• Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang
terdefinisi pada semua bilangan nyata x (-,), mempunyai sifat bahwa untuk setiap himpunan bilangan nyata B,
P(XB) =
• Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang peubah acak X dan f harus memenuhi
P{X ( -, )} = =1
B
dx x
f ( )
dx x
• Semua statemen peluang tentang X dapat dinyatakan dalam term f. Misalkan B =
[a,b]maka
P{a X b}=
• Jika a = b maka
P{X=a} = =0
• Untuk peubah acak kontinu P{X < a} = P {X a} =
ab f (x)dx
a
a
dx x f ( )
a
dx x
Contoh
1. Misalkan bahwa X adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
a. berapa nilai C ? b. Hitung P{X > 1}
selainnya
x
x
x
C
x
f
0
2
0
2
4
(
)
(
2. Banyaknya waktu, dalam jam, fungsi komputer sebelum rusak adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang
a. Berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi antara 50 sampai 150 jam sebelum rusak?
b. berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi kurang dari 100 jam
Peubah Acak Kontinu Khusus
1. Peubah Acak Seragam (Uniform)
Peubah acak X dikatakan menyebar secara seragam pada interval (0,1) jika fungsi
kepekatan peluangnya adalah
selainnya
x
x
f
0
1
0
1
)
Sehingga, misalkan untuk 0<a<b<1
Secara umum, kita katakan bahwa X peubah acak seragam pada interval (,) jika fungsi kepekatan peluangnya adalah
b aa
b
x
d
x
f
b
X
a
P
{
}
(
)
(
)
Fungsi sebaran peubah acak seragam pada interval (,) adalah
• Contoh
• 1. Jika X menyebar secara seragam pada (0,10), hitung peluang
• a. X < 3 • b. X > 6
2. Bus - bus datang di pemberhentian bus tertentu pada interval 15 menit dimulai dari pukul 7.00
pagi. Jadi bus – bus tersebut berhenti pada pukul 7, 7:15, 7:30, 7:45 dan seterusnya. Jika
penumpang datang pada pemberhentian pada suatu waktu yang menyebar seragam antara 7:00 dan 7:30, hitung peluang bahwa dia menunggu a. kurang dari 5 menit untuk sebuah bus
2. Peubah Acak Normal
Peubah acak X dikatakan peubah acak Normal dengan parameter dan 2 jika fungsi
kepekatan peluang X adalah
-( )2 / 2 2 < x <
2 1 )
(
e x
Fungsi kepekatan peluang adalah kurva berbentuk genta yang simetrik pada .
Nilai dan 2 merepresentasikan nilai rata – rata
dan variasi atau keragaman yang mungkin dari X.
• Fakta penting dari pebah acak normal adalah
jika X menyebar normal dengan parameter
dan 2 maka Y = X + menyebar normal
dengan parameter + dan 22.
• Implikasinya bila X menyebar normal dengan
parameter dan 2 maka Z = (X - )/
menyebar normal dengan parameter 0 dan 1.
• Peubah acak Z dinamakan peubah acak normal
Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak normal baku dilambangkan dengan (x) dimana
(x) =
Nilai dari (x) telah ditabelkan
=
dy e
x
y
2 / 2
2 1
Contoh :
1. Jika X adalah peubah acak normal dengan parameter = 3 dan 2 = 9. Hitung
2. Suatu ujian dikatakan baik apabila nilai dari hasil ujian dapat didekati dengan fungsi kepekatan
peluang normal. Instruktur seringkali menggunakan nilai hasil ujian untuk menduga parameter normal
dan 2 kemudian memberi nilai A untuk nilai yang
lebih dari +, B untuk nilai antara dan +, C
untuk nilai antara - dan , D untuk nilai antara - 2 dan - , dan E untuk nilai di bawah - 2.
3. Peubah Acak Eksponensial
Peubah acak kontinu yang memiliki fungsi kepekatan peluang
dikatakan peubah acak eksponensial dengan parameter .
Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak eksponensial adalah :
Contoh :
• Misalkan bahwa lama panggilan telepon dalam menit adalah peubah acak
eksponensial dengan parameter =1/10. Jika seseorang datang secara tiba – tiba pada
wartel, hitung peluang bahwa dia akan menunggu
a. lebih dari 10 menit
Soal -soal
1. X adalah peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang
a. berapa nilai c
b. bagaimana fungsi sebaran kumulatif dari X?
selainnya x
x c
x f
0
1 1
) 1
( )
(
2. Suatu sistem dengan satu unit yang original dan satu spare partnya dapat berfungsi selama X yang acak. Jika fungsi kepekatan X diberikan (dalam
bulan) oleh
berapa peluang bahwa sistem akan berfungsi paling tidak 5 bulan
3. Fungsi kepekatan peluang dari X, waktu hidup dari alat elektronik tertentu (dalam jam)
diberikan persamaan berikut
a. Hitung P{X>20}
b. Cari fungsi sebaran kumulatif dari X
10
0
10
10
)
(
2x
x
x
4. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu adalah peubah acak normal dengan parameter = 71 inchi dan 2=6,25. Berapa persen dari
laki – laki dalam kelas tersebut yang
5. Waktu (dalam jam ) yang diperlukan untuk memperbaiki mesin adalah peubah acak eksponensial dengan parameter =1/2.
a. Berapa peluang bahwa waktu perbaikan lebih dari 2 jam?
b. Berapa peluang bersyarat bahwa perbaikan membutuhkan waktu minimal 10 jam bila
6. Misalkan X mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
a. Carilah c
b. Carilah F(x)
d. Gunakan F(x) dari (b) untuk mencari F(-1), F(0) dan F(1)
e. Hitung P(0 ≤ X ≤ 0.5
7. Bila Z adalah peubah acak normal baku, hitunglah
8. Carilah nilai z, bila