BAB IV
BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET 4.1 Rasional
Distribusi peluang disket dapat dinyatakan secara grafik, dalam bentuk tabel, dan jika mungkin juga dalam bentuk rumus. Terlepas dari cara penyajiannya yang penting adalah kelakuan sesuatu peubah acak. Banyak peubah acak yang dihasilkan dalam percobaan statiska mempunyai sifat yang sama dan pada dasarnya dapat dinyatakan dengan distribusi peluang yang sama. Kita harus hati-hati dalam memilih distribusi peluang yang tepat
4.2 Distribusi seragam.
Distribusi peluang diskret yang paling sederhana adalah yang peubah acaknya memperoleh semua nilainya dengan peluang yang sama. Distribusi semacam ini disebut distribusi seragam.
Definisi 4.1 Distribusi Seragam
Jika peubah acak X mendapat nilai X1, X2,…..Xk, dengan peluang yang sama, maka distribusi
dari X disebut sebagai distribusi seragam yang dinyatakan sebagai f(x;k)= k1 , x= x1,x2,x3,…., xk
Lambang f(x;k) dipakai sebagai pengganti f(x) untuk menunjukkan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter k.
Contoh 4. 1:
Sebuah buku diambil dari tas yang berisi sebuah buku matematika, sebuah buku biologi, sebuah buku fisika dan sebuah buku kimia, maka tiap unsur dalam ruang sampel S = {matematika, biologi, fisika, kimia} muncul dengan peluang ¼ . Jadi distribusi seragamnya dinyatakan dengan f (x ; 4) = ¼ , dengan x = {matematika, biologi, fisika, kimia}.
Contoh 4.2:
Sebuah dadu dilantunkan sekali, tiap elemen ruang sampel S = {1,2,3,4,56} muncul dengan peluang 1/6 . Jadi, hal tersebut merupakan distribusi seragam dengan
f (x;6)= 61 , x = 1,2,3,4,5,6.
Teorema 4.1 Rataan dan variansi distribusi seragam.
Rataan dan variansi distribusi seragam diskret f(x;k) dirumuskan oleh:
=
k X x k
i i
1
2
) (
.
Bukti dari teorema ini diberikan sebagai latihan mahasiswa. 4.3 Percobaan binomial dan peubah acak binomial
Definisi 4.2 Percobaan Binomial
Percobaan binomial adalah suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha dimana tiap usaha mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal.
jika lima kartu ditarik secara berurutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikan disebut sukses atau gagal tergantung atas apakah kartu merah atau hitam yam yang diambil. Jika tiap kartu dikembalikan lalu dikocok sebelum kartu berikutnya ditarik, maka penarikan kartu merah atau hitam mempunyai sifat yang sama, yaitu bahwa tiap usaha atau penarikan kartu bebas satu dari yang lain dan peluang sukses tidak berubah, tidak tergantung atas urutan beberapa kartu tersebut ditarik. Percobaan ini disebut percobaan bionomial. Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan sebagai berikut:
1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
2. Tiap usaha memberi hasil yang dapt ditentukan dengan sukses atau gagal 3. Peluang sukses, dinyatakna dengan p
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya
Contoh 4.3:
Suatu percobaan biominal yang berupa pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu hasil pabrik, dipriksa dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebuk sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang harganya adalah bilangan bulat dari 0 sampai dengan 3. Kedelapan hasil yang mungkin dan harga X adalah :
Hasil X
TTC TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC
0 1 1 1 2 2 2 3
Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, maka
P(TTT) = 1 x P(T) P(T) P(T) = 1 x 43 43 43 6427
P(TCT) = 3 x P(T) P(C) P(T) = 3 x 3 649 6427 4
3 4 1 4 3
x
P(TCC) = 3 x P(T) P(C) P(C) = 3 x 3 643 649 4
1 4 1 4 3
x
P(CCC) = 1 x P(C) P(C) P(C) = 1 x 14 41 41641
Sehingga, distribusi peluang X adalah
X 0 1 2 3
f (x)
64 27
64 27
64 9
64 1
Banyaknya X yang sukses dalam n usaha biomial disebut peubah acak biomial. Untuk selanjutnya distribusi biomial dan dinyatakian dengna b(x;n,p)
4.4. Distribusi Biomial Teorema 4.2
q = 1 – p, maka ditribusi peluang peubah acak biomial x, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas adalah b(x;n,p) = n x n x,
p p q x = 0,1,2,…,n
Contoh 4.4 :
Pada persoalan di atas, jika dihitung dengan menggunakan distribusi biomial, yaitu dengan n = 3 dan p = 1/4 , maka diperoleh b
Diketahui suatu hasil produksi mempunyai peluang ¾ dalam suatu pengujuian kekuatan tertentu. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 hasil produksi yang diuji tidak akan rusak.
Solusi :
Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tida mempengaruhi oleh pengujuain yang berikutnya. Dari soal diperoleh bahwa, p = 3/4 , x = 2, dan n = 4. Jadi, peluang bahwa tepat 2 dan 4 hasil produksi tidak akan rusak adalah
Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit adalah 0,4. jika diketahui bahwa 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluang (a) paling sedikit 10 sembuh, (b) antara 3 sampai 8 akan sembuh, dan (c) tepat 5 yang sembuh.
Solusi:
Persoalan di atas tidak dapat diseselsaikan dengan distribusi binomial yang telah ada. Distribusi di atas disebut distribusi biominal, sebab n+1 buah suku dalam penguraian biominal (q + p)n berpadanan dengan berbagai nilai b(x; n;p) untuk x=0, 1,2,…,n yaitu
n n
; suatu syarat yang harus dipenuhi
setiap distribusi peluang. Sehingga soal seperti contoh 4.6 ini dikerjakan dengan menggunakan jumlah biominal B(r;n,p)=
; yang sudah disediakan tabelnya
seperti tertera dalam tabel lampiran 1 di belakang. Sehingga soal pada contoh 4.6 tersebut dikerjakan. Mislanya X banyaknya penderita yang sembuh, maka
(a) P(X ≥ 10 ) = 1-P(X<10) =1-
(Dari tabel biominal)
(b) P( 3≤X≤8 ) =
(c) P(X=5) = b(5;15,0,4)
=
8
3
4
0 5
0
4 , 0 , 15 ; 4
, 0 , 15 ; 4
, 0 , 15 ;
x x x
x b x
b x
b
Teorema 4.3 Rataan dan Varian distribusi biominal
Distribusi biominla b(x,n,p) mempunyai rataan dan variansi berturut-turut seabgai = np dan σ2 = npq
Bukti:
misalkan hasil pada usaha ke-j dinyatakan oleh peubah acak Ij yang mendapat nilai 0 atau 1,
masing-masing dengan peluang q dan p. Sehingga banyaknya sukses dalam suatu percobaan biominal dapat dituliskan sebagai jumlah n peubah bebas, yaitu X = I1 + I2 +. . . + In. setiap Ij
mempunyai E(Ij) = (0)(q) +(1)(p)=p.
Jadi = E(X) = E(I1) + E(I2) + ... + E(In) = ppnsuku p= np
Variansi setiap E(Ij) diberikan I2j E[Ij – p)
2] = E(I2 j)-p2
= (o)2q + (1)2 p - p2
= p – p2
= p(1- p) = pq
Perluasan teorema akibat dari sifat-sifat variansi diperoleh :
npq pq pq
pq
suku n I
I I
x n
2 2
2
2 ....
2
1
Contoh 4.7;
Hitunglah rataan dan varian dari contoh 3 di atas Solusi:
Dari soal diperoleh nilai n = 15 dan p=0,4.
Jadi rataan = np = (15)(0,4) = 6 dan variansi 2 = npq = (15)(0,4)(0,6) = 3,6.
4.5Distribusi Multinational Definisi 4.3
Jika suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasi E1, E2, . . ., Ek dengan
peluang p1, p2,…,pk, maka distribusi peluang acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan
banyaknya kejadian E1, E2, . . . , Ek dalam n usaha bebas adalah f(x1, x2, .., xk) dalam n
usaha bebas adalah:
f(x1,x2,…,xk;p1,p2…pk,n)= k
k
x k x x n
x x x
P P P 1 2...
2 1
2 1 ,..., ,
dengan
k
t
i n
x
1
dan
k
t i p
1
1.
Distribusi ini diberi nama distribusi nominal, sebab suku dalam penggunan multinominal (p1,p2,…,pk)n berpadanan dengan semua kemungkinan f(x1,x2,…xk;p1,p2,…,pk,n)
Contoh 4.8:
Diketahui dua buah dadu dilantunkan 6 kali. Berapakah peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama muncul 1 kali, dan kombinasi lainnya 3 kali?
Misalkan kejadian E1 menyatakan muncul jumlah 7 atau 11 menyatakna muncul pasangan
bilangan yang sama, dan E3 menyatakan pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11 tidak
muncul. Peluang masing-masing kejadian tersebut adalah p1 = 2/9, p2 = 1/6, dan p3 = 11/18.
4.6 Percobaan Hipergeomotrik, Peubah Acak Hipergeometrik dan Distribusi
Misalkan adan N benda yang terdiri dari k benda yagn akan diberi naka sukses sedangkan sisanya N-k, akan di beri nama gagal. Yang ingin dicari adalah peluang memiliki x sukses dari k yang tersedia dan n–x gagal dari sebanyak N-k yang tersedia, bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda. Percobaan seperti ini dinamakan percobaan hipergeometrik. Percobaan hipergeometrik harus memenuhi sifat-sifat berikut :
1. Sampel acak ukuran n diambil dari N benda
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-k, diberi nama gagal Sedangkan banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik
Definisi 4.4 Hipergcometrik
Distribusi hipergeometrik didefinisikan sebagai distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N–k bernama gagal, ialah ;
Contoh 4.9
Suatu kotak berisi 40 hasil produksi dikatakan dapat diterima jika mengandung paling banyak tiga yang cacat. Suatu kotak ditolak, jika sampel acak ukuran 5 hasil produksi yang terpilih mengandung suatu yang cacat.
Berapakah peluang mendapatkan tetap satu yang cacat dalam sampel, jika kotak tersebut mengandung tiga hasil produksi yang cacat ?
Solusi :
dengang menggunakan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 40, k = 3, dan x = 1, peluang mendapatkan tepat satu yang cacat adalah
1;40,5,3
0,3011Teorema 4.4 Rataan dan Variansi Distribusi Hipergeometrik
rataan dan 2 =
1 untuk variansi.
Contoh 4.10 : Dari soal di atas, tentukan rataan dan variasinya ! Solusi:
Contoh 4.11
Suatu pabrik pesawat TV melaporkan bahwa, dari pengiriman sebanyak 500 pesawat Tv ke suatu toko tertentu terdapat 100 yang cacat. Jika seseorang membeli 5 pesawat TV ini secara acak dari toko tersebut berapakah peluang mengandung tepat 3 cacat ?
Solusi :
Karena n = 5 cukup kecil dibandingkan dengan N = 500, maka peluangnya dihampiri dengan menggunakan distribusi biominal. Peluang mendapat satu pesawat TV yang cacat adalah 100/500 = 0,2. jadi peluang mendapat tepatnya 3 peswat TV yang cacat adalah :
H(3 ; 500 , 5 , 100) b(3 ; 5 , 0,2) =
;5,0,2
;5,0,2
= 0,9933-0,9421 = 0,0512
Teorema 4.5 Perluasan dari Distribusi Hipergeometri
Jika N benda dapat dikelompokkan dalam k sel A1, A2,…,Ak masing-masing berisi a1, a2,
…,ak benda, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2,…,Xk yang menyatakan banyaknya
benda (anggota) yang terambil dari Ab, An, …,Ak dalam sampel acak ukuran n adalah:
f(x1, x2,…,xk;a1,a2,...,ak, N, n) =
Sejumlah 10 tikus putih dipakai dalam suatu kasus penelitian tentang pengaruh kekebalan suatu penyakit. Tiga diantaranya bergolongan darah O, 4 bergolongan darah B. berapakah peluang suatu sampel ukuran 5 akan beranggotakan satutikus bergolongan darah O, 2 bergolongan A, dan 2 lainnya bergolongan B ?
Solusi :
dengan menggunakan perluasan distribusi hipergeometrik di atas, untuk x1 =1, x2 = 2, x3 = 2,
a1 = 3, a2 = 4, a3 = 3, N = 10, dan n = 5 maka peluang yang dicari adalah
Percobaan yang menhasilkan perubahan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebut prcobaan poisson
Sifat percobaan poisson
1. Banyak sukses terjadi dalam satu selang waktu atau daerah tertetnu tidak terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu daerah yang terpilih
2. Peluang terjadi suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang waktu atau besarannya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.
3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan
Banyak sukses X dalam suatu percobaan poisson duisebut suatu peubah acak poisson. Definisi 4.5 Distribusi poisson
Distribusi peluang peubah acak poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh
P(x;) = , 0,1,2....
!
x x
e x
menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah
tertentu tersebut dan e = 2,71828
Contoh4.13 ;
Rata-rata banyaknya pertikel radioaktif yang melewati suatu perhitungan selama 1 milidetik dalam sutu percobaan di laboratorium adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitungan dalam suatu milidetik tertentu.
Solusi :
untuk m enja wab soal ini sudah disediakan daftar tabel untuk menSolusi soal ini sudah disediakan daftar tabel dalam lampiran 2 untuk memudahkan perhitungan. Dari soal diperoleh x = 6 dan = 4, sehingga peluangnya dihitung sebagai berikut:
p(6;4)= 6
6 4
e =
6
0
5
0
) 4 ; ( )
4 ; (
x x
x p x
p = 0,8893-0,7851= 0,1042
Contoh 4.14:
Rata-rata banyaknya mobil box yang tiba tiap hari di pasar selong adalah 10. pasar selong hanya mampu menerima paling banyak 15 mobil sehari. Berapakh peluang pada suatu hari tertentu mobil box terpaksa harus pergi karena pasar sudah tak mampu menampungnya? Solusi:
Misalkan X menyatakan banyaknya mobil box yang tiba tiap hari. Dengan menggunakan tabel Poisson diperoleh
P(X>15)=1-P(X≤15) =1 -
15
10
) 10 ; (
x
x
p = 1-0,9513 = 0,0487 Teorema 4.6. Rataan dan Variansi distribusi Poisson
Rataan dan variansi distribusi Poisson p(x;) keduanya sama dengan .
E(X)= rataan distribusi Poisson sama dengan .
Sedangkan variansinya dibuktikan sebagai berikut:
E[X(X-1)]=
Sekarang misalkan y=x-2, maka diperoleh: E[X(X-1)]=
4.7 Distribusi Binomial Negatif
Suatu percobaan yang bersifat seperti percobaan binominal dengan mengulanginya sampai terjadi sejumlah sukses tertentu disebut percobaan binominal negatif. Sedangkan banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses dalam suatu percobaan binominal negatif disebut peubah binominal negatif.
Definisi 4.6 Distribusi Binomial Negatif
Distribusi binominal negatif didefinisikan sebagai berikut:
Jika usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang peubah p, sedangkan gagal dengan peluang q=1- p, maka dostribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, dinyatakan dengan:
b (x;k,p)= pkqx k
Tentukan peluang bahwa seseorang yang melantunkan tiga mata uang logam sekaligus akan mendapat semuanya gambar atau semuanya angka untuk kedua kalinya pada lantunan kelima!
Solusi:
dengan menggunakan distribusi binominal negatif untuk x=5, k=2, dan p = 1/4, Diperoleh peluang sbb: 25627
64
4.8 RANGKUMAN
1. Jika peubah acak X mendapat nilai X1, X2,…,Xk, dengan peluang yang sama, maka
distribusi seragam dinyatakan oleh: x x x x xk
k k x
2. Rataan dan variansi distribusi seragam diskret f(x; k) dirumuskan oleh disebut percobaan binominal.
4. Suatu usaha binominal dapat menghasilkan sukses dengan peluang P dan gagal dengan q=1-p, maka distribusi peluang peubah acak binominal X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, adalah ( ; , ) pxqn x,
5. Distribusi binominal b(x;n,p) mempunyai rataan dan variansi berturut-turut sebagai:
= np dan 2
= npq.
6. Jika suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2,..,Ek,dengan peluang
p1,p2,…,pk, maka distribusi peluang peubah acak X1,X2,…,Xk, yang menyatakan
banyaknya kejadian E1,E2,…,Ek dalam n usaha bebas adalah:
x x x p p p n
7. Jika suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, ..., Ek dengan peluang
p1, p2,…,pk, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, ..., Xk, yang menyatakan
8. Misalkan ada N benda yagn terdiri dari k benda yang akan diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-k, akan diberin nama gagal. Yang lain dicari adalah peluang mamiliki x sukses dari k yang tersedia dan n – x gagal dari sebanyak N – k yang tersedia, bila sampel acak ukuran n diambil dari N benda. Percobaan seperti ini dinamanakn percobaan hipergeometrik
9. Distribusi peluang peubah acak dipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N – k bernama gagal, ialah
10.Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x ;N ,n,k) dinyatakan oleh nkN untuk
rataan dan
untuk variansi.
11.Jika N benda dapat dikelompokkan dalam k sel A1, A2,…,Ak masing masing berisi a1, a2,
…,ak benda, maka distribusi peluang peubah acak X1,X2,…,Xk yang menyatakan
banyaknya benda (anggota) yang terambil dari A1, A2,…,Ak
Dalam sampel acak ukuran n adalah
12.Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut percobaan poisson.
.... 2 , 1 , 0 , ! )
;
(
x x e x
p x
dengan menyatakan rata-rata banyaknya sukses
yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tersebut dengan e = 2,71828…. 14.Rataan dan variasi distribusi poisson p(x; ) keduanya sama dengan
15.suatu percobaan yang bersifat seperti percobaan binominal dengan mengulanginya sampai terjadi sejumlah sukses tertentu disebut percobaan binominal negatif.
16.banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses dalam suatu percobaan binominal negatif disebut peubah binominal negatif
17.jika usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan peluang gagal dengan q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, dinyatakan dengan :
, , 1, 2,... ), ;
( 1
1
p q x k k k
p k x
b x k x k
k
4.9 SOAL-SOAL
1. Seorang dipilih dari 10 dosen untuk mengawasi suatu ujian penyaringan dengan memilih satu gulungan kertas dari sebuah kantong berisi 10 gulung bernomor 1 sampai 10. Jika X adalah peubah acak yang menyatakan bilangan yang tertulis dalam gulungan kertas yang diambil secara acak.
a. Tentukan rumus distribusi peluang X
b. Berapakah peluang mengambil bilangan lebih kecil dari 4 c. Rataan peubah acak X
d. Variansi peubah acak X.
2. Dalam suatu penelitian di kota X, diperoleh data bahwa 75% dari pencurian karena alasan profesi, tentukan peluangnya diantara 5 kasus pencurian selanjutnya yang dilaporkan di daerah tadi.
a. Tepat 2 karena alasan profesi b. Paling banyak karena alasan profesi
3. Seorang petani bawang merah mengeluh karena 2/3 dari panen bawang merahnya terserang virus. Tentukan peluangnya bahwa diantara 4 bawang merah yang diperiksa dari hasil panin ini
a. Semuanya terserang virus
b. Antara 1sampai 3 yang terserang virus
4. Peluang seorang mahasiswa lulus pada ujian mata kuliah statistik matematika adalah 0,9 berapakah peluang tepat 5 dari 7 orang yang mengikuti ujian akan lulus ?
hitung rataannya hitung variasinya
5. Seorang insinyur pengawas lalu lintas melaporkan bahwa 75% kedaranan yang melintasi daeah masbagik adalah berasal dari kota selong. Berapakah paluang bahwa kurang dari 4 dan 9 kendaraan mendatang yang melalui pemeriksanaan tersebut berasal dari luar kota selong ?
6. Suatu penelitain tentagn kesukaan warna sepeda motor di kota Sakra menunjukkan bahawa 20% lebih menyenangi motor warna hirtang dai pada warna lainnya.
a. Berapakah peluang bahwa lebih dari setengh dari 20 sepeda motor yang akan dibeli warga kota Sakra akan berwarna hitam semua
c. Vitung variansinya !
7. Menurut Teori genetiak, persilangan tertentu sejenis marmut akan menghasilkan keturunan berwarna merah. Hitam dan putih dalam perbandingan 8 : 4 : 4. tentukan peluang bawha 5 dan 8 turunan akan bewarna 2 merah, 2 hitam dan 1 putih
8. Seorang menanam 6 bibit bunga di pekarangannya, yang diambil secara acak dari sebuah kotak berisi 5 bibit bunga matahari, dan 4 bibit bunga mawar. Berapakah peluang dia menanam 2 bibit bunga matahari. Dan 4 bibit bunga mawar.
9. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang sekarang dalam pengiriman 50 barang yang sama. Ara ini dengan mengambil sampel 5 dan lolos pemeriksaan jika berisi tidak lebih dari 2 yang cacat. Berapa proporsi pengiriman yang mengandung 20% cacat akan lolos pemeriksaan ?
