peubah-peubah yang menggunakan skala rasional seperti pengukuran berat,panjang,volume,waktu dn sebagainyabiasanya mengikuti sebaran peluang kontinu.
Salah satu sebaran peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk lonceng atau genta seperti gambar dibawah ini :
.Gambar kurva normal
Pad tahun 1733 De Moive menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar bayak teori statistika induktif. Sebaran normal disebut juga sebaran Gaus untuk menghormati Gauss (1777-1855) yang juga menemukan persamaan waktu menghitung kesalahan penelitian (galat penelitian)dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama
Suatu peubah acak X yang sebarannya berbentuk Genta seperti gambar diats disebut peubah acak normak. Persamaan matematik sebaran peluang peubah acak normal kontinu tergantung pada dua parameter yaitu μ dan α, yang biasa disebut rata-rata hitung dan simpangan baku jadi fungsi pada X biasanya dinotasikan dengan n(x ; μ,α) persamaan :
Nn(x; μ,α) = 1___ e –(1/2)[(x-μ)/α] 2 √ 2πα
Disini – ~<x<+~ dengan π =3,14159… dan e=2,71828……. Secara ringkas sebaran peluang peubah acak normal sering ditulis X ~N(μx , αx) dan dibaca peubah X menyebar normal dengan nilai tengah μx dan simpangan baku αx.
Bila μ danα diketahui maka seluruh kurva normal diketahui sebagai contoh bila μ=60 dan α=8 maka ordinat n(x: 6o,8) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambar.
Bila nilai –nilai μ dan α tertentu maka akan menghasilkan kurva dengan gambar tertentu pula. Coba perhatikan gambar dibawah ini
f(x)
μA =μB μc
Gambar kurva A dan B memiliki nilai tengah(rata0rata hitung) yang sama,tetapi simpangan baku yang berbeda. Sedangkan kurva B dan C memiliki nilai tengan yang berbeda tetapi simpangan bakunya sama. Kurva A dan C memiliki nilai tengan dan simpangan baku yang berbeda.
Dengan kurva serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari nilai n(x;μ,α) dapat diperoleh lima sifat kurva normal sebagai berikut :
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x¯ =μ.
2. Kurva staangkup terhadap garis tegak yang nilainya sma dengan μ
3. Kurva mempunyai titik belok pada x=μ +α dan x=μ-α cembung ke atas bila μ-α < x< μ+α dan cembung ke bawah untuk harga x lainnya.
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar (sumbu x) bila harga x bergerak menjauhi μ baik dari ke kiri maupun ke kanan.
5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar (sumbu X )sama dengan 1,0(100%)
b. Luas Daerah Di bawah Kurva Normal
kurva setiap semaran peluang atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas kurva diantara kedua koordinat x= x1 dan x= x2 sama dengan harga peubah acak X mendapat harga antar x= x1 dan x=x2. jadi untuk kurva normal seperti bi bawah ini
x1 μ x2 X Gambar kurva normal f(x1<x<x2)= luas daerah yang diarsir
A B
Jadi bagi suatu fungsi padat tertentu yang memiliki μ danα lain akan menghasilkan peluang P (x1<x<x2) yang berbeda pula besarnya, walaupun letak x1 dan x2 tetap. Sehingga setiap kali ingin menghitung besarnya peluang tersebut harus mencari interval terhadap bentuk fungsi f(x) = n(x; μ,α) itu ini merupakan pekerjaan merepatkan dan kurang efisien. Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal, maka dibuat tabel luas kurva normal,sehingga memudahkan penggunaannya. Akan tetapi mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap harga μ dan α . Untuk itu peubah acak normal dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru yang dikenal peubah acak normal Z.
Sebaran normal Z disebut pula sebaran normal baku yang memiliki nilai tengah μz = 0 dan simpangan baku αz = 1 jadi biasanya ditulis Z ~ N(0,1) dan dirumuskan dengan :
x _____- x x Z
Bila diketahui bahwa peubah acak X ~ N(μ, α) maka semua nilai Xi yang berada pada selang (x1, x2) dapat ditransformasikan menjadi peubah baku Z yang berada dalam selang Z1 =( x1 –μ)/α dan Z2 = (x2 –μ)/α .. sehingga P(x1 <x<x2) dapat dicari dengan cepat menggunakan P( Z1<Z<Z2) berdasarkan nilai tabel (lihat tabel Z pada lampiran)
Contoh
Sapi bali jantan yang berumur 2 tahun rata-rata beratnya 250 kg dan simpangan bakunya 11,05 kg. bila diasumsikan berat sapi tersebut mengikuti sebaran normal berapa % (peluangnya) :
a. Berat Sapi Bali jantan antara 240-260 kg
b. Berat sapi Bali jantan kurang dari 235 kg Jawab
Untuk menyelesaikan soal diatas kita transformasikan dulu nilai-nilai x1 =240, x2=260 dan x3 =235 menjadi Z1, Z2 dan Z3
Z1 = x1 – μ__ = 240 – 250 = -0.90 α 11,05 Z2 = x2 – μ__ = 260 – 250 = 0.90 α 11,05 Z3 = x3 – μ__ = 235 – 250 = -1.36 α 11,05
a. P(Z1<Z<Z2) = P(-0,90<Z<0,90) Karena kurva simetris dan luasnya = 1 maka P(-0,90<Z<0,90) = 1- 2(P(Z<90)
= 1- (0,1841) = 1- 0,3684 =0,6316
Jadi sekitar 63,16 % sapi Bali jantan yang berumur 2 tahun berat antara 240 -260 kg b. P(Z<Z3) = P(Z<-1,36) = P(Z>1,36) = 0,0869
Jadi sekitar 8,69 % sapi bali jantan umur 2 tahun beratnta kurangf 235 kg.
c. Pendekatan Normal terhadap Binomial.
Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial secara langsung dapat diperoleh dari rumus sebaran binomial atau dari tabel binomial pad alampiran, n cukup kecil (n<25). Bila n besar atau tak tersedia dalam tabel, maka peluang binomial dapat dihitung dengan pendekatan sebaran normal.
Pada uraian sebelumnya sebaran poisson dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial, jika n cukup besar dan p mendekati 0. Sedangkan jika n cukup besar dan p tidak cukup dekat denagn 0 atau 1 maka sebaran binomial dapat dihampiri oleh sebaran normal dan hampiran itu sangat baik bila n cukup besar dan p mendekati 0,50.
Bila X peubah acak binomial dengan nilai tengah μ= np dan α2 =npq, bila n cukup besar maka betuk limit sebaran normal baku n(Z;0,1) adalah
x- np Z = √ npq
Untuk melihat pendekatan normal terhadap sebaran binomial perhatikan conoth berikut :mula-mula lukislah histogram b(x; 16, 0,5) dan kemudian letakkan kurva normal dengan rata-rata dan ragam yang sama dengan peubah binomial X sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukislah kurva normal denagn μ= np = 16 (0,5) =8,0 dan α2 =npq =16(0,5)(0,5)=4,0
Histogram b(x;16,0,5) dan kurva normal padanannya yang seluruhnya telah tertentu oleh rata-rata dan ragamnya seperti gambar dibawah ini.
μ X Gambar hampiran kurva normal terhadap b(x;16,0,5)
Tingkat akurasi (ketepatan) pendekatan tergantung dari sejauh mana kurva normal yang dihasilkan dapat mendekati histogram dari binomial.
Dari contoh diatas kita dapat menghitung peluang yang tepat bahwa X berharga 4 sama dengan luas persegi panjang dengan yang titik tenganya x= 4 yaitu b(4;16,0,5) = 0,0278 luas ini dengan pendekatan normal identik dengan luas daerah dibawah kurva normal antar x 1 =3,5 dan x 2 =4,5.jiak diubah kedalam sebaran normal Z maka
Z1= x1 –μ = 3,5 – 8,0 = -2,25 α √4 Z1= x2 –μ = 4,5 – 8,0 = -1,75 α √4 jadi P (-2,25 <Z<-1,75) = P(Z.1,75) – P (Z>2,25) = 0,0401 – 0,0122 = 0,0279
Jadi nilainya sama bila kita ambil 3 angka dibelakang koma yaitu 0,028. Contoh
Berdasarkan pengalaman 30 % dari itik Bali yang dibeli pada peternak adalah invertil (tidak bisa menetas) jika seorang pengusaha peternakan menetaskan 250 butir telur berpa peluang bahwa yang invertil kurang dari 60 butir.
Banyaknya telur yang invertil mengikuti sebaran binomial dengan parameter n =250 dan p =0,30 karena ukuran sample cukup besar an p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1 maka dapat digunakan pendekatan sebaran normal baku yaitu
μ= np = 250 (0,30)=75
α2 =npq = 250(0,30)(0,70) =52,5 dan α =√52,5 =7,25
untuk mendapatkan peluany yang ditanyakan harus dicari luas daerahnya yaitu : Z1 = x1 – μ = 60 – 75 = -2,07
α 7,25
jadi P(x<60) = P (Z< -2,07) = P(Z.2,07) = 0,0192
Soal
1. Diketahui peubah acak X yang menyebar normal dengan rata-rata 16 dan simpangan baku 2,5 hitunglah :
a. P(X<5)
b. Nilai k sehigga P(x<k) = 0,2578 c. P(17<x<21)
d. Nilai k sehingga P(x>k) =0,2578
2. Berat badan sapi Bali jantan 2 tahun mengikuti sebran normal dengan rata-rata 250 kg simpangan baku 8,30kg. bila sebuah rumah pemotongan hewan memotong 200 ekor sapi Bali jantan umur 2 tahun berapa ekor dapat diharapkan.
a. Beratnya kurang dari 240 kg b. Beratnya antara 235 dan 265 kg c. Beratnya lebih dari 270 kg
3. Hitunglah galat (kesalahan) dalam pengampiran dengan kurva normal sebaran binomial dibawah ini
a. 10 Σ b( x; 10, 0,3) x = 0 b. 20 Σ b( x; 20, 0,3) x = 0 c. 20
Σ b( x; 20, 0,5) x = 9 d. 20 Σ b( x; 30, 0,3) x = 0 e. 10 Σ b( x; 30, 0,5) x = 0
4. suatu perusahaan farmasimengatakan bahwa suatu jenis obat tertentu dapat menyembuhkan rata-rata 80 % penyakit kulit pada kelinci. Untuk menguji kebenaran maka obat tersebut dicoakan pada 100 ekor kelinci penderita :
a. berapa peluang 75 ekor ikelinci atau lebih dapat disembuhkan.
b. Bila peluang kesembuhan 0,95 diputuskan obat tersebut masih bisa diterima leh pemakai obat,berapa menimal jimlah ternak yang diharapkan sembuh.
c. Bila ingin mengurangi jumlah kelinci penderita yang dipakai mencoba obat tersebut, berapa jumlah minimal kelinci penderita yang diperlukan jika peluang semua ternak yang diinginkan sembuh maksimal 0,01.