VII.PEUBAH ACAK
Percobaan dengan metode statistika telah digunakan untuk menjelaskan setiap proses yang menghasilkan pengukuran yang berkemungkinan. Untuk memusatkan perhatian kita pada ukuran kuantitatif maka kita lebih tertarik terhadap gambaran numeric dari hasil percobaan. Sebagai contoh ruang sample yang memberikan gambaran menyeluruh bilasuatu mata uang bersisi dua muka (M) dan belakang (B) dilantunkan tiga kali dapat ditulis sebagai berikut :
S = {MMM,MMB,MBM,BMM,MBB,BMB,BBM,BBB}
Bila diperhatikan hanya banyaknya belakang (B) yang muncul maka hasilnumeriknya adalah 0,1,2 atau 3 bilamana 0,1,2 dan 3 merupakan pengamatan acak yang ditentukan oleh hasil percobaan dalam hal ini menyatakan keungkinan banyaknya kali uang bagian muka yang muncul bila satu mata uang dilantunkan tiga kali.
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai nyata yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sample.
Suatu peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf besar mislnya A,B,X,Y dan seterusnya sedangkan harganya denagn huruf kecil misalnya a,b,x,y dst.
Bila x menyatakan kemungkinan jumlah anak laki yang lahir bila pasangan suami istri merencanakan punya 2 anak sudah cukup maka nilai x yang mungkin dari peubah acak X adalah
kejadian PP LP PL LL x 0 1 1 2
Bila suatu percobaan menghasilkan ruang sample yang berhingga dan ruang sampelnya merupakan bilangan bulat maka ruang sample itu disebut ruang sample Diskret dan peubah acak yang didefinisikan tersebut disebut peubah acak diskret.
Hasil percobaan mungkin saja tidak terhingga banyaknya atau tak terhitung sehingga peubah acak tersebut menghasilkan nilai rasional (pecahan) maka peubah acak tersebut disebut peubah acak kontinu. Dalam kebanyakan persoalan praktis peubah acak kontinu mempunyai nilai berupa data terukur denagn menggunakan skala rasional seperti tinggi, berat, jangka waktu dan sebagainya.
suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin mendapatkan nialai peluang tertentu. Dalam kasusu melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang menyatakan banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2 dengan peluang 3/8 .pada contoh kemungkinan banyaknya anak laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri merencanakan 2 anak cukup disajikan pada table berikut :
X 0 1 2 P ( X =x) ¼ ½ ¼
Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu), karena x menyatakan suatu yang mungkin.
Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan sebagainya jadi f(x) =P(X=X)
Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4
Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam broiler 5 ekor diantaranya adalah jantan.jika seorang peternak mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah sebaran peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan yang terambil Ayam broiler jantan yang mungkin terambil adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang yangberbeda seperti disajikan pada table berikut :
X 0 1 2 3 f(x)=P(X=x) 24/91 45/91 20/91 2/91
Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24 coba cari yang lain 15 14 13 2730 91
Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran peluang diskret. Ada dua macam grafik yang biasa digunakan adalah diagram batang atau histogram.
Sebagai contoh kita gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M) yang peluang muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan.
Adapun sebaran peluang seperti table berikut :
x 0 1 2 3 4 f (x) =P(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
Gambar grafik batang gambar histogram
b. Sebaran peubah Acak Kontinu
suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. mungkin hal ini mengejutkan pada permulaan, tetapi akan mudah dipahami denagn contoh berikut. Pandanglah peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi tersebut mempunyai berat normal antara 200-300 Kg. ternyata banyak sekali sapi bali yang berumur 2 tahun yang mempunyai berat 200-300 Kg salah satu diantaranya adalah sapi bali yang beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya tepat tidak kurang sedikitpun atau persisi 210 kg mendekati 0 atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali (1 : tak hingga).
Kenyataan diatas menyebabkan : P(a<x≤b) = P (a<x<b) + P (x=b)
= P (a<x<b) + 0 = P(Ax<b)
Jadi tidaklah menjadi masalah apakah titik ujung diikut sertakan ataupun tidak.
Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk table,tetapi rumusnya ada. Seperti sediakala sebaran peluang akan dinyatakan denagn fungsi f(x).sebaran peluang kontinu f(x) biasa disebut fungsi padat atau fungsi kepekatan, dimana x berada
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 6/16
dalam selang dua nilai tertentu di dalam ruang contoh sehingga grafik f(x) digambarkan secara seimbang.
.
Gambar P(a<x<b) =
b
a
dx x f( )
Gambar grafik diatas disebut grafik fungsi kepekatan f(x) fungsi kepekatan peluang digambarkan oleh luas daerah dibawah kurva yang bersangkutan dan diatas sumbu x. bila digambar secara keseluruhan maka luas kurva tersebut = 1 artinya total peluang diri -~<x<+~ adalah sama denagn satu.
Peluang bagi semua nilai x yangberada dalam selang (a,b) sama denagn luas dibawah kurva kepekatan antara x=a sampai x=b.
Jadi fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu x yang didefinisikan diatas terdefinisi pada semua bilangan nyata (real) R bila :
1. f(x) ≥ 0, untuk semua x=R
2.
~
~
1 (xdx f
3. P(a<x<b) =
b
a
dx x
f( ) 1
c. Sebaran Peluang Bersama
Bila X dan Y dua peubah acak sebaran peluang terjadinya secara serempak dapat dinyatakan denagn fungsi f(x,y0. biasanya f(x,y) disebut peluang bersama (gabungan) X dan Y . jadi dalam kasusu diskret f(x,y0 = P(X=x,Y=y) yaitu f(x,y) menyatakan peluang bahwa X dan Y terjadi bersama-sama. Sebagai contoh bila X menyatakan umur (tahun) sapai bali betina dan Y menyatakan banyaknya kali kelahiran maka f(3,4) berarti sapi bali betina umur 3 tahun dan telah melahirkan sebanyak 4 kali.
Contoh
Dua ekor anak anjing Kintamani dipilih secara acak dari dalamkeranjang seorang pedagang anjing yang berisi 3 ekor warna putih, 2 ekor warna hitam dan 3 ekor warna kemerahan. Bila X menyatakan anak anjing kintamani yang bulunya berwarna putih dan Y anak anjing Kintamanai berwarna hitam terambil/terpilih.
Hitunglah
Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua ekor anak anjing kintamani dari 8 ekor (3+2+3 ekor) yang bulunya berwarna putih dan hitam adalah (8
2) = 8/2!(8-2)! = 28
Misalkan f(0,1) menyatakan peluang bahwa anak anjing Kintamani yang warna bulunya kemerahan dan hitam yang terpilih dapat dicari denagn cara :
28 perhitungannya disajikan pada table dibawah ini.
Table sebaran peluang bersama x dan y serta peluang marginalnya.
Y
X Marginal y
0
Sebaran peluang bersama f(x,y) yang dihasilkan oleh peubah acak diskret x dan Y sehingga diperoleh sebaran peluang berdeminsi satu g (x) bagi peubah x dan h(x) bagi peubah y,maka g(x) dan h (x) disebut sebaran marginal bagi X dan Y
Misalnya kita mencari g(0) :
g (0 )- P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(=0,Y=1) + P(X=0,Y=2) = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2)
=3/28+6/28+1/28 = 10/28
Telah kita pelajari bahwa nilai x dari peubah acak X menyatakan kejadian yang merupakan himpunan bagian dari ruang sample dengan menggunakan definisi peluang bersyarat
P(B/a) =P(A∩B) P(A)
Jika A dan B menyatakan kejadian yang ditentukan oleh masing-masing X=x dan Y= y maka
f(1/1) = f (1,1) = 6/28 = ½ h(1) 12/28 f(2,1) = f(2,1) = 0 = 0
h(1) 12/28
hasil ini menunjukkan bila kita mengambail 2 ekor anjing kintamani yang pertama diambil yang bulunya hitam untuk pengambilan yang kedua peluang untuk tidak mendapatkan anjing bulu putih dan mendapatkan anjing bulu putih adalh sama yaitu ½ tetapi tidak akan mungkin mendapatkan 2 ekor lagi anjing bulu hitam.
Coba perhatikan ; f(x/y) = f(x,y)
h(y) f(x,y) = h(y),f(x/y) jika f(x/y) =g(x) maka f(x,y) = g(x),h(x)
Apabila X dan Y adalh peubah peubah acak diskret atau kontinu yang sebaran peluangnya f(x.y) dan sebaran marginalnya adalag g(x) dan h(x) maka X dan y dikatakan bebas secara statistika jika dan hanya jika :
f(x,y) = g(x),h(x) untuk semua nilai-nilai x dan y
misalkan contoh soal diatas kita ambil f(0,20 g(0) dan h(2) maka f(0,2) ≠g(0),h(2)
3/28 ≠ (15/28)(3/28)
Jadi contoh diatas tidak bebas secara statsitika(tidak indevenpen) Cobalah cari contoh yang bebas /
Soal
1. carilah rumus sebaran peluang dan nyatakan denagn gambar histogram.
a.banyaknya anak pria yang akan lahir jika pasangan suami istri merencanakan punya anak(peluang lahirnya anak ppria=wanita =0,50)
b. banyaknya anak babi jantan yang lahir jika induk babi dipastikan mempunyai anak 10 ekor (peluang lahirnya anak babi jantan =betina=0,50)
2. carilah soal nomor 1b a. P(x<5)
b. P(3<x<7) c. P(x<3) d. P(x≥8)
3.Suatu peubah acak X dapat memperoleh setiap nilai antara x=1 dan x=3 mempunyai fungsi peluang f(x) =1/2
b. P(2<x<2,5) c.P(x<1,6)
4. Dua puluh lima ekor ternak kelinci diperiksa kehalusan bulunya dan banyaknya cacing didalam tinjanya.kehalusan bulunya dikelompokkan menjadi kasar,sedang dan halus (x=0,1,2) sedangkan banyaknya cacing di dalam tinjanya dikelompokkan menjadi tidak ada,ada dan banyak (y=0,1,2)
Datanya seperti tebel berikut :
Y X total
1 2 3
0 1 2
1 2 5
2 3 2
4 3 1
8 9 8
Total 7 8 10 25
Tentutan sebaran peluang marginal dan bersyarat serta tunjukkan apakah X dan Y bebas secara statistika
Dari 16 orang ibu rumah tangga yang ikut program keluarga berencana(KB) catur Warga( cukup punya anak dua)ternyata 4 keluarga mempunyai anak keduanya perempuan, 7 keluarga satu anak laki satu anak perempuan dan 5 keluarga keduanya anak laki-laki. Coba perhatikan jika x menyatakan anak laki-laki dari keluarga tersebut maka x bisabernilai 0,1 dan 2 .bila kita ingin mencari nilai rata-rata anak laki-laki yang lahir dari 16 orang ibuyang ikut program KB maka
x= 0(4/16) + 1(7/16)+2(5/16) = 17/16=1,06
hasil rata-rata ini mendekati 1 yaitu nilai yang mungkin terjadi namun nilai rata-rata tersebut biasanya (secara teoritis) akan mendekati 1,keluarga yang ikut KB yang dicatat semakin banyak.Sesuatu yang mungkin ini adalah sesuatu yang diharapkan terjadi,jadi nilai kemungkinan yang diharapkan terjadi ini disebut Nilai harapan (Ekspetasi).
Nilai harapan ini biasanya diberi symbol atau ntasi E(x),dapat dicari dari definisi peluangnya atau dalam uraian diatas adalah dari kemungkinan anak laki-laki yang lahir dari ibu-ibu yang ikut KB Catur Warga tersebut yaitu :
f(0) = P(X=0)=(2
0)/22 =1/4 f(1) =P(X=0) =(2
1)/22=2/4 f(2)=P(X=0) =(2
2)/22=1/4 jadi E[x] =0(1/4) +1(2/4)+2(1/4)=1
hal ini berarti bila semua ibu rumah tangga yang KB Catur waga dicatat (sample diperbanyak) maka rata-rata banyaknya anak laki-laki yang dilahirkannya sama dengan 1(setengah anak-anak yang lahir dari ibu-ibu yang ikut program KB Catur warga adalah laki-laki hal ini memang yang kita harapkan, kenapa?
Bila x adalah suatu peubah acak yang memiliki sebaran peluang(peluang teoriis) seperti table berikut :
Table sebara peluang
Maka nilai harapan E[x] bagi x adalah:
Bila x adalah peubah acak dengan sebaran peluang f(xi0, untuk i=1,2,3,…..,n maka nilai harapn fungsi g(x) yang merupakan fungsi dari peubah X adalah :
Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang seperti table berikut ; X 0 1 2 3
f(x)=P(X=x) 1/3 ½ 0 1/6 Hitunglah nilai harapan g(x) =(x-1)2
Jawab:
Yj Xi total memungkinkan kita menghitung suatu nilai harapan melalui nilai harapan melalui nilai harapan yang telah diketahui atau pun dapat mempermudah perhitungan. Hal ini berlaku untuk peubah acak diskret maupun konyinu.
Jika a dan b merupakan suatu konstanta atau tatapan maka: E[aX + b] =aE[X] = b
Bila diambil a=0 maka E[b] =b Bila diambil b=0 maka E[aX]=aE[X]
Jika X dan Ydua buah peubah acak yang saling bebas maka E[XY] =E[X].E[Y]
Contoh
Dua puluh ekor anjing Bali jantan diperiksa tinjanya,untuk mengetahui apakah ada atau tidaknya cacing (x=0,1).disamping itu juga diperiksa kadar Haemoglobin darahnya untuk mengetahui apakah dibawah normal,normal ata diatas normal(y=0,1,2) datanya seperti table berikut
Tentukan distribinal dan peluang marginal dan bersama serta tunjukkan apakan X dan Y bebas secara statistika
E[XY] = (0) (0)(9/20)+(0)(1)(3/20) +………+(2)(1)(1/20) = 3/20
= 12/20
Jadi X dan Y saling bebas statistika b. Nilai Harapan Khusus
Bila g(x) =xk menghasilkan nilai harapan yang momen ke –k disekitar titik asal peubah acak X yang dinotasikan denagn μ3k. jadi bila X diskret maka:
hasil ini merupakan total peluang didalam ruang sample bila k=1 maka diperoleh μ31 = E[X]
Hasil ini merupakan nilai tengah populasi biasanya ditulis μx atau μjadi μ= μx = E[X]
Bila k=2 maka diperoleh μ32=E[X2} dan seterusnya.
Bila g(x) =(x-μ)k memberikan nilai harapan yang disebut momen ke k disekitar rata-rata peubah acak X,yang dinyatakan dengan μk jadi μk = E [x-μ)k]
Bila k =2 maka μ2 mempunyai makna khusus karena memberikan gambaran penyebaran pengukuran disekitar rata-rata.jadi μ2 disebut gaman/variasi peubah acak X dan dinyatakan denagn α2x atau α2
Jika pengamatan/observasi kita ukur dengan ukuran tertentu misalkan meter maka μ = E[X] mempunyai satuan meter pula,sedangkan α2 =E[(x-μ)2] mempunyai satuan pengukuran meter kuadarat (m2). Untuk menyeragamkan satuan ukurannya,mengakarkan ragamnya (√α2) hasilnya disebut standar deviasi atau simpangan baku dan dinyatakan dengan α atau disingkat SD.
Berdasarkan teori peluang lahirnya anak jantan sama denagn betina dari seekor induk sapi Bali. Jika seorang peternak mempunyai 5 ekor sapi Bali betina bunting maka: hitunglah rata-rata anak sapi bali jantan yang mungkin lahir dan simpangan bakunya. Jawab
Kemungkinan anak sapi bali jantan (x) yang lahir yaitu x=0,1,2,3,4 dan 5
Peluang lahir anak sapi Bali jantan f(x) =P(X=x) = 5 2 menghasilkan suatu nilai harapan khusus yang disebut kovariasi atau keragaman X dan Y yang diberikan notasi αxy atau kov (xy) jadi
αxy=E[(x-μx)(y-μy)]
=E[(xy)-μxy
Jadi αxy = kov (xy) =E[XY]- μxμy
Harga kovariasi tergantung pada satuan pengukuran X dan Y biasanya kita menginginkan suatu ukuran yang menyatakan hubunga dua peubah yang tidak tergaantung dari pada satuan ukurannya. Hal ini dapat diperoleh denagn membagi kovariasinya denagn standar deviasi peubah X dan Y
Ukuran hubungan yang diperoleh dinamakan koefisien korelasi antara peubah X dan Y yang diberikan notasi kor (X<Y) atau r
Jadi : Kor (X,Y) = r = Kov (XY) αx αy c. Sifat-sifat Koefisien korelasi (r)
Kor(X,Y) adalah bilangan yang harganya antar -1 dan 1 (-1≤r≤1). Harga -1 dan 1 dicapai bila hubungan peubah X dan Y sangat erat yaitu sebagai suatu garis lurus dengan koefisien arah negative dan positif
Kor(X,Y) tidak berubah apabila peubanya ditambah ata dikalikan bilangan konstan yang tandanya sama. Misalnya Z= 5x + 2 dan v=2y+3 maka Kor(Z,V) =Kor(X,Y)
Contoh
Sepuluh ekor babi yang sedang beranak dicatat periode kelahirannya sebagai peubah X dan jumlah anaknya sebagai peubah Y datanya seperti table berikut :
Tabel sebaran peubah acak X dan Y
Y
X
total 1 2 3
8 9 10
3 1 0 0 3 0 0 0 3
4 3 3 Total 3 4 3 10
Tentukan koefisien korelasi antara peubah X dan Y Jawab
μx = E[X] = 1(3/10) + 2(4/10) +3(3/10) =3/10 + 8/10 + 9/10
μx = E[Y] =8(4/10) +9(3/10)+10(3/10) =32/10 +27/10 +30/10 =89/10=8,9
E[X,Y] = (1)(8)(3/10)+(1)(9)(0/10)+……..+(3)(10)(3/10) =24/10 +16/10 +54/10 +90/10
= 184/10 =18,4 Kov (XY) = E[X,Y] –μxμy
=18,4 –(2)(8,9) =18,4 -17,8 =0,6
E[X2] =12(3/10) + 22(4/10) +32(3/10) =3/10 +16/10+27/10
=46/10 =4,6
E[Y2] =82(4/10) +92(3/10) +102(3/10) =26/10 +234/10 +300/10 =799/10 =79,9
α2x =E[X2]-(μx)2 =4,6 –(2)2 =4,6 -4 =0,6 αx =√0,6 =0,77 α2y = E[Y2]-(μy)2
=79,9 –(8,9)2
=79,9 – 79,21 =0,69 αy =√0,89 =0,83
Kor (X,Y) = Kov (X,Y) = 0,6______ = 0,6_____ = 0,9389 αxαy (0,77)(0,33) 0,6391
d. Sifat-Sifat Ragam/Variasi
Bila dimisalkan g(x) sebagai fungsi peubah acak X maka rata-rata dan variasi g(x) akan dinyatakan denagn μg(x) dan α2g(x)
Teorema : misalkan X peubah acak denagn sebaran peluang f(x) maka variasi g(x) adalah :
(sesuai dengan teorema ragam)
Teorema ; Bila X suatu peubah acak dan b suatu konstanta atau tetapan maka : α2
(x+b) = α2x =α2 Bukti:
α2
(x+b) = E[{x+b) – μ(x+b) }2]
Oleh karena μ(x+b) = E[X+b] =E[X] + b =μ + b Sehingga : α2
(x+b) = E[(X + b – μ-b)2] = E[(X –μ)2] =α2
Rumusn /teorema ini menyatakan bahwa ragam /variasi tidak berubah bila suatu konstanta/tetapan ditambahkan ke ataupun dikurangkan dari suatu peubah acak. Penambahan atau pengurangan suatu konstanta hanyalah mengeser harga μx ke kanan ata kekiri dan tidak akan mengubah ragamnya.
Teorema : Bila X suatu peubah acak digandakan denagn a dan a adalah suatu konstanta maka :
α2ax =a2α2x =a2α2
(coba buktikan pembaca membuktikan )
Teorema ini menyatakan bila suatu peubah acak dikalikan atau dibagi denagn suatu konstanta maka variasinya dikalikan atau dibagi denagn kuadrat konstanta tersebut Teorema : Bila X dan Y peubah acak denagn sebaran peluang gabungan f(x,y) maka
α2a +by =a2 α2x +b2α2y +2abα2xy
e. Teorema chebyshev
Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva berikut ;
Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu disekitar nilai tengah disini αx<αy Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia menemukan bahwa bagian paling luas dua nilai tengahnya berkaitan denagn simpangan bakunya. Karena luas dibawah sebaran peluang peubah acak sama denagn 1 maka luas antara bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut .
Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap peubah acak X mendapat nilai k simpangan baku dari nilai rata-rata adalah paling sedikit (1-1/k2) yaitu :
P(μ – kα <X<μ+kα≥1-1/k2
Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif) tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak kesimpangan baku dari harga rata-rata.
Misalkan untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai peluang paling sedikit 1-1/22 =3/4 mendapat nilai dalam jarak dua simpangan baku dari nilai rata-rata. Yaitu ¾ atau lebih pengamatan setiap sebaran terletak dalam selang μ ± 2α Contoh
Suatu peubah X mempunyai rata-rata μ=8 dan ragam α2=9 sedangkan sebaran tidak diketahui
Hitunglah P(-4 < X <20) dan P (│x-8│>6) Jawab
P(-4<X<20) = P(8-(4)(3)<X<8 + (4)(3) Dalam hal ini digunakan k=4 maka
P(-4<X<20) ≥ 1-1/42 P(-4<X<20) ≥ 15/16
P(│x -8│) >6 = 1-P(│x - 8│<6)
X Y
αx
αy
P(│x -8│) >6 = 1-P( -6<x -8<6) P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-6<x<8 +6)
P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-(2)(3)<x<8 + (2)(3) Dalam hal ini diperoleh/digunakan k=2 maka : P(│x -8│) ≤1-(1-1/22)
P(│x -8│) ≤1-1-1/4 P(│x -8│) ≤1/4
Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap sebaran pengamatan oleh karena itu hasilnya biasanya lemah. Hasil yang diberikan teori tersebut hanyalah batas bawah. Yaitu kita tahu bahwa peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak dua simpangan baku dari harga rata-rata tidak mungkin kurang dari ¾. Tetapi kita tidak tahu lebih dari itu (nilai sesunguhnya) hanya bila sebaran peluangnya diketahui baru peluangnya yang tetap dapat ditentukan.
.
Soal
1. Seratus ekor anjing yang sedang beranak dicatat periode kelahiranya sebagai peubah acak X dan jumlah anaknya sebagai peubah acak Y datanya seperti tabel berikut :
Y
X
Total
1 2 3 4 5
2 3 4 3 4 8 6 2 0
2 10 16 2 0
1 6 13 6 4
0 4 6 6 4
20 30 30 20 total 7 28 41 16 8 100 Hitunglah:
c. Korelasi (X,Y)
2. Beradasarkan hasil penelitian didapatkan bahwa perkawinan antara ayam buras jantan berbulu putih denagn ayam buras betina berbulu hitam anak ayam yang menetas terdiri atas 15%putih, 20 % hitam dan 65% bulu campuran (warna lain)
Sedangkan jenis kelaminnya 60%jantan. Jika warna bulu dianggap e=sebagai peubah X dan jenis kelamin sebagai peubah Y hitunglah
a. E[X] dan E[Y]
b. Keragaman peubah acak X dan Y c. Kovariasi (XY)
d. α2x+y e. α22x-2y
3.Suatu peubah acak X mempunyai 12 dan ragam 4 denagn menggunakan teorema Chebushev hitunglah :
a.P (│x-12│≥3) b│x-12│<3)
c.P(6<x<16) d. harga c sehingga P(│x-12>c│)≤0,04 IX. SEBARAN PELUANG DISKRET
Seperti kita ketahui bahwa sebaran peluang diskret dapat disajikan dalam bentuk tabel grafik dan bila mungkin dalam bentuk rumus. Cara manapun yang digunakan tidaklah menjadi persoalan asalkan menggambarkan sifat-sifat ataupun kelakuan dan peubah acak tersebut. Banyak peubah acak yang dihasilkan dari percobaan statistika mempunyai sifat-sifat yang sama dan pada dasarnya dapat dinyatakan dalam sebaran peluang yang sama
Suatu peubah acak tertentu haruslah selalu hati-hati memilih sebaran peluang diusahakan setepat mungkin dapat menggambarkan pengamatan yang dihasilkan oleh percobaan.
Dalam bab ini akan dibahas beberapa sebaran peluang diskret yang sering muncul dalam percobaan statistika.
a. Sebaran Seragam
Sebaran peluang diskret yang paling sederhana ialah sebaran yang peubah acaknya memperoleh semua harga denagn peluang yang sama sebaran peluang semacam ini disebut sebaran seragam atau uniform.
Bial peubah acak X mendapat harga x1,x2,…..xk dengan peluang yang sama maka sebaran seragam disket diberikan oleh f(X;k) =1/k, X=x1,x2,…..xk
Notasi f(X:k) dipakai sebagai penggati f(x) untuk menunjukkan bahwa sebaran seragam tersebut bergantung atas parameter k
Rata-rata dan variasi sebaran seragam disket f(x;k) adalah :
μ=1/k
k
i
Xi 1
dan α 2 = 1/k
k
i 1
(xi –μ)2 Contoh :
Bila sebuah dasu dilantunkan maka tiap ekemen ruang sample S =(1,2,3,4,5,6) muncul dengan peluang yang sama yaitu 1/6
Jadi merupakan sebaran seragam f( x:6) =1/6 disini x= 1,2,3,2,3,4,5,6
Demikian juga misalkan kita memilih 5 ekor anak ayam betina secara acak dari seekor induk yang mempunyai 6 ekor anak betina.
Banyaknya kombinasi yang mungkin = (6
5) = 6 kombinasi karena satiap anak ayam mempunyai peluang yang sama untuk terpilih berarti sebaran sampelnya mengikuti sebaran saragam f(X;6=1/6 untuk X=1,2,3,4,5,6
Gambar histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/6 b. Sebaran Binomial dan Multinomil
Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa uaha/trial,bial setiap usaha memberikan hasil salah satu dari dua kemungkinan yang dinamakan sukses atau gagal, maka percobaan demikian disebut percobaan binomial. Dalam percobaan binomial pendifinisian atau menentukan kejadian sukses harus jelas dn kita dapat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai sukses.
Misalkan pada pelantunan 3 mata uang yang seimbang maka muncul salah satu muka kita sebut kejadian sukses, demikian pula kekahiran anak sapi perah, bila lahir anak betina bisa disebut suatu kejadian sukses
Syarat-syarat suatu percobaan binomial adalah sebagai berikut : 1. percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
2. tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal. 3. peluang sukses dinyatakan denagn p tidak berubah dari usaha yang satu ke
usaha berikutnya.
4. tiap usaha bebas denagn usaha lainnya.
Pandanglah suatu percobaan binomial pemeriksaan tiga sample tinja ayam mengenai ada tidaknya cacing. Bila diketemukan cacing pada ayam tinja tersebut dianggap sukses dan berdasarkan teori atau hasil penelitian, peluang ditemukannya cacing tersebut p=0,75=3/4 Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang harganya adalah bilangan bulat dari 0 sampai 3
Kedelapan hasil yang mungkin harga x dan peluangnya disajikan dalam tabel berikut
Hasil X P(X=x) =f(x)
TTT 0 (1/4)(1/4)(1/4) = 1/64
TCT 1 (1/4)(3/4)(1/4) = 3/64
TTC 1 (1/4)(1/4)(3/4) =3/64
CTT 1 (3/4)(1/4)(1/4) = 3/64
TCC 2 (1/4)(3/4)(3/4) =9/64
CTC 2 (3/4)(1/4)(3/4) =9/64
CCT 2 (3/4)(3/4)(1/4) =9/64
CCC 3 (3/4)(3/4)(3/4) = 27/64
Total 64/64 = 1
Catatan T (tidak diketemukan cacing atau gagal) C(ditemukan cacing atau sukses)
Sebaran peluang diatas dapat disajikan lebih ringkas seperti tabel dibawah ini :
X 0 1 2 3 P(X=x) =f(x) 1/64 9/64 27/64 27/64
Sebaran acak binomial yang menggambarkan banyaknya sukses x dan N usaha diberikan notasi b(X;n,p), karena nilai sebaran ini tergantung dari banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p)
Jadi untuk contoh diatas sebaran peluang X bila X menyatakan kemungkinan ditemukannya 2 sampel berisi cacing dari tiga sample tinja ayam adalah P(X=2) =f(x) =b(2;3,3/4)=27/64
Selanjutnya akan dicara rumus yang akan memberikan peluang sukses sebanyak x dan gagal sebanyak n-x dalam suatu tertentu. Karena uaha semuanya bebas maka peluang tiap hasil dapat diperkalikan .tiap sukses terjadi denag peluang p dan tiap gagal denagn peluang q = 1-p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah px qn-x. banyaknya tititk sample sama denagn banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga hasil pada kelompok pertaman dan sisanya n-x hasil pada kelompok kedua. Jumlah ini dinyatakan denagn (nx )karena pembagian saling berpisah maka peluangnya
dijumlahkan untuk mendapatkan rumus umum atau denagn kata lain menghasilkan px qn-x dengan (nx )
Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal denagn peluang q =1-p, maka sebaran peluang peubah acak binomial X yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah b(x; n,p) =(nx )pxqn-x untuk x=0,1,2,…..,n
Perhatikan contoh diatas n= 3 dan p=3/4 maka sebaran peluang X yang menyatakan ditemukannya cacing pada 3 sampel tinja ayam dapat disajikan dalam bentuk rumus sebagai berikut
Perhatikan p + q= 1 maka jelas pula bahwa
hal ini merupakan suatu yang harus dipenuhi untuk setiap sebaran peluang peubah acak. Untuk mempermudah perhitungan telah disajikan dalam bentuk tabel (lihat tabel binomial pada lampiran )
contoh
peluang kesembuhan suatu penyakit pada babi Bali bila diobati dengan obat tertentu adalh 0,4 bila 15 ekor babi Bali menderita penyakit tersebut hitunglah peluang :
a. paling sedikit 10 ekor akan sembuh b. antar 3 sampai 8 ekor sembuh c. tepat 4 ekor sembuh
jawab
misalkan x banyaknya yang sembuh dan p = 0,4 maka q=1-0,4 =0,6 dengan menggunakan tabel sebaran binomial diperoleh hasil sebagai berikut :
=0,0634 + 0,1268 + 0,1859 +0,2066 +0,1771 +0,1181 =0,8779
c. P(x=5) = b(5;15,0,4)=0,1859
sebaran binomial b( x; n,p) mempunyai rata-rata ( μ) dan ragam (α2)sebagai berikut : μ= np dan α2 =npq=np(1-p)
Bukti
sedangkan Ij =1 menunukkan suatu kesuksesan jadi banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat ditulis sebagai jumlah n peubah petunjuk bebas sehingga
X= I1 +I2 +………..+In
Nilai tengah (rata-rata0 dari setiap peubah acak Ij adalah : E[Ij] = 0(q) +1(p) =p
Sehingga μx =E[X]= E(I1) + E(I2] +………..+E[In) = p + p +………..+p = np
Ragam setiap Ij diberikan oleh: α2=E[(Ij – p)2] = E[Ij2] – p2
=(02)q + (12)p-p2 = p-p2
=p(1-p)=pq Maka :
α2 = α2 I
1 + α2I2+…………..+α2In = pq + pq+……….+pq = npq
Dari contoh soal diatas dapat rata-rata babi bali yang sembuh dan ragamnya diri 15 ekor yang diobati yaitu :
μ=np=15 x0,4=6ekor α2=npq=15 x0,4x0,6 =0,36
percobaan binomial akan berubah menjadi percobaan multinomial jika satiap usaha mempunyai lebih dari dua hasil yang mungkin
bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1,E2,………,Ek sengan peluang p1,p2,…….pk maka sebaran peluang acak X1,X2,………..Xk yang menyatakan terjadinya E1,E2,…………..Ekdalam n usaha bebas adalah :
f(x1,x2,….xk;p1,p2,…..pk,n)= ( x1 xn2....xk ) p1 x1
p2x2………pkxk
jawab
kejadian diatas mengikuti sebaran multinomial dimana x1 =3 x2=1 dan x3=6-3-1=2 denagn peluang masing-masing p1=0,50 p2=0,30 dan p3=0,20
f(3,1,2;5/10,3/10,2/10,6)= ( 3126 )(5/10)3(3/10)1(2/10)2
= 0,09
c. Sebaran Hipergeometrik
untuk mempelajari sebaran hipergeometrik kita perhatikan contoh berikut. Dalam sebuah kandang berisi 50 ekor anak itik 10 ekor diantranya jantan dan sisianya betina seorang peternak mambenli 3 ekor anak itik diambil secara acak dari kandang itu (jadi pengambilan tanpa pengembalian ) dan kemudian diadakan sexing terhadap anak itik yang telah diambil/dibeli. Apakah anak itik yang telah diambil jantan atau betina yang terambil jiak jantan yang diambil pembeli mengangap sukses dan kita berikan lambang x maka nilia numeric x = 0,1,2,atau 3
secara lebih umum dapat kita pandang persoalan diatas sebagai berikut. Misalkan dalam kandang tersebut a ekor anak itik jantan, dan b ekor anak itik betina,sehingga seluruh itik yang ada N =a + b ekor jadi b = N-a kita ambil tanpa pengembalian n ekor (1≤n≤N) sedemikian hingga (N
n) himpuna bagian mempunyai peluang yang sama yaitu (1
N) akan terambil
jadi ada N benda yang terdiri dari a benda yang akan diberi nama sukses sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.Umumnya yang akan dicari adalah peluang memilih x sukses dari sebanyak a yang tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-a yang tersedia. Bila sample ukurannya n diambil N benda. Ini dikenal percobaan
hipergeometrik denagn sifat-sifat sebagai berikut : 1. sample acak ukuran n diambil dari N benda
2. sebanyak a benda dapat nama sukses sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.
Banyaknya X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik dan diberi notasi h(x;N,n,a) disini :
h(x;N,n,a) = (xa)( Nn xa )/(Nn )
Jadi kemungkinan anak itik jantan yang terambil dapat diselesaikan denagn rumus sebaran hiepergeometrik .
h(0;50,3,10) = (100 )( 503--010 )/ ) 3 50
( = 0.504
h(2;50,3,10) = (102 )( 503--120 )/ ) 3 50
( = 0.092
h(3;50,3,10) = (103 )( 503--130 )/ ) 3 50
( = 0.006
Dalam bentuk tabel dapat disajikan sebagai berikut :
X 0 1 2 3 total h(x;50,3,10) 0,504 0,389 0,092 0,006 1,000
Dari contoh diatas kita dapat mencari nilai tengah (μ) dan ragamnya (α2) sebagai berikut : μ = 0(0,504) +1(0,393) +2(0,092)+3(0,006)
= 0,6
α2= {(02(0,504)+12(0,393) +32(0,006)}-0,62 = 0,46
Dapat dicari rumus untuk menghitung nilai tengah (μ) dan ragamnya (α2) sebagai berikut :
μ= n Na dan α2= n
Na (1- Na ) [(N-n)/(N-1)]
Jadi : μ = (3)(10/50)=0,6
α2 =(3)(10/50)(1-10/50)[(50-3)/(50-1)] = (0,6)(0.8)(959) =0,46
Rumus nilai tengahdan ragam identik denagn rumus-rumus untuk sebaran binomial bila n kecil dibandingkan N maka peluang penarikan/pengambilan hanya berubah cukup kecil .jadi pada dasarnya percobaan adalah binomial sehingga sebaran hipergeometrik dapat dihampiri denagn sebaran binomial denagn p=a/N
Jadi nilai tengah dan ragamnya dapat pula dihampiri denagn rumus sebagai berikut μ = np = n a/N dan α2=npq= n a/N(1-k/n)
jadi terlihat rumus nilai tengah sama sedangkan rumus ragam ada perbedan denagn factor koreksi [N-n)/(N-1)] basarnya factor koreksi dapat diabaikan jika n cukup kecil bila dibandingkan denqagn N atau jika N cukup besar dibandingkan n
contoh
dalam program vaksinasi ayam buras disuatu propinsi dikirim 1000 ampul vaksin diantaranya terdapay 200 ampul yang rusak bila pada suatu desa mendapat jatah 5 ampul berapa peluangnya terdapat satu ampul yang rusak
karena n =5 cukup kecil dibandingkan denagn N=1000 maka peluangnya dapat dihampiri dengan menggunakan sebaran binomial
jadi peluang mendapatkan 1 ampul vaksin yang rusak adalah h(1;1000,5,200) b(1;5,0,2)==
(
200)(
1000-200)
1 5-1 ( 5)(0,2)== 1(0,8)5-1 )
5 1000 (
0,4079 0,4096== Jadi peluangnya bisa didekati dengan 0,41 c. Sebaran Poisson
percoban yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numeric yaitu banyaknya sukses dalam selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebuit percobaan poisson panjang selang waktu tertentu dapat berupa apa saja, bis saja semenit, sehari,seminggu,sebulan setahun dan sebagainya. Seperti pada peubah acak binomial X yang menunjukkan banyaknya sukses dalam n usaha independent, namun pada peubah acak Poisson terjadi bila n cukup besar, tetapi p sangat kecil mendekati 0. Dalam hal ini misalnya X mungkin menyatakan tikus sawah dalam sehari yang matai ,banyaknya bakteri pathogen yang tumbuh pada suatu media dalam waktu tertentu dan sebagainya.
Perhatikan sebaran peluang peubah acak binomial mX yaitu : f(x) =P(X=x) = (nx ) px(1-p)n-x ; x=0,1,……..,n.
misalkan n cukup besar tetapi p sangat kecil mendekati nol (p→ 0) misalkan hasil kali p denagn n kita tulis λ =np sehingga p =λ/n. maka nilai tengah dan ragamnya dapat kita tulis : μ=λ dan α2 =λ (1-λ/n)
jika λ dibuat konstan n diperbesar dan p mendekati 0 ( sehingga p =λ/n→0) maka ragamnya akan mendekati harga konstan yaitu α=λ
jadi untuk peubah acak binomial X dengan n cukup besar dan p mendekati nol dan np=λ maka nilai tengah dan ragamnya keduanya akan mendekati harga yang sama yaitu λ
sebagai contoh misalkan λ=2 maka peubah acak binomial dengan : n = 4 p=0,5 maka μ=4(0,5) =2 ; α2 =2(0,5) =1,0
n = 100 p=0,02 maka μ=100(0,02) =2; α2 =2(0,98) =1,96 n = 300 p=0,01 maka μ=300(0,01) =2; α2 =2(0,99) =1,98
jadi jika n bertambah besar dan np diambil konstan maka μ dan α2 keduanya mendekati limit yang memuat λ dan x. hal ini dapat ditunjukkan memang demikian adanya. Jika np=λ dan n cukup besar maka untuk sembarang harga tertentu x, maka fungsi peluang f(x) =P9X=x) = (x
n)(λ/n)x(1-λ)n-x harga fungsi peluang ini mendekati suatu limit seperti
rumus berikut :
f(x) = P(X=x) = e -λ λ x , disni e= 2,71828 x!
sebaran peubah acak ini disebut sebaran poisson dan dinyatakan denagn P(x;μ) karena nilainya hanya tergantung dari x dan μ yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan oleh karena μ=λ maka
f(x) =P(X=x) = e λ-μλ x ; x=0,1,2,…….. x!
nilai-nilai sebaran poisson telah disajikan dalam tabel (lihat lampiran) contoh
berdasarkan teori/penelitian banyaknya telur cacing hati yang menetas dalam air yang mengandung Furadan dengan konsentrasi 2 gram/liter sebanyak 2 butir telur dari 100 butir telur yang ditetaskan
bila kita juga menetas dengan cara yang sama berapa peluang bahwa : a. 4 butir telur yang menetas
b. Antara 0 dan 4 (0<x<4) yang menetas Jawab
Jadi x= 4 dan μ=2, maka coba lihat tabel poisson) P(4;2) = e -2 2 4 = (0,1353)(16) = 2,1648 =0,0902
4! 24 24 9
Σ P(x;2) =P(1;2) + P92;2) + P93;2)
x=1 = 0,270671 +0,270671 +0,180447 = 0,721789
percobaan binomial negative adalah suatu percobaan yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan binomial, kecuali bahwa disini usaha diulang sampai terjadi sejumlah sukses tertentu.jadi jika n tetap maka ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x
sebagai contoh dalam usaha meningkatkan mutu ternak sapi Bali dan efisiensi penguunaan pejantan maka dilakukan kawin suntik atau inseminasi buatan (IB). jika diketahui keberhasilan IB 60 % ingin dicari peluang sapi betina yang ke 7 yang di Ib. nyatakan sapi Bali betina yang bunting (sukses) denagnS dan yang gagal atau tidak beruntung denagnG maka salah satu kemungkinan adalah SSGSSGS
kemungkinan susunan lain dari S dan G dapat disusun sedemikian rupa asalkan memenuhi syarat yang terakhir harus S (sukses) yang ke lima. Jumlah semua urutan yang mungkin sama dengan banyaknya cara memisahkan (menyekat keenam usaha yang pertama menjadi dua kelompok yaitu kelompok pertama mengandung dua G dan kelompok ke dua yang mengandung empat S jadi ada ( 46 ) =15 cara yang berlainan itu yaitu :
GGSSSSS, GSGSSSS, GSSGSSS, GSSSGSS, GSSSSGS
SGGSSSS, SGSGSSS, SGSSGSS, SGSSSGS, SSGGSSS
SSGSGSS, SSGSSGS, SSSGGSS, SSSGSGS, SSSSGGS
Jadi merupakan peluang mendapatkan 4 kejadian sukses p=0,6 dari 6 kejadian yang terjadi karena kejadian yang ke 7 selalu sukses. Sehingga dapat dihitung besar peluang denagn sebaran binomial sebagai berikut \;
b(4;6,0,6) = (46 ) (0,6)6 (0,4)4-2= 0,112
Sebaran ini sangat menyerupai sebaran binomial sehingga disebut sebaran binomial negative dan diberikan notasi atau lambing b* (x,k,p)
Berdasarkan ilustrasi diatas maka bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal denagn peluang q=1 – p maka sebaran peluang acak X yaitu banyaknya usaha yang tepat pada sukses ke k adalah :
b* (x; k,p) = ( xk--11 ) pk qx-k disini x =k, k+1, k+2,………
Seekor sapi bali yang diperiksa kesehatannya mungkin jinak (berhasil diperiksa) mungkin juga liar (gagal diperiksa )kemungkinan berhasil atau gagal adalah sama yaitu 0,5 tergantung dari cara pemeriksaannya. Jika seorang doketr hewan memeriksa dengan cara tertentu berapa peluanng sapi yang ke 5 dalam keadaan jinak yang kedua :
Jawab
Dengan menggunakan sebaran peluang binomial negatip maka x=5,k=2 dan p=0,5 Sehingga :
b*(5; 2,0,5) = ( 25--11 ) (0,5)2(0,5)5-2 =0,125
Pada sebaran binomial negatip yang bersifat khusus dimana k=1 maka diperoleh sebaran peluang denagn satu S didalam sejumlah usaha yang dilakukan.misalkan pada contoh diatas yaitu pada pemerikasaan kesehatan 5 ekor sapi Bali. Seandainya 4 ekor sapi yang diperiksa gagal/tidak mau jinak maka eluang sapi yang kelima mau jinak menjadi b*(x; 1,p) =pqx-1 untuk x=1,2,3,…. Yang suku-suku ekspansinya membentuk persamaan yang meningkat secara geometric. Oleh karena itu sebaran yang demikian disebut sebaran geometric yang dinotasikan dengan g(x;p). umumnya percobaan ini terus menerus dilakukan dn baru berhenti setelah berhasil/sukses,namun saja terus gagal karena peluang berhasil/sukses akan semakin kecil bila percobaan terus dilakukan. Mungkin akan lebih besar kemungkinan akan berhasil jika teknik/cara percobaan yang diruber.
Sebaran geometric terjadi,bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali sampai mencapai sukses,denganpeluang sukses p dan peluang gagal q=1-p maka sebaran peluang peubah acak X yaitu banyaknya yang berakhir sukses yang pertama adalah :
g(x;p) =pqx-1 ; x=1,2,3,……….. contoh
Berapa ekor penyu paling sedikit harus diperiksa untuk meyakinkan bahwa penyu-penyu di rumah potobf tersebut bebas dari parasit pad jantungnya.
Jawab
Dengan menggunakan sebaran peluang geometric p=0,30 dan q =1-0,30 =0,70 maka
Gg(x;p) =pqx-1 0,001= (0,3)(0,7)x-1
Log0,01 = log[(0,3) (0,7)x-1] Log 0,01=Log0,3 + (x-1)Log 0,7
-2 =-0,523 +(x-1)-0,155 -2= -0,523-0,155x + 0,155 0,155x=1,632
X=10,5
Karena dokter hewan tersebut baru yakin jika peluangnya ≤0,01 maka diperiksa minimal 11 ekor dank e 11 ekor yang diperiksa menunjukkan negatip/tidak ada cacing pada jantungnya.
Soal
1. Untuk memeriksa kepalsuan susu serbuk jenis tertentu yang beredar di kota denpasar,maka diperiksa 10 sampel took penjual susu serbuk secara acak dan sample yang diambil berturut-turut diberikan kode 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 dan seluruh sample disimpan dlam kotak
a.jika pemeriksa mengambil satu sample secara acak berapa peluang bahwa yang terambil adalah sample yang kode 4
b.jika ada dua kemungkinan yang sma yaitu palsu dan tidak berapa peluang semua sample yang diperiksa tidak ada yang palsu
2. Berdasrkan hasil pemeriksaan pravalensi infestasi cacing Ascaridia galli pada tinja itik Bali jantan adalah 22 %. Bila diperiksa 15 ekor itik jantan hitunglah :
d. bila anda yakin pasti salah satu itik yang diperiksa atau minimal satu ekor yang diperiksa pada tinjanya terdapat cacing tersebut, bila peluang ditemukannya 0,99 berapa ekor minimal itik Bali tinjanya harus diperiksa
3. Dua belas butir telur ayam konsumsi yang masing-masing 2,4 dan 6 butir diberi zat pengawet A,B dan C dan kemudian disimpan pada suhu 37 C.jik a telur yang diambil seua diberikat pengawet B
4. Disuatu rumah pemotongan hewan (RPH) dalam jangka waktu satu tahun yang rata-rata memotong sapi betina 50 ekor per hari hanya ada 2 ekor sapi betina bunting yang dipotong berapa peluang dalam jangka waktu satu tahun.
a. kurang dari 2 ekor sapi betina bunting
b. antar 1-3 ekor sapi betina bunting yang dipotong c.tidak ada sapi betina bunting yang dipotong.
5. Untuk membuktikan suatu obat yang baru ditemukan dapat menyembuhkan suatu penyakit tertentu pada ternak kambing kacang dalam jangka waktu 3 hari maka obat tersebut disuntikkan pada beberapa ekor kambing penderita.
a. berapa peluang kambing yang ke 7 diobati merupakan sembuh yang ke 3 kalinya dalam jangka waktu 3 hari
b. bila pemakai obat tersebut baru yakin obat itu dapat diandalkan jiak semua ternak diobatiberturut-turut sembuh peluangnya lebih kecil daro 0,01 berapa ekor ternak penderita menimal diobati berturut-turut sembuh.
6. Daging babi yang dipasarkan disekitar kota denpasar disinyalir 20 % tercemar bakteri Salmonella. Untuk yakin 99% bahwa daging babi yang dijual di suatu kias daging bebas dari bakteri salmonella berapa paling sedikit jumlah sample daging yang harus diperiksa
X. SEBARAN NORMAL
a. Kurva Normal
Salah satu sebaran peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk lonceng atau genta seperti gambar dibawah ini :
.Gambar kurva normal
Pad tahun 1733 De Moive menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar bayak teori statistika induktif. Sebaran normal disebut juga sebaran Gaus untuk menghormati Gauss (1777-1855) yang juga menemukan persamaan waktu menghitung kesalahan penelitian (galat penelitian)dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama
Suatu peubah acak X yang sebarannya berbentuk Genta seperti gambar diats disebut peubah acak normak. Persamaan matematik sebaran peluang peubah acak normal kontinu tergantung pada dua parameter yaitu μ dan α, yang biasa disebut rata-rata hitung dan simpangan baku jadi fungsi pada X biasanya dinotasikan dengan n(x ; μ,α) persamaan :
Nn(x; μ,α) = 1___ e –(1/2)[(x-μ)/α] 2 √ 2πα
Disini – ~<x<+~ dengan π =3,14159… dan e=2,71828……. Secara ringkas sebaran peluang peubah acak normal sering ditulis X ~N(μx , αx) dan dibaca peubah X menyebar normal dengan nilai tengah μx dan simpangan baku αx.
Bila μ danα diketahui maka seluruh kurva normal diketahui sebagai contoh bila μ=60 dan α=8 maka ordinat n(x: 6o,8) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambar.
Bila nilai –nilai μ dan α tertentu maka akan menghasilkan kurva dengan gambar tertentu pula. Coba perhatikan gambar dibawah ini
f(x)
μA =μB μc
Gambar kurva A dan B memiliki nilai tengah(rata0rata hitung) yang sama,tetapi simpangan baku yang berbeda. Sedangkan kurva B dan C memiliki nilai tengan yang berbeda tetapi simpangan bakunya sama. Kurva A dan C memiliki nilai tengan dan simpangan baku yang berbeda.
Dengan kurva serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari nilai n(x;μ,α) dapat diperoleh lima sifat kurva normal sebagai berikut :
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x¯ =μ.
2. Kurva staangkup terhadap garis tegak yang nilainya sma dengan μ
3. Kurva mempunyai titik belok pada x=μ +α dan x=μ-α cembung ke atas bila μ-α < x< μ+α dan cembung ke bawah untuk harga x lainnya.
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar (sumbu x) bila harga x bergerak menjauhi μ baik dari ke kiri maupun ke kanan.
5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar (sumbu X )sama dengan 1,0(100%)
b. Luas Daerah Di bawah Kurva Normal
kurva setiap semaran peluang atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas kurva diantara kedua koordinat x= x1 dan x= x2 sama dengan harga peubah acak X mendapat harga antar x= x1 dan x=x2. jadi untuk kurva normal seperti bi bawah ini
x1 μ x2 X Gambar kurva normal f(x1<x<x2)= luas daerah yang diarsir
A B
Jadi bagi suatu fungsi padat tertentu yang memiliki μ danα lain akan menghasilkan peluang P (x1<x<x2) yang berbeda pula besarnya, walaupun letak x1 dan x2 tetap. Sehingga setiap kali ingin menghitung besarnya peluang tersebut harus mencari interval terhadap bentuk fungsi f(x) = n(x; μ,α) itu ini merupakan pekerjaan merepatkan dan kurang efisien. Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal, maka dibuat tabel luas kurva normal,sehingga memudahkan penggunaannya. Akan tetapi mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap harga μ dan α . Untuk itu peubah acak normal dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru yang dikenal peubah acak normal Z.
Sebaran normal Z disebut pula sebaran normal baku yang memiliki nilai tengah μz = 0 dan simpangan baku αz = 1 jadi biasanya ditulis Z ~ N(0,1) dan dirumuskan dengan :
x _____- x x Z
Bila diketahui bahwa peubah acak X ~ N(μ, α) maka semua nilai Xi yang berada pada selang (x1, x2) dapat ditransformasikan menjadi peubah baku Z yang berada dalam selang Z1 =( x1 –μ)/α dan Z2 = (x2 –μ)/α .. sehingga P(x1 <x<x2) dapat dicari dengan cepat menggunakan P( Z1<Z<Z2) berdasarkan nilai tabel (lihat tabel Z pada lampiran)
Contoh
Sapi bali jantan yang berumur 2 tahun rata-rata beratnya 250 kg dan simpangan bakunya 11,05 kg. bila diasumsikan berat sapi tersebut mengikuti sebaran normal berapa % (peluangnya) :
a. Berat Sapi Bali jantan antara 240-260 kg
b. Berat sapi Bali jantan kurang dari 235 kg Jawab
Untuk menyelesaikan soal diatas kita transformasikan dulu nilai-nilai x1 =240, x2=260 dan x3 =235 menjadi Z1, Z2 dan Z3
Z1 = x1 – μ__ = 240 – 250 = -0.90 α 11,05
Z2 = x2 – μ__ = 260 – 250 = 0.90 α 11,05
Z3 = x3 – μ__ = 235 – 250 = -1.36 α 11,05
a. P(Z1<Z<Z2) = P(-0,90<Z<0,90) Karena kurva simetris dan luasnya = 1 maka P(-0,90<Z<0,90) = 1- 2(P(Z<90)
= 1- (0,1841) = 1- 0,3684 =0,6316
Jadi sekitar 63,16 % sapi Bali jantan yang berumur 2 tahun berat antara 240 -260 kg b. P(Z<Z3) = P(Z<-1,36) = P(Z>1,36) = 0,0869
Jadi sekitar 8,69 % sapi bali jantan umur 2 tahun beratnta kurangf 235 kg.
c. Pendekatan Normal terhadap Binomial.
Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial secara langsung dapat diperoleh dari rumus sebaran binomial atau dari tabel binomial pad alampiran, n cukup kecil (n<25). Bila n besar atau tak tersedia dalam tabel, maka peluang binomial dapat dihitung dengan pendekatan sebaran normal.
Pada uraian sebelumnya sebaran poisson dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial, jika n cukup besar dan p mendekati 0. Sedangkan jika n cukup besar dan p tidak cukup dekat denagn 0 atau 1 maka sebaran binomial dapat dihampiri oleh sebaran normal dan hampiran itu sangat baik bila n cukup besar dan p mendekati 0,50.
Bila X peubah acak binomial dengan nilai tengah μ= np dan α2 =npq, bila n cukup besar maka betuk limit sebaran normal baku n(Z;0,1) adalah
x- np Z = √ npq
Untuk melihat pendekatan normal terhadap sebaran binomial perhatikan conoth berikut :mula-mula lukislah histogram b(x; 16, 0,5) dan kemudian letakkan kurva normal dengan rata-rata dan ragam yang sama dengan peubah binomial X sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukislah kurva normal denagn μ= np = 16 (0,5) =8,0 dan α2 =npq =16(0,5)(0,5)=4,0
μ X Gambar hampiran kurva normal terhadap b(x;16,0,5)
Tingkat akurasi (ketepatan) pendekatan tergantung dari sejauh mana kurva normal yang dihasilkan dapat mendekati histogram dari binomial.
Dari contoh diatas kita dapat menghitung peluang yang tepat bahwa X berharga 4 sama dengan luas persegi panjang dengan yang titik tenganya x= 4 yaitu b(4;16,0,5) = 0,0278 luas ini dengan pendekatan normal identik dengan luas daerah dibawah kurva normal antar x 1 =3,5 dan x 2 =4,5.jiak diubah kedalam sebaran normal Z maka
Z1= x1 –μ = 3,5 – 8,0 = -2,25 α √4
Z1= x2 –μ = 4,5 – 8,0 = -1,75 α √4
jadi
P (-2,25 <Z<-1,75) = P(Z.1,75) – P (Z>2,25) = 0,0401 – 0,0122 = 0,0279
Jadi nilainya sama bila kita ambil 3 angka dibelakang koma yaitu 0,028. Contoh
Berdasarkan pengalaman 30 % dari itik Bali yang dibeli pada peternak adalah invertil (tidak bisa menetas) jika seorang pengusaha peternakan menetaskan 250 butir telur berpa peluang bahwa yang invertil kurang dari 60 butir.
Banyaknya telur yang invertil mengikuti sebaran binomial dengan parameter n =250 dan p =0,30 karena ukuran sample cukup besar an p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1 maka dapat digunakan pendekatan sebaran normal baku yaitu
μ= np = 250 (0,30)=75
α2 =npq = 250(0,30)(0,70) =52,5 dan α =√52,5 =7,25
untuk mendapatkan peluany yang ditanyakan harus dicari luas daerahnya yaitu : Z1 = x1 – μ = 60 – 75 = -2,07
α 7,25
jadi P(x<60) = P (Z< -2,07) = P(Z.2,07) = 0,0192
Soal
1. Diketahui peubah acak X yang menyebar normal dengan rata-rata 16 dan simpangan baku 2,5 hitunglah :
a. P(X<5)
b. Nilai k sehigga P(x<k) = 0,2578 c. P(17<x<21)
d. Nilai k sehingga P(x>k) =0,2578
2. Berat badan sapi Bali jantan 2 tahun mengikuti sebran normal dengan rata-rata 250 kg simpangan baku 8,30kg. bila sebuah rumah pemotongan hewan memotong 200 ekor sapi Bali jantan umur 2 tahun berapa ekor dapat diharapkan.
a. Beratnya kurang dari 240 kg b. Beratnya antara 235 dan 265 kg c. Beratnya lebih dari 270 kg
3. Hitunglah galat (kesalahan) dalam pengampiran dengan kurva normal sebaran binomial dibawah ini
a. 10
Σ b( x; 10, 0,3) x = 0
b. 20
Σ b( x; 20, 0,3) x = 0
Σ b( x; 20, 0,5) x = 9
d. 20
Σ b( x; 30, 0,3) x = 0
e. 10
Σ b( x; 30, 0,5) x = 0
4. suatu perusahaan farmasimengatakan bahwa suatu jenis obat tertentu dapat menyembuhkan rata-rata 80 % penyakit kulit pada kelinci. Untuk menguji kebenaran maka obat tersebut dicoakan pada 100 ekor kelinci penderita :
a. berapa peluang 75 ekor ikelinci atau lebih dapat disembuhkan.
b. Bila peluang kesembuhan 0,95 diputuskan obat tersebut masih bisa diterima leh pemakai obat,berapa menimal jimlah ternak yang diharapkan sembuh.
