulis selama menjalani studi.

5. Ibu Rosita Kusumawati, M.Sc selaku Pembimbing Tugas Akhir yang telah rela dan sabar meluangkan waktu, ilmu dan tenaga demi membimbing, memberikan arahan dan motivasi bagi penulis untuk menyelesaikan studi. 6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri

Yogyakarta yang telah memberikan arahan, motivasi, dan ilmu yang berharga.

7. Seluruh pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan dalam penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari sempurna dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dalam penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi penulis tetapi bagi semua yang membacanya

Yogyakarta, 20 Juni 2016 Penulis

DAFTAR ISI PERSETUJUAN ... i PENGESAHAN ... ii PERNYATAAN ... iii MOTTO ... iv PERSEMBAHAN ... v ABSTRAK ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR TABEL ... xi

DAFTAR LAMPIRAN ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Batasan Masalah... 4 C. Rumusan Masalah ... 5 D. Tujuan Penelitian ... 5 E. Manfaat Penelitian ... 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 7

A. Peluang dan Peubah Acak ... 7

B. Fungsi Peluang Binomial ... 15

C. Proses Stokastik ... 18

D. Martingale ... 19

E. Bunga dan Anuitas ... 20

F. Obligasi Tanpa Kupon ... 27

G. Model Black-Derman-Toy dengan Teknik Forward-Induction ... 29

H. Pengukuran Galat ... 43

BAB III PEMBAHASAN ... 45

A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat ... 45

B. Sumber dan Karakteristik Data ... 48

BAB IV PENUTUP ... 58

A. Kesimpulan ... 58

B. Saran ... 59

DAFTAR PUSTAKA ... 61

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Tabel Penyajian Suku Bunga Sesaat. ... 30

Tabel 2.Tabel penyajian kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. ... 32

Tabel 3. Tabel Kurva Imbal Hasil (Black dkk, 1990) ... 40

Tabel 4. Tabel Pohon Suku Bunga Sesaat. ... 43

Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve .... 48

Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun 2010-2014 ... 48

Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual. ... 50

Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru... 51

Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat. ... 52

Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual ... 53

Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik ... 54

Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik ... 55

Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual ... 56

Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik ... 56

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve ... 64 Lampiran 2.Script Program R Model Suku Bunga Sesaat Black-Derman-Toy.... 65 Lampiran 3. Output Program R I ... 68 Lampiran 4 Output Program R II ... 69

DAFTAR PUSTAKA

Bain, Lee J., Engelhardt, Max. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Pacific Grove: Duxbury.

Black, Fischer, Derman, Emanuel, Toy, William. 1990. A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options. Financial Analysts Journal, Vol. 46 No. 1, hal 33-39.

Broverman, Samuel A.. 2010. Mathematics of Investment and Credit. Winsted: ACTEX Publications, Inc.

Gaillardetz, Patrice. 2008. Valuation of Life Insurance Products Under Stochastic Interest Rates. Insurance: Mathematics and Economics Vol 42, hal 212-226.

Haerini, Helida. 2013. Penentuan Harga Obligasi Callable dengan Suku Bunga Black Derman Toy Menggunakan Pohon Binomial. Skripsi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada. Hanke, John E., Wichern, Dean. W.. 2005. Business Forecasting. New Jersey:

Prentice Hall.

Jay, Burthon D. dkk. 2002. Fair Valuation of Insurance Liabilities: Principles and Methods. American Academy of Actuaries.

Kellison, Stephen G.. 1991. The Theory of Interest. Taipei: McGraw-Hill Book Co. Lin, X. Sheldon. 2006. Introductory Stochastic Analysis for Finance and Insurance.

New Jersey: John Wiley & Sons, Co.

Mishkin, Frederic S.. 2004. The Economics of Money, Banking and Financial Market. New York: Addison-Wesley.

Oliveira, Luís dan Nunes, João Pedro Vidal dan Malcato, Luís, 2014. The Performance of Deterministic and Stochastic Interest Rate Risk Measures: Another Question of Dimension. Portuguese Economic Journal Vol 13, hal 141-165.

Panjer, Harry H., dkk. 1998. Financial Economics with Application to Investment, Insurance and Pensions. Schaumburg: The Actuarial Foundation.

Qoyyimi, Danang Teguh. 2008. Valuasi Produk Asuransi Jiwa dengan Suku Bunga Stokastik. Tesis Magister pada PPS Universitas Gadjah Mada.

Quandl. 2015. US Treasury Zero Coupon Yield Curve.

https://www.quandl.com/data/FED/SVENY-US-Treasury-Zero-Coupon-Yield-Curve. Diakses pada 27 Maret 2016.

Undang Undang Republik Indonesia. 2002. UNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA NOMOR 24 TAHUN 2002 TENTANG SURAT UTANG NEGARA.

World Bank. 2015. Real Interest Rate Data.

http://data.worldbank.org/indicator/FR.INR.RINR. Diakses pada 28 Juni 2016.

Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve 2 Januari 2015-31 Desember 2015 Tanggal ^y(0,t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31-Dec-15 0.790% 1.076% 1.350% 1.592% 1.796% 1.964% 2.100% 2.211% 2.302% 2.378% 30-Dec-15 0.770% 1.096% 1.385% 1.630% 1.834% 2.000% 2.135% 2.245% 2.335% 2.410% 29-Dec-15 0.790% 1.113% 1.400% 1.644% 1.845% 2.009% 2.142% 2.250% 2.339% 2.412% 28-Dec-15 0.775% 1.075% 1.346% 1.579% 1.774% 1.934% 2.065% 2.171% 2.259% 2.331% 24-Dec-15 0.769% 1.070% 1.343% 1.578% 1.775% 1.938% 2.070% 2.179% 2.268% 2.342% 23-Dec-15 0.748% 1.058% 1.338% 1.580% 1.782% 1.950% 2.087% 2.199% 2.290% 2.367% 22-Dec-15 0.738% 1.047% 1.324% 1.561% 1.760% 1.924% 2.058% 2.167% 2.257% 2.331% 21-Dec-15 0.752% 1.022% 1.284% 1.518% 1.716% 1.881% 2.015% 2.124% 2.213% 2.287% 18-Dec-15 0.745% 1.021% 1.288% 1.525% 1.724% 1.888% 2.021% 2.127% 2.213% 2.283% ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22-Jan-15 0.208% 0.566% 0.928% 1.214% 1.428% 1.589% 1.714% 1.815% 1.898% 1.969% 21-Jan-15 0.214% 0.553% 0.899% 1.180% 1.395% 1.559% 1.687% 1.790% 1.876% 1.948% 20-Jan-15 0.227% 0.543% 0.879% 1.148% 1.354% 1.511% 1.636% 1.737% 1.822% 1.895% 16-Jan-15 0.219% 0.512% 0.843% 1.118% 1.332% 1.498% 1.629% 1.736% 1.826% 1.904% 15-Jan-15 0.175% 0.460% 0.772% 1.039% 1.253% 1.422% 1.558% 1.669% 1.763% 1.843% 14-Jan-15 0.210% 0.530% 0.869% 1.145% 1.358% 1.523% 1.653% 1.760% 1.850% 1.927% 13-Jan-15 0.218% 0.568% 0.919% 1.197% 1.407% 1.569% 1.698% 1.805% 1.895% 1.973% 12-Jan-15 0.207% 0.582% 0.939% 1.218% 1.428% 1.588% 1.715% 1.818% 1.904% 1.979% 9-Jan-15 0.219% 0.617% 0.985% 1.273% 1.490% 1.654% 1.781% 1.884% 1.969% 2.041% 8-Jan-15 0.239% 0.640% 1.023% 1.323% 1.545% 1.711% 1.837% 1.937% 2.018% 2.087% 7-Jan-15 0.274% 0.659% 1.021% 1.305% 1.516% 1.673% 1.791% 1.884% 1.958% 2.021% 6-Jan-15 0.277% 0.677% 1.042% 1.326% 1.536% 1.690% 1.806% 1.895% 1.967% 2.026% 5-Jan-15 0.301% 0.707% 1.090% 1.386% 1.603% 1.760% 1.875% 1.964% 2.035% 2.093% 2-Jan-15 0.277% 0.703% 1.103% 1.418% 1.652% 1.823% 1.950% 2.046% 2.121% 2.183% Rerata 0.378% 0.711% 1.047% 1.336% 1.572% 1.762% 1.915% 2.039% 2.141% 2.227% Volatilitas 34.56% 17.69% 11.92% 9.82% 8.95% 8.55% 8.33% 8.17% 8.04% 7.91%

Lampiran 2.Script Program R Model Suku Bunga Sesaat Black-Derman-Toy

bdt.tree <- function(yields, volatilities) { prices <- numeric(0)

for(i in 1:length(yields)) prices = c(prices, (1+yields[i])^(-1*i)) multiNewtons <- function(fn, x, iterations=10) {

f <- function(x) {

values <- numeric(0) for(i in 1:length(fn)) {

values = c(values, fn[[i]](x)) } t(t(values)) } J <- function(x) { h = 0.00001 partials <- numeric(0) for(i in 1:length(fn)) { for(j in 1:length(fn)) { ej <- numeric(0) for(k in 1:length(fn)) { if(k==j) ej = c(ej, 1) else ej = c(ej, 0) }

partials = c(partials, (fn[[i]](x + h*ej) - fn[[i]](x))/h)

} }

matrix(partials, nrow=i, ncol=j, byrow=TRUE) } temp <<- fn for(i in 1:iterations) { x = x - solve(J(x))%*%f(x) } x }

P <- function(i=1, j, node, params, rateTree) { R = params[1] sigma = params[2] if(j==2) { if(node==1) { (1+R*exp(2*sigma))^-1 } else { (1+R)^-1 } } else { pathCounter = 1 paths = list() for(m in 0:(j-2)) {

path = c(rep(0, m), rep(1, (j-2)-m)) permPaths = unique(permn(path)) for(n in 1:length(permPaths)) {

paths[[pathCounter]] = permPaths[[n]] pathCounter = pathCounter + 1

total = 0 prob = 0.5^(j-2) for(m in 1:length(paths)) { path = paths[[m]] levelIndex = length(path)+2 upIndex = 1 if(node==0) { upIndex = upIndex + 1 } for(n in 1:length(path)) { if(path[n] == 0) { upIndex = upIndex + 1 } } dFactors <- numeric(0) for(n in length(path):1) { levelIndex = levelIndex - 1 if(path[n] == 0) { upIndex = upIndex - 1 }

dFactors = c(dFactors, rateTree[[levelIndex]][upIndex]) }

product = 1

for(l in 1:length(dFactors)) {

product = product * (1+dFactors[l])^-1 }

tree <<- product # comment this out

total = total + product * (prob*(1 +

R*exp(2*sigma*(sum(path)+node)))^-1) } total } } rateTree = list() for(i in 1:length(yields)) { if(i == 1) { rateTree[[i]] = yields[i] } else {

params = c(yields[i], volatilities[i]) # initial estimate

f1 <- function(params) {

(1 + yields[1])^-1 * (1/2) *

(P(1,i,1,params,rateTree) + P(1,i,0,params,rateTree)) - prices[i] } f2 <- function(params) { (1/2) * log( (P(1,i,1,params,rateTree)^(-1/(i-1)) 1)/(P(1,i,0,params,rateTree)^(-1/(i-1)) - 1) ) - volatilities[i] } fn = c(f1, f2)

params = multiNewtons(fn, params) R = params[1]

sigma = params[2]

for(j in i:1) {

rates = c(rates, R*exp(2*(j-1)*sigma)) } rateTree[[i]] = rates } } rateTree }

Lampiran 3. Output Program R I > yields=c(0.356364, 0.688226, 1.109354, 1.550384, 1.973773) > volatilities=c(0.200212, 0.362531, 0.339578, 0.295286, 0.256485) > rateTree=bdt.tree(yields, volatilities) > rateTree [[1]] [1] 0.356364 [[2]] [1] 1.5875796 0.7688561 [[3]] [1] 5.066471 2.557153 1.290648 [[4]] [1] 9.027399 5.502976 3.354537 2.044879 [[5]] [1] 11.548372 8.104136 5.687123 3.990971 2.800687

Lampiran 4 Output Program R II > yields=c(1.13562, 1.13562, 1.13562, 1.13562, 1.13562) > volatilities=c(0.290818, 0.290818, 0.290818, 0.290818, 0.290818) > rateTree=bdt.tree(yields, volatilities) > rateTree [[1]] [1] 1.13562 [[2]] [1] 1.5230287 0.8513473 [[3]] [1] 2.1669852 1.1958827 0.6599655 [[4]] [1] 3.3593215 1.8041250 0.9689061 0.5203514 [[5]] [1] 5.8810995 3.0249787 1.5559159 0.8002946 0.4116363

Dalam dokumen APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT). (Halaman 59-82)