Metode Statistika (STK211)

(1)

Metode Statistika (STK211)

Peubah Acak dan Sebaran Peluang

(Random Variable and Probability Distribution)

Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015

(2)

Konsep Peubah Acak ( Random Variable )

• Peubah acak merupakan suatu fungsi

(function) yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan

kejadian-kejadian alam.

• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM

RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN pada bilangan riil.

(3)

• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi Wilayah fungsi

S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6.

X(ei)

. 0 . 1

(4)

Tipe Peubah Acak

• Diskret

 Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)

 Misalkan X = banyaknya komputer yang terjual dalam seminggu di toko A.

• Kontinu

 Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)

 Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval

 Misalkan X = tinggi badan (cm)

 Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam,

(5)

Peubah Acak Diskret

(6)

• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

• Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut

• Jumlah total nilai peluang dari semua

kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

• Peluang dari sembarang kejadian dapat

dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut

• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.

(7)

Kembali ke ilustrasi pelemparan sebutir dadu yang setimbang

SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalah pemetaan setiap nilai peubah acak dengan nilai

peluangnya. Untuk kasus pelemparan sebutir dadu di atas dapat dijabarkan sebagai berikut:

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul

Kejadian S₁ S₂ S₃ S₄ S₅ S₆ Peluang

kejadian

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X 0 1 0 1 0 1

x 0 1

P(X=x) 1/2 1/2

X 0 1

Tabel Sebaran Peluang bagi X:

(8)

Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.25) hlm. 164

Toss two fair coins and let x equal the number of heads observed. Find the probability

distribution for x.

(9)

Nilai Harapan Peubah Acak Diskret

• Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika

percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.

• Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:







ⁿ

i

p x

x X

1

diskret p.a

X jika

), (

)

(

(10)

Sifat-sifat nilai harapan:

• Jika c konstanta maka E(c ) = c

• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)

• Jika X dan Y peubah acak maka E(X+Y) = E(X) + E(Y)

E(X-Y) = E(X) - E(Y)

(11)

Ragam Peubah Acak

• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))²

= E(X²) – [E(X)] ² tunjukkan !

• Sifat-sifat dari ragam

 Jika c konstanta maka V(c ) = 0

 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c² V(X)

 Jika X dan Y peubah acak maka, V(XY) = V(X) + V(Y)  Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

(12)

Contoh:

• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah ini:

• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = [(0)(1/6)+(1)(1/6) +(2)(1/6) +(3)(1/6) +(4)(1/6) +(5)(1/6)]

= 0 + 1/6 + 232/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

Nilai peubah Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=x_I) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X_ip(x_i) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

(13)

Lanjutan:

• Ragam p.a X adalah:

Nilai peubah Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=x_I) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X_ip(x_i) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

V(X) = E(X²) – [E(X)]²

= [(0²)(1/6)+(1²)(1/6) +(2²)(1/6) +(3²)(1/6) +(4²)(1/6) +(5²)(1/6)] - (15/6)²

= 55/6 - 225/36 = 105/36

(14)

Berdasarkan E(X) dan V(X) tersebut tentukan:

a. E(2X)

b. E(4 - 3X) c. V(2X)

d. V(4 – 3X)

(15)

Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167

An electronics store sells a particular model of computer notebook. There are only four notebooks in stock, and the manager wonders what today’s demand for this particular model will be. She learns from the marketing department

that the probability distribution for x, the daily demand for the laptop, is as shown in the table. Find the mean, variance, and standard deviation of x. Is it likely that five or more customers will want to buy a laptop today?

(16)

Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167

E(X) = μ  mean (nilai harapan)

(17)

Beberapa sebaran peluang

diskret yang banyak digunakan:

• Bernoulli

• Binomial

• Poisson

(18)

Sebaran Peluang Bernoulli

 Kejadian yang diamati merupakan

kejadian biner yaitu sukses atau gagal

 Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika

kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

 Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang gagal, maka fungsi peluang Bernoulli

dapat dituliskan sebagai:

P(x,p) = p

^x

q

^(1-x)

; x=0,1

dimana q = 1-p

 E(X) = p; Var(X) = pq = p(1-p)

(19)

Seseorang pemain akan melakukan

lemparan bebas. Misalkan peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80%,

maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti.

Jika peluang bola masuk sebesar

95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.

(20)

Sebaran Peluang Binomial

 Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

 Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses,

X=0,1,2,….,n

 Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)p

^x

q

^(n-x)

; x=0,1,2,…,n dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!)

q = 1-p

 E(X) =np

(21)

Percobaan Binomial

(22)

(23)

Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas

G S G

S G G

G G S

S S G

S G S

G S S

S S S x=3

x=2

x=1

2 3 2(1 ) 2

) 3 2

(   ^

 





 p p

X P

3 3 3(1 ) 3

) 3 3

(   ^



 





 p p

X P

G G G x=0 ⁰(1 )³ ⁰

0 ) 3 0

(   ^



 





 p p

X P

1 3 1(1 ) 1

) 3 1

(   ^



 





 p p

X P

(24)

Ilustrasi : Mendenhall (Example 5.4) hlm. 188

(25)

Latihan

Peluang turun hujan per hari diketahui

p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu (7 hari), hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun

hujan satu hari dalam satu minggu?

(26)

Peubah Acak Kontinu

(27)

• Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu

• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang (probability density function)

• Integral fungsi kepekatan peluang dari

semua kemungkinan nilai sama dengan 1

• Peluang dari suatu selang nilai dapat

dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai

tersebut

(28)

Beberapa sebaran peluang

kontinu yang banyak digunakan

• Normal

• Weibull

• Gamma

• Beta

(29)

Sebaran Peubah Acak Kontinu

(30)

Sebaran Normal

 Bentuk sebaran simetrik

 Mean, median dan modus berada dalam satu titik

 Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai berikut:

 Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:

 Peubah acak X dengan mean (E(X) = ) dan ragam ( V(X) = ²) menyebar normal sering dituliskan sebagai

2

2 1 2

2 ) 1

, ,

( ^^

 



  

 ^





 



x

e x

f



^ ^





b

a

a F b

F dx x f b

x a

p( ) ( ) ( ) ( )

(31)

Sebaran Normal

(32)

Bentuk sebaran normal dengan berbagai nilai ragam

Data

Percent

36 24

12 0

-12 -24

-36 60

50 40 30 20 10 0

Variable ragam 1 ragam 3 ragam - 5 ragam -10

Semakin besar ragam dari sebaran normal

(33)

Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang

• Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:









(X) x_i f (x_i)dx, jika X p.akontinu

(34)

• Setiap peubah acak normal memiliki

karakteristik yang berbeda-beda perhitungan peluang akan sulit

• Lakukan transformasi dari X  N( , ²)

menjadi peubah acak normal baku Z  N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi

• Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z  N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku





 X  Z

Sebaran Normal Baku (Standard Normal)

(35)

Cara penggunaan tabel normal baku

 Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal

pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

 Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang

peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03 -2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z < -2.42)=0.008

(36)

Ilustrasi : Mendenhall, hlm. 226-230

(37)

Latihan (1)

Curah hujan dikota Bogor diketahui

menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm². Hitunglah,

a. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?

b. Curah hujan di kota Bogor antara 17 mm sampai 31 mm?

c. Curah hujan di kota Bogor di atas 37 mm?

d. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas

(38)

Diketahui X menyebar Normal dengan

E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ

²

= 25 mm

(a) P( x < 15) = ....

Jadi P(x < 15) = P(z < -2) = 0.0228

(39)

Diketahui X menyebar Normal dengan

E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ

²

= 25 mm (b) P(17 < x < 31) = ....

Jadi P(17 < x < 31) = P(-1.60 < z < 1.20)

= P(z < 1.20) - P(z < -1.60)

= 0.8849 - 0.0548

= 0.830

(40)

Diketahui X menyebar Normal dengan

E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ

²

= 25 mm

(d) P(x > a) = 10% = 0.10

P(z > z

₁

) = 0.10  1 – P(z < z

₁

) = 0.10 P(z < z

₁

) = 0.90

z

₁

= 1.28

(41)

Latihan (2)

Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara acak:

a. Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta?

b. Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai 3,2 juta?

c. Jika 23% orang mempunyai gaji

tertinggi, tentukan batas bawah dari

range tersebut!

(42)