2.1 Teori Peluang
Definisi 2.1.1 Percobaan Acak (Ross 2000)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.
Definisi 2.1.2 Ruang Contoh dan Kejadian (Ghahramani 2005)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut Ruang Contoh yang dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.
Definisi 2.1.3 Medan- (Grimmet & Stirzaker 2001)
Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi:
1.
2. Jika , , … maka 3. Jika maka .
Definisi 2.1.4 Ukuran Peluang (Ghahramani 2005)
Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi : 0,1 pada Ω, yang memenuhi:
1. 0,
2. 0, Ω 1
3. Jika , , … adalah himpunan saling lepas, yaitu , Untuk
setiap , dengan maka ∑ .
Pasangan Ω, , disebut ruang peluang.
Definisi 2.1.5 Peluang Bersyarat (Ghahramani 2005)
peluang A dengan syarat didefinisikan sebagai: .
Definisi 2.1.6 Kejadian Saling Bebas (Grimmet dan Stizaker 2001)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika . Secara umum, himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika
∏ untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.
Definisi 2.1.7 Peubah Acak (Grimmet dan Stizaker 2001)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dan adalah medan- dari Ω. Suatu peubah acak X adalah fungsi : Ω dengan Ω; untuk setiap
.
Definisi 2.1.8 Fungsi Sebaran (Grimmet dan Stizaker 2001)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah : 0,1 , yang didefinisikan
oleh .
Definisi 2.1.9 Peubah Acak Diskret (Grimmet dan Stizaker 2001)
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah dari .
Definisi 2.1.10 Fungsi Kerapatan Peluang (Grimmet dan Stizaker 2001) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah suatu fungsi :
0,1 dengan .
Definisi 2.1.11 Peubah Acak Kontinu (Grimmet dan Stizaker 2001)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai , dengan : 0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut sebagai fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.
Lema 2.1.12 (Grimmet dan Stizaker 2001)
Misal X menyebar Normal dengan rataan nol dan ragam satu 0,1 dengan fungsi kepekatan peluang
√ exp . Misal di mana
0, maka Y menyebar Normal dengan rataan nol dan ragam , 0, dengan fungsi kepekatan peluang
√ exp .
Bukti: Lihat lampiran 1.
Definisi 2.1.13 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak (Grimmet dan Stizaker 2001)
Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi
: 0,1 , dengan , , .
Definisi 2.1.14 Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal (Grimmet dan Stizaker 2001)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran bersama F(x,y), maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah fungsi : 0,1 yang didefinisikan , , .
Fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut
, , .
Definisi 2.1.15 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat (Grimmet dan Stizaker 2001)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal 0 dan , adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari
, .
Definisi 2.1.16 Bebas Stokastik Identik (Hogg et al. 2005)
Misalkan , , … , adalah n peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu f(x) sehingga
dan fungsi kepekatan bersamanya adalah , , … , … . Peubah acak , , … , disebut bebas stokastik identik.
Definisi 2.1.17 Fungsi Indikator (Cassela dan Berger 1990)
Fungsi indikator dari himpunan A dinotasikan dengan didefinisikan sebagai fungsi
1 ,
0, .
Definisi 2.1.18 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret (Ghahramani 2005)
Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kerapatan peluang , maka nilai harapan dari peubah acak X didefinisikan oleh:
.
Definisi 2.1.19 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu (Ghahramani 2005) Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f(x), maka nilai harapan dari X didefinisikan oleh:
.
Definisi 2.1.20 Nilai Harapan Bersyarat (Ghahramani 2005)
bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah , maka nilai harapan bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah:
.
Definisi 2.1.21 Himpunan P-Null (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Misalkan Ω, , adalah ruang peluang. Himpunan P-Null didefinisikan sebagai
Ω: , , 0 .
Definisi 2.1.22 Ruang Peluang Lengkap (Billingsley 1991)
Ruang peluang Ω, , disebut lengkap, jika , , dan 0, maka .
Definisi 2.1.23 Filtrasi (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Misalkan adalah medan- dan ; adalah barisan submedan- dari dan memenuhi untuk semua , maka disebut filtrasi. Definisi 2.1.24 Filtrasi Lengkap (Protter 1995)
Misalkan Ω, , adalah ruang peluang lengkap. Misalkan ;
adalah sebuah filtrasi. Jika memuat semua himpunan P-Null di maka disebut filtrasi lengkap.
Definisi 2.1.25 Measurable (Terukur) (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Misalkan X adalah peubah acak yang terdefinisi pada ruang peluang Ω, , dan
S adalah ruang state X. X dikatakan terukur- , jika Ω; , untuk setiap .
Definisi 2.1.26 Adapted (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Misalkan ; adalah peubah acak yang terdefinisi pada ruang peluang Ω, , . Barisan peubah acak ; dikatakan adapted terhadap filtrasi , jika terukur- untuk setiap k.
Definisi 2.1.27 Predictable (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Misalkan ; adalah suatu filtrasi. Barisan peubah acak ; dikatakan predictable, jika terukur- untuk setiap k.
Definisi 2.1.28 Nilai Harapan Bersyarat (Shreve 2004)
Misalkan Ω, , adalah ruang peluang dan adalah submedan- dari . Misalkan X adalah peubah acak yang terintegralkan pada Ω, , . Maka
, disebut nilai harapan bersyarat dari X jika diketahui , didefinisikan sebagai sebarang peubah acak Y yang memenuhi:
1. Y terukur-
2. , .
Persamaan dapat ditulis .
Teorema 2.1.29 Nilai Harapan Bersyarat (Billingsley 1991)
Misalkan X terintegralkan, dan adalah dua medan- yang memenuhi , maka berlaku:
| | | | .
Teorema 2.1.30 Sifat-sifat Nilai Harapan Bersyarat (Shreve 2004) Misalkan X, Y dan XY terintegralkan, maka berlaku:
1.
2. Jika X terukur- , maka
3. , a,b skalar
4. Jika 0, maka 0
5. Jika sub medan- dari , maka
6. Jika Y terukur- , maka .
Definisi 2.1.31 Kontinu Absolut (Billingsley 1991)
Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada Ω, . Ukuran peluang P dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang jika untuk setiap , 0
mengakibatkan 0, dinotasikan . Jika dan maka kedua ukuran dikatakan ekuivalen dan dinotasikan .
Teorema 2.1.32 Radon-Nikodym (Billingsley 1991)
Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada Ω, sedemikian sehingga , maka terdapat peubah acak tak negatif sehingga untuk semua
, dinotasikan .
2.2 Rantai Markov
Definisi 2.2.1 Ruang State (Grimmet & Stirzaker 2001)
Misalkan Ѕ adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang
state.
Definisi 2.2.2 Proses Stokastik (Ross 2000)
Proses Stokastik ; yang terdefinisi pada ruang peluang Ω, , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke ruang state S.
Definisi 2.2.3 Rantai Markov dengan Waktu Diskret (Grimmet & Stirzaker 2001)
Misalkan Ω, , adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik ; dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap k = 0,1,2,... berlaku:
, , … ,
untuk semua kemungkinan , , … , .
Definisi 2.2.4 Matriks Peluang Transisi (Grimmet & Stirzaker 2001)
Misalkan ; adalah rantai Markov dengan ruang state S yang berukuran N. Matriks transisi , dengan
Definisi 2.2.5 Rantai Markov Homogen (Grimmet & Stirzaker 2001)
Misalkan ; adalah rantai Markov dengan ruang state S, dikatakan
homogen jika untuk , .
Definisi 2.2.6 Peluang Transisi n-step (Ross 2000)
Misalkan ; adalah rantai Markov dengan ruang state S. Peluang transisi n-step dari X adalah peluang proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan oleh:
, 0, , .
Definisi 2.2.7 Accessible (Ross 2007)
Suatu state j disebut terakses (accessible) dari state i, ditulis , jika ada sebuah bilangan 0 sehingga 0.
Definisi 2.2.8 Communicate (Ross 2007)
Dua state i dan j disebut berkomunikasi (communicate), ditulis , jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.
Definisi 2.2.9 Kelas State (Ross 2000)
Himpunan tak kosong S disebut kelas state apabila semua pasangan state yang merupakan anggota dari S berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota S yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota S.
Definisi 2.2.10 Irreducible (Ross 2000)
Rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu kelas
state, yaitu semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya.
Definisi 2.2.11 The First-Passage Time Probability (Grimmet dan Stirzaker 2001)
menyatakan peluang bahwa mulai dari state i, proses untuk pertama kali ke
state j terjadi pada waktu ke n. Peluang ini disebut the first-passage time probability dan ditulis
( , untuk semua 1 1 ).
Definisi 2.2.12 Recurrent (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state i akan bertransisi ke state j didefinisikan sebagai
.
State i disebut recurrent (berulang) jika 1.
Teorema 2.2.13 (Ross 2007)
State i recurrent (berulang) jika ∑ ∞.
Definisi 2.2.14 (Ross 2000)
1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi terbesar bagi n sehingga 0.
2. Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodic, sedangkan state dengan periode 2 disebut periodic.
3. Suatu state disebut berulang positif jika state tersebut berulang serta berlaku: jika proses dimulai dari state i, maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan berhingga.
4. Rantai Markov dengan state berulang positif dan aperiodic disebut ergodic. Teorema 2.2.15 Nilai Harapan Rantai Markov Homogen (Ross 2000)
Misalkan ; adalah rantai Markov ergodic dengan ruang state S yang berukuran N dan misalkan A merupakan matriks peluang transisi berukuran
dengan dan , maka nilai harapan dari
X dinotasikan dengan memenuhi:
2.3 Ruang Hasil Kali Dalam
Definisi 2.3.1 Ruang Vektor (Anton dan Rorres 2004)
V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor u, v, w dan sebarang k dan l dipenuhi aksioma berikut:
1. Jika u, v, , maka u + v
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
4. Ada 0 sehingga 0 + u = u + 0,
5. , ada sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6. Jika k adalah sembarang skalar dan , maka 7. k (u + v) = k u + k v
8. (k + l) u = k u + l u
9. k (l u) = (k l) u
10. 1 u = u.
Definisi 2.3.2 Perkalian Dalam (Anton dan Rorres 2004)
Jika , , … , dan , , … , adalah sebarang vektor pada , maka hasil kali dalam euclid , didefinisikan dengan
, .
Definisi 2.3.3 Ruang Hasil Kali Dalam (Anton dan Rorres 2004)
Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real , dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedimikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua , , dan skalar k.
1. , ,
2. , , ,
3. , ,
4. , 0 dan , 0 jika dan hanya jika v = 0.
Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real.
2.4 Perhitungan Galat
Definisi 2.4.1 Koefisien Determinasi (Argesti dan Finlay 1999) Koefisien determinasi didefinisikan sebagai
∑ ∑
∑ 1
∑ ∑
di mana merupakan rataan Y. Besaran menyatakan proposi keragaman data yang mampu dijelaskan oleh model.
Definisi 2.4.2 (Wei 1994)
1. Mean Percentage Error (persentase rataan galat) didefinisikan sebagai
MPE 1 100%.
2. Mean Absolute Percentage Error (persentase rataan galat absolut)
didefinisikan sebagai
