BAB II LANDASAN TEORI
2.5 Teori Graf
2.5.6 Scale-Free Network Graph (SFNG)
Scale free network graph adalah jaringan yang mempunyai jumlah distribusi power-law, yaitu asimtotik. Artinya, fraksi P(k) dari node dalam jaringan memiliki koneksi k ke node lain berlaku untuk nilai-nilai besar k sebagai
dimana adalah parameter yang nilainya biasanya dalam kisaran 2 < < 3, meskipun kadang-kadang mungkin berada di luar batas-batas tersebut. Preferential Attachment dan fitness model telah diusulkan sebagai mekanisme untuk menjelaskan jumlah distribusi power-law dalam jaringan nyata. Dalam studi tentang jaringan kutipan antara karya ilmiah, Derek de Solla Price menunjukkan pada tahun 1965 bahwa jumlah link ke kertas yaitu, jumlah kutipan yang mereka terima-memiliki distribusi heavy-tailed menyusul distribusi Pareto atau power-law, dan dengan demikian bahwa jaringan kutipan adalah skala bebas. Dia tidak masalah menggunakan istilah "jaringan skala bebas", yang tidak diciptakan sampai beberapa decade kemudian. Dalam sebuah makalah selanjutnya pada tahun 1976, Price juga mengusulkan mekanisme untuk menjelaskan terjadinya hukum kekuasaan di jaringan kutipan, yang ia sebut "keuntungan kumulatif" tapi yang sekarang lebih dikenal dengan nama lampiran preferensial. Baru-baru ini dalam jaringan skala bebas dimulai pada tahun 1999 dengan karya Albert-László Barabasi
dan rekan-rekannya di University of Notre Dame yang memetakan topologi sebagian dari World Wide Web, menemukan bahwa beberapa node, yang mereka sebut "hub", memiliki lebih banyak koneksi dari yang lain dan bahwa jaringan secara keseluruhan memiliki distribusi power-law dari jumlah link yang menghubungkan ke node. Setelah menemukan beberapa jaringan lain, termasuk beberapa jaringan sosial dan biologis, juga memiliki jumlah distribusi heavy-tailed, Barabasi dan kolaborator menciptakan istilah "jaringan skala bebas" untuk menggambarkan kelas jaringan yang menunjukkan distribusi power-law. Amaral et al. menunjukkan bahwa sebagian besar jaringan dunia nyata dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori besar berdasarkan jumlah distribusi derajat P (k) untuk k besar.
Barabasi dan Albert mengusulkan mekanisme generatif untuk menjelaskan penampilan distribusi power-law, yang mereka sebut "preferential attachment" dan yang pada dasarnya sama dengan yang diusulkan oleh Price. Solusi analitik untuk mekanisme ini (juga mirip dengan solusi Price) diadakan pada tahun 2000 oleh Dorogovtsev, Mendes dan Samukhin dan secara independen oleh Krapivsky, Redner, dan Leyvraz, dan kemudian dibuktikan dengan matematika Béla Bollobás. Namun, mekanisme ini hanya menghasilkan subset spesifik jaringan di kelas skala bebas, dan banyak mekanisme alternatif telah ditemukan.
Sejarah jaringan skala bebas juga mencakup beberapa ketidaksepakatan. Pada tingkat empiris, sifat skala bebas dari beberapa jaringan telah dipertanyakan. Misalnya, tiga bersaudara Faloutsos percaya bahwa Internet memiliki distribusi power-law atas dasar data traceroute; Namun, telah menyarankan bahwa ini adalah lapisan 3 ilusi yang diciptakan oleh router, yang mana muncul sebagai node-tingkat tinggi selama menyembunyikan layer 2 struktur internal dari ASes interkoneksi mereka. Pada tingkat teoritis, perbaikan untuk definisi abstrak skala bebas telah diusulkan. Misalnya, Li et al. (2005) baru-baru ini menawarkan "metrics skala bebas" yang berpotensi lebih tepat. Secara singkat, biarkan G adalah graf
dengan tepi set E, dan menunjukkan tingkat simpul v (yaitu, jumlah tepi kejadian untuk v) oleh \ deg (v). Menetapkan
Ini dimaksimalkan ketika tingkat tinggi yang terhubung ke node-tingkat tinggi lainnya.Sekarang mendefinisikan
Dimana Smax adalah nilai maksimum s (H) untuk H dalam himpunan semua grafik dengan distribusi gelar identik dengan G. Ini memberikan metric antara 0 dan 1, di mana grafik G dengan S kecil (G) adalah "skala-kaya", dan grafik G dengan S (G) mendekati 1 adalah "skala-bebas". Definisi ini diambil dari kesamaan diri yang tersirat dalam nama "skala-bebas".
2.5.6.1Barabasi-Albert Model
Barabasi-Albert (BA) Model adalah sebuah algoritma untuk membangkitkan jaringan skala bebas dengan menggunakan mekanisme Preferential Attachment. Jaringan skala bebas secara luas diamati dalam sistem alam dan buatan manusia, termasuk internet, world wide web, jaringan kutipan, dan beberapa jaringan sosial. Algoritma ini dinamakan oleh penemunya yaitu Albert-László Barabasi dan Reka Albert. Banyak jaringan diamati masuk ke dalam kelas jaringan skala bebas, yang berarti bahwa mereka memiliki power-law (skala bebas) distribusi derajat, sementara model grafik acak seperti (ER) Model Erdös-Rényi dan Watts-Strogatz (WS) tidak menunjukkan power-law. Barabasi-Albert model adalah salah satu dari beberapa model yang diusulkan yang menghasilkan jaringan skala bebas.
Algoritma ini menggabungkan dua konsep umum yang penting: pertumbuhan dan preferential attachment. Baik pertumbuhan dan preferential attachment ada secara luas di jaringan nyata. Pertumbuhan berarti bahwa
jumlah node dalam jaringan meningkat dari waktu ke waktu. Preferential attachment berarti bahwa lebih banyak node yang terhubung, maka semakin besar kemungkinan untuk menerima link baru. Preferential attachment adalah contoh dari siklus umpan balik positif di mana variasi awalnya acak (satu simpul awalnya memiliki banyak link atau telah mulai mengumpulkan link lebih awal dari yang lain) secara otomatis diperkuat, sehingga sangat besar perbedaannya. Ini juga kadang-kadang disebut efek Matthew, "yang kaya semakin kaya", dan dalam kimia autocatalysis.
Jaringan dimulai dengan jaringan terhubung awal node m0. Node baru
ditambahkan ke jaringan satu per satu. Setiap node baru terhubung ke m ≤ m0 node yang ada dengan probabilitas yang sebanding terhadap jumlah link yang sudah memiliki node. Secara formal, probabilitas Pi terhadap node baru yang terhubung ke node i adalah:
Dimana ki adalah derajat simpul dari node i dan jumlah ini dibuat atas semua node yang sudah ada j (yaitu hasil denominator dua kali jumlah edges dalam jaringan). Node yang terhubung ("hub") cenderung cepat menumpuk ketika lebih banyak link, ketika node dengan hanya beberapa link yang mungkin untuk dipilih sebagai tujuan untuk link baru. Node baru memiliki "preferensi" untuk melampirkan diri untuk node yang terhubung.