BAB II PEUBAH ACAK dan DISTRIBUSI PELUANG

BAB II

PEUBAH ACAK dan DISTRIBUSI PELUANG

A. PENGERTIAN

PEUBAH ACAK adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel

Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan (R) dan 2 logam lima puluhan (L).

3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian, maka ruang sampel yang mungkin adalah S = {RRR, RRL, RLR, RLL, LRR, LRL, LLR}. Apabila dari percobaan pengambilan 3 uang logam tersebut, ditetapkan peubah acak X yang menyatakan jumlah uang logam ratusan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan sebagai berikut :

Ruang sampel X

RRR 3 RRL 2 RLR 2 LRR 2 RLL 1 LRL 1 LLR 1

Apabila dari percobaan diatas, ditetapkan peubah Y yang menyatakan jumlah uang logam lima puluhan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan sebagai berikut

Ruang sampel Y

RRR 0 RRL 1 RLR 1 LRR 1 RLL 2 LRL 2 LLR 2

Jika Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, maka nilai dari setiap peubah acak tersebut dinyatakan dengan huruf kecil, sehingga apabila ruang sampel tersebut dinyatakan dengan cara pencirian adalah

S = { X | x adalah jumlah ulang logam ratusan yang muncul } S = { Y | y adalah jumlah uang logam limapuluhan yang uncul }

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang takberhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu

B. DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

Himpunan pasangan terurut {x,f(x)} suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau distribusi peluang peubah acak x, bila untuk setiap kemungkinan hasil x, berlaku

1. f(x)≥0 2.

∑ ( ) = 1

x

x f

3.P(X =x)= f(x)

Suatu pengiriman 7 pesawat televisi berisi 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli 3 pesawat televisi tersebut dan memilih secarak acak dari pengiriman tersebut. Bila X menyatakan banyaknya pesawat rusak yang dibeli hotel tersebut, nyatakan hasilnya dalam distribusi peluang.

Apabila pesawat televisi yang rusak dinyatakan dengan R dan yang tidak rusak dinyatakan dengan B, maka ruang sampel yang mungkin adalah

S = { RRB,RBR.RBB,BRR,BRB,BBR,bbb }

Apabila X menyatakan jumlah pesawat televisi yang rusak, maka ruang sampel yang mungkin dan jumlah pesawat televisi rusak yang dibeli adalah sebagai berikut :

Ruang sampel X

BBB 0 RBB,BRB,BBR 1 RRB,RBR,BRR 2

Berdasarkan ruang sampel diatas, maka distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :

X P(X=x)

0 1/7 1 3/7 2 3/7

Distribusi Kumulatif F(x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

∑

≤

=

≤

=

x t

t f x

X P x

F ( ) ( ) ( )

untuk

Distribusi kumulatif dari percobaan pengiriman pesat televisi diatas adalah sebagai berikut;

X P(X ≤x)

0 1/7 1 4/7 2 7/7

C. DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

Fungsi f(x) dalah fungsi padat peluang peUbah acak kontinu X yang didefinisikan diatas himpunan semua bilangan real R, bila

1. f(x)≥0untuk semua

x ∈ R

2.

∫ ^{f ( x ) dx = 1}

3.

^{< < =} ∫

^b

a

dx x f b x a

P ( ) ( )

Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontinu X dengan fungsi padat

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

= 0 2 )

( x

x x

f

xlainnya x

x 2

1 0

<

≤

<

≤

1

a. Tunjukkan bahwa syarat 2 dalam definisi terpenuhi b. Tentukan P (X < 120 jam) dan P (50 < x < 100 )

a.

∫

¹

⁺ ∫ ^{− =}

0

2

1

1 ) 2 ( x dx xdx

2 1 2 3 12 ) 21 1 1 . 2 ( ) 22 2 1 . 2 ( 21

| 1 2 ) 2 1 ( 2 |

1 ^{2 2 2 2}

1 1 2

0

2 + x− x = + − − − = + − =

x

=

− +

=

− + ∫

∫

^{1.2 21}₀ ^{2 1}₁^.2

1 1

0

| 2 ) 2 1 ( 2 | ) 1

2

( x dx x x x

xdx

b.

=

−

−

−

+ 1 )

12 1 2 ( ) ) 2 . 1 2( 2 1 . 1 . 2 ((

21

1 ² x ² x ²

68 . 0 ) 5 . 0 2 ( ) 72 . 0 4 . 2 ( 5 .

0 + − − − =

∫

¹

^{= = − =}

5 . 0

2 1 2

5 . 0

2

0 . 5 0 . 375

1 2 2 1

| 1 1 x 2 xdx

c.

Distribusi Kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh :

∫

=

≤

=

x

dt t f x X P x

F ( ) ( ) ( )

untuk

D. DISTRIBUSI EMPIRIS

terkecil

terbesar

D

D R

Untuk menyajikan Tabel frekuensi dari data skala interval atau rasio dibutuhkan tahapan penentuan kelas terlebih dahulu sebelum menjumlahkan data sesuai dengan kelas yang dibuat. Secara lengkap prosedur pembuatan Tabel Frekuensi untuk skala Interval dan Ratio adalah sebagai berikut :

1. Tentukan banyaknya kelas (K) yang diperlukan

Ada 2 cara yang dapat dilakukan , yaitu (a) Tetapkan secara bebas antara 5- 15 kelas atau (b) Gunakan rumus Sturges K = 1 + 3.322 log N, yang mana K adalah jumlah kelas dan N jumlah data

2. Tentukan Wilayah/Range (R) data tersebut, yang dihitung dari perbedaan data terbesar dengan data terkecil (

= −

)

3. Tentukan Interval Kelas (i) dengan membagi Wilayah dengan jumlah kelas

yang telah ditetapkan ( K

= R i )

4. Tentukan Limit Kelas.

Limit sebuah kelas memiliki desimal yang sama dengan data aslinya dan terdiri dari Limit Kelas Bawah (LKB) dan Limit Kelas Kelas (LKA). LKB sebuah kelas dan tidak boleh berimpit dengan LKA kelas berikutnya untuk menghindari kebingungan dalam pengelompokkan data

5. Tentukan Batas Kelas

Untuk kepentingan pembuatan diagram untuk bilangan kontinu, maka dibuat Batas Kelas sedemikian sehingga Batas Kelas Atas suatu kelas berimpit dengan Batas Kelas Bawah kelas berikutnya.

2

+1

=

ⁱ

+

ⁱ

i

LKB BKA LKA

2

−1

=

ⁱ

+

ⁱ

i

LKA BKB LKB

6. Tentukan frekuensi bagi setiap kelas

Tingkat bunga antar Bank perbulan selama 40 bulan terakhir tercatat sebagai berikut :

Periode % Periode % Periode % Periode % Mrt 2003 2.2 Jan2004 3.5 Nov 3.2 Sept 3.0 April 3.4 Febr 3.1 Des 3.8 Okt 3.0 Mei 2.5 Maret 3.4 Jan2005 2.9 Nov 4.7 Juni 3.3 April 3.7 Febr 3.2 Des 3.9 Juli 4.7 Mei 3.2 Marel 3.9 Jan2005 1.9 Agust 4.1 Juni 4.5 April 3.9 Februari 4.2 Sept 1.6 Juli 3.3 Mei 3.7 Maret 2.6 Okt 4.3 Agust 3.6 Juni 3.1 April 3.7 Nov 3.1 Sept 4.4 Juli 3.3 Mei 3.1 Des 3.8 Okt 2.6 Agust 4.1 Juni 3.4

Membuat tabel frekuensi dilakukan dengan tahapan berkut : 1. Tentukan banyaknya kelas (K), misalnya 7 kelas

2. Tentukan Range (R) = 4.7 – 1.6 = 3.1 3. Interval Kelas (i) = 0.443

7 1 .

3 = , dibulatkan menjadi 0.5

4. Tentukan Limit Kelas dari ketujuh kelas tersebut dan hitung jumlah data yang masuk dalam setiap kelas tersrbut. :

1.5 – 1.9 2.0 – 2.4 2.5 – 2.9 3.0 – 3.4 3.5 – 3.9 4.0 – 4.4 4.5 – 4.9

Frekuensi Suku Bunga Antar Bank Jml %

1.5 – 1.9 2 5.0 2.0 – 2.4 1 2.5 2.5 – 2.9 4 10.0 3.0 – 3.4 15 37.5 3.5 – 3.9 10 25.0 4.0 – 4.4 5 12.5 4.5 – 4.9 3 7.5

Jumlah 40 100

Bentuk tabel diatas dapat lebih disempurnakan dengan menambahkan data batas kelas, nilai tengah kelas, kumulatif ”kurang dari” dan kumulatif ”lebih dari” seperti ditunjukkan berikut ini.

Suku

Bunga Suku Bunga Antar Bank Nilai

Tengah Frekuensi Frek.Kumulatif

”kurang dari” Frek.Kumulatif

”lebih dari”

Antar

Bank Suku

Bunga Jml % Jml % Jml % 1.5 – 1.9 1.45 – 1.95 1.7 2 5.0 2 5.0 40 100.0 2.0 – 2.4 1.95 – 2.45 2.2 1 2.5 3 7.5 38 95.0 2.5 – 2.9 2.45 – 2.95 2.7 4 10.0 7 17.5 37 92.5 3.0 – 3.4 2.95 – 3.45 3.2 15 37.5 22 55.0 33 82.5 3.5 – 3.9 3.45 – 3.95 3.7 10 25.0 32 80.0 18 45.0 4.0 – 4.4 3.95 – 4.45 4.2 5 12.5 37 92.5 8 20.0 4.5 – 4.9 4.45 – 4.95 4.7 3 7.5 40 100.0 3 7.5

E. DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN

Fungsi f(x,y) adalah fungsi distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang peubah acak diskrit X dan Y bila

0 ) , ( .

1 f x y ≥ untuk semua (x,y)

∑∑

⁼

x y

y x f( , ) 1 .

2

) , ( ) , ( .

3P X =x Y = y = f x y

∑

Untuk tiap daerah A di bidang xy, P(X,Y)

^{A =} ∑ ^{f ( x , y )}

2

∈

Dari suatu bungkus buah2an yang berisi 3 jeruk, 2 mangga dan 3 pisang dipilih secara acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y menyatakan mangga dalam sampel tersebut, hitungkah

a. Distribusi peluang gabungan X dan Y

b. P {(X,Y)∈A}, bila A menyatakan daerah {(x,y)|x+y≤ } Jawab :

a. Jumlah titik sampel jeruk yang terpilih adalah

⎜⎜ ⎟⎟

untuk x = 0, 1, 2, 3

⎠

⎞

⎝

⎛ x 3

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

Jumlah titik sampel mangga yang terpilih adalah

2

untuk y = 0,1,2

Jumlah titik sampel pisang yang dipilih adalah untuk x=0,1,2,3 dan y

= 0,1,2

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− x y 4

3

Jumlah titik sampel 4 buah yang diambil dari 8 buah yang tersedia adalah

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 4 8

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

≤ +

≤

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

4 8

4 0

2 , 1 , 0

3 , 2 , 1 , 0 4

3 2

3

) ,

( x y

y x y x y

x y x f

F(x,y) X

0 1 2 3 Jumlah

baris

0 - 3/70 9/70 3/70 15/70 1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70 Y

2 3/70 9/70 3/70 - 15/70 Jumlah kolom 5/70 30/70 30/70 5/70 1

b. P {(X,Y)∈A}, bila A menyatakan daerah {(x,y)|x+y≤2} f (0,0) + f (0,1) + f (0,2) + f (1,0) + f (1,1) + f (2,0) = 0 + 2/70 + 3/70 + 3/70 + 18/70 + 9/70 = 35/70

Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X dan Y bila 1. f(x,y)≥0untuk semua x,y∈R

2.

∫∫ ^{f ( x , y ) dxdy = 1}

∫∫

=

∈

b

a

dxdy y x f A

Y ) } ( , )

{(

⎩ ⎨

= ⎧ 0 ) 4 ,

( xy

y x

f

untukx ylainnya

y dan x

,

1 0

1 0

3.

P X ,

Contoh : Dua peubah acak mempunyai fungsi padat gabungan sebagai berikut :

< < <

<

} 2 / 1 8

/ 1 , 4 / 3 0

{ < ≤ <

Hitunglah P ≤x y

∫ ∫

^/4

3

0 2 / 1

8 / 1

4xydxdy

4 / 3

0 2 2 / 1

8 / 1

| 2 x ydy

∫

= = ¹

∫

^/2

8 /

1

8

9 ydy

=

2 / 1

8 / 1 2 | 16

9 y

∑

= 9/16 (1/4-1/64) = 135/256

Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didisefinisikan sebagai

∑

=

=

y x

y x f y

danh y x f x

g( ) ( , ) ( ) ( , )

∫ ⁼ ∫

= f x y dydanh y f x y dx

x

g ( ) ( , ) ( ) ( , )

untuk diskrit

untuk kontinu

Dari contoh percobaan pengambilan buah-buahan, maka P(X=0)= f (0,1) + f (0,2)=

2/70 + 3/70 = 5/70 .

Dari contoh berikutnya

g ( x ) 4 xydy 2 xy | 2 x

, sehingga g(1) = 2

1 0 2 1

0

=

=

= ∫

∫ ^{= =}

= xydx x y y

y

g ( ) 4 2 | 2

1

0

2 , sehingga g(1) = 2

Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskrit maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y bila diketahui X=x dinyatakan oleh

) , (

) , ) (

|

( g x

y x x f

y

f =

syarat g(x) > 0

Begitu pula distribusi bersyarat peubah acak X bila diketahui Y=y dinyatakan

oleh

,

) (

) , ) (

|

( h y

y x y f

x

f =

syarat h(y)>0

Kembali ke contoh percobaan pengambilan buah-buahan, maka untuk menghitung probabilitas f(x|y)untuk y=1 adalah :

) 1 (

) 1 , ) (

1

|

( h

x x f

f =

untuk x = 0,1,2,3

h(1) = 40/70

dengan demikian, maka

240 4070

270 )

1 (

) 1 , 0 ) ( 1

| 0

( = = =

h f f

1840 4070

1870 ) 1 (

) 1 , 1 ) ( 1

| 1

( = = =

h f f

REFERENSI

1. Walpole, Ronald., H Myers, Raymond., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan., Penerbit ITB., edidi keempat., 1989

2. David C Howell., Statistical Methods for Psychology., Duxbury Press., Third Edition., 1992

3. Riduwan.,Drs., MBA., Skala Pengukuran Variabel-Variabel Penelitian., Penerbit Alfabeta Bandung.,cetakan ketiga Januari 2005

4. Ronald E. Walpole., Pengantar Statistika., PT Gramedia., Edisi ketiga., Jakarta., 1988 5. Sugiarto.,dkk., Teknik Sampling., Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama., Jakarta 2003