Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang berhasil p dan gagal q, maka peluang keberhasilan dalam n ulangan yang bebas :
b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x x = 0, 1, 2, …, n.
Rata–rata ( μ ) = np dan Ragam ( σ2 ) = npq
Ciri percobaan Binom :
terdiri dari n ulangan, masing–masing ulangan bersifat bebas.
dalam setiap ulangan dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal, dan peluang berhasil (p) selalu tetap; umumnya percobaan dengan pemulihan. untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Binom yaitu :
∑ b (x ; n, p) = p (0 ≤ x ≤ n)
Teladan 2.13 :
1. 10% buah mangga yang diekspor tergolong rusak. Sebuah sampel berukuran 20 diambil secara acak. Berapa peluang sampel yang diambil itu rusak :
a. semuanya
b. 3 buah
c. paling sedikit sebuah d. paling banyak 2 buah e. rata–rata yang rusak
Jawab :
a. p (X = 20) = 20C20. (0,1)20 (0,9)0 = 10–20 b. p (X = 3) = 3C20. (0,1)3 (0,9)17 = 0,19
c. p (X = 1) = 1 – p(X=0) = 1 – 0,9 = 0,1
2
d p (X = 2) = p (X = 0) + p (X = 1) + p (X = 2) = ∑ b (x; 20, 0,1) = 0,8159
0
e Rata–rata (μ ) = np = 20 (0,1) = 2 buah
2. Suatu survai menunjukkan bahwa 20% penduduk lebih suka telepon berwarna putih daripada warna lainnya. Berapa peluang bahwa dari 20 telepon yang dipasang berikutnya lebih dari setengahnya berwarna putih.
Jawab :
10
P (X > 10) = 1 – p (X = 10) = 1 – ∑ b (x; 20, 0,1) = 0,0006 0
3. Hasil penelitian menunjukkan bahwa 70% orang berpendapat bahwa obat penenang tidak menyembuhkan penyakit. Berapa peluang sekurang– kurangnya 3 dari 5 orang sampel berpendapat demikian.
Jawab :
2
P (X = 3) = 1 – p (X = 2) = 1 – `∑ b (x; 5, 0,7) = 1 – 0,1631 = 0,8369
0 (2) Sebaran Peluang Multinom
Bila peluang kejadian E1, E2, …, En adalah p1, p2, …, pk, maka peluang akan terdapat x1 kejadian E1, x2 kejadian E2, …, xn kejadian En dari n ulangan :
n !
p (x1, x2, … , xn) = ————————— p1x1. p2x2 … pnxn
x1!, x2!, … , xn!
Teladan 2.14 :
1. Sebuah kotak terdiri dari 2 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 5 oleh mesin B dan 3 oleh mesin C. Sebuah barang diambil acak identitasnya dilihat lalu disimpan kembali. Hitung peluang diantara 6 barang yang diambil terdiri dari 1 dari mesin A, 3 mesin B dan 2 mesin C.
Jawab :
n = 10 p(A) = 2/10 p(B) = 5/10 p (C) = 3/10
6!
p (1A, 3B, 2C) = ————— (0,2)1 (0,5)3 (0,3)2 = 0,0135
1! 3! 2!
2. Dalam suatu perusahaan terdapat 30% karyawan bergaji rendah, 50% bergaji menengah dan 20% bergaji tinggi. Jika diambil sampel sebanyak 20 karyawan, hitung peluang terdapat 6 karyawan bergaji rendah, 10 bergaji menengah dan 4 bergaji tinggi.
Jawab :
n = 20 p(R) = 0,3 p(M) = 0,5 p (T) = 0,2 20!
p (6R, 10M, 4T) = ————— (0,3)6 (0,5)10 (0,3)4 = 0,0196
6! 10! 4!
3. Menurut teori Genetika, hasil persilangan kelinci menghasilkan keturunan warna merah, hitam dan putih dengan rasio 8 : 4 : 4. Hitunglah peluang bahwa diantara 8 keturunan terdapat 5 merah, 2 hitam dan 1 putih.
Jawab :
n = 8 p(M) = 0,5 p(H) = 0,25 p (P) = 0,25 8!
p (5M, 2H, 1P) = ————— (0,5)5 (0,25)2 (0,25)1 = 0,082
5! 2! 1!
(3) Sebaran Peluang Hipergeometrik
Bila dalam populasi N benda terdapat k benda termasuk kategori tertentu, lalu diambil sampel berukuran n, maka peluang dalam sampel terdapat x benda termasuk kategori tersebut adalah :
k N – k x n – x
p (x) = ———————— N
n
Rata–rata ( μ ) = nk / N atau μ = np karena p = k/N
N – n k k N – n
Ragam (σ2) = ————. n. — ( 1 – — ) atau σ2 = ——— npq
N – 1 N N N – 1 Ciri :
1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k sebagai gagal
3. Biasanya pengambilan sampel tanpa pemulihan
Teladan 2.15 :
1. Seorang ingin menanam 5 pohon mangga yang diambil secara acak dari
kotak yang berisi 5 biji mangga Gedong dan 4 biji mangga Cengkir. Berapa peluang bahwa yang ditanam itu terdiri 2 Gedong dan 3 Cengkir.
Jawab : N = 9 n = 5 k = 5 x = 2 5 9 – 5 2 5 – 2 p (x=2) = ———————— = 0,317 9 5
2. Sebuah penyewaan mobil mempunyai 7 Carry, 5 Zebra, 4 Kijang dan 3
Sedan. Bila disewa 10 mobil secara acak untuk keperluan tamasya, berapa peluang yang diambil 4 Carry, 3 Zebra, 2 Kijang dan 1 Sedan.
Jawab : 7 5 4 3 4 3 2 1 p (4C, 3Z, 2K, 1S) = —————————— = 0,068 19 10
Pendekatan Binom Terhadap Hipergeometrik : Syarat : n relatif kecil dibanding N, sehingga : Rata–rata (μ ) = np = nk / N karena p = k/N
Ragam (σ2 ) = npq = (nk / N)(1 – k/N) q = 1 – p = 1 – k/N
Teladan 2.16 :
1. Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang terdapat
4000 memakai telepon tombol. Bila 10 diantara pemasang baru tersebut diambil acak, berapa peluang terdapat 3 orang yang menggunakan telepon tipe putar. Jawab : n = 10 N = 5000 k = 10 x = 3 p (tipe tombol) = 4000/5000 = 0,8 p (tipe putar) = 1 – 0,8 = 0,2 10 p ( x = 3) = (0,2)3 (0,8)7 = 0,1342 3
2. Diduga 4000 diantara 10.000 pemilih tidak setuju pajak penjualan yang baru.
Bila 15 pemilih diambil secara acak, berapa peluang bahwa sebanyak– banyaknya 7 orang menyetujui pajak baru tersebut. Tentukan pula rata–rata banyaknya pemilih yang setuju dan ragamnya.
Jawab :
p (tidak setuju) = 0,4 dan p (setuju) = 0,6 7
p (x = 7) = ∑ b (x; 16; 0,6) = 0,2131
0
Rata–rata (μ ) = np = 10 (0,6) = 6 orang
Ragam (σ2 ) = npq = 10 (0,6) (0,4) = 2,4
4. Sebaran Peluang Binom Negatif
Untuk menentukan peluang bagi k keberhasilan dari x ulangan. x – 1
b* (x; k, p) = pk qx–k k – 1
x = banyaknya ulangan dan k = banyaknya keberhasilan
Jika hanya untuk memperoleh satu keberhasilan (k = 1) yang pertama maka b* ( x; p ) = p. qx–1
Teladan 2.17 :
1. Peluang penduduk di suatu kota mempunyai mobil diduga 0,7. Hitung peluang bahwa yang ke 10 yang diambil acak adalah orang ke–5 yang mempunyai mobil ? Jawab : x = 10 k = 5 p = 0,7 9 b* (10; 5, 0,7) = (0,7)5 (0,3)5 = 0,0506 4
2. Seorang ilmuwan menginokulasi beberapa tikus satu demi satu dengan bakteri sampai diperoleh 2 tikus yang terkena penyakit. Bila peluang terjangkiti penyakit 1/6, berapa peluang bahwa percobaan itu diperlukan 8 tikus ? Jawab : x = 8 k = 2 p = 1/6 7 b* (8; 2, 1/6) = (1/6)2 (5/6)6 = 0,065 1
(5) Sebaran Peluang Poisson
e–µ µx
p ( x ; µ ) = ———— x = 1,2, … dan e = 2,718 x !
μ = rata–rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu (menit, hari, tahun) atau daerah (ruas garis, volume, luas).
Ragam (σ2 ) = μ atau σ = √ μ
Untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Poisson : r
∑ p (x; μ )
0
Teladan 2.18 :
1. Seorang sekretaris rata–rata melakukan 2 kesalahan ketik tiap halaman. Hitung peluang bahwa pada halaman berikutnya terdapat :
a. 4 atau lebih kesalahan b. tidak ada kesalahan
Jawab : 3 a. p (x ≥ 4, 2) = 1 – p (x = 3) = 1 – ∑ p (x; 2) = 1 – 0,8571 = 0, 1429 0 e–2 20 b. p ( 0 ; 2 ) = ———— = 0,1354 0 !
2. Rata–rata banyaknya tikus per dam2 lahan sawah diduga tersebar 10.
Hitung peluang dalam luasan 1 dam2 terdapat
a. paling banyak 1 ekor b. lebih dari 15 ekor, c. 8 sampai 13. Jawab : 1 a. p (x = 1) = ∑ p (x; 10) = 0,0005 0 15 b. p (x > 15, 10) = 1 – p (x = 15) = 1 – ∑ p (x; 10) = 0,0487 0 13 8 c. p (8 = x = 13, 10) = ∑ p (x; 10) – ∑ p (x; 10) = 0,8645 – 0,3328 0 0 = 0,5317
Pendekatan Poisson Terhadap Binom
Jika n besar (n ≥ 50) dan p dekat ke nol atau μ = np < 5, maka kejadian Binom dapat diselesaikan dengan sebaran Poisson.
Teladan 2.19 :
1. Peluang seseorang meninggal akibat infeksi pernafasan 0,002. Hitung peluang diantara 2000 orang yang terinfeksi akan meninggal dunia sebanyak
a. 2 orang b. lebih dari 3 orang c. kurang dari 5 Jawab : p = 0,002 n = 2000 jadi μ = np = 2000 (0,002) = 4 a. p (2, 4) = (e–4)(4)2 / 2! = 0,1465 3 b. p (x > 3, 4) = 1– p (x = 3) = 1– ∑ p (x; 4) = 1– 0,4335 = 0,5665 0
4 c. p (x = 4, 4) = ∑ p (x; 4) = 0,6288 0 Soal–soal :
1. Peluang suatu produk rusak yang dihasilkan oleh sebuah mesin adalah 0,4.
Bila diambil sampel berukuran 15, berapa peluangnya bahwa :
a. sekurang–kurangnya 10 produk yang rusak (Jawab : 0,0338)
b. ada 3 sampai 8 yang rusak (Jawab : 0,8779) c. tepat 5 buah yang rusak (Jawab : 0,1859)
2. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing–masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab secara menebak–nebak saja memperoleh 5 sampai 10 jawaban yang benar.
3. Dalam suatu konferensi, peluang suatu delegasi tiba dengan menggunakan
pesawat terbang, bus, kendaraan pribadi atau kereta api adalah 0,4; 0,2; 0,3 dan 0,1. Berapa peluang bahwa diantara 9 delegasi yang diambil secara acak 3 tiba dengan pesawat terbang, 3 dengan bus, 1 dengan mobil pribadi dan 2 dengan kereta api.
4. Seorang polisi memeriksa secara acak 6 KTP dari 9 pelajar yang 4 diantaranya belum memenuhi syarat batas umur untuk membuat SIM. Berapa peluang bahwa ia akan menolak 2 pelajar yang ketahuan belum memenuhi syarat umur (Jawab : 5/14)
5. Diantara 150 pegawai RS di sebuah kota hanya 30 yang perempuan. Bila 10 orang diambil secara acak untuk memberi bantuan, berapa peluang bahwa sekurang–kurangnya 3 pegawai perempuan yang terpilih (gunakan sebaran Binom terhadap hipergeometrik).
6. Secara rata–rata di suatu simpangan terjadi 3 kecelakaan lalu lintas per bulan. Berapa peluang bahwa pada suatu bulan tertentu di simpangan itu terjadi :
a. tepat 5 kecelakaan (Jawab : 0,1008)
b. kurang dari 3 kecelakaan (Jawab : 0,4232).
c. sekurang–kurangnya 2 kecelakaan (jawab : 0,8009).
7. Misalkan secara rata–rata 1 diantara 1000 orang membuat kesalahan angka
dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10.000 formulir diambil secara acak dan diperiksa, berapa peluang ada 6; 7 atau 8 formulir yang mengandung kesalahan (Jawab : 0, 2657).