3. Sebaran Peluang Diskrit

3. Sebaran Peluang Diskrit

EL2002-Probabilitas dan Statistik

Isi

1. Sebaran seragam (uniform)

2. Sebaran binomial dan multinomial

3. Sebaran hipergeometrik

4. Sebaran Poisson

Sebaran seragam (uniform)

• Merupakan sebaran peluang diskrit yang paling sederhana dimana suatu peubah acak memiliki nilai peluang yang semuanya sama

• Sebaran Seragam: Jika suatu peubah acak X dengan nilai x₁, x₂, …, x_k, memiliki peluang yang sama, maka sebaran diskrit seragamnya

diberikan oleh

f(x;k) = (1/k) ; x= x₁, x₂, …, x_k\

• Notasi f(x;k) dipakai sbg pengganti f(x) untuk menegaskan ketergantungan f pada k;

• Contoh 3.1: Dalam pelantunan dadu, setiap anggota dari ruang

cuplikan S={1, 2, 3, 4, 5, 6} muncul dengan peluang (1/6). Dengan demikian, sebaran peluangnya adalah seragam dengan f(x;6) = 1/6 ; x=1, 2, 3, 4, 5, 6.

1/6

f(x;6)

1 2 3 4 5 6

Mean dan Variansi

• Teorema 3.1: Mean dan variansi dari sebaran peluang seragam

f(x;k) adalah

∑

=

=

k i i

x

k

₁

1

μ

∑

(

)

=

−

=

k i i

x

k

1 2 2

1

μ

σ

BUKTI

( )

_∑

(

)

_∑

_∑

= = =

=

=

=

=

k i i k i i k i i i

x

k

k

x

k

x

f

x

X

E

1 1 1

1

;

μ

(

)

[

]

(

) (

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

= = =

−

=

−

=

−

=

−

=

k i i k i i i k i i

x

k

k

x

k

x

f

x

X

E

1 2 1 2 1 2 2 2

1

;

μ

μ

μ

μ

σ

Contoh 3.3

• Berdasarkan contoh 3.1 ttg pelemparan dadu,

maka kita peroleh mean dan variansi sbb

μ = (1/6)(1+2+3+4+5+6) = 3.5

σ

2

_{= {(1-3.5)}

2

_{+ (2-3.5)}

2

_{+ (3-3.5)}

2

_{+ (4-3.5)}

2

3.2 Sebaran Binomial dan

Multinomial

Sebaran binomial

• Eksperimen berulang yang menghasilkan dua macam keluaran dng label berhasil atau gagal disebut sebagai eksperimen binomial. • Eksperimen binomial harus memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. Eksperimen terdiri dari n buah percobaan berulang

2. Setiap percobaan memberikan hasil yang dapat disebut atau dilabeli sebagai berhasil atau gagal.

3. Peluang berhasil yang disebut p bersifat tetap sepanjang percobaan. 4. Percobaan yang satu bersifat bebas secara statistik dari percobaan yang

lain.

• Contoh eksperimen binomial:

– pengamatan keluaran H dari pelantunan koin

– Pengambilan acak kartu menghasilkan kartu warna hitam dari satu set kartu, setelah diambil kartu dikembalikan dan dikocok • Pada kasus terakhir, jika kartu tak dikembalikan, p akan berubah dari

½ menjadi 26/51 atau 25/51, dengan demikian syarat 3 tdk dipenuhi. Akibatnya, eksperimen ini tdk bisa disebut sbg eksperimen binomial

Ilustrasi

• Tinjau percobaan binomial dari pengambilan tiga buah produk dari proses manufaktur secara acak, kemudian diamati dan diklasifikasikan sebagai cacat atau tidak cacat. Jika produk cacat, pengamatan disebut berhasil. Jumlah keberhasilan ini disebut sbg peubah acak X yang bernilai bulat antara 0 sampai 3. Berikut ini 8 kemungkinan hasilnya:

Hasil pengamatan x NNN 0 NDN 1 NND 1 DNN 1 NDD 2 DND 2 DDN 2 DDD 3

• Produk dipilih secara acak dari proses

manufaktur yang menghasilkan 25% produk cacat, maka

P(NDN)=P(N)P(D)P(N) = (3/4)(1/4)(3/4) = 9/64 • Peluang hasil yang lain dapat dihitung dengan

cara yang sama. Hasil perhitungan sebaran peluang dari X sbb:

x 0 1 2 3

Peubah acak binomial

• Sebaran peluang dari peubah acak binomial X disebut sebaran

binomial dan dituliskan sbg b(x; n, p) karena nilainya bergantung pada

jumlah percobaan dan peluang sukses untuk percobaan yang diberikan. • Untuk sebaran peluang binomial X pada contoh sebelumnya, nilai atau

banyaknya produk cacat adalah:

P(X=2) = f(2) = b(2;3,1/4)

• Formula umum untuk b(x; n, p)

– Tinjau peluang x buah sukses dan n-x gagal untuk urutan tertentu. Karena percobaan saling bebas, nilai peluang akan sama dengan perkalian peluang masing-masing. Setiap sukses muncul dng peluang p, sedangkan gagal dng peluang q=1 – p. Dengan demikian peluang satu eksperimen adalah

px_qn-x_.

– Jumlah total titik cuplikan dari x sukses dan n-x gagal adalah partisi

keluaran eksperimen kedalam dua kelompok, x dikelompok pertama dan n-x dikelompok kedua, yakni C(n,x). Dng demikian hslnya adalah C(n,x) dikalikan dengan px_qn-x_{. Kita formulasikan sbb:}

• Definisi 3.1: Jumlah keberhasilan X dalam percobaan binomial

disebut sebagai peubah acak binomial.

Rumus sebaran binomial

• SEBARAN BINOMIAL. Jika suatu percobaan binomial menghasilkan keluaran berhasil/sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang

q=1-p, maka sebaran peluang dari peubah acak binomial X, yakni

banyaknya keberhasilan dalam n buah percobaan yang saling bebas adalah

₍

₎

n x q p x n p n x b ; , _⎟⎟ x n x ; = 0,1,2,..., ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = −

• Untuk kasus dimana n=3 dan p=1/4, sebaran peluang X yng menyatakan banyaknya produk cacat, dpt ditulis sbg (bandingkan dng tabel hasil

sebelumnya)

b(x;3, 1/4) = C(3,x)(1/4)x_(3/4)3-x _{; x = 0, 1, 2, 3}

• Contoh 3.4: Peluang bahwa komponen tertentu lolos uji kejut adalah ¾. Tentukan peluang bahwa tepat dua dari empat komponen lolos uji kejut. • Jawab: Dengan mengasumsikan uji ini saling bebas dan p=3/4 dari setiap

pengujian, maka

Nilai peluang

• Seringkali kita perlu menghitung P(X<r) atau P(a≤X≤b). Ini bisa ditentukan dengan penjumlahan binomial B(r;n,p)=∑r

x=0 b(x;n,p) yang

nilainya sudah ditabulasikan (lihat Table II dalam Buku acuan). Berikut ini contoh pemakaian tabel tsb.

• Contoh 3.5: peluang seorang pasien dapat sembuh dari suatu jenis penyakit langka adalah 0.4. Jika ada 15 orang yang terinfeksi, berapa peluang bahwa: (1) sedikitnya 10 orang sembuh, (2) 3~8 orang

sembuh, dan (3) tepat 5 orang sembuh. • Jawab: P(X≥10) =1-P(X<10) = 1- ∑9 x=0b(x;15,0.4) = 1-0.9662 =0.0338 P(3≤X≤8) = ∑8 x=0b(x;15,0.4)- ∑2x=0b(x;15,0.4) = 0.9050-0.0271 = 0.8799 P(X=5) = b(5;15,0.4) = ∑5 x=0b(x;15,0.4)- ∑4x=0b(x;15,0.4) =0.4032 – 0.2173 = 0.1859

Mean dan variansi sebaran binomial

• Torema 3.2: Nilai mean dan variansi dari sebaran binomial

b(x;n,p) adalah

μ = np

dan

σ

2

= npq

• Bukti: andaikan I_j menyatakan keluaran bernilai 0 atau 1 dng peluang masing-masing q dan p. I_j disebut sebagai peubah Bernoulli atau lbh tepat lagi peubah indikator karena I_j=0 adalah indikator kegagalan, sedangkan I_j=1 menyatakan keberhasilan. Dengan demikian, jumlah keberhasilan adalah

X=I₁ + I₂ + … +I_n.

Mean dr sebarang nilai I_j adalah E(I_j) =0⋅q + 1⋅p = p. Berdasarkan

Corollary dari Teorema 2.4, mean menjadi

μ = E(X) = E(I₁) + E(I₂) + … + E(I_n) = p + p + … + p = np

Sedangkan variansi dari sebarang I_j adalah σ2

Ij = E[(Ij - p)2] = E(I2j) –p2 =[ 02q+12p ]– p2 = p(1-p) = pq

Berdasar Teorema 2.11, Corollary 1, maka: σ2

Contoh 3.6

• Soal: Dengan teorema Chebyshev, tentukan dan tafsirkan

interval μ ± 2σ untuk contoh 3.5

• Jawab: Karena contoh 3.5 adalah eksperimen binomial

dengan n=15 dan p=0.4, dari Teorema 3.2 kita dapatkan

μ = (15)(0.4) = 6 dan σ

2

_{=(15)(0.4)(0.6) = 3.6}

atau

σ=√3.6 = 1.897.

Dengan demikian, interval yang dimaksud adalah

6±2(1.897) atau dari 2.206 sampai dengan 9.794.

Teorema Chebyshev menyatakan bahwa laju penyembuhan

15 pasien akibat penyakit tsb punya peluang sedikitnya ¾

untuk jatuh diantara 2.206 dan 9.794.

Sebaran multinomial

• Jika hasil eksperimen bukan hanya dua macam tetapi lebih, eksperimen binomial berubah menjadi eksperimen multinomial. • Contoh:

– Klasifikasi produk manufaktur menjadi 3 golongan: “berat”, “ringan”, atau “masih dapat diterima” (acceptable)

– Pencatatan kecelakaan lalulintas diperempatan jalan menurut hari-hari dalam seminggu

– Penarikan kartu secara acak, kemudian digolongkan sebagai salah satu dari{ ♣,♦,♥,♠}.

• Secara umum, jika percobaan menghasilkan k macam keluaran E₁, E₂, …, E_k dengan peluang p₁, p₂, …, p_k, maka sebaran multinomial

menyatakan peluang peristiwa E₁ terjadi x₁ kali, E₂ muncul x₂ kali, …, dan E_k muncul x_k kali dalam percobaan saling bebas dimana

x₁ + x₂ + … + x_k= n.

Kita tuliskan sebaran peluang multinomial sebagai

f(x₁, x₂, …, x_k; p₁, p₂, …, p_k, n) Jelas bahwa

Perhitungan sebaran multinomial

• Kita ambil analogi dengan kasus binomial. Setiap percobaan

saling bebas, karena itu untuk urutan tertentu, ada x

₁

keluaran dari

E

₁

, x

₂

keluaran dari E

₂

, …, x

_k

keluaran dari E

_k

, dengan peluang

p

₁x1

, p

₂x2

, .., p

_kxk

.

• Total jumlah urutan dng keluaran yang sama untuk n percobaan

akan sama dengan jumlah partisi n benda kedalam k kelompok, x

₁

kelompok pertama, x

₂

kelompok kedua, …, x

_k

kelompok ke-k,

yang dapat dilakukan sebanyak

cara. Setiap partisi muncul secara mutually exclusive dengan

peluang yang sama, sehingga diperoleh sebaran multinomial.

!

...

!

!

!

...,

,

,

_{2 1 2} 1 k

x

x

x

k

n

x

x

x

n

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Rumus sebaran multinomial

• SEBARAN MULTINOMIAL. Jika suatu percobaan dapat

memberikan k-jenis hasil E

₁

, E

₂

, …, E

_k

dengan peluang p

₁

, p

₂

, …,

p

_k

, maka sebaran peluang dari peubah acak X

₁

, X

₂

, …, X

_k

, yang

menyatakan kemunculan dari E

₁

, E

₂

, …, E

_k

didalam n-kali

percobaan yang saling-bebas adalah

dimana

(

)

xk k x x k k k

p

p

p

x

x

x

n

n

p

p

p

x

x

x

f

...

...,

,

,

,

...,

,

,

;

...,

,

,

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1 1 1 = =

∑

∑

= = k i i k i i n dan p x

• Istilah sebaran multinomial muncul karena suku-suku ekspansi

multinomial (p

₁

+ p

₂

+ … + p

_k

)

2

berkaitan dengan semua nilai

yang mungkin dari f(x

₁

, x

₂

, …, x

_k

; p

₁

, p

₂

, …, p

_k

, n)

Contoh 3.7

• Soal: Jika sepasang dadu dilantunkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah total 7 atau 11 sebanyak 2-kali, keduanya tepat sama sebanyak 1-kali, dan kombinasi lain sebanyak 3-kali?

• Jawab: Kejadian yang muncul kita sebut

E₁ : jumlah total mata kedua 7 atau 11

E₂ : muncul pasangan dadu dng mata sama

E₃ : bukan pasangan bermata sama

maupun jumlah total-nya 7 atau 11

Masing-masing dengan peluang

p₁ = (6+2)/36= 2/9, p₂ = 6/36=1/6, dan p₃ = 22/36=11/18. Nilai peluang tetap

untuk 6 kali pelantunan. Dengan menggunakan sebaran multinomial x₁ = 2, x₂=1, dan x₃ = 3, nilai peluangnya adalah

Mata Dadu 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1127 . 0 18 11 6 1 9 2 ! 3 ! 1 ! 2 ! 6 18 11 6 1 9 2 3 , 1 , 2 6 6 , 18 11 , 6 1 , 9 2 ; 3 , 1 , 2 3 2 3 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f

Latihan

• Bab 2: 58, 61, 64

• Bab 3: 7

Pendahuluan

• Contoh sebelumnya menunjukkan bahwa sebaran binomial tidak berlaku untuk, misalnya, pengambilan 3 kartu merah dalam 5 kali pengambilan acak tanpa mengembalikan dan mengocok lagi.

• Tinjau pengambilan 5 kartu secara acak lalu hitung peluang

munculnya 3 kartu merah dari 26 yang ada dan 2 kartu hitam dari 26 sisanya. Ada C(26,3) cara untuk mengambil kartu merah dan C(26,2) cara untuk kartu hitam. Jadi, total akan ada C(26,3)⋅C(26,2) untuk eksperimen ini. Tetapi, ada C(52,5) cara untuk mengambil 5 dari 52 kartu tanpa penggantian sehingga peluang terambil 3 kartu merah dan 2 hitam adalah.

C(26,3)⋅C(26,2)/C(52,5) = 0.3251

• Contoh diatas menggambarkan eksperimen hipergeometrik. Kita ingin menghitung peluang x buah dari pengambilan k benda yang

dinamakan sukses dan n - x gagal dari N-k benda yang dilabeli sebagai gagal jika n buah cuplikan acak diambil dari N benda.

• Ada dua sifat dasar eksperiman hipergeometrik

1. Pencuplikan dilakukan scr acak sebanyak n diambil dari N buah benda

Peubah acak hipergeometrik

• Definisi 3.2. Banyaknya X sukses dalam suatu

eksperimen hipergeometrik disebut sebagai

peubah acak hipergeometrik.

• Sebaran peluang dari peubah acak hipergeometrik X

disebut sebagai sebaran hipergeometrik dan

dituliskan sebagai h(x; N, n, k) karena nilainya

bergantung pada:

– jumlah keberhasilan k

– diambil dari kumpulan yang berisi N benda

Ilustrasi

• Tinjau contoh 3.8 berikut. Suatu komite yang terdiri dari 5 orang dipilih secara acak dari 3 orang Kimiawan dan 5 Fisikawan. Tentukan sebaran peluang dari jumlah Kimiawan dalam komite tsb.

• Jawab: Andaikan peubah acak X menyatakan jumlah Kimiawan dalam komite, kedua syarat eksperimen hipergeometrik menjadi terpenuhi. Dng demikian:

P(X=0) = h(0; N=8, n=5, k=3) = C(3,0)⋅C(5,5)/C(8,5) = 1/56 P(X=1) = h(1;8,5,3) = C(3,1)⋅C(5,4)/C(8,5) = 15/56

P(X=2) = h(2;8,5,3) = C(3,2)⋅C(5,3)/C(8,5) = 30/56 P(X=3) = h(3;8,5,3) = C(3,3)⋅C(5,2)/C(8,5) = 10/56 • Dalam bentuk tabel

• Dan dalam bentuk formula

h(x;8,5,3) = C(3,x)⋅C(5, 5-x)/C(8,5), x=0, 1, 2, 3

x 0 1 2 3

Sebaran hipergeometrik

• SEBARAN HIPERGEOMETRIK. Sebaran peluang dari peubah

acak hipergeometrik X, yakni jumlah sukses dari cuplikan acak

sejumlah n yang terambil dari N benda, dimana k buah

diantaranya disebut sukses dan N-k disebut gagal, adalah

• Contoh: Sejumlah 40 buah komponen elektronik dapat diterima jika cacat-nya tidak lebih dari tiga buah. Pencuplikan dilakukan dengan cara memilih 5 komponen scr acak dan menolaknya jika ada yang cacat. Jika ada 3 dari 40 komponen ini cacat, tentukan peluang tepat satu satu dari cuplikan ini cacat.

• Jawab: Ini adalah sebaran hipergeometrik dengan n=5, N=40, k=3 dan x=1. Dengan demikian, peluang tepat satu buah cacat adalah

h(1; 40, 5, 3) = C(3,1)⋅C(37,4)/ C(40,5) = 0.3011

(

)

x n n N x n k N x k k n N x h ; , , , = 0,1, 2,..., ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

Mean dan Variansi

• Teorema 3.3 Mean dan variansi dari sebaran

hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah, masing-masing,

μ = nk/N,

dan

σ

2

= [(N-n)/(N-1)]⋅n⋅(k/N)⋅[1- (k/N)]

• Bukti: lihat textbook

• Pendekatan.

Jika n jauh lebih kecil daripada N, perubahan peluang

antar pengamatan menjadi kecil. Akibatnya, eksperimen

lebih mirip ke percobaan binomial dan sebarannya akan

menjadi sebaran binomial dengan p=k/N. Mean dan

variansi dapat didekati dengan rumus berikut:

μ = np = nk/N,

dan

Contoh-2

• Contoh 3.10: Dengan teorema Chebysev, hitung dan

tafsirkan interval μ±2σ dalam contoh 3.9

• Jawab: Karena contoh 3.9 merupakan percobaan

hipergeometrik dengan N=40, n=5, dan k=3, maka dengan

Teorema 3.3 akan diperoleh

μ = (5)(3)/40 = 3/8 = 0.375

dan

σ

2

_{= [(40-5)/(39)](5)(3/40)[1-(3/40)] = 0.3113}

Akar kuadrat variansi memberikan simpangan baku

sebesar

σ=0.558. Dengan demikian, interval yang dicari

adalah 0.375±(2)(0.558) atau -0.741 sampai 1.491.

Berdasarkan teorema Chebysev, jumlah komponen cacat

ketika 5 komponen dipilih secara acak dari 40 buah, 3

diantaranya cacat, punya peluang sedikitnya ¾ untuk

berada dalam selang -0.741 sampai 1.491

Generalisasi

• Tinjau N kumpulan benda yang dipartisi kedalam k sel A

₁

, A

₂

,

… , A

_k

dengan a

₁

benda berada di sel pertama, a

₂

dalam sel

kedua, …, a

_k

dalam sel ke-k. Kita akan menghitung peluang

cuplikan acak sejumlah n menghasilkan x

₁

benda dari A

₁

, x

₂

benda dari A

₂

, …, x

_k

benda dari A

_k

.

• Tuliskan peluang ini sebagai

f(x

₁

, x

₂

, …, x

_k

; a

₁

, a

₂

, …, a

_k

, N ,n)

• Besar ruang cuplikan adalah C(N, n). Ada C(a

₁

,x

₁

) cara untuk

memilih x

₁

benda dari A

₁

, dan masing-masing ada C(a

₂

,x

₂

) cara

untuk memilih x

₂

benda dari A

₂

. Jadi, kita dapat memilih x

₁

benda dari A

₁

dan x

₂

benda dari A

₂

sebanyak C(a

₁

,x

₁

)⋅C(a

₂

,x

₂

)

cara. Demikian seterusnya, kita dapat memilih n-buah benda

yang terdiri dari x

₁

buah anggota A

₁

, x

₂

benda dari A

₂

, …, x

_k

benda dari A

_k

sebanyak C(a

₁

,x

₁

)⋅C(a

₂

,x

₂

)⋅ … ⋅C(a

_k

,x

_k

).

Perluasan sebaran hipergeometrik

• EKSTENSI DARI SEBARAN HIPEGEOMETRIK. Jika

sekumpulan N- buah benda dapat dipartisi menjadi k buah sel

A

₁

, A

₂

, …, A

_k

yang masing-masing memiliki a

₁

, a

₂

, …, a

_k

anggota, maka sebaran peluang dari peubah acak X

₁

, X

₂

, …, X

_k

yang menyatakan jumlah anggota terpilih dari A

₁

, A

₂

, …, A

_k

dalam cuplikan acak berukuran n adalah

dengan

(

)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

n

N

x

a

x

a

x

a

n

N

a

a

a

x

x

x

f

k k k k 2 2 1 1 2 1 2 1

,

,

...,

;

,

,

...,

,

,

N

a

dan

n

x

k i i k i i

=

∑

=

∑

= =1 1

Contoh 3.12

• Soal: Suatu kelompok yang terdiri dari 10 orang

dipakai untuk survei biologi. Dalam kelompok

terdapat 3 orang berdarah O, 4 berdarah A, dan 3

berdarah B. Tentukan peluang dari suatu cuplikan

acak sebesar 5 orang mengandung 1 orang berdarah O,

2 orang berdarah A, dan 2 orang berdarah B.

• Jawab: Dengan formula perluasan dimana x

₁

=1, x

₂

=2,

x

₃

=2, a

₁

=3, a

₂

=4, a

₃

=3, N=10, dan n=5, maka nilai

peluangnya adalah

P= f(1, 2, 2;3, 4, 3, 10, 5)

= C(3,1)C(4,2)C(3,2)/C(10,5)

= 3/14

Percobaan Poisson

• Percobaan yng menghasilkan peubah acak X, yng

menyatakan jumlah keberhasilan dalam selang waktu atau

daerah tertentu, disebut percobaan Poisson. Sifat-sifat:

– Jumlah keberhasilan dalam suatu selang waktu aatu daerah tertentu, bebas terhadap peristiwa dlm selang atau daerah lain.

– Peluang satu keberhasilan selama selang waktu pendek atau daerah kecil sebanding dengan lamanya (durasi) selang atau besarnya

daerah tsb, dan tdk bergantung pada jumlah keberhasilan yang terjadi diluar selang atau daerah ini.

– Peluang lebih dari satu keberhasilan dalam selang atau daerah tsb sangat kecil (dapat diabaikan).

• Contoh percobaan Poisson:

– kedatangan panggilan telepon per jam, jumlah libur sekolah karena terjadi banjir selama musim hujan, jumlah pertandingan sepakbola yang dibatalkan akibat hujan dalam musim pertandingan tertentu.

Peubah acak dan Sebaran Poisson

• Def. 3.3: Jumlah X buah keberhasilan dalam percobaan

Poisson disebut sebagai peubah acak Poisson.

• SEBARAN POISSON. Sebaran peluang dari peubah acak

Poisson X, yang menyatakan jumlah keberhasilan dalam

suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah

dimana

μ adalah rata-rata keberhasilan selama selang waktu

atau daerah terntentu dan e = 2.71828… (bilangan alami).

(

)

,

0

,

1

,

2

,

...

!

;

=

=

−

x

x

e

x

p

x

μ

μ

μ

• Tabel III dalam buku teks menampilkan jumlah sebaran

Poisson P(r; μ) = ∑

r

Contoh 3.13

• Soal: Dalam percobaan teramati rata-rata ada 4

buah partikel radioaktif yang melewati alat

pencacah selama selang waktu 1 milidetik. Berapa

peluang ada 6 partikel yang masuk alat tsb dalam

selama milidetik tertentu?

• Jawab: Dengan menggunakan tabel sebaran

Poisson (Tabel III) untuk x=6 dan

μ=4, kita

peroleh

p(6;4)= e

-4

4

6

/6!

= ∑

6

x=0

p(x; 4) -

∑

5x=0

p(x; 4)

Mean dan variansi

• Teorema 3.4 Mean dan variansi dari sebaran

Poisson p(x;μ) memiliki nilai sama, yaitu μ.

• Contoh: dalam soal 3.13 dimana

μ=4, maka

variansinya

σ

2

=4 atau

σ=2. Berdasarkan teorema

Chebyshev, maka kita bisa mengatakan bahwa

peubah acak Poisson ini memiliki peluang

sedikitnya ¾ (yakni 1-1/2

2

) untuk jatuh dalam

selang

μ ± 2σ = 4 ± 2(2), atau dalam selang 0

sampai dengan 8.

Kaitan dengan sebaran binomial

• Teorema 3.5 Andaikan X suatu peubah acak binomial

dengan sebaran peluang b(x;n,p). Ketika n→ ∞, p→0, dan

μ=np konstan, maka

b(x; n, p)

→ p(x; n)

• Contoh 3.15. Dalam suatu proses manufaktur produk gelas,

munculnya cacat atau gelembung menyulitkan penjualan produk

tsb. Diketahui bahwa untuk setiap 1000 produk ini, akan ada 1

produk yang memiliki 1 atau lebih cacat gelembung. Berapa

peluang dari cuplikan acak sebanyak 8000 menghasilkan kurang

dari 7 produk yang memiliki cacat gelembung ini?

• Jawab: Sesungguhnya ini adalah eksperimen binomial dengan

n=8000 dan p=1/1000=0.001. Karena p mendekati nol dan n

sangat tinggi, kita bisa memakai pendekatan Poisson dng

μ=(8000)(0.001) = 8. Jadi, jika X menyatakan banyaknya

gelembung, maka

P(X<7) = ∑

6

x=0

b(x; 8000, 0.001)≈∑

6x=0

p(x; 8)

3.5 Sebaran Binomial Negatif

dan

Pecobaan binomial negatif

• Percobaan binomial negatif bersifat mirip dengan

percobaan binomial (biasa), kecuali percobaan dilakukan

berulang sampai jumlah tertentu sukses tercapai. Jadi, yang

dihitung adalah peluang terjadinya sukses ke-k pada

percobaan ke-x.

• Contoh: suatu obat efektif terhadap 60% kasus. Akan

dihitung peluang pasien ke-5 yang sembuh (S) adalah

pasien ke-7 yang diberi obat. Kita sebut F jika pengobatan

tidak berhasil. Jadi, kita akan menghitung peluang

kejadian, misalnya, SFSSSFS, yng muncul dng peluang

(0.6)(0.4)(0.6) (0.6) (0.6)(0.4)(0.6) = (0.6)

5

_(0.4)

2

_{. Kita juga}

harus mencacah semua kombinasi S dan F yng demikian,

dng batasan urutan terakhir adalah S; yakni C(7-1,5-1) =

C(6,4) = 15. Dengan demikian:

Peubah acak dan sebaran binomial negatif

• Definisi 3.4 Jumlah percobaan X yang menghasilkan k

sukses dalam eksperimen binomial negatif disebut sebagai

peubah acak binomial negatif.

• SEBARAN BINOMIAL NEGATIF. Jika percobaan

berulang yang saling bebas dapat menghasilkan sukses

dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maka

sebaran peluang dari peubah acak X, yakni banyaknya

percobaan yang menghasilkan sukses ke-k, diberikan oleh

(

)

,

,

1

,

2

,

...

1

1

,

;

*

=

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

p

x

x

k

k

k

k

x

n

k

x

b

k k

Contoh 3.16

• Tentukan peluang seseorang yang

melantunkan 3 keping koin mendapatkan

semua H atau semua T untuk kedua kalinya

dalam 5 kali pelantunan.

• Jawab: ini adalah eksperimen binomial

negatif dengan x=5, k=2, dan p=1/4,

sehingga:

b*(5;2,1/4)= C(4,1)(1/4)

2

(3/4)

2

= (4!/(1!3!)) (3

3

/4

5

)

= 27/256

Sebaran geometrik

• Kasus dimana sebaran binomial negatif memiliki k=1

menghasilkan sebaran peluang dari banyaknya percobaan

yang menghasilkan satu sukses. Contoh: pelantunan uang

hingga muncul H.

• Sebaran yang demikian disebut sebagai sebaran geometrik

g(x;p).

• SEBARAN GEOMETRIK. Jika percobaan berulang yang

saling bebas menghasilkan sukses dengan peluang p dan

gagal dengan peluang q=1-p, maka sebaran peluang dari

peubah acak X, yakni banyaknya percobaan hingga sukses

pertama muncul, diberikan oleh

Contoh 3.17

• Soal: Dalam suatu proses manufaktur, diketahui

bahwa rata-rata 1 dari 100 item (bagian produk) cacat.

Berapakah peluang bahwa 5 item teramati sebelum

suatu cacat ditemukan?

• Jawab: dengan sebaran geometrik dimana x=5 dan

p=0.01 diperoleh

g(5; 0.01)

= (0.01)(0.99)

4