Distribusi Peubah Acak Kontinu

Pertemuan 3

DISTRIBUSI PEUBAH ACAK KONTINU:

PDF, CDF, MGF

Fungsi Densitas

Definisi

Misal X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan bilangan real.

Sebuah fungsi disebut fungsi densitas / probability density function (pdf) dari X, jika nilai-nilainya, yaitu !(#) memenuhi sifat-sifat:

• ! # ≥ 0, ()*(+ ,-.(/(ℎ 12.3)43) /-3. #

• ∫₆₇⁷ ! # 8# = 1

• Untuk setiap a dan b, −∞ < 3 < 1 < ∞, maka

> 3 ≤ @ ≤ 1 = ∫_A^B ! # 8#

Grafik fungsi densitas penggambarannya mengikuti bentuk dari fungsi densitasnya.

Continuous Random Variable

Contoh

Error suhu pengukuran dalam laboratorium merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi densitas:

! " = $

%^&

'

, −1 < " < 2 0, " ./0112/

a. Tunjukkan bahwa syarat ke-2 terpenuhi b. Gambar grafik ! "

c. Hitung P(0<x ≤ 1)

Continuous Random Variable

Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF)

Misal X adalah peubah acak kontinu. F(x) didefinisikan sebagai fungsi distribusi kumulatif / fungsi distribusi (CDF) dari peubah acak X,

! " = $ % ≤ " = '

()

*

+ , -, Dengan +(,) adalah fungsi densitas /pdf dari X.

• Nilai fungsi distribusi dari peubah acak kontinu biasanya berupa konstanta dan fungsi

• Grafik fungsi distribusi peubah acak kontinu : kombinasi

beberapa kemungkinan dari bentuk garis lurus, kurva.

Contoh

Misal diberikan fungsi densitas/pdf dari suatu peubah acak kontinu X :

! " =

^$

%

"

^&

; 0 < " < 2

= 0 , " lainnya.

a. Tentukan fungsi distribusi +(")

b. Gambarkan grafik dari +(")

Peluang Peubah acak kontinu berbentuk interval

Perhitungan ! " ≤ $ ≤ % = ∫

₍⁾

* + ,+ sama dengan luas daerah di bawah kurva *(+) dari + = " samapi + = %.

Jika X adalah peubah acaka kontinu serta a dan b adalah dua konstanta real, dengan a < b, maka:

! " ≤ $ ≤ % = ! " ≤ $ < % = ! " < $ ≤ % = ! " < $ < %

• Dengan menggunakan fungsi distribusi:

! " ≤ $ ≤ % = 1 % − 1(")

! $ = % = 1 % − 1(%−)

Contoh

Jika fungsi densitas/pdf dari peubah acak X berbentuk:

! " = 3%

^&'(

; " > 0

= 0 ; " lainnya

a. Tentukan fungsi distribusinya

b. Carilah nilai peluang dengan menggunakan perumusan fungsi pdf dan fungsi distribusi (CDF)

• 1 0,5 < 5 ≤ 1

• 1 5 ≤ 0,5

• 1 5 > 1,2

Penentuan Fungsi Densitas pdf dari CDF peubah acak kontinu

Jika !(#) dan %(#) masing-masing merupakan fungsi pdf dan fungsi distribusi dari peubah acak kontinu X di # , maka:

! # = '

'# % # = %′(#)

Contoh:

Diketahui fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:

% # = 0 ; # ≤ 0

= #

^,

; 0 < # < 1

= 1 ; # ≥ 1

Moment Generating Function

Definisi

Jika X suatu varuabel random, maka expected value

!

_"

# = %('

^("

)

Dinamakan Moment Generating Function (MGF) dari X.

Jika nilai expected value ada untuk semua nilai t , −ℎ < # < ℎ, untuk ℎ > 0 . Untuk peubah acak kontinu,

!

_"

# = 4

56 6

'

^("

7 8 98

Responsi

Diketahui fungsi distribusi dari Y sebagai berikut:

! " = 0 ; " < 0

= "^' ; 0 ≤ " < ⁾_'

= 1 − 3 1 − " ^' ; ⁾_' ≤ " <1

= 1 ; 1 ≤ "

a. Buktikan !(") fungsi distribusi dari peubah acak Y.

b. Gambarkan grafik !(")

c. Tentukan fungsi densitas /pdf /(") dari Y

d. Gunakan perumusan fungsi pdf dan CDF untuk menentukan nilai peluang 0 1 ≤ ⁾₂ ; 0 ²₃ < 1 ≤ 2 ; 0 1 > ²₃