BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
BAB II
RUANG VEKTOR DAN SISTEM BILANGAN REAL
A. Ruang Vektor
Secara sederhana, bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Himpunan semua bilangan real biasa dinotasikan dengan lambang . Representasi geometris dari adalah berupa garis, yang dinamakan garis bilangan real, dengan setiap titik pada garis tersebut mewakili bilangan real tertentu. Bilangan real yang lebih besar diwakili oleh titik yang terletak di sebelah kanan titik bilangan real lain yang lebih kecil.
Bilangan real yang diwakili oleh titik yang terletak di sebelah kanan titik yang mewakili bilangan real disebut bilangan real positif. Sebaliknya, bilangan real yang diwakili oleh titik yang terletak di sebelah kiri titik yang mewakili bilangan real disebut bilangan real negatif. Beberapa contoh bilangan real adalah sebagai berikut:
merupakan bilangan real positif.
merupakan bilangan real negatif.
merupakan bilangan real positif.
√ merupakan bilangan real negatif.
Sebuah bilangan real dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan bilangan real lainnya. Penjumlahan dilambangkan dengan tanda , sementara perkalian dilambangkan dengan tanda . Penjumlahan dan perkalian dua bilangan real dan berturut-turut ditulis dengan dan . Terdapat beberapa sifat aljabar yang berkaitan dengan penjumlahan dan perkalian
Gambar 2.1 Garis bilangan real
tersebut. Sebelum memaparkannya, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi berikut.
Definisi 2.1.1
Diberikan dua himpunan tak kosong dan . Darab Cartesius dari himpunan dan , dinotasikan dengan , adalah himpunan semua pasangan terurut ( ) dengan dan , yaitu
*( )| +.
Contoh 2.1
Jika * + dan { √ }, maka
{( √ ) ( ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( )} dan {( √ ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( ) ( )}.
Definisi 2.1.2
Diberikan himpunan dan . Fungsi dari ke adalah himpunan dari pasangan terurut di dalam sedemikian sehingga untuk setiap terdapat dengan tunggal dengan ( ) , dinotasikan dengan
.
Dengan kata lain, jika ( ) dan ( ) , maka . Jika ( ) , maka biasanya ditulis ( ) atau .
Contoh 2.2
Jika himpunan dan seperti pada Contoh 2.1, maka {( √ ) ( √ ) ( √ )}
adalah fungsi dari ke dengan ( ) √ untuk setiap , sedangkan
{( √ ) ( ) ( √ ) ( )} dan {( √ ) ( )}
bukanlah fungsi dari ke karena ( ) tidak tunggal dan ( ) tidak terdefinisi.
Definisi 2.1.3
Diberikan himpunan tak kosong . Operasi biner pada adalah fungsi dari ke .
Definisi 2.1.3 menunjukkan bahwa:
i. Untuk setiap pasangan ( ) , ( ) terdefinisi secara tunggal (dari Definisi 2.1.2).
ii. Untuk setiap pasangan ( ) , ( ) adalah anggota dari (sifat tertutup).
Penamaan operasi biner diberikan karena anggota dari domain fungsinya merupakan pasangan terurut. Secara umum, operasi biner adalah fungsi dari darab Cartesius dua himpunan yang tidak harus sama. Untuk selanjutnya, operasi biner disebut operasi saja.
Salah satu contoh operasi adalah penjumlahan pada himpunan semua bilangan asli . Sebaliknya, pembagian bukan merupakan operasi pada . Penjumlahan dan perkalian juga merupakan operasi pada , yaitu
dan ,
atau biasa ditulis dan dengan ( ) dan . Dengan demikian, berlaku sifat tertutup pada kedua operasi tersebut, yakni untuk setiap berlaku dan . Selain itu, kedua operasi tersebut juga memenuhi sifat-sifat yang disebut sifat aljabar pada .
Sifat Aljabar pada
i. untuk setiap . (sifat komutatif penjumlahan) ii. ( ) ( ) untuk setiap .
(sifat asosiatif penjumlahan)
iii. Terdapat sedemikian sehingga dan untuk
setiap . (eksistensi elemen netral
terhadap penjumlahan) iv. Untuk setiap terdapat sedemikian sehingga
( ) dan ( ) . (eksistensi elemen negatif) v. untuk setiap . (sifat komutatif perkalian) vi. ( ) ( ) untuk setiap .
(sifat asosiatif perkalian) vii. Terdapat dengan sedemikian sehingga dan
untuk setiap . (eksistensi elemen netral terhadap perkalian)
viii. Untuk setiap dengan terdapat sedemikian sehingga dan . (eksistensi elemen kebalikan) ix. ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( )
untuk setiap . (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
B. Ruang Vektor dan
Dengan memperluas gagasan himpunan yang direpresentasikan oleh garis menjadi himpunan-himpunan yang direpresentasikan oleh bidang, ruang, dan seterusnya, didefinisikan himpunan berikut.
Definisi 2.2.1
Rangkap bilangan real terurut adalah barisan dari bilangan real ( ) dengan merupakan bilangan bulat positif. Himpunan semua rangkap bilangan real terurut disebut ruang dan dilambangkan dengan
.
Anggota dari disebut titik atau vektor yang biasa ditulis mengguna-kan huruf kecil dengan garis di atasnya.
Definisi 2.2.2
Vektor ̅ di adalah rangkap bilangan real terurut ( ), ditulis
̅ ( ) atau ̅ [ ],
dengan , , ..., disebut komponen dari vektor ̅.
Untuk setiap * +, disebut sebagai komponen ke- dari vektor ̅. Jika seluruh komponennya adalah , maka vektor ̅ ( ) disebut vektor nol dan ditulis ̅.
Definisi 2.2.3
Vektor ̅ ( ) dan ̅ ( ) di dikatakan sama, ditulis ̅ ̅, jika dan hanya jika untuk setiap * +.
Anggota-anggota dapat saling dijumlahkan dan dapat dikalikan dengan skalar bilangan real. Penjumlahan dan perkalian skalar pada didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.4
Diberikan vektor ̅ ( ) dan ̅ ( ) di serta bilangan real . Didefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar vektor berturut-turut sebagai berikut:
i. ̅ ̅ ( ).
ii. ̅ ( ).
Contoh 2.3
Jika ̅ ̅ dengan ̅ ( ) dan ̅ ( ), maka ̅ ̅ (( ) ( ) ) ( ) dan
̅ ( ( ) ) ( ) sehingga ̅ ̅ ̅.
Berdasarkan definisi-definisi tersebut, diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 2.1
Jika ̅ ̅ ̅ dan , maka:
i. ̅ ̅ ̅ ̅. (sifat komutatif penjumlahan) ii. ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅) ̅ . (sifat asosiatif penjumlahan) iii. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅. (eksistensi elemen nol)
iv. Terdapat ̅ sedemikian sehingga ̅ ( ̅) ( ̅) ̅ ̅.
(eksistensi elemen invers penjumlahan untuk setiap elemen dalam ) v. ( ̅ ̅) ̅ ̅. (sifat distributif)
vi. ( ) ̅ ̅ ̅.
vii. ( ̅) ( ) ̅.
viii. ̅ ̅.
Bukti:
Ambil sebarang ̅ ̅ ̅ dan dengan ̅ ( ), ̅ ( ), dan ̅ ( ).
i. ̅ ̅ ( ) (Definisi 2.2.4 butir (i)) ( ) (sifat komutatif penjumlahan
pada )
̅ ̅. (Definisi 2.2.4 butir (i)) Jadi, terbukti ̅ ̅ ̅ ̅.
ii. ̅ ( ̅ ̅) ( ( ) ( )
( )) (Definisi 2.2.4 butir (i)) (( ) ( ) ( )
) (sifat asosiatif penjumlahan
pada )
( ̅ ̅) ̅ . (Definisi 2.2.4 butir (i)) Jadi, terbukti ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅) ̅.
iii. ̅ ̅ ( ) (Definisi 2.2.4 butir (i))
( ) (sifat eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan pada ) ̅.
Menurut Teorema 2.1 butir (i), ̅ ̅ ̅ ̅.
Jadi, terbukti ̅ ̅ ̅ ̅ ̅.
iv. Dipilih ̅ dengan ̅ ( ) ̅
(( ) ( ) ( ) ) (Definisi 2.2.4 butir (ii)) ( ).
Karena untuk setiap * + berlaku (Definisi 2.2.2), maka sehingga ̅ . Dengan demikian,
̅ ( ̅) ( ( ) ( ) ( )) (Definisi 2.2.4 butir (i))
( ) (sifat eksistensi elemen negatif pada ) ̅.
Menurut Teorema 2.1 butir (i), ̅ ( ̅) ( ̅) ̅. Jadi, terbukti terdapat ̅ sedemikian sehingga ̅ ( ̅) ( ̅) ̅ ̅.
v. ( ̅ ̅) ( ( ) ( ) ( ))
(Definisi 2.2.4 butir (i) dan (ii)) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada )
( ) ( ) (Definisi 2.2.4 butir (i)) ̅ ̅. (Definisi 2.2.4 butir (ii)) Jadi, terbukti ( ̅ ̅) ̅ ̅.
vi. ( ) ̅ (( ) ( ) ( ) ) (Definisi 2.2.4 butir (ii)) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada )
( ) ( ) (Definisi 2.2.4 butir (i)) ̅ ̅. (Definisi 2.2.4 butir (ii)) Jadi, terbukti ( ) ̅ ̅ ̅.
vii. ( ̅) ( ( ) ( ) ( ))
(Definisi 2.2.4 butir (ii)) (( ) ( ) ( ) )
(sifat asosiatif perkalian pada ) ( ) ̅. (Definisi 2.2.4 butir (ii))
Jadi, terbukti ( ̅) ( ) ̅.
viii. ̅ ( ) (Definisi 2.2.4 butir (ii))
( ) (sifat eksistensi elemen netral terhadap perkalian pada ) ̅.
Jadi, terbukti ̅ ̅.
Sifat-sifat pada tersebut merupakan perampatan sifat-sifat yang dimiliki oleh . Gagasan melengkapi sebuah himpunan dengan dua operasi sehingga memenuhi sifat-sifat tertentu seperti pada dapat diperluas untuk sebarang himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Kedua operasi tersebut hanyalah penamaan saja, dapat didefinisikan berbeda dengan operasi pada . Namun, jika himpunan dengan kedua operasi tersebut memenuhi sifat-sifat seperti pada , maka sifat-sifat lainnya (turunannya) dapat dipelajari pula seperti pada (atau
pada ). Himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar tersebut dinamakan ruang vektor.
Definisi 2.2.5
Diberikan himpunan tak kosong dan dua operasi yang terdefinisi pada , yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. Penjumlahan adalah aturan yang mengaitkan setiap ̅ dan ̅ anggota dengan ̅ ̅ . Perkalian skalar adalah aturan yang mengaitkan setiap bilangan real dan setiap ̅ dengan ̅ . Himpunan dengan kedua operasi tersebut dinamakan ruang vektor jika dan hanya jika untuk setiap ̅ ̅ ̅ dan , semua aksioma berikut terpenuhi.
1. ̅ ̅ ̅ ̅.
2. ̅ ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅) ̅ .
3. Terdapat ̅ sedemikian sehingga ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ untuk setiap ̅ .
4. Terdapat ̅ sedemikian sehingga ̅ ( ̅) ( ̅) ̅ ̅.
5. ( ̅ ̅) ̅ ̅.
6. ( ) ̅ ̅ ̅.
7. ( ̅) ( ) ̅.
8. ̅ ̅.
Anggota dari ruang vektor disebut vektor. Vektor ̅ pada aksioma 3 disebut vektor nol, sementara vektor ̅ pada aksioma 4 disebut negatif dari vektor ̅.
Contoh 2.4
i. Teorema 2.1 menunjukkan bahwa himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada Definisi 2.2.4 merupakan ruang vektor.
ii. Diberikan himpunan , yaitu himpunan semua fungsi dari ke di mana ̅ adalah fungsi dengan nilai fungsi ̅( ) untuk setiap . Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada sebagai berikut:
Jika ̅ ̅ dan , maka ̅ ̅ adalah fungsi dari ke dengan nilai fungsi ( ̅ ̅)( ) ̅( ) ̅( ) dan ̅ adalah fungsi dari ke dengan nilai fungsi ( ̅)( ) ̅( ) untuk setiap .
Penjumlahan dan perkalian skalar pada bersifat tertutup dan tunggal. Karena ̅( ) ̅( ) , maka ̅( ) ̅( ) dan ̅( ) , dan masing-masing nilainya tunggal. Dengan demikian, untuk setiap ̅ ̅ dan , ̅ ̅ dan ̅ adalah fungsi dari ke sehingga ̅ ̅ dan ̅ . Selanjutnya, jika diambil sebarang ̅ ̅ ̅ dan , maka
( ̅ ̅)( ) ̅( ) ̅( ) ̅( ) ̅( ) ( ̅ ̅)( ) sehingga ̅ ̅ ̅ ̅,
. ̅ ( ̅ ̅)/ ( ) ̅( ) ( ̅ ̅)( ) ̅( ) . ̅( ) ̅( )/
. ̅( ) ̅( )/ ̅( ) ( ̅ ̅)( ) ̅( ) .( ̅ ̅) ̅/ ( ) sehingga ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅) ̅,
. ( ̅ ̅)/ ( ) ( ̅ ̅)( ) . ̅( ) ̅( )/
. ̅( )/ ( ̅( )) ( ̅)( ) ( ̅)( ) ( ̅ ̅)( )
sehingga ( ̅ ̅) ̅ ̅,
.( ) ̅/ ( ) ( ) ̅( )
. ̅( )/ . ̅( )/
( ̅)( ) ( ̅)( ) ( ̅ ̅)( ) sehingga ( ) ̅ ̅ ̅,
. ( ̅)/ ( ) ( ̅)( ) . ̅( )/
( ) ̅( ) .( ) ̅/ ( ) sehingga ( ̅) ( ) ̅, dan
( ̅)( ) ̅( ) ̅( ) sehingga ̅ ̅.
Artinya, aksioma 1, 2, 5, 6, 7, dan 8 terpenuhi.
Dipilih ̅ dengan nilai fungsi ̅( ) untuk setiap . Untuk setiap ̅ berlaku
( ̅ ̅)( ) ̅( ) ̅( ) ̅( ) ̅( )
yang berarti ̅ ̅ ̅. Menurut aksioma 1, ̅ ̅ ̅ ̅ sehingga aksioma 3 terpenuhi.
Dipilih ̅ dengan nilai fungsi ( ̅)( ) . ̅( )/ untuk setiap . Diperoleh
. ̅ ( ̅)/ ( ) ̅( ) ( ̅)( ) ̅( ) ( . ̅( )/)
̅( )
sehingga ̅ ( ̅) ̅. Menurut aksioma 1, ̅ ( ̅) ( ̅) ̅ sehingga aksioma 4 terpenuhi. Karena seluruh aksioma pada Definisi 2.2.5 terpenuhi, himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalarnya merupakan ruang vektor.
Dari Definisi 2.2.5, dapat diturunkan beberapa sifat yang berlaku untuk sebarang ruang vektor. Sifat-sifat tersebut terangkum dalam teorema berikut.
Teorema 2.2
Diberikan ruang vektor . Jika ̅ dan , maka:
i. ̅ ̅.
ii. ̅ ̅.
iii. ( ) ̅ ̅.
iv. ( ̅) ̅.
v. ̅ ̅ jika dan hanya jika atau ̅ ̅.
Bukti:
Ambil sebarang ̅ dan .
i. Karena ̅ dan , maka ̅ (Definisi 2.2.5).
̅ ̅ ( ) ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 6)
̅. (sifat eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan pada ) (1) Karena ̅ , maka terdapat ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 4) sehingga dengan menjumlahkannya di kedua ruas pada persamaan (1), diperoleh:
( ̅ ̅) ( ̅) ̅ ( ̅)
̅ ( ̅ ( ̅)) ̅ ( ̅) (Definisi 2.2.5 aksioma 2)
̅ ̅ ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 4)
̅ ̅. (Definisi 2.2.5 aksioma 3)
Jadi, terbukti ̅ ̅.
ii. Karena ̅ dan , maka ̅ (Definisi 2.2.5).
̅ ̅ ( ̅ ̅) (Definisi 2.2.5 aksioma 5)
̅. (Definisi 2.2.5 aksioma 3) (2) Karena ̅ , maka terdapat ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 4) sehingga dengan menjumlahkannya di kedua ruas pada persamaan (2), diperoleh:
( ̅ ̅) ( ̅) ̅ ( ̅)
̅ ( ̅ ( ̅)) ̅ ( ̅) (Definisi 2.2.5 aksioma 2)
̅ ̅ ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 4)
̅ ̅. (Definisi 2.2.5 aksioma 3)
Jadi, terbukti ̅ ̅.
iii. Karena ̅ dan , maka ( ) ̅ (Definisi 2.2.5). Untuk menunjukkan ( ) ̅ ̅, terlebih dahulu diperlihatkan bahwa vektor ( ) ̅ merupakan negatif dari vektor ̅ di , yakni
̅ ( ) ̅ ̅.
̅ ( ) ̅ ̅ ( ) ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 8) ( ( )) ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 6)
̅ (sifat eksistensi elemen negatif pada ) ̅. (Teorema 2.2 butir (i))
Karena ̅ ( ) ̅ ̅ dan berdasarkan Definisi 2.2.5 aksioma 4, terdapat ̅ sedemikian sehingga ̅ ( ̅) ̅, maka diperoleh:
̅ ( ) ̅ ̅ ( ̅)
( ̅) ( ̅ ( ) ̅) ( ̅) ( ̅ ( ̅)) (( ̅) ̅) ( ) ̅ (( ̅) ̅) ( ̅)
(Definisi 2.2.5 aksioma 2) ̅ ( ) ̅ ̅ ( ̅) (Definisi 2.2.5 aksioma 4)
( ) ̅ ̅. (Definisi 2.2.5 aksioma 3)
Jadi, terbukti ( ) ̅ ̅.
iv. Menurut Definisi 2.2.5 aksioma 4, terdapat ̅ sedemikian sehingga ̅ ( ̅) ̅. Karena ̅ , maka terdapat ( ̅)
sedemikian sehingga ( ̅) ( ( ̅)) ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 4). Dengan demikian, berlaku
( ̅) ̅ ( ( ̅)) (Definisi 2.2.5 aksioma 3) ( ̅ ( ̅)) ( ( ̅))
̅ .( ̅) ( ( ̅))/ (Definisi 2.2.5 aksioma 2) ̅ ̅
̅. (Definisi 2.2.5 aksioma 3)
Jadi, terbukti ( ̅) ̅.
v. ( ) Diketahui ̅ ̅. Terdapat tiga kejadian yang mungkin. Yang pertama adalah apabila dan ̅ ̅ sehingga pembuktian tidak perlu dipaparkan lebih lanjut. Dua kemungkinan lainnya adalah:
Jika , maka dengan memilih diperoleh ̅ ̅ atau ̅ ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 8). Dengan demikian, jika , maka ̅ ̅.
̅ ̅
Andaikan . Menurut sifat eksistensi elemen kebalikan (sifat aljabar pada butir (viii)), terdapat yang berakibat:
̅ ̅ ( ̅) ̅
. / ̅ ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 7)
̅ ̅ (sifat eksistensi elemen kebalikan pada )
̅ ̅ (Definisi 2.2.5 aksioma 8) ̅ ̅. (Teorema 2.2 butir (ii))
Terjadi kontradiksi, yaitu ̅ ̅ dan ̅ ̅. Dengan demikian, ingkaran dari pengandaian adalah pernyataan yang benar, yakni .
Kasus kedua dan ketiga menunjukkan bahwa jika ̅ ̅, maka tidak mungkin dan ̅ ̅ secara bersamaan. Dari ketiga kasus tersebut diperoleh bahwa ̅ ̅ mengakibatkan dan atau ̅ ̅. Dengan demikian, jika ̅ ̅, maka atau ̅ ̅.
( ) Diketahui atau ̅ ̅. Jika , maka ̅ ̅ ̅ (Teorema 2.2 butir (i)), dan jika ̅ ̅, maka ̅ ̅ ̅ (Teorema 2.2 butir (ii)), sehingga dapat disimpulkan bahwa jika atau ̅ ̅ maka ̅ ̅.
Jadi, terbukti ̅ ̅ jika dan hanya jika atau ̅ ̅.
Terdapat berbagai konsep dan sifat lainnya yang dapat diperoleh dari mempelajari sebuah ruang vektor. Sifat-sifat dari ruang vektor juga dipenuhi oleh sebarang himpunan yang merupakan ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalarnya.
C. Sistem Bilangan Real
Pemaparan pada subbab sebelumnya mengklasifikasikan bilangan real positif dan negatif berdasarkan posisi titik yang mewakili sebuah bilangan real terhadap titik yang mewakili bilangan real dalam garis bilangan real.
Secara matematis, bilangan-bilangan real positif (dan negatif) dapat diklasifikasikan melalui definisi himpunan bagian dari yang memenuhi karakteristik tertentu.
Definisi 2.3.1
Himpunan bilangan real positif adalah himpunan bagian tak kosong dari yang memenuhi aksioma-aksioma berikut.
1. Jika , maka . 2. Jika , maka .
3. Jika , maka tepat satu pernyataan berikut terpenuhi:
, , .
Definisi 2.3.1 aksioma 3 disebut sifat trikotomi karena membagi menjadi tiga himpunan bagian yang saling asing, yaitu himpunan , * +, dan * | +. Himpunan * | + dinamakan himpunan bilangan real negatif. Dengan demikian, * + .
Dalam , terdapat sifat urutan yang berkenaan dengan kriteria sebuah bilangan real lebih besar atau lebih kecil dari bilangan real lainnya. Pada pemaparan subbab sebelumnya, sebuah bilangan real dikatakan lebih besar atau lebih kecil dari bilangan real lainnya berdasarkan posisi titik-titik yang mewakili bilangan-bilangan real tersebut dalam garis bilangan real.
Pemahaman tersebut hanyalah pemahaman secara intuitif yang dibantu oleh ilustrasi geometris saja. Secara matematis, sifat urutan pada dapat didefinisikan menggunakan bantuan himpunan .
Pada Definisi 2.3.1, operasi penjumlahan, perkalian, serta elemen netral dan negatif terhadap penjumlahan muncul dalam karakteristik . Operasi-operasi dan elemen-elemen tersebut telah diperkenalkan dan dipaparkan sebelumnya dalam sifat aljabar pada . Urutan antara dua bilangan real dapat diketahui apabila mengoperasikan kedua bilangan real tersebut sehingga sifat urutan pada berkaitan dengan sifat aljabarnya. Sifat-sifat lainnya juga dapat diturunkan menggunakan bantuan sifat aljabar. Oleh karena itu, untuk kesederhanaan penulisan, penjumlahan dua bilangan real dan – selanjutnya ditulis yang didefinisikan sebagai
( ).
Selain itu, perkalian dua bilangan real dan selanjutnya ditulis yang didefinisikan sebagai
. Secara khusus, didefinisikan sebagai
dengan . Sifat urutan antara dua bilangan real didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.3.2
Diberikan dua bilangan real dan .
i. Bilangan real dikatakan lebih besar dari atau lebih kecil dari , ditulis atau , jika dan hanya jika .
ii. Bilangan real dikatakan lebih besar dari atau sama dengan , atau lebih kecil dari atau sama dengan , ditulis atau , jika dan hanya jika * +.
Notasi menunjukkan bahwa adalah bilangan real positif sebab , dan menunjukkan bahwa adalah bilangan real negatif sebab sehingga ( ) . Notasi dan berturut-turut menunjukkan bahwa merupakan bilangan real tak negatif dan merupakan bilangan real tak positif.
Teorema 2.3
Jika , maka . Bukti:
Karena , maka (Definisi 2.3.2 butir (i)) sehingga berlaku atau * +. Artinya, * + sehingga (Definisi 2.3.2 butir (ii)). Jadi, terbukti jika , maka .
Jika dan , maka urutan tersebut biasa dinotasikan dengan . Demikian pula, , , dan didefinisikan serupa.
Contoh 2.5
Bilangan-bilangan real dan adalah anggota-anggota dari , sehingga keduanya merupakan bilangan real positif. Bilangan real adalah anggota dari sebab ( ) , sehingga bilangan real tersebut merupakan bilangan real negatif. Karena dan
( ) , maka lebih besar dari dan lebih besar dari , ditulis dan , atau .
Teorema 2.4
Dua bilangan real jika dan hanya jika dan . Bukti:
( ) Jika , maka
dan (sifat eksistensi elemen negatif pada ). Karena dan , maka * + dan * + sehingga dan (Definisi 2.3.2 butir (ii)). Jadi, jika , maka dan .
( ) Jika dan , maka * + dan * + (Definisi 2.3.2 butir (ii)). Karena * +, maka atau * +. Andaikan . Menurut sifat trikotomi, ( ) . Padahal
( ) ( )( ) (Teorema 2.2 butir (iii))
(( ) ) (( )( )) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada )
( ) ( ( )) (Teorema 2.2 butir (iii)) ( ) (Teorema 2.2 butir (iv))
. (sifat komutatif penjumlahan pada ) Dengan demikian, ( ) . Karena himpunan dan * + saling asing, dan , maka * +. Terjadi kontradiksi, yaitu * + dan * + sehingga pernyataan yang benar adalah ingkaran dari pengandaian, yakni . Dengan demikian, * + sehingga diperoleh:
( )
(( ) ) (sifat asosiatif penjumlahan pada ) (sifat eksistensi elemen negatif pada )
. (sifat eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan pada )
Jadi, jika dan , maka .
Jadi, terbukti bahwa jika dan hanya jika dan .
Dari sifat urutan tersebut, dapat diturunkan beberapa sifat yang terangkum dalam teorema berikut.
Teorema 2.5
Diberikan bilangan-bilangan real , , , dan . Sifat Transitif
i. Jika dan , maka . Sifat Trikotomi
ii. Tepat satu pernyataan berikut terpenuhi:
, , .
Sifat Monoton
iii. Jika , maka .
iv. Jika dan , maka . v. Jika dan , maka . Sifat Antimonoton
vi. Jika dan , maka . Bukti:
Ambil sebarang .
i. Karena dan , maka dan (Definisi 2.3.2 butir (i)).
( ) (sifat eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan pada ) (( ) ) (sifat asosiatif penjumlahan pada ) ( ) (sifat komutatif penjumlahan pada )
.(( ) ) / (sifat eksistensi elemen negatif pada )
(( ) ( )) (sifat asosiatif penjumlahan pada ) ( ) ( ). (sifat asosiatif penjumlahan pada ) Menurut Definisi 2.3.1 aksioma 1, karena dan , maka ( ) ( ) sehingga (Definisi 2.3.2 butir (i)). Jadi, terbukti jika dan , maka .
ii. Karena , maka menurut sifat trikotomi Definisi 2.3.1 aksioma 3, tepat satu pernyataan berikut terpenuhi:
, , ( ) .
Untuk , berlaku (Definisi 2.3.2 butir (i)). Untuk , dengan menjumlahkan pada kedua ruas diperoleh:
( ) (( ) )
(sifat asosiatif penjumlahan pada ) (sifat eksistensi elemen
negatif pada )
. (sifat eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan pada ) Untuk ( ) , berlaku
( ) ( )( ) (Teorema 2.2 butir (iii))
(( ) ) (( )( )) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada ) ( ) ( ( )) (Teorema 2.2 butir (iii))
( ) (Teorema 2.2 butir (iv)
. (sifat komutatif penjumlahan pada ) Diperoleh ( ) atau (Definisi 2.3.2 butir (i)).
Jadi, terbukti bahwa tepat satu pernyataan berikut terpenuhi:
, , .
iii. Karena , maka (Definisi 2.3.2 butir (i)).
( ) ( ) ( ) (( )( ))
(Teorema 2.2 butir (iii)) ( ) .(( ) ) (( ) )/
(sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada )
( ) (( ) ) (Teorema 2.2 butir (iii)) ( ) (( ) ) (sifat komutatif
penjumlahan pada ) . (( ) )/ (sifat asosiatif
penjumlahan pada ) (( ) ) (sifat asosiatif
penjumlahan pada ) ( ) (sifat eksistensi elemen
negatif pada )
. (sifat eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan pada ) Dengan demikian, diperoleh ( ) ( ) sehingga (Definisi 2.3.2 butir (i)). Jadi, terbukti jika , maka .
iv. Karena dan , maka dan (Definisi 2.3.2 butir (i)).
( ) ( ) ( ) (( )( ))
(Teorema 2.2 butir (iii)) ( ) .(( ) ) (( ) )/
(sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada ) ( ) (( ) ) (Teorema 2.2 butir (iii))
. (( ) )/ (sifat asosiatif penjumlahan pada ) (( ) ) (sifat asosiatif
penjumlahan pada ) .(( ) ) / (sifat komutatif
penjumlahan pada ) (( ) ( )) (sifat asosiatif
penjumlahan pada ) ( ) ( ). (sifat asosiatif
penjumlahan pada ) Menurut Definisi 2.3.1 aksioma 1, karena dan , maka ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga
(Definisi 2.3.2 butir (i)). Jadi, terbukti jika dan , maka .
v. Karena dan , maka dan (Definisi 2.3.2 butir (i)).
( ) ( ) ( ) (( )( )) (Teorema 2.2 butir (iii)) ( ) .(( ) ) / (sifat asosiatif perkalian
pada )
( ) .( ( )) / (sifat komutatif perkalian pada )
( ) . (( ) )/ (sifat asosiatif perkalian pada )
( ) ( ( )) (Teorema 2.2 butir (iii)) ( ). (sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan pada )
Menurut Definisi 2.3.1 aksioma 2, karena dan , maka ( ) ( ) ( ) sehingga (Definisi 2.3.2 butir (i)). Jadi, terbukti jika dan , maka .
vi. Karena dan , maka dan (Definisi 2.3.2 butir (i)).
( ) ( ) .( ( )) / ( ) (Teorema 2.2 butir (iv)) .(( )( )) / (( )( ))
(Teorema 2.2 butir (iii)) .(( )( )) / (( )( ))
(sifat komutatif perkalian pada ) .( )(( ) )/ .(( ) ) /
(sifat asosiatif perkalian pada ) (( )( )) (( ) ) (Teorema 2.2 butir (iii)) ( )(( ) ) (sifat distributif perkalian terhadap
penjumlahan pada )
( )( ). (sifat komutatif penjumlahan pada ) Menurut Definisi 2.3.1 aksioma 2, karena dan , maka ( ) ( ) ( )( ) sehingga (Definisi 2.3.2 butir (i)). Jadi, terbukti jika dan , maka .
Selalu terdapat bilangan real yang terletak di antara dua bilangan real berbeda dan . Artinya, jika , maka terdapat sedemikian sehingga . Hal tersebut ditunjukkan dalam teorema berikut.
Teorema 2.6
Diberikan dua bilangan real dan . Jika , maka .
Bukti:
Ambil sebarang dengan . Karena , maka dengan menjumlahkan pada kedua ruas diperoleh:
(Teorema 2.5 butir (iii)) ( ) ( ) (Definisi 2.2.5 aksioma 8) ( ) (Definisi 2.2.5 aksioma 6)
( ) ( ) (Teorema 2.5 butir (v))
. / (Definisi 2.2.5 aksioma 7)
(sifat eksistensi elemen kebalikan pada )
. (Definisi 2.2.5 aksioma 8)
Demikian pula, dengan menjumlahkan pada kedua ruas diperoleh:
(Teorema 2.5 butir (iii)) ( ) ( ) (Definisi 2.2.5 aksioma 8) ( ) (Definisi 2.2.5 aksioma 6)
( ) ( ) (Teorema 2.5 butir (v))
. / (Definisi 2.2.5 aksioma 7)
(sifat eksistensi elemen kebalikan pada )
. (Definisi 2.2.5 aksioma 8)
Karena dan , maka . Jadi, terbukti jika ,
maka .
Jika , maka bilangan real yang terletak di antara keduanya ada tak hingga banyak. Selain , dapat ditemukan pula bilangan real lain antara dan , antara dan b, dan seterusnya. Bilangan-bilangan real tersebut dapat dikumpulkan ke dalam sebuah himpunan, yakni himpunan bilangan real
yang terletak di antara bilangan real dan . Himpunan tersebut dinamakan selang.
Definisi 2.3.3
Diberikan dua bilangan real dan dengan .
i. Selang terbuka yang ditentukan oleh dan , dinotasikan dengan ( ), adalah himpunan yang didefinisikan sebagai
( ) * | +.
ii. Selang tertutup yang ditentukan oleh dan , dinotasikan dengan , -, adalah himpunan yang didefinisikan sebagai
, - * | +.
Titik dan disebut titik ujung selang. Kedua titik ujung selang tidak termuat dalam himpunan pada selang terbuka, sedangkan pada selang tertutup, kedua titik ujung selang termuat dalam himpunan. Jika hanya salah satu titik ujung selang yang termuat dalam himpunan, maka himpunan tersebut dinamakan selang setengah terbuka (atau setengah tertutup).
Himpunan tersebut dinotasikan dengan , ) atau ( - tergantung pada titik ujung selang yang menjadi anggota himpunan. Jika , maka selang terbukanya adalah himpunan kosong dan selang tertutupnya adalah himpunan berelemen tunggal, yaitu ( ) dan , - * +.
Contoh 2.6
Himpunan ( ), , -, dan , ) berturut-turut adalah selang terbuka yang ditentukan oleh dan , selang tertutup yang ditentukan oleh dan , serta selang setengah terbuka yang ditentukan oleh dan dengan
( ) * | +,
, - * | +, dan , ) * | +.
Himpunan yang beranggotakan semua bilangan real yang lebih besar (atau lebih kecil) dari bilangan real tertentu dinamakan selang tak berhingga.
Definisi 2.3.4
Diberikan dua bilangan real dan .
i. Selang terbuka tak berhingga adalah himpunan yang didefinisikan dengan notasi
( ) * | + dan ( ) * | +.
ii. Selang tertutup tak berhingga adalah himpunan yang didefinisikan dengan notasi
, ) * | + dan ( - * | +.
Masing-masing selang tak berhingga pada Definisi 2.3.4 hanya memiliki satu titik ujung selang. Tanda dan adalah lambang yang menunjukkan ketakberhinggaan. Keduanya bukanlah anggota dari . Oleh karena itu, keduanya tidak pernah termuat dalam himpunan. Himpunan juga dapat dipandang sebagai selang, yaitu ( ) .
Gambar 2.2 Ilustrasi dari (a) selang terbuka, (b) selang tertutup, dan
(c) selang setengah terbuka (setengah tertutup) yang ditentukan oleh 𝑎 dan 𝑏
Gabungan kedua himpunan tersebut adalah ( - ( ) ( ) atau * + , yang tak lain adalah .
Sifat urutan dalam yang ditunjukkan dengan notasi (lebih kecil dari atau sama dengan) membentuk suatu hubungan antara dua elemen dalam yang disebut relasi. Secara umum, relasi pada himpunan didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.3.5
Diberikan himpunan dan . Relasi dari ke adalah himpunan pasangan terurut ( ) di mana berelasi dengan , yaitu
*( )| erela i den an +.
Elemen berelasi dengan dinotasikan dengan lambang .
Seperti pada operasi, karena relasi didefinisikan pada dua himpunan dan , maka relasi tersebut dinamakan relasi biner. Relasi dari himpunan ke himpunan merupakan himpunan bagian dari darab Cartesius . Demikian pula sebaliknya, setiap himpunan bagian dari darab Cartesius dapat dipandang sebagai relasi dari himpunan ke himpunan . Jika merupakan relasi dari himpunan ke himpunan , maka disebut relasi pada himpunan .
Contoh 2.8
Jika himpunan * + dan relasi pada adalah rela i “kuadrat dari”, maka *( )+ dengan .
Beberapa relasi pada himpunan yang memenuhi sifat tertentu menjadikan relasi tersebut sebuah relasi khusus. Beberapa relasi khusus didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.3.6
Diberikan relasi pada himpunan .
i. Relasi dikatakan bersifat refleksif jika dan hanya jika untuk setiap anggota .
ii. Relasi dikatakan bersifat simetrik jika dan hanya jika untuk setiap dan anggota berlaku: jika , maka .
iii. Relasi dikatakan bersifat antisimetrik jika dan hanya jika untuk setiap dan anggota berlaku: jika dan , maka . iv. Relasi dikatakan bersifat transitif jika dan hanya jika untuk setiap ,
, dan anggota berlaku: jika dan , maka .
Terdapat relasi khusus yang memenuhi beberapa sifat sekaligus pada Definisi 2.3.6. Salah satunya adalah relasi urutan parsial.
Definisi 2.3.7
Diberikan relasi pada himpunan . Relasi disebut relasi urutan parsial jika dan hanya jika relasi bersifat refleksif, antisimetrik, dan transitif. Himpunan yang dilengkapi dengan relasi urutan parsial disebut himpunan terurut parsial, seringkali ditulis ( ).
Rela i “le ih kecil dari atau ama den an” merupakan uatu rela i pada himpunan yang dinotasikan dengan lambang . Lebih spesifik, relasi pada merupakan relasi urutan parsial sehingga adalah himpunan terurut parsial.
Teorema 2.7
Himpunan yang dilengkapi dengan relasi adalah himpunan terurut parsial.
Bukti:
Ambil sebarang . Karena (sifat eksistensi elemen negatif pada ), maka sehingga (Teorema 2.4). Dengan
demikian, untuk setiap berlaku sehingga relasi pada bersifat refleksif (Definisi 2.3.6 butir (i)). Ambil sebarang dengan dan . Karena dan , maka (Teorema 2.4).
Dengan demikian, untuk setiap dengan dan berlaku sehingga relasi pada bersifat antisimetrik (Definisi 2.3.6 butir (iii)). Ambil sebarang dengan dan . Jika , karena , maka . Jika , karena , maka . Jika
, maka (Teorema 2.4). Jika , , dan , karena dan , maka dan sehingga (Teorema 2.5 butir (i)). Karena , maka (Teorema 2.3). Dengan demikian, untuk setiap dengan dan berlaku sehingga relasi pada bersifat transitif (Definisi 2.3.6 butir (iv)). Karena relasi pada bersifat refleksif, antisimetrik, dan transitif, maka relasi pada merupakan relasi urutan parsial (Definisi 2.3.7). Jadi, terbukti bahwa himpunan yang dilengkapi dengan relasi adalah himpunan terurut parsial (Definisi 2.3.7).
Relasi urutan parsial pada suatu himpunan memunculkan konsep batas atas dan batas bawah.
Definisi 2.3.8
Diberikan himpunan yang dilengkapi dengan relasi urutan parsial dan .
i. Elemen disebut batas atas dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku . Himpunan yang memiliki batas atas disebut himpunan yang terbatas ke atas.
ii. Elemen disebut batas bawah dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku . Himpunan yang memiliki batas bawah disebut himpunan yang terbatas ke bawah.
iii. Himpunan dikatakan terbatas jika dan hanya jika himpunan tersebut terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
Dalam himpunan yang terbatas ke atas (ke bawah), dapat dipilih batas atas (batas bawah) yang dikatakan terkecil (terbesar).
Definisi 2.3.9
Diberikan himpunan yang dilengkapi dengan relasi urutan parsial dan .
i. Elemen disebut batas atas terkecil (supremum) dari , ditulis , jika dan hanya jika:
adalah batas atas dari , dan
untuk setiap yang merupakan batas atas dari berlaku . ii. Elemen disebut batas bawah terbesar (infimum) dari , ditulis
untuk setiap yang merupakan batas atas dari berlaku . ii. Elemen disebut batas bawah terbesar (infimum) dari , ditulis