STATISTIKA II
(BAGIAN -1)
Oleh :
WIJAYA
email : [email protected]
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2008
I. PELUANG
1.1 Ruang Contoh (S)
Ruang Contoh adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan. Cara penulisan atau penyajian ruang contoh S yaitu dengan cara :
a. Daftar :
Misal : 2 produk diambil secara acak kemudian diperiksa apakah cacat (C) atau tidak cacat (T) maka S = { CC, CT, TC, TT }
b. Pernyataan atau Pembangun Himpunan :
Misal : S = { x | x = mata kuliah semester III }
Anggota (Titik Contoh) = Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang contoh. Kejadian = Himpunan bagian dari ruang contoh S.
Kaidah Penggandaan Umum :
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila setiap cara tersebut
operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya, maka k operasi
dalam urutan tersebut dapat dilakukan dengan n1. n2 … nk cara.
Teladan 1.1 :
Seorang ingin memakai sepasang celana, baju dan sepatu. Jika terdapat 4 jenis celana, 2 baju dan 3 sepatu, maka banyaknya kemungkinan memakai pasangan celana, baju dan sepatu tersebut adalah : 4 x 2 x 3 = 24 cara.
Teladan 1.2 :
Seorang ingin menanam pohon jambu, belimbing dan mangga. Jika terdapat 5 jenis jambu, 4 belimbing dan 3 mangga, maka banyaknya kemungkinan menanam tiga buah tanaman tersebut adalah : 5 x 4 x 3 = 60 cara.
Pemutasi = Susunan data atau benda yang tergantung pada letaknya. (1) Permutasi n benda yang berbeda = n !
(2) Permutasi r dari n benda = nPr = n ! / (n – r ) !
(3) Permuasi n benda yang disusun melingkar = (n – 1) !
(4) Permutasi n benda yang terdiri dari n1 jenis pertama, n2 jenis kedua … nk jenis ke k = n ! / (n1! n2 ! … nk !)
Teladan 1.3 :
Seorang ingin menyusun rangkaian lampu pijar yang terdiri dari 2 lampu merah, 3 hijau dan 4 kuning, maka banyaknya kemuningkanan menyusun 9 lampu tersebut dengan susunan yang berbeda adalah : 9 ! / 2 ! 3 ! 4 ! = 1.260 cara
Sekatan atau Sel :
Banyaknya cara menyekat n benda ke dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel
ke–1, n2 unsur dalam sel ke–2, …, adalah = n ! / (n1! n2 ! … nk !), dan n1+ n2 +
… nk = n.
Teladan 1.4 :
1. Banyaknya cara 7 orang menginap dalam 1 kamar triple dan 2 kamar double
adalah = 7 ! / 3 ! 2 ! 2 ! = 210 cara.
2. Banyaknya cara 9 orang naik mobil dengan kapasitas masing–masing 2, 4 dan 5 orang = 9 ! / 2 ! 4 ! 5 ! = 63 cara.
Kombinasi = Susunan benda tanpa memperhatikan letak atau urutannya. Kombinasi r dari n objek adalah : rCn = n ! / r ! (n – r) !
Teladan 1.5 :
Banyaknya cara untuk memilih 2 buah mesin ketik dari 4 jenis mesin ketik adalah = 4 ! / 2 ! (4 –2) ! = 6 cara.
1.2 Peluang Kejadian :
Peluang suatu kejadian adalah Frekuensi relatif apabila banyaknya pengamatan diperbesar sampai tak hingga. Atau P (E) = Limit (n / N), jika N ∼
Teladan 1.6 :
1. Dari pengiriman 200 buah lampu terdapat 10 buah yang rusak. Jika seorang
membeli lampu tersebut, berapa peluangnya bahwa yang dibeli itu rusak ?. Jawab : P (R) = 10/200 = 0,05.
2. Dalam satu kantung terdapat 20 buah kelereng berwarna kuning dan 30 buah kelereng berwarna merah. Maka peluang terambilnya kelereng kuning dalam satu pengambilan adalah P (K) = 20/50 = 0,4.
(1) Macam Kejadian :
(a) Kejadian Eksklusif (Saling Asing / Saling Cegah) : Kejadian A dan B saling asing apabila terjadinya A mencegah terjadinya B.
A komplemen dari B (atau sebaliknya). P (A atau B) = P (A) + P(B) = 1
A B = A
(b) Kejadian Bersyarat :
Terjadinya A didahului B, atau A terjadi jika B diketahui.
A bagian dari B atau A ⊂ B P (A| B) = P (A ∩ B) / P(B)
S
A B
(c) Kejadian Insklusif :
A atau B atau keduanya dapat terjadi Gabungan A dan B
P (A dan atau B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
S
A A ∩ B B
(d) Kejadian Saling Bebas (Independen) : Terjadinya atau tidak terjadinya A tidak mempengaruhi terjadinya B.
A ∩ B = ∅
P (A dan B) = P (A) . P (B).
S
A B
Kejadian saling bebas merupakan kejadian dengan pemulihan (jika tanpa pemulihan merupakan kejadian bersyarat).
Teladan 1.7 :
1 Misal populasi sarjana di suatu kota datanya adalah :
Bekerja (B) Menganggur (M) Jumlah
Laki–laki (L) 460 40 500
Wanita (W) 140 260 400
Jumlah 600 300 900
Misal diambil secara acak seorang diantara mereka untuk ditugaskan mempublikasikan pentingnya didirikan industri baru. Hitung peluang bahwa yang terpilih adalah :
a. Laki–laki atau wanita
b. Laki–laki jika diketahui ia sudah bekerja.
c. Laki–laki atau yang sudah bekerja.
Jawab :
a. Kejadian Eksklusif : P (L atau W) = 5/9 + 4/9 = 1
b. Kejadian Bersyarat : P (L| B) = P (L ∩ B) / P(B) = (460/900) (600/900) = 460/600 = 13/30
atau langsung dari tabel : P (L| B) = 460/600 = 13/30
c. Kejadian Inklusif : P (L ∪ B) = P(L) + P(B) – P(L ∩ B)
= 500/900 + 600/900 – 460/900 = 32/45
2. Peluang A beruntung dalam menjual produk minuman = 0,7.
Peluang B beruntung dalam menjual produk minuman = 0,8.
Berapa peluang A dan B beruntung dalam menjual produk minuman tersebut ?
Jawab : P (A dan B) = P (A) . P (B) = 0,7 x 0,8 = 0,56 (2) Peluang Marginal dan Kaidah Bayes
Untuk lebih jelasnya mengenai Peluang Marginal dan Kaidah Bayes, dapat diilustrasikan dengan bagan sebagai berikut :
A1 A2 … Ak S
A1 ∩ A A2 ∩ A … Ak ∩ A A
Misal A1, A2, … Ak merupakan sekatan dari S dengan P(Ai) ≠ 0, dan i = 1, 2, … ,
k. Dalam setiap sekatan terdapat kejadian A, sehingga terdapat A1 ∩ A, A2 ∩ A,
…, dan Ak ∩ A buah bagian. Peluang terjadinya A yaitu P (A) dimana P(A) ≠ 0,
adalah :
P (A) = P (A1 ∩ A) + P (A2 ∩ A) + … + P (Ak ∩ A) atau
P (A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) atau
P (A) = ∑ P (Ai).P (A⏐Ai) …….. disebut Peluang Marginal
Selanjutnya Kaidah Bayes didefinisikan sebagai berikut :
Jika kejadian–kejadian A1, A2, … Ak merupakan sekatan dari S dengan besarnya
P(Ai) ≠ 0, dan i = 1, 2, … , k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0,
P (Ai).P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
P(A1).P(A⏐A1) + P(A2).P(A⏐A2) + … + P (Ak).P(A⏐Ak ) atau :
P (Ai).P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
∑ P (Ai).P (A⏐Ai)
Cara penurunan rumus tersebut adalah sebagai berikut : P (A ∩ Ai) = P (A⏐Ai) . P (Ai)
P (Ai ∩ A) = P (Ai⏐A) . P (A)
Karena : P (A ∩ Ai) = P (Ai ∩ A) maka P (Ai⏐A) . P (A) = P (A⏐Ai) . P (Ai)
Kalau masing–masing dibagi dengan P (A) maka hasilnya : P (Ai⏐A) = P (A⏐ Ai) . P (Ai) / P (A)
dan karena P (A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) sehingga :
P (Ai). P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) atau :
P (Ai).P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
∑ P (Ai).P (A⏐Ai)
Teladan 1.8 :
1. Sebuah toko elektronik men erima kiriman 200 buah TV, yang terdiri dari 100
buah merk Sharp, 60 buah merk Polytron dan 40 buah merk Digitec. Dari 150 buah TV tersebut terdapat yang rusak yaitu 6 buah merk Sharp, 3 buah merk Polytron dan 2 buah merk Digitec. Seorang megambil satu buah TV secara acak :
a. Hitung peluangnya bahwa TV yang terambil tersebut rusak.
b. Jika TV yang diambil telah diketahui rusak, berapa peluangnya bahwa TV yang rusak tersebut ternyata merk Sharp.
Jawab :
Jumlah seluruh TV = 200 buah
Peluang untuk Sharp P (S) = 100/200 = 0,50 Peluang untuk Polytron P (P) = 60/200 = 0,30 Peluang untuk Digitec P (D) = 40/200 = 0,20 Misal peluang TV yang rusak adalah P (R), maka :
P (R⏐S) = 6/100 = 0,06 P (R⏐P) = 3/60 = 0,05 dan P (R⏐S) = 2/40 = 0,05
a. Peluang terambilnya TV yang rusak :
P (R) = P (R⏐S).P (S) + P (R⏐P).P (P) + P (R⏐D).P (D)
P (R) = (0,5)(0,06) + (0,3)(0,05) + (0,2)(0,05) = 0,055
b TV diketahui rusak ternyata merk Sharp :
P (S⏐R) = P (S ∩ R) / P (R) = P (S).P (R⏐S) / P (R)
= 0,5 (0,05) / 0,055 = 0,45
2. Sebuah perusahaan menyediakan 3 hotel untuk rekanannya. Dari catatan
sebelumnya diketahui bahwa 20 % diinapkan di Ramada Inn, 50 % di Sheraton dan 30 % di Flower Inn. Jika 5 % diantara kamar–kamar Ramada Inn, 4 % Sheraton dan 8 % Flower Inn terdapat kerusakan pipa air ledengnya, hitung peluang bahwa :
a. Seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air ledeng yang rusak.
b. Seorang rekanan diketahui mendapat kamar dengan pipa air ledeng yang rusak, ternyata menginap di hotel Flower Inn.
Jawab :
P (A⏐R) = 0,05 dari P (R) = 0,20 P (A⏐S) = 0,04 dari P (S) = 0,50 P (A⏐F) = 0,08 dari P (F) = 0,30 P(R)=0,2 P(S)=0,5 P(F)=0,3
a. Misal P (A) = peluang mendapat kamar yang rusak, atau
P (A) = P (A⏐R).P (R) + P (A⏐S).P (S) + P (A⏐F).P (F) = 0,054
b. Karena sudah diketahui mendapat kamar yang rusak, maka :
P (F⏐A) = P (F ∩ A) / P (A) = P (F).P (A⏐F) / P (A)
= 0,3 (0,08) / 0,054 = 4/9
Soal–soal :
1. Sebuah dadu dibuat tidak setimbang sehingga peluang munculnya dadu bilangan genap dua kali dari bilangan ganjil. Jika A adalah munculnya bilangan yang lebih kecil dari 4 pada satu lemparan, hitung P (A).
Jawab : P (A) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9
2. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda disusun membentuk sebuah lingkaran ?
Jawab : (n – 1) ! = 4 ! = 24 cara
3. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jeruk dan 5 jambu sepanjang kebun bila kita tidak membedakan antara tanaman yang sejenis. Jawab : 12! / 3! 4! 5! = 2.720 cara
4. Suatu perusahaan 2/3 karyawannya berumur < 25 th, 3/5 bagian laki–laki, 5/8
bagian perempuan atau berumur ≥ 25 th. Dipilih seorang secara acak, berapa peluangnya bahwa ia adalah perempuan dan berumur ≥ 25 th.
Jawab : P (P ∩ ≥ 25 th) = P (P) + P (≥ 25 th) – P (P ∪ ≥ 25 th) =13/120
5. Peluang ibu rumah tangga ada di rumah ketika salesman Sara Lee datang adalah 0,6. Bila ibu itu ada di rumah, peluang ibu tersebut membeli adalah 0,4. Hitung peluang ibu itu ada di rumah dan membeli produk Sara Lee. Jawab : P (R ∩ B) = P (B⏐R). P (R) = 0,4 x 0,6 = 0,24
6. Peluang bahwa suatu industri milik orang Amerika berlokasi di Tanggerang adalah 0,7; peluang berada di Bekasi 0,4 dan peluang berlokasi di Tanggerang atau di Bekasi atau keduanya 0,8. Berapa peluang bahwa industri tersebut berada
a. Di kedua kota tersebut
b. Tidak di keduanya
Jawab : a) P (T ∩ B) = P (T) + P (B) – P (T ∪ B) = 0,3 Jawab : b) 1 – P (T ∪ B) = 1 – 0,8 = 0,2
7. Misal 200 orang diklasifikasikan sebagai berikut :
Laki–laki (L) Perempuan (P)
Sekolah Dasar (D) 38 45
Sekolah Menengah (M) 28 50
Perguruan Tinggi (T) 22 17
Bila seorang dipilih secara acak hitunglah bahwa yang terpilih :
a. Laki–laki bila diketahui bahwa ia berpendidikan sekolah menengah.
Jawab : P (L⏐M) = 28/78
b. Tingkat pendidikannya bukan dari perguruan tinggi, bila diketahui bahwa ia adalah perempuan.
Jawab : P (D⏐P) + P (M⏐P) = 45/112 + 50/112 = 95/112
8. Peluang Tom masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,7. Peluang Jerry masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,9. Hitung peluang Tom & Jerry masih hidup 20 tahun lagi.
Jawab : P (T ∩ J) = P (T) . P (J) = 0,7 x 0,9 = 0,63
9. Sebuah kantung berisi 4 kelereng putih dan 3 kelereng kuninh, kantung kedua berisi 3 kelereng putih dan 5 kelereng kuning. Satu kelereng diambil dari kantung pertama dan tanpa dilihat lalu dimasukkan ke dalam kantung kedua. Berapa peluang mendapatkan kelereng kuning dari kantung yang kedua.
Jawab : P [(K1∩ K2) ∪ (P1∩ K2)]
= P (K1).P (K2⏐K1) + P (P1).P(K2⏐P1)
= (3/7)(6/9) + (4/7)(5/9) = 38/63
11. Misal banyaknya kelereng berwarna dalam kotak yang sama adalah : Kotak
1 2 3
Merah 2 4 3
Putih 3 1 4
Biru 5 3 3
Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut diambil secara acak sebuah kelereng :
a. Hitung peluang terambilnya kelereng merah
b. Bila diketahui kelerengnya merah, berapa peluang bahwa kota yang terambil
adalah kotak 3.
Jawab : (a). P (M) = (0,2)(0,33) + (0,5)(0,33) + (0,3)(0,33) = 0,33 Jawab : (b). P (3⏐M) = P(3).P(M⏐R) / P(M) = (0,33)(0,3) / (0,33) = 0,3
11. Perakitan radio Indo Electric mempunyai dua unit produksi. Unit I memproduksi 80 % sedangkan unit II memproduksi 20 %. Menurut catatan dari unit pengendalian mutu secara rata–rata produksi dari unit I rusak 5 % dan dari unit II rusak 10 %. Sebuah radio diambil secara acak :
a. Berapa peluangnya bahwa radio yang diambil tersebut rusak.
b. Jika radio yang diambil tersebut ternyata rusak, berapa peluangnya yang rusak tersebut dari unit I.
Jawab : (a). P (R) = (0,8)(0,05) + (0,2)(0,1) = 0,04 + 0,02 = 0,06 Jawab : (b). P (I⏐R) = P (I).P(R⏐I) = (0,8)(0,05) = 0,04
II. SEBARAN PELUANG
2.1 Peubah Acak
Peubah acak = Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang contoh S.
a. Peubah Acak Diskrit :
Peubah acak diskrit = Peubah yang nilainya tidak dapat diwakili oleh seluruh titik dalam suatu selang, atau peubah acak yang datanya diperoleh dari hasil mencacah (misal banyaknya produk yang cacat, banyaknya buah cabai per tanaman dan lain–lain).
b. Peubah Acak Kontinyu :
Peubah acak kontinyu = Peubah yang nilainya dapat diwakili oleh seluruh titik dalam suatu selang, atau peubah acak yang datanya diperoleh dari hasil mengukur atau menimbang (misal tinggi, bobot, umur, suhu dan jarak).
2.2 Sebaran Peluang :
(a) Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit :
Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit = Tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya. Grafiknya berbentuk histogram peluang.
(b). Sebaran Peluang Kontinyu :
Sebaran Peluang Kontinyu = Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak kontinyu berikut peluangnya
Sebaran Peluang Kontinyu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel. Grafiknya dapat berbentuk linier, simetris, menjulur ke kanan/kiri. Fungsinya disebut Fungsi Kepekatan Peluang.
Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinyu X, bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X adalah 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara x = a dan x = b menyatakan peluang antara a dan b.
2.1.1 Sebaran Peluang Diskrit (Fungsi Peluang Diskrit) (1) Sebaran Peluang Satu Peubah Acak Diskrit
Teladan 2.1 :
1. Sebuah uang logam dilempar 3 kali (= 3 mata uang dilempar sekali), maka
fungsi peluang (sebaran peluang) bagi banyaknya sisi gambar yang muncul adalah : 3 x f (x) = ———— untuk x = 0, 1, 2, 3. Dan 8 = 23 8 x 0 1 2 3 f (x) = P (X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8 F (X) = P (X = x) 1/8 4/8 7/8 8/8
Grafiknya dari f (x) adalah :
P(X) 3
2 1
0 1 2 3 X
2 Tentukan sebaran peluang bagi banyaknya kaset Jazz, bila 4 kaset diambil
dari sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 kaset klasik dan 3 kaset pop. Fungsi peluangnya : 5 10 – 5 x 4 – x f (x) = ———————— untuk x = 0, 1, 2, 3, 4. 10 4
3 Dalam suatu pengiriman 7 buah TV terdapat 2 TV yang rusak. Misal diambil 3 TV secara acak, dan X menyatakan banyaknya TV yang rusak, tentukan fungsi peluang bagi X.
Fungsi peluangnya : 2 7 – 2 x 3 – x f (x) = ———————— untuk x = 0, 1, 2. 7 3
(2) Sebaran Peluang Diskrit Bersama
Sebaran Peluang Diskrit Bersama = Sebuah tabel atau rumus yang mendaftarkan semua kemungkinan nilai x dan y bagi peubah acak diskrit X dan Y, berikut peluang padanannya.
Teladan 2.2 :
1 Dua isi ballpen dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi ballpen
biru, 2 merah dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya isi bolpen biru dan Y banyaknya isi bolpen merah yang terpilih. Tentukan
a. fungsi peluang bersama f (x,y).
b. P [(X,Y) ∈ A] sedangkan A = {(x,y)⏐x + y = 1}
Jawab : a. Fungsi peluangnya : 3 2 3 x y 2 – x – y f (x,y) = ———————————— 8 2
Sebaran peluang bersama bagi x dan y adalah : x f ( x,y ) 0 1 2 Total Baris 0 3/28 9/28 3/28 15/28 y 1 6/28 6/28 12/28 2 1/28 1/28 Total Kolom 10/28 15/28 3/28 1
b. P [(X,Y) ∈ A] sedangkan A = {(x,y)⏐x + y = 1}
= f (0,0) + f (0,1) + f (1,0) = 3/28 + 9/28 + 6/28 = 18/28
(3) Sebaran Peluang Marginal Peubah Acak Diskrit
Sebaran Peluang Marginal Peubah Acak Diskrit = Bagian dari sebaran peluang bersama, yang merupakan total kolom dan total baris. Jika total kolom sebagai g (x) dan total baris sebagai h (y), maka sebaran peluang marginalnya adalah :
x 0 1 2 x 0 1 2
g (x) 10/28 15/28 3/28 h (y) 15/28 12/28 ½8
(4) Sebaran Peluang Bersyarat Peubah Acak Diskrit
Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskrit Y untuk X = x adalah : f (x,y)
f (y⏐x) = ———— g (x) > 0
g (x)
Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskrit X untuk Y = y adalah : f (x,y)
f (x⏐y) = ———— h (y) > 0
h (y)
f (x,y) = f (y⏐x) . g (x) = f (x⏐y) . h (y)
(5) Dua Peubah Acak Diskrit Bebas
Dua peubah acak X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika : f (x,y) = g (x). h (y)
Teladan 2.3 :
Misal untuk titik (0,1) maka f (0,1) = 6/28, g (0) = 10/28 dan h (1) = 12/28. Oleh karena (6/28) ≠ (10/28).(12/28) atau f (0,1) ≠ g (0). h (1) maka X dan Y tidak bebas.
2.2.1 Sebaran Peluang Kontinyu
Peluang atau luas dibawah kurva yang dibatasi oleh X = a dan X = b dapat ditentukan dengan menghitung luas bangun atau dengan integral. Dalam hal ini berlaku :
dF(x)
f (x) = ———— atau dF(x) = f (x). dx. = Fungsi Peluang Kumulatif. dx
Teladan 2.4 :
1. Sebuah peubah acak kontinyu mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4 mempunyai fungsi kepekatan peluang f (x) = 1/8 x + 1/8.
a. Perlihatkan bahwa P (2 < X < 4) = 1 b. Hitunglah P (X < 3.5) Jawab : f(x) 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0 1 2 3 4 x a P (2 < X < 4) = Luas Trapesium = ½ (3/8 + 5/8) x 2 = 1 4 4 atau : P (2 < X < 4) = ∫ 1/8 x + 1/8 dx = 1/16 x2 + 1/8 x ] = 1 2 2 b. P (X < 3.5) = ½ (3/8 + 9/16) x 1,5 = 0,70
(1) Sebaran Peluang Kontinyu Bersama dan Marjinal d2F(x) f (x,y) = ———— dx.dy x2 y2 P (x1 < X < x2, y1 < Y < y2) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy. x1 y1 ~ ~
g (x) = ∫ f (x,y) dy dan h (y) = ∫ f (x,y) dx. ~ ~
Teladan 2.5 :
f (x,y) = x + y , 0 < x < 1, 0 < y < 1 = 0 , untuk x dan y lainnya
a. Hitunglah f (x,y), jika X = (0), (0,5), (1) dan Y = (0), (0,5), (1)
b. Tentukan peluang marginal g (x) dan h (y)
c. Tentukan F (x,y)
d. Tentukan P (0,2 < X = 0,4, 0,1 < Y = 0,4)
Jawab :
a. f (x,y), jika X = (0), (0,5), (1) dan Y = (0), (0,5), (1)
X Y 0 0,5 1 Jumlah 0 0 0,5 1 1,5 0,5 0,5 1 1,5 3 1 1 1,5 2 4,5 Jumlah 1,5 3 4,5 9 1 1 1 b. g (x) = ∫ f (x,y) dy = ∫ (x + y) dy = xy + ½ y2 ] = x + ½ 0 0 0 1 1 1 h (y) = ∫ f (x,y) dx = ∫ (x + y) dx = ½ x2 + x y ] = y + ½ 0 0 0 x y x y
c. F (x,y) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy = ∫ ∫ ( x + y ) dx.dy =
0 0 0 0
x
F (x,y) = ∫ xy + ½ y2 dx. = ½ x2y + ½ xy2 = ½ ( x2y + xy2 )
0
0,4 0,4
d. F (x,y) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy = ½ ( x2y + xy2 )
0,2 0,1
= F (0,4 ; 0,4) – F (0,2 ; 0,4) – F (0,4 ; 0,1) + F (0,2 ; 0,1) = 0,064 – 0,024 – 0,010 + 0,003 = 0,033
(Misal untuk F (0,2 ; 0,4) = ½ [ (0,2)2(0,4) + (0,2)(0,4)2] = ½ (0,048) = 0,024)
(2) Sebaran Peluang Bersyarat Peubah Acak Kontinyu
Sebaran bersyarat bagi peubah acak kontinyu Y untuk X = x adalah : f (x,y)
f (y⏐x) = ———— g (x) > 0
g (x)
Sebaran bersyarat bagi peubah acak kontinyu X untuk Y = y adalah : f (x,y)
f (x⏐y) = ———— h (y) > 0
h (y)
f (x,y) = f (x⏐y). h (y) = f (y⏐x). g (x)
Teladan 2.6 : f (x,y) = x + y , 0 < x < 1, 0 < y < 1 a. Tentukan f (x⏐y) b. Tentukan P (0,2 < X < 0,4 ⏐y = 0,2) Jawab : 1 a. h (y) = ∫ x + y dx. = y + ½ = (2 y + 1) / 2 0
f (x⏐y) = f (x,y) / h (y) = ( x + y )2 / 2 y + 1 = (2x + 2y) / (2y + 1)
0,4
b. P (0,2 < X < 0,4 ⏐y = 0,2) = ∫ (2x + 0,4) / 1,4 dx. = 1/7
0,2
2.3 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak.
2.3.1 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Diskrit
Nilai Harapan disebut juga harapan matematis, Ekspektasi, Nilai Tengah atau Rata–rata.
(1) Nilai Harapan Suatu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x x1 x2 … xn
p ( X = x ) f (x1) f (x2) … f (xn)
Maka Nilai harapan bagi X adalah : E (X) = ∑ x. f (xi).
Teladan 2.7 :
1. A akan memperoleh keuntungan Rp. 800.000,– dalam menjual buah mangga
dengan peluang 0,8, bila cuaca tidak hujan. Apabila cuaca hujan maka ia akan rugi Rp. 500.000,–. Bila ia menjual buah duku maka ia akan memperoleh keuntungan Rp. 600.000,– dengan peluang 0,7 bila cuaca tidak hujan. Bila cuaca hujan maka ia akan rugi sebesar Rp. 200.000,–. Tentukan nilai harapan keuntungan bagi A dalam menjual buah mangga dan duku tersebut, serta tentukan apakah A akan memilih menjual buah mangga atau duku.
Jawab.
Nilai Harapan keuntungan menjual Mangga : E (X) = (0,8)(800.000) – (0,2)(500.000) = 540.000 Nilai Harapan keuntungan menjual Duku :
E (X) = (0,7)(600.000) – (0,3)(200.000) = 360.000
Karena nilai harapan keuntungan menjual buah mangga lebih besar maka A akan memilih menjual buah mangga.
2. Dalam sebuah permainan, petaruh akan mendapat $5 bila hasil dari 3 lemparan sebuah uang logam adalah gambar semua atau angka semua, tetapi ia harus membayar $3 bila hasilnya adalah 1 atau 2 sisi gambar.
Berapa penerimaan harapan bagi petaruh tersebut.
Jawab :
S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}, jadi gambar semua atau angka semua ada 2 dari 8 kemunngkinan ( p = 2/8) dan muncul 1 atau 2 gambar ada 6 kemungkinan (p = 6/8).
E (X) = 5 (2/8) + (–3)(6/8) = –1, artinya rata–rata petaruh itu kalah $1 tiap satu lemparan uang logam.
3. Tentukan nilai harapan banyaknya orang laki–laki dalam sebuah panitia yang
terdiri dari 3 orang, yang diambil secara acak dari 4 laki–laki dan 3 perempuan. Jawab : 4 3 x 3 – x f (x) = ——————— untuk x = 0, 1, 2, 3. 7 3 x 0 1 2 3 f (x) 1/35 12/35 18/35 4/35 Jadi E (X) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 1,7
(2) Nilai Harapan Fungsi Satu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x x1 x2 … xn
p ( X = x ) f (x1) f (x2) … f (xn)
Maka Nilai harapan peubah acak g (X) adalah : E [g(X)] = ∑ g(xi). f (xi).
Teladan 2.8 :
Misal banyaknya mobil X yang dicuci di suatu tempat pencucian mobil antara pukul 16.00 dan 17.00 pada setiap hari jum’at mempunyai sebaran peluang : .
x 4 5 6 7 8 9
p (X = x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6
Bila g (X) = 2X –1 menyatakan banyaknya uang ($) yang dibayarkan oleh manajer kepada petugas pencuci, tentukan penerimaan harapan petugas pencuci mobil pada periode tersebut :
Jawab :
E [(g (X)] = E (2X –1) = ∑ (2X –1). f (xi)
= 7(1/12) + 9(1/12) + 11(1/4) + 13(1/4) + 15(1/6) + 17(1/6) = $ 12,67
(3) Nilai Harapan Fungsi Dua Peubah Acak Diskrit
Misal kan X dan Y merupakan peubah acak diskrit dengan peluang bersama f (x,y), untuk x = x1, x2, …, xn dan y = y1, y2, … , yn. Maka nilai harapan bagi peubah acak g (X,Y) adalah :
E [g (X,Y)] = ∑ ∑ g(xi ,yi). f (xi, yi).
Teladan 2.9 :
Sebaran peluang bersama bagi x dan y adalah :
x f ( x,y ) 0 1 2 Total Baris 0 3/28 9/28 3/28 15/28 y 1 6/28 6/28 12/28 2 1/28 1/28 Total Kolom 10/28 15/28 3/28 1
Carilah (a) nilai harapan bagi g (x) = XY atau E (XY), (b) E (X) dan E (Y) yang merupakan sebaran peluang marginalnya.
Jawab :
a. E [g (XY)] = ∑ ∑ g(xi ,yi). f (xi, yi) = ∑ ∑ x,y. f (x, y)
= (0)(0).f (0,0) + (0)(1).f (0,1) + (0)(2).f (0,2) + (1)(0).f (1,0) + (1)(1). f (1,1) + (1)(2). f(1,2) + (2)(1).f (2,1)
= f (1,1) = 6/28
b. E (X) terjadi jika g (X,Y) = X sehingga E (X) = ∑ ∑ x,. f (x, y) atau
E (X) = x. g (x) = (0)(10/28) + (1)(15/28) + (2)(3/28) = 21/28 = ¾ E (Y) = ∑ ∑ y,. f (x, y) atau
E (Y) = y. h (y) = (0)(15/28) + (1)(12/28) + (2)(1/28) = 14/28 = ½
(4) Ragam Suatu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x x1 x2 … xn
p ( X = x ) f (x1) f (x2) … f (xn)
Maka Ragam bagi X adalah : σ2 = E [(X – μ)2 ] =
∑ (xi – μ)2
. f (xi). Atau σ2 = E [(X – μ)2 ] = E (X)2 – μ2
Teladan 2.10 :
Tentukan Ragam banyaknya orang laki–laki dalam sebuah panitia yang terdiri dari 3 orang, yang diambil secara acak dari 4 laki–laki dan 3 perempuan.
Jawab :
x 0 1 2 3
f (x) 1/35 12/35 18/35 4/35
telah didapat nilai E (X) = μ = 12/7 σ2 = E [(X – μ)2 ] =
∑ (xi – μ)2
. f (xi)
= (0–12/7)(1/35) + (1–12/7)(12/35) + (2–12/7)(18/35) + (3–12/7)(4/35) σ2 = 24/49
Dengan rumus hitung : σ2 = E [(X – μ)2 ] = E (X)2 – μ2
E (X)2 = x2.f (x) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (4)(15/35) + (9)(4/35) = 24/7 σ2 = E (X)2 – μ2 = 24/7 – (12/7) = 24/49
(5) Ragam Fungsi Satu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x x1 x2 … xn p ( X = x ) f (x1) f (x2) … f (xn) Ragam bagi g (X) : σ2 = E {[g(X) – μ g(x)]2 } = ∑ [(g(xi) – μg(x)]2. f (xi). Atau σ2 = E {[g(X) – μ g(x)]2 } = ∑ [(g(xi) ]2 – [μg(x)]2. Teladan 2.11 :
Hitung ragam g (X) = 2X + 3 bila X merupakan peubah acak dengan sebaran peluang : x 0 1 2 3 f (x) 1/4 1/8 1/2 1/8 Jawab : E [(g (X)] = E (2X+3) = ∑ (2X+3). f (xi) = 3(1/4) + 5(1/8) + 7(1/2) + 9(1/8) = 6 σ2 = E {[g(X) – μ g(x)]2 } = ∑ [(g(xi) – (μg(x))]2 .f (x) = ∑ [(2X+3) – 6]2 .f (x) = ∑ (4X2 – 12X + 9).f (x)
= 9(2/8) + 1(1/8) + 1(4/8) + 9(1/8) = 32/8 = 4 , atau dengan rumus hitung : σ2 = E {[g(X) – μ g(x)]2 } = E[(g(xi) ]2 – (μg(x))2 E[(g(xi) ]2 = E(2X + 3)2 = ∑ (4X2 +12X + 9).f(x) = = 9(2/8) + 25(1/8) + 49(4/8) + 81(1/8) = 320/8 = 40 σ2 = E {[g(X) – μ g(x)]2 } = E[(g(xi) ]2 – (μg(x))2 = 40 – 36 = 4 (6) Peragam (Kovarians) Dua Peubah Acak
Peragam dua peubah acak X dan Y yaitu σYX dirumuskan sebagai :
σYX = E [(X – μX ) (Y – μY)
2.3.2 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Kontinyu ~ 1. E (X) = ∫ x. f (x) dx = μX –~ ~ 2. E (X – μX)2 = ∫ (x – μx ). f (x) dx = σ2 –~ ~ 3. E {g(x)} = ∫ g(x). f (x) dx –~ ~ ~ 4. E {g(x,y)} = ∫ ∫ g(x,y). f (x,y) dx.dy.
–~ –~
~
5. E (X⏐Y) = ∫ x. f (x⏐y) dx (Rata–rata Bersyarat)
–~
6. E (X⏐Y)2 = E [{X – μ
X⏐Y}2⏐y] (Ragam Bersyarat)
7. Koefisien Korelasi X dan Y = Rxy = (σYX ) / (σX .σY)
Teladan 2.12 :
1. f (x,y) = 2 , 0 < x < y < 1
= 0, untuk x dan y lainnya
a. Tentukan g (x), h (y) dan f (x⏐y)
b. Tentukan E (X⏐Y)
c. Tentukan E [{X – μ X⏐Y}2⏐y]
d. Tentukan P (0 < X = ½⏐y = 3/4) e. Tentukan P (0 < X = ½) Jawab : 1 a. g (x) = ∫ 2 dy = 2 – 2x , 0 < x < 1 x = 0, untuk x lainnya y h (y) = ∫ 2 dx = 2y, 0 < y < 1 0 = 0, untuk y lainnya
f (x⏐y) = f (x,y) / h (y) = 2/2y = 1/y, 0 < x < y 0 < h < 1 = 0, untuk x dan y lainnya ~ ~
b. E (X⏐Y) = ∫ x. f (x⏐y) dx = ∫ x. 1/y dx = 2 / y , 0 < y < 1
–~ –~
y
c. E [{X – μ X⏐Y}2⏐y] = ∫ (x – y/2)2. f (x⏐y) dx = (x – y/2)2. (1/y) dx
0 = y2/12, 0 < y < 1 ½ ½ d. P (0 < X = ½⏐y = 3/4) = ∫ f (x⏐y) dx = ∫ (4/3) dx = 2/3 0 0 ½ ½ e. P (0 < X = ½⏐y = 3/4) = ∫ f (x) dx = ∫ 2 – 2x dx = 3/4 0 0 2. f (x,y) = x + y, 0 < x < 1, 0 < y < 1 = 0, untuk x dan y lainnya a. Tentukan μ X, μ y b. Tentukan σX2 dan σY2 c. Tentukan ρ Jawab : 1 1 a. μ X = E (X) = ∫ ∫ x (x + y) dx.dy = 7/12 0 0 1 1 μ Y = E (Y) = ∫ ∫ y (x + y) dx.dy = 7/12 0 0 1 1 b. μ X2 = E (X2 ) – μx2 = ∫ ∫ y (x + y) dx.dy – (7/12)2 = 11/144 0 0 1 1 μ Y2 = E (Y2 ) – μY2 = ∫ ∫ y (x + y) dx.dy – (7/12)2 = 11/144 0 0
1 1
c. μ XY = E (XY) – μXY = ∫ ∫ xy (x + y) dx.dy – (7/12)2 = 1/144
0 0
ρ = (σYX) / (σX .σY) = – 1/11
Soal–soal :
1. Suatu kiriman 7 pesawat TV mengandung 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli secara acak 3 dari 7 TV tersebut. Bila X menyatakan banyaknya TV yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut, tentukan nilai harapan X. 2. Tentukan nilai harapan banyaknya kaset jazz bila 4 kaset diambil secara
acak dari sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 klasik dan 3 pop. 3. Seorang pembalap ingin mengasuransikan mobilnya pada suatu musim
kompetisi sebesar $50.000. Perusahaan asuransi menduga kerusakan total dapat terjadi dengan peluang 0,002, kerusakan 50% dengan peluang 0,01 dan kerusakan 25% dengan peluang 0,1. Dengan mengabaikan kerusakan– kerusakan lainnya, berapa premium yang harus dibayarkan kepada pihak asuransi per musim kompetisi bila perusahaan itu menginginkan keuntungan $500. (jawab $ 2.100)
4. Misalkan X dan Y memilki sebaran peluang bersama :
X y 2 4
1 0,10 0,15
3 0,20 0,30
5 0,10 0,15
a. Tentukan μ X , μ Y dan E (XY2)
b. E (X⏐Y =2)
c. E (kX) dan E (k + X)
d. Peragam (Kovarians) σYX
e. σX2 dan σY2
5. Dari sekeranjang buah yang berisi 3 jeruk, 2 apel dan 3 pisang diambil suatu acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya apel
yang terambil, hitunglah E (X2Y – 2 XY)
2.4 Beberapa Sebaran Peluang Diskrit (1) Sebaran Peluang Binom
Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang berhasil p dan gagal q, maka peluang keberhasilan dalam n ulangan yang bebas :
b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x x = 0, 1, 2, …, n.
Rata–rata ( μ ) = np dan Ragam ( σ2 ) = npq
Ciri percobaan Binom :
terdiri dari n ulangan, masing–masing ulangan bersifat bebas.
dalam setiap ulangan dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal, dan peluang berhasil (p) selalu tetap; umumnya percobaan dengan pemulihan. untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Binom yaitu :
∑ b (x ; n, p) = p (0 ≤ x ≤ n)
Teladan 2.13 :
1. 10% buah mangga yang diekspor tergolong rusak. Sebuah sampel berukuran 20 diambil secara acak. Berapa peluang sampel yang diambil itu rusak :
a. semuanya
b. 3 buah
c. paling sedikit sebuah d. paling banyak 2 buah e. rata–rata yang rusak
Jawab :
a. p (X = 20) = 20C20. (0,1)20 (0,9)0 = 10–20 b. p (X = 3) = 3C20. (0,1)3 (0,9)17 = 0,19
c. p (X = 1) = 1 – p(X=0) = 1 – 0,9 = 0,1
2
d p (X = 2) = p (X = 0) + p (X = 1) + p (X = 2) = ∑ b (x; 20, 0,1) = 0,8159
0
e Rata–rata (μ ) = np = 20 (0,1) = 2 buah
2. Suatu survai menunjukkan bahwa 20% penduduk lebih suka telepon berwarna putih daripada warna lainnya. Berapa peluang bahwa dari 20 telepon yang dipasang berikutnya lebih dari setengahnya berwarna putih.
Jawab :
10
P (X > 10) = 1 – p (X = 10) = 1 – ∑ b (x; 20, 0,1) = 0,0006 0
3. Hasil penelitian menunjukkan bahwa 70% orang berpendapat bahwa obat penenang tidak menyembuhkan penyakit. Berapa peluang sekurang– kurangnya 3 dari 5 orang sampel berpendapat demikian.
Jawab :
2
P (X = 3) = 1 – p (X = 2) = 1 – `∑ b (x; 5, 0,7) = 1 – 0,1631 = 0,8369
0 (2) Sebaran Peluang Multinom
Bila peluang kejadian E1, E2, …, En adalah p1, p2, …, pk, maka peluang akan terdapat x1 kejadian E1, x2 kejadian E2, …, xn kejadian En dari n ulangan :
n !
p (x1, x2, … , xn) = ————————— p1x1. p2x2 … pnxn
x1!, x2!, … , xn!
Teladan 2.14 :
1. Sebuah kotak terdiri dari 2 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 5 oleh mesin B dan 3 oleh mesin C. Sebuah barang diambil acak identitasnya dilihat lalu disimpan kembali. Hitung peluang diantara 6 barang yang diambil terdiri dari 1 dari mesin A, 3 mesin B dan 2 mesin C.
Jawab :
n = 10 p(A) = 2/10 p(B) = 5/10 p (C) = 3/10
6!
p (1A, 3B, 2C) = ————— (0,2)1 (0,5)3 (0,3)2 = 0,0135
1! 3! 2!
2. Dalam suatu perusahaan terdapat 30% karyawan bergaji rendah, 50% bergaji menengah dan 20% bergaji tinggi. Jika diambil sampel sebanyak 20 karyawan, hitung peluang terdapat 6 karyawan bergaji rendah, 10 bergaji menengah dan 4 bergaji tinggi.
Jawab :
n = 20 p(R) = 0,3 p(M) = 0,5 p (T) = 0,2 20!
p (6R, 10M, 4T) = ————— (0,3)6 (0,5)10 (0,3)4 = 0,0196
6! 10! 4!
3. Menurut teori Genetika, hasil persilangan kelinci menghasilkan keturunan warna merah, hitam dan putih dengan rasio 8 : 4 : 4. Hitunglah peluang bahwa diantara 8 keturunan terdapat 5 merah, 2 hitam dan 1 putih.
Jawab :
n = 8 p(M) = 0,5 p(H) = 0,25 p (P) = 0,25 8!
p (5M, 2H, 1P) = ————— (0,5)5 (0,25)2 (0,25)1 = 0,082
5! 2! 1!
(3) Sebaran Peluang Hipergeometrik
Bila dalam populasi N benda terdapat k benda termasuk kategori tertentu, lalu diambil sampel berukuran n, maka peluang dalam sampel terdapat x benda termasuk kategori tersebut adalah :
k N – k x n – x
p (x) = ———————— N
n
Rata–rata ( μ ) = nk / N atau μ = np karena p = k/N
N – n k k N – n
Ragam (σ2) = ————. n. — ( 1 – — ) atau σ2 = ——— npq
N – 1 N N N – 1 Ciri :
1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k sebagai gagal
3. Biasanya pengambilan sampel tanpa pemulihan
Teladan 2.15 :
1. Seorang ingin menanam 5 pohon mangga yang diambil secara acak dari
kotak yang berisi 5 biji mangga Gedong dan 4 biji mangga Cengkir. Berapa peluang bahwa yang ditanam itu terdiri 2 Gedong dan 3 Cengkir.
Jawab : N = 9 n = 5 k = 5 x = 2 5 9 – 5 2 5 – 2 p (x=2) = ———————— = 0,317 9 5
2. Sebuah penyewaan mobil mempunyai 7 Carry, 5 Zebra, 4 Kijang dan 3
Sedan. Bila disewa 10 mobil secara acak untuk keperluan tamasya, berapa peluang yang diambil 4 Carry, 3 Zebra, 2 Kijang dan 1 Sedan.
Jawab : 7 5 4 3 4 3 2 1 p (4C, 3Z, 2K, 1S) = —————————— = 0,068 19 10
Pendekatan Binom Terhadap Hipergeometrik : Syarat : n relatif kecil dibanding N, sehingga : Rata–rata (μ ) = np = nk / N karena p = k/N
Ragam (σ2 ) = npq = (nk / N)(1 – k/N) q = 1 – p = 1 – k/N
Teladan 2.16 :
1. Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang terdapat
4000 memakai telepon tombol. Bila 10 diantara pemasang baru tersebut diambil acak, berapa peluang terdapat 3 orang yang menggunakan telepon tipe putar. Jawab : n = 10 N = 5000 k = 10 x = 3 p (tipe tombol) = 4000/5000 = 0,8 p (tipe putar) = 1 – 0,8 = 0,2 10 p ( x = 3) = (0,2)3 (0,8)7 = 0,1342 3
2. Diduga 4000 diantara 10.000 pemilih tidak setuju pajak penjualan yang baru.
Bila 15 pemilih diambil secara acak, berapa peluang bahwa sebanyak– banyaknya 7 orang menyetujui pajak baru tersebut. Tentukan pula rata–rata banyaknya pemilih yang setuju dan ragamnya.
Jawab :
p (tidak setuju) = 0,4 dan p (setuju) = 0,6 7
p (x = 7) = ∑ b (x; 16; 0,6) = 0,2131
0
Rata–rata (μ ) = np = 10 (0,6) = 6 orang
Ragam (σ2 ) = npq = 10 (0,6) (0,4) = 2,4
4. Sebaran Peluang Binom Negatif
Untuk menentukan peluang bagi k keberhasilan dari x ulangan. x – 1
b* (x; k, p) = pk qx–k k – 1
x = banyaknya ulangan dan k = banyaknya keberhasilan
Jika hanya untuk memperoleh satu keberhasilan (k = 1) yang pertama maka b* ( x; p ) = p. qx–1
Teladan 2.17 :
1. Peluang penduduk di suatu kota mempunyai mobil diduga 0,7. Hitung peluang bahwa yang ke 10 yang diambil acak adalah orang ke–5 yang mempunyai mobil ? Jawab : x = 10 k = 5 p = 0,7 9 b* (10; 5, 0,7) = (0,7)5 (0,3)5 = 0,0506 4
2. Seorang ilmuwan menginokulasi beberapa tikus satu demi satu dengan bakteri sampai diperoleh 2 tikus yang terkena penyakit. Bila peluang terjangkiti penyakit 1/6, berapa peluang bahwa percobaan itu diperlukan 8 tikus ? Jawab : x = 8 k = 2 p = 1/6 7 b* (8; 2, 1/6) = (1/6)2 (5/6)6 = 0,065 1
(5) Sebaran Peluang Poisson
e–µ µx
p ( x ; µ ) = ———— x = 1,2, … dan e = 2,718 x !
μ = rata–rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu (menit, hari, tahun) atau daerah (ruas garis, volume, luas).
Ragam (σ2 ) = μ atau σ = √ μ
Untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Poisson : r
∑ p (x; μ )
0
Teladan 2.18 :
1. Seorang sekretaris rata–rata melakukan 2 kesalahan ketik tiap halaman. Hitung peluang bahwa pada halaman berikutnya terdapat :
a. 4 atau lebih kesalahan b. tidak ada kesalahan
Jawab : 3 a. p (x ≥ 4, 2) = 1 – p (x = 3) = 1 – ∑ p (x; 2) = 1 – 0,8571 = 0, 1429 0 e–2 20 b. p ( 0 ; 2 ) = ———— = 0,1354 0 !
2. Rata–rata banyaknya tikus per dam2 lahan sawah diduga tersebar 10.
Hitung peluang dalam luasan 1 dam2 terdapat
a. paling banyak 1 ekor b. lebih dari 15 ekor, c. 8 sampai 13. Jawab : 1 a. p (x = 1) = ∑ p (x; 10) = 0,0005 0 15 b. p (x > 15, 10) = 1 – p (x = 15) = 1 – ∑ p (x; 10) = 0,0487 0 13 8 c. p (8 = x = 13, 10) = ∑ p (x; 10) – ∑ p (x; 10) = 0,8645 – 0,3328 0 0 = 0,5317
Pendekatan Poisson Terhadap Binom
Jika n besar (n ≥ 50) dan p dekat ke nol atau μ = np < 5, maka kejadian Binom dapat diselesaikan dengan sebaran Poisson.
Teladan 2.19 :
1. Peluang seseorang meninggal akibat infeksi pernafasan 0,002. Hitung peluang diantara 2000 orang yang terinfeksi akan meninggal dunia sebanyak
a. 2 orang b. lebih dari 3 orang c. kurang dari 5 Jawab : p = 0,002 n = 2000 jadi μ = np = 2000 (0,002) = 4 a. p (2, 4) = (e–4)(4)2 / 2! = 0,1465 3 b. p (x > 3, 4) = 1– p (x = 3) = 1– ∑ p (x; 4) = 1– 0,4335 = 0,5665 0
4 c. p (x = 4, 4) = ∑ p (x; 4) = 0,6288 0 Soal–soal :
1. Peluang suatu produk rusak yang dihasilkan oleh sebuah mesin adalah 0,4.
Bila diambil sampel berukuran 15, berapa peluangnya bahwa :
a. sekurang–kurangnya 10 produk yang rusak (Jawab : 0,0338)
b. ada 3 sampai 8 yang rusak (Jawab : 0,8779) c. tepat 5 buah yang rusak (Jawab : 0,1859)
2. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing–masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab secara menebak–nebak saja memperoleh 5 sampai 10 jawaban yang benar.
3. Dalam suatu konferensi, peluang suatu delegasi tiba dengan menggunakan
pesawat terbang, bus, kendaraan pribadi atau kereta api adalah 0,4; 0,2; 0,3 dan 0,1. Berapa peluang bahwa diantara 9 delegasi yang diambil secara acak 3 tiba dengan pesawat terbang, 3 dengan bus, 1 dengan mobil pribadi dan 2 dengan kereta api.
4. Seorang polisi memeriksa secara acak 6 KTP dari 9 pelajar yang 4 diantaranya belum memenuhi syarat batas umur untuk membuat SIM. Berapa peluang bahwa ia akan menolak 2 pelajar yang ketahuan belum memenuhi syarat umur (Jawab : 5/14)
5. Diantara 150 pegawai RS di sebuah kota hanya 30 yang perempuan. Bila 10 orang diambil secara acak untuk memberi bantuan, berapa peluang bahwa sekurang–kurangnya 3 pegawai perempuan yang terpilih (gunakan sebaran Binom terhadap hipergeometrik).
6. Secara rata–rata di suatu simpangan terjadi 3 kecelakaan lalu lintas per bulan. Berapa peluang bahwa pada suatu bulan tertentu di simpangan itu terjadi :
a. tepat 5 kecelakaan (Jawab : 0,1008)
b. kurang dari 3 kecelakaan (Jawab : 0,4232).
c. sekurang–kurangnya 2 kecelakaan (jawab : 0,8009).
7. Misalkan secara rata–rata 1 diantara 1000 orang membuat kesalahan angka
dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10.000 formulir diambil secara acak dan diperiksa, berapa peluang ada 6; 7 atau 8 formulir yang mengandung kesalahan (Jawab : 0, 2657).
2.5 Beberapa sebaran Peluang Kontinyu
(1) Sebaran Peluang Normal (Sebaran Peluang Gauss)
Fungsi Kepekatan Peluang atau Kurva Normalnya adalah : 1 –½ [ (x – μ) / σ]2
p (x) = ———— e – ∞ < x < ∞ √ 2 π σ
Fungsi peluang tersebut bergantung pada parameter μ dan σ (biasanya
diketahui).
Karena kurva normal tergantung dari nilai μ dan σ, maka luas dibawah kurva yang
dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 akan berbeda–beda.
Pada selang [X1, X2], luas daerah sebaran peluang
I < II, artinya pada interval yang sama maka P (X1
< X < X2) akan berbeda pada sebaran normal yang
berbeda. Sehingga nilai X perlu ditransformasi ke
peubah normal baku z dengan μ = 0 dan σ2 = 1,
dimana : z = ( x – μ ) / σ x1 x2
Sebaran Normal baku adalah sebaran peubah acak normal dengan rata–rata (μ) nol dan simpangan baku (σ) = 1.
Berdasarkan Kaidah Empirik :
68% data terletak pada μ ± 1 σ 95% data terletak pada μ ± 2 σ 99,7% data terletak pada μ ± 3 σ
μ–3σ μ–2σ μ–σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ
Penyelesaian dalam perhitungan :
1. p ( x = c) z1 = [(c – 0,5) – μ] / σ p (z2) – p (z1) z2 = [(c + 0,5) – μ] / σ 2. p (a < x < b) z1 = (a – μ) / σ p (z2) – p (z1) z2 = (b – μ) / σ 3. p (a ≤ x ≤ b) z1 = [(a – 0,5) – μ] / σ p (z2) – p (z1) z2 = [(b + 0,5) – μ] / σ Teladan 2.20 :
Nilai rata–rata ujian Statistika adalah 74 dengan simpangan bakunya 7. Nilai ujian menyebar normal, dengan nilai terendah E dan terbesar A.
a. Jika sebanyak 10% mahasiswa mendapat nilai E, tentukan batas tertinggi nilai E
b. 12% dapat nilai A, berapa batas terendah nilai A
c. Persentil ke–30 atau P30
d. Desil ke–6 atau D6
Jawab :
10% 12%
30 74 D6
z = (x – μ) / σ atau x = zσ + μ
a. p (Z < z) = 0,10 maka z = –1,284
x = (–1,284)(7) + 74 = 65,02 Jadi batas tertinggi nilai E = 65,02 b. p (Z > z) = 0,12 atau p (Z < z) = 0,88 maka z = 1,175
x = (1,175)(7) + 74 = 82,23 (yang merupakan batas terendah nilai A) c. P30 = 0,3 = p (Z < z) atau z = – 0,525 jadi x = 70,33
d. D6 = 0,6 = p (Z < z) atau z = 0,25 jadi x = 75,75 artinya sebanyak 60%
mahasiswa mendapat nilai ≤ 75,75.
Teladan 2.21 :
Rata–rata volume kecap Udang Sari setiap botol adalah 200 ml dengan simpangan baku 15 ml. Jika volume kecap menyebar normal, hitunglah :
a. dibawah volume berapa diperoleh 25% botol dengan volume paling sedikit.
b. berapa peluang botol yang berisi 208 ml.
c. berapa peluang botol yang berisi antara 191 dan 209 ml.
d. berapa peluang botol yang berisi 187 sampai 207 ml.
e. jika terdapat 10.000 botol, berapa botol yang berisi lebih dari 224 ml.
f. berapa botol dari 10.000 botol berikutnya yang akan tumpah bila botol–botol
berukuran 230 ml.
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a. p (Z < z) = 0,25 atau z = – 0,675 jadi x = (–0,675)(15) + 200 = 190 ml.
b. p (x = 208) = p (207,5 < x < 208,5) = p (0,5 < z < 0,57) = 0,7157 – 0,6915 = 0,0242
c. p (191 < x < 209) = p (–0,6 < z < 0,6) = 0,7257 – 0,0274 = 0,4514
d. p (187 ≤ x ≤ 207) = p (186,5 < x < 207,5) = p (–0,9 < z < 0,5) = 0,6915 – 0,1841 = 0,5074
e. p (x > 224) = p (z > 1,6) = 1 – 0,9452 = 0,0548 Jadi ada 0,0548 x 10.000 botol = 548 botol f. p (x > 230) = p (z > 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228
Jadi ada 0,0228 x 10.000 botol = 228 botol
Teladan 2.22 :
Rata–rata umur sepeda motor adalah 10 tahun dengan simpangan baku 2 tahun. Pabriknya akan mengganti semua motor yang rusak dengan yang baru selama dalam waktu garansi. Hitunglah :
a. Peluang umur sepeda motor tersebut 15 tahun.
b. Peluangnya berumur antara 10 dan 12 tahun.
c. Peluangnya berumur 7 sampai 9 tahun.
d. Bila pabrik itu hanya bersedia mengganti 3% diantara motor yang rusak, berapa lama garansinya.
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a. p (x = 15) = p (14,5 < x < 15,5) = p (2,25 < z < 2,75) = 0,9970 – 0,9878 = 0,0092
b. p (10 < x < 12) = p (0 < z < 1) = 0,8413 – 0,5000 = 0,3413 c. p (7 ≤ x ≤ 9) = p (6,5 < x < 9,5) = p (–1,75 < z < – 0,25)
= 0,4013 – 0,0401 = 0,3612
d. p (Z < z) = 0,03 atau z = –1,88 maka x = (–1,88)(2) + 10 = 6,24 tahun
Pendekatan Normal ke Binom
Syarat : n besar (n > 50) p dekat ke ½
sehingga np > 5 dan nq > 5 atau bisa juga n kecil asal p tidak terlalu dekat ke nol atau dekat ke 1.
Penyelesaian dalam perhitungan : z1 = [(a + 0,5) – μ ] / σ 1. p (a < x < b) z2 = [(b – 0,5) – μ ] / σ p (z2) – p (z1) z1 = [(a – 0,5) – μ ] / σ 2. p (a ≤ x ≤ b) z 2 = [(b + 0,5) – μ ] / σ p (z2) – p (z1) Teladan 2.24 :
Bila 20% penduduk di suatu kota lebih menyukai telepon berwarna putih daripada warna lainnya. Tentukan peluang diantara 1000 telpon yang dipasang berikutnya di kota itu :
a. lebih dari 210 tetapi tidak lebih dari 225 berwarna putih
b. 185 atau lebih berwarna putih
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a. p (210 < x ≤ 225) = p (210,5 < x < 225,5) = p (0,83 < z <2,02) = 0,9783 – 0,7967 = 0,1816
b. p (x ≥ 185) = p (x > 184,5) = p (z > –1,23) = 1 – 0,1093 = 0,8907
Teladan 2.25 :
Hasil survai menunjukkan sekitar 60% produk pestisida merupakan produk yang tidak dapat dihancurkan oleh mikroba tanah. Jika diambil 200 jenis pestisida tentukan :
a. sebanyak 110 jenis tidak dapat dihancurkan oleh mikroba tanah (resisten)
b. sebanyak–banyaknya 128 jenis yang resisten
c. paling sedikit 130 tetapi tidak lebih dari 135 jenis bersifat resisten.
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a. p (x = 110) = p (109,5 < x < 110,5) = p (0,06 < z <0,09) = 0,5359 – 0,5239 = 0,0120
b. p (x ≤ 128) = p (x < 128,5) = p (z < 1,23) = 0,8907
c. p (130 ≤ x ≤ 135) = p (129,5 < x < 135,5) = p (1,37 < z <2,24) = 0,9875 – 0,9147 = 0,0728
III. S A M P L I N G
3.1 Pengertian–pengertian Dasar
1. Sampling (Penarikan Contoh) = proses pemilihan objek–objek tertentu dari sekian banyak objek yang ada.
2. Unit Sampling = objek yang dipilih dalam sampling
3. Kerangka Sampling = daftar unit sampling beserta pelungnya.
4. Populasi Sasaran = populasi yang menjadi ruang lingkup generalisasi
kesimpulan suatu penelitian.
5. Rencana Sampling = langkah–langkah menentukan unit sampling, banyaknya unit sampling yang akan dipilih dan cara memilih unit–unit tersebut ke dalam sampel.
6. Rancangan Sampling = rencana sampling ditambah dengan analisisnya.
7. Estimator = lambang penduga bagi populasi (x, s2). Nilainya disebut Estimate
(misal dari sampel, rata–ratanya x = 25, maka x = estimator sedangkan nilai 25 estimatenya).
3.2 Alasan Sampling
1. Ukuran Populasi : tak hingga; terhingga tetapi n besar
2. Keterbatasan Sumberdaya (biaya, tenaga, waktu).
3. Masalah Ketelitian
4. Faktor Ekonomis : Kegunaan x Sumberdaya
3.3 Banyaknya Sampel (1) Dengan Pemulihan :
Jika ukuran populasi N diambil sampel berukuran n, maka banyaknya sampel
ada Nn buah sampel. Misalnya ukuran populasi 4 (A, B, C, D) diambil sampel
berukuran n = 2, maka ada 42 = 16 buah sampel.
(2) Tanpa Pemulihan : Banyaknya sampel ada nCN.
3.4 Cara Sampling
(A) Sampling Non Peluang
1. Sampling Seadanya (Aksidental) : berdasarkan seadanya data dan kemudahannya mendapatkan data. Misalnya mengumpulkan pendapat tentang sesuatu dari orang–orang lewat.
2. Sampling Pertimbangan : Berdasarkan pertimbangan peneliti.
Ketelitian dan kerepresentatifan sampel non peluang tidak dapat ditaksir,
akibatnya tidak mungkin menyimpulkan hasil sampel terhadap populasi dengan derajat keyakinan tertentu.
3. Sampling Kuota : teknik untuk menentukan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah (kuota) yang diinginkan. Misal ada 5 peneliti dengan ukuran sampel 100 orang, maka setiap peneliti dapat memilih secara bebas sebanyak 20 orang.
4. Sowball Sampling (bola salju)
(B) Sampling Peluang
1. Sampling Acak Sederhana
unit sampling mempunyai peluang yang sama untuk dipilih.
dapat dilakukan dengan cara (a) undian dan (b) daftar angka acak (cara sederhana dan cara sisa pembagian).
cocok diterapkan untuk populasi yang homogen. Apabila populasinya heterogen maka dilakukan dengan :
2. Sampling Sistematik
unit sampling diambil dari populasi pada jarak interval waktu, ruang atau urutan yang uniform.
pengambilan anggota pertama dilakukan secara acak.
pengambilan unit sampel dapat dilakukan dengan (a) jika N kelipatan dari n, maka interval pemilihan dengan angka acak adalah N/n, dan (b) jika N/n merupakan pecahan maka dilakukan pembulatan.
3. Sampling Berstrata (Petala)
jika nilai–nilai pengamatan sangat heterogen maka perlu stratifikasi sehingga nilai dalam strata homogen.
pengambilan sampel pada setiap strata dilakukan secara acak. Ukuran sampel pada setiap strata bisa proporsional disebut Sampling Proporosional, atau tidak proporsional.
4. Sampling Kluster
Sampling Acak (Simple Random Sampling), Sistematik dan Strata perlu kerangka sampling yang lengkap. Untuk menghindari hal tersebut digunakan Sampling Kluster.
Populasi dibagi–bagi menjadi N buah kluster atau Unit Sampling Primer
(USP). USP dibagi–bagi lagi menjadi Unit Sampling Sekunder (USS). Misal populasi terdiri dari 6 USP, dipilih 2 USP yaitu USP–1 dan USP–4. USP–1 terdiri dari 11 USS diambil 7 USS, dan USP–4 terdiri dari 10 USS diambil 6 USS dst. Contoh lain : Propinsi → diambil beberapa kabupaten → dari kabupaten terpilih diambil beberapa kecamatan → dari kecamatan terpilih diambil beberapa desa → dari desa terpilih diambil beberapa RT. RT–RT inilah yang digunakan sebagai sampel.
3.5 Ukuran Sampel
Ukuran sampel yang diambil dalam sampling tergantung dari tingkat keragaman populasi. Semakin besar ukuran populasi, akan semakin besar pula ukuran sampelnya agar diperoleh derajat kepercayaan yang tinggi.
Menurut Taro Yamane (1967) dalam Jalaluddin Rakhmat (1999), ukuran sampel dapat ditentukan dengan menggunakan formula sebagai berikut :
N n =
Nd2 + 1
dimana : n adalahukuran sampel, N adalahukuran populasi dan d adalah presisi (5 % atau 10 %)
IV. SEBARAN PENARIKAN CONTOH (DISTRIBUSI SAMPLING)
Distribusi Sampling merupakan distribusi peluang suatu statistik. Distribusi sampling suatu statistik tergantung dari N, n dan metode pengambilan contohnya. Metode pengambilan contoh dapat dilakukan dengan pemulihan dan tanpa pemulihan.
Populasi Sampel Rata–rata (Statistik) Peluang
. . . → → → n1 n2 . . nk x1 x2 . . xk p (x1) p (x2) . . p (xk) punya rata–rata (μx ) dan
simpangan baku (σx )
4.1 Sebaran Penarikan Contoh Bagi Rata–rata
A. Dengan Pemulihan
Misal populasi x 0 1 2 3 μ = 3/2 σ2 = 5/4
p (x) 1/4 ¼ 1/4 1/4
Diambil sampel dengan n = 2, jadi ada 42 = 16 kemungkinan :
No Contoh x No Contoh x x f p(x) x.p(x) f.x 1 0 ; 0 0 9 2 ; 0 1,0 0,0 1 1/16 0 0 2 0 ; 1 0,5 10 2 ; 1 1,5 0,5 2 2/16 1/16 1 3 0 ; 2 1,0 11 2 ; 2 2,0 1,0 3 3/16 3.16 3 4 0 ; 3 1,5 12 2 ; 3 2,5 1,5 4 4/16 6/16 6 5 1 ; 0 0,5 13 3 ; 0 1,5 2,0 3 3/16 6/16 6 6 1 ; 1 1,0 14 3 ; 1 2,0 2,5 2 2/16 5/16 5 7 1 ; 2 1,5 15 3 ; 2 2,5 3,0 1 1/16 3/16 3 8 1 ; 3 2,0 16 3 ; 3 3,0 24/16 24
Rata–rata dan Ragam dari rata–rata contoh adalah : μx = ∑ f.x / ∑ f = ∑ x. p(x) = 24/16
σx2 = ∑ (x – 3/2)2 f(x) = 5/8 = 5/4/2 = σ2 / n atau σ
x = σ / √ n
Jadi : μx = μ dan σx = σ /√ n.
Untuk n ≥ 30 (atau n < 30 asalkan populasi asal normal), maka x – μ
z = ————— σ /√ n
Teladan 4.1 :
Contoh acak berukuran 4 ditarik secara berulang–ulang dengan pemulihan dari sebuah populasi terhingga yang terdiri dari nilai–nilai 2, 4, dan 6.
a. diantara 2 nilai berapa terdapat 68% diantara semua nilai rata–rata contoh itu
(ambil 68% yang di tengah).
b. jika contohnya berukuran 54, berapa peluang bahwa rata–rata contohnya akan lebih besar dari 4,1 tetapi kurang dari 4,4.
Jawab : x = 2, 4, 6 maka μ = μx = 4 dan σ = 1,63 16% 16% z1 z2 a. p (Z < z1) = 0,16 maka z1 = – 0,995 p (Z > z2) = 0,16 maka z2 = 0,995
untuk n = 4 maka σx = σ /√ n = 0,815 dan x = z. σx + μx
x1 = (– 0,995)(0,815) + 4 = 3,19 dan x1 = (0,995)(0,815) + 4 = 4,81 Jadi 68 % data terletak diantara nilai 3,19 dan 4,81
b. n = 54 maka σx = σ /√ n = 1,63 / √ 54 = 0,22 p (4,1 < x < 4,4) = p (4,15 < x < 4,35)
= p (0,68 < z < 1,59) = 0,9441 – 0,7517 = 0,1924
B. Tanpa Pemulihan
Misal populasi 0, 1, 2, 3 (N = 4) diambil sampel n = 2, maka banyaknya
kemungkinan sampel adalah 2C4 = 6.
No. 1 2 3 4 5 6
Sampel 0 ; 1 0 ; 2 0 ; 3 1 ; 2 1 ; 3 2 ; 3
Rata–rata (x) 0,5 1,0 1,5 1,5 2,0 2,5
dari contoh didapat rata–rata contoh (μ ) dan ragamnya (σx2) adalah :
μx = ∑ x / n = 9/6 = 3/2 = μ
5/4 4 – 2 σ2 N – n
σx2 = 5/12 = ——— √ ——— = —— √ ———
√2 4 – 1 √n N – 1
Jadi jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pemulihan maka : μx = μ dan σx = (σ /√ n ) √ (N–n) / (N–1)
Faktor √ (N–n) / (N–1) disebut Faktor Koreksi Populasi Terhingga. Bila N relatif besar terhadap n, maka faktor tersebut bernilai 1 sehingga σx2 mendekati σ2/n.
Hal ini dikenal dengan Dalil Limit Pusat yaitu : Bila contoh acak berukuran n ditarik dari populasi (diskrit atau kontinyu) yang besar atau tak hingga dengan rata–rata μ
dan ragam σ2, maka rata–rata contoh μ
x akan menyebar mendekati distribusi
normal dengan rata–rata μx = μ dan simpangan baku σx = σ /√ n. Dengan
demikian
x – μ z = ———— σ /√ n
Dalam perhitungan, biasanya rumus untuk simpangan baku contoh atau galat baku (σx ) yaitu :
1. σx = σ /√ n jika n/N < 5% dan
2. σx = (σ /√ n ) √ (N–n) / (N–1) jika n/N ≥ 5
Perhatikan perbedaan penggunaan rumus z pada sebaran peluang dengan
sebaran penarikan contoh. Pada sebaran penarikan contoh, ukuran sampel diketahui dan peluang dihitung terhadap seluruh unit sampling dalam sampel.
Teladan 4.2 :
Sebuah perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam itu menyebar normal dengan rata–rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam, maka hitunglah peluang bahwa suatu contoh acak 16 bohlam akan berumur rata–rata kurang dari 775 jam. Jawab : Umur bohlam (data kontinyu)
z = (775 – 800) / (40 / √16) = –25/10 = –2,5 p (x < 775) = p (z < –2,5) = 0,0062
Teladan 4.3 :
Bila galat baku bagi sebaran penarikan contoh berukuran 36 yang ditarik dari populasi yang besar adalah 2, berapa ukuran contoh itu harus ditingkatkan agar galat bakunya berkurang menjadi 1,2.
Jawab :
σx = 2 dan n = 36 maka σ = σx√ n = 2 (6) = 12 atau σ2 = 144
σx = 1,2 jadi σx2 = 1,44 maka n = σ2 / σx2 = 144 / 1,44 = 100
Jadi ukuran sampel harus ditingkatkan menjadi 100.
Teladan 4.4 :
Sebuah mesin minuman ringan diatur agar jumlah minuman yang dikeluarkan setiap botol rata–rata 240 ml dengan simpangan baku 15 ml. Secara periodik mesin itu diperiksa dengan mengambil 40 botol kemudian dihitung rata–ratanya.
Jika rata–rata 40 botol tersebut berada pada selang μx ± 2 σx, maka mesin masih
dianggap baik. Jika petugas mendapatkan rata–rata isi ke 40 botol adalah 236 ml
dan menyimpulkan mesin itu tidak perlu diperbaiki, apakah keputusannya itu wajar? Jawab : μ = 240 σ = 15 n = 40 dan μx = 236 maka σx = σ / √ n = 15 / √ 40 = 2,37 μx ± 2 σx, = 236 ± 2 (2,37) atau 231,26 < μ < 240,74 (Wajar) Teladan 4.5 :
Sebuah mesin membuat resistor dengan tahanan rata–rata 40 Ω dan simpangan baku 2 Ω. Berapa peluang suatu contoh acak 36 resistor akan menghasilkan tahanan gabungan lebih daripada 1458 Ω.
Jawab : (Data kontinyu)
μ = 40 σ = 2 n = 36 σx = σ / √ n = 2 / √ 36 = 0,33 rata–rata tahanan setiap resistor (x) = 1458 : 36 = 40,5 z = (40,5 – 40) / 0,33 = 1,5
p (x > 40,5) = p (z > 1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668
4.2 Sebaran t–Student (W.S. Gosset)
Bila σ2 tidak diketahui maka untuk n ≥ 30 nilai σ2 dapat didekati oleh s2,
sehingga nilai (x – μ) / (s / √ n) masih mendekati normal, karena fluktuasi s2
relatif kecil.
Bila n < 30 maka fluktuasi s2, cukup besar dari contoh satu ke contoh lainnya,
sehingga nilai (x – μ) / (s / √ n) tidak lagi normal. Oleh karena itu digunakan sebaran lain yaitu sebaran t–student, dimana :
x – μ
t = db = v = n – 1 s / √ n
Perbedaan pembacaan Tabel z (normal baku) dengan Tabel t–student :
Pada Tabel z, nilai dalam daftar adalah nilai peluangnya (α) atau luas di bawah kurva untuk setiap nilai z. Pada Tabel t–student, nilai dalam daftar adalah nilai bagi t untuk setiap peluang (α) yang diketahui. Peluang (α) adalah luas daerah di bawah kurva.
Teladan 4.6 :
P (– t0,025 < t < t0,025) = 0,95
Teladan 4.7 :
Sebuah perusahaan menyatakan bahwa batere yang digunakan dalam alat–alat permainan elektronik akan mencapai umur rata–rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai rata–rata ini, 16 batere diuji tiap bulan. Bila nilai t yang
diperolehnya jatuh antara – t0,025 dan t0,025, maka perusahaan itu cukup puas.
Jika dari 16 contoh didapat :
a. rata–rata x = 27,5 dengan simpangan baku 5 jam, apa kesimpulannya ?
b. rata–rata x = 33,75 dengan simpangan baku 5 jam, apa kesimpulannya ? Jawab : (Data kontinyu)
a. μ = 30 s = 5 n = 16 x = 27,5 dan s / √ n = 5 / √ 16 = 1,25
untuk db = v = 16–1 = 15 didapat (–t0,025 < t < t0,025) = (–2,31 < t < 2,31) t = (x – μ) / (s / √ n) = (27,5 – 30)/ (1,25) = –2 (Terima)
b. μ = 30 s = 5 n = 16 x = 33,75 dan s / √ n = 5 / √ 16 = 1,25
untuk db = v = 16–1 = 15 didapat P (–t0,025 < t < t0,025) = –2,31 < t < 2,31
t = (x – μ) / (s / √ n) = (33,75 – 30)/ (1,25) = 3 lebih besar dari nilai t = 2,31 artinya batere produksinya lebih baik dari yang disangkanya.
Teladan 4.8 :
Sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kandungan nikotin rata–rata rokoknya sebesar 1,83 mg per batang. Hasil pengujian 8 batang rokok kadar nikotinnya 2,0 ; 1,7 ; 2,1 ; 1,9 ; 2,2 ; 2,1 ; 2,0 dan 1,6 mg. Apakah anda setuju pernyataan tersebut ?
Jawab : (Data kontinyu)
n = 8 x = 1,95 s = 0,21 dan s / √ n = (0,21) / √ 8 = 0,074.
untuk db = 8 – 1 = 7 dan α = 5% = 0,05 didapat t0,05 (7) = 1,895
t = (x – μ) / (s / √ n) = (1,95 – 1,83)/ (0,074) = 1,622
Karena nilai ( t = 1,622 ) < ( t0,05 (7) = 1,895 ), maka kita dapat menerima
pernyataan tersebut.
4.3 Sebaran Proporsi
Misal populasi berukuran N terdapat peristiwa A sebanyak Y diantara N, maka didapat parameter proporsi A = Y/N. Dari populasi diambil sampel berukuran n dan misalkan didalamnya terdapat peristiwa A sebanyak x, jika semua kemungkinan sampel yang mungkin, diambil dari populasi itu maka didapat sekumpulan harga statistik proporsi. Dari kumpulan proporsi ini dapat dihitung
rata–rata (μx/n) dan simpangan bakunya (σx/n), yang disebut juga sebagai Galat
Baku Proporsi.
Jika n/N ≤ 5% maka : μx/n = p dan σx/n = √ pq/n
Jika n/N > 5% maka : μx/n = p dan σx/n = √ pq/n √(N–n)/(N–1) Transformasi ke normal baku :
x/n – p
z = ———— σx/n
Jika selisih proporsi antar contoh diharapkan ≤ d maka σx/n ≤ d
Teladan 4.9 :
Telah dikirim 5000 peti gelas, tiap peti berisi 100 gelas. Dalam pengiriman itu biasanya terjadi 5% gelas pecah. Ada berapa peti diharapkan diterima yang berisikan minimal 98 buah gelas yang baik setiap peti.
Jawab :
n = 100 p = 0,05 q = 0,95 dan
σx/n = √ pq/n = √ (0,05)(0,95)/(100) = 0,022
P (x/n ≥ 0,98) = p (x/n < 0,02) jadi x/n = 0,02 z = (0,02 – 0,05) / (0,022) = –1,38
p (x/n < 0,02) = p (z < –1,38) = 0,0838 X 5000 peti = 419 peti berisi gelas yang pecah atau 4.581 buah peti berisi gelas yang baik.
Teladan 4.10 :
Terdapat 10% populasi padi dalam 1 ha terkena ganjur. Diambil 100 tanaman
a. tentukan peluangnya minimal 15 tanaman terkena ganjur
b. berapa tanaman harus diamati agar persentase ganjur dari sampel satu ke lainnya diharapkan berbeda paling besar 2%.
Jawab :
n = 100 p = 0,1 q = 0,9 dan σx/n = √ pq/n = √ (0,1)(0,9)/(100) = 0,03
a. z = (0,15 – 0,1) / (0,03) = 1,67 dan p (z ≥ 1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475
b. σx/n ≤ d atau √ pq/n = √ (0,1)(0,9)/ n ≤ 0,02 jadi n ≥ 225
4.4 Sebaran Simpangan Baku
Dari semua kemungkinan sampel yang diambil dari populasi N, masing– masing dihitung simpangan bakunya (s). Dari kumpulan s ini lalu dihitung rata–
ratanya (μs) dan simpangan bakunya (σs). Untuk n besar (n ≥ 100) atau populasi
normal, maka sebaran simpangan baku mendekati sebaran normal dengan (μs) =
σ dan (σs) = σ / 2n, sehingga :
s – σ
z = ———— σ = simpangan baku populasi σs
